Grofweg zijn er twee typen redeneervraagstukken. A. Gedrag van een formule verklaren. B. Het doorzien van de structuur van de formule.

Transcriptie

1 Redeneren met formules Redeneren met formules is een regelmatig terugkerend onderwerp op examens. Kijk maar eens als extreem voorbeeld naar de opgave Behendigheid uit het examen VWO wiskunde 2012 tijdvak 1. In de boeken van Getal en Ruimte heeft redeneren weinig tot geen aandacht heeft gehad. Daarom zijn in dit document de belangrijkste uitganspunten op een rijtje gezet. Redeneren met formules betekent dat je aan de hand van een formule iets moet uitleggen of verklaren door middel van logica. Dat klinkt wat onwennig bij wiskunde, omdat je meestal iets uitrekent in plaats van iets uitlegt. Maar ook een kloppende redenering is in de wiskunde een objectieve afleiding. Het gaat niet om het aannemelijk maken of beargumenteren. Het gebruik logica, of gezond verstand, wil zeggen dat we geen grafieken of plaatjes gebruiken. Immers daarbij maak je een keuze voor bepaald Window op de GR. Ook kijken we niet naar getallenvoorbeelden. Dat is weer een keuze en je wilt dat een uitspraak algemeen geldt zonder af te hangen van keuzes.. Je kunt wel getallenvoorbeelden gebruiken om een idee te krijgen van hoe een formule werkt als bepaalde getallen groter of kleiner worden. Vervolgens veralgemeniseer je dit getallenvoorbeeld in jouw antwoord. De kracht van redeneren is dat je geen moeilijke methodes zoals differentiëren nodig hebt en toch heel algemeen geldende uitspraken kunt doen. Bijvoorbeeld: De formule stijgt als toeneemt. Omdat je geen getallen hebt gekozen zijn de uitspraken meteen algemeen geldend. Grofweg zijn er twee typen redeneervraagstukken. A. Gedrag van een formule verklaren. B. Het doorzien van de structuur van de formule. Methode A Het gedrag van de formule kan zowel lokaal (bepaalde waarden bekijken) of globaal (gedrag op lange termijn) bestudeerd worden. Van beide situaties geef ik straks voorbeelden met uitleg. De aanpak is als volgt. Je maakt vaak gebruik van als-dan-redeneringen. Je werkt daarbij van binnen naar buiten. Begin bij de variabele in de formule en stel dat deze bijvoorbeeld toeneemt/afneemt/gelijk aan nul is/etc. Dan kijk je naar de getallen in de buurt van deze variabele en kijkt wat er met de term gebeurt waar de variabele in zit. Dit breidt je net zolang uit totdat je de hele formule in beeld hebt. Methode B Het doorzien van de structuur van een formule wil zeggen dat je kunt uitleggen welke gevolgen en bepaalde verandering op een formule heeft. Bijvoorbeeld als verdubbelt, moet je aantonen dat de formule juist halveert. Bij deze methode vervang je dan door in de formule. Dan heb je de verdubbeling dus letterlijk in de formule gestopt. Vervolgens probeer je met omschrijven en herleiden aan te tonen dat de oorspronkelijke formule opeens gedeeld wordt door twee.

2 De voorbeelden maken dit verhaal duidelijker. Voorbeeld 1. (globaal redeneren) In Australië zijn zo n tweehonderd jaar geleden een paar konijnen ontsnapt. Het dier komt van nature niet in dit land voor en al gauw heerste er een konijnenplaag. Het aantal konijn in Australië wordt gegeven door de formule Hierbij is het aantal konijnen in miljoenen en de tijd in jaren met in a. Beredeneer dat de formule stijgt als toeneemt. b. Beredeneer dat het aantal konijnen op lange termijn op 185 miljoen uitkomt. Uitwerking a. Als toeneemt, dan neemt af. Als afneemt, dan neemt af. Als afneemt, dan neemt toe. Dus neemt toe. b. Als heel groot is, dan is vrijwel gelijk aan nul. Dan. Dus miljoen konijnen. In voorbeeld 1 gebruiken we dat delen door een steeds kleiner getal een steeds grotere uitkomst oplevert. Ook gebruiken we dat steeds kleiner wordt. Dit komt omdat het grondtal 0,7 kleiner is dan 1. Je hoeft niet uit te leggen waarom afneemt of waarom delen door een steeds kleiner een steeds grotere uitkomst oplevert. Je hoeft alleen maar te constateren dat het zo is.. Als je niet weet of een uitdrukking toe- of afneemt, kun je dit zelf nagaan met getallenvoorbeelden. Voorbeelden zijn nooit geschikt als antwoord, maar kunnen wel laten zien of de formule groter of kleiner wordt. Vervolgens schrijf alleen de conclusie op. Voorbeeld 2. (lokaal redeneren) De hoogte van een boom wordt gegeven door de formule ( ) ( ). Hierbij is de hoogte van de boom in meters en de leeftijd van de boom in jaren. Verder zijn en constanten die afhangen van de boomsoort, de grondsoort en de omgeving waarin deze staat. Als de formule een goede beschrijving van de boomgroei weergeeft, dan zou op tijdstip nul de hoogte van de boom ook nul moeten zijn. Immers de boom is begonnen als een zaadje. Beredeneer, dus zonder getallenvoorbeelden te gebruiken, dat alle grafieken die horen bij de formule voor boomgroei door de oorsprong gaan.

3 Uitwerking Je kunt de hoogte gewoon uitrekenen door ( ) ( ) ( ) (want ) (want ) in te vullen. OF Als dan en dus ( ) ( ) Dan ( ) Met de eis zonder getallenvoorbeelden bedoelde het CITO dat er geen getallenvoorbeelden voor en gebruikt mogen worden. Je mag wel invullen en en gewoon laten staan in de formule. Je kunt dan toch uitrekenen wat er gebeurt. Je mag ook beschrijven zonder te berekenen, maar dan doe je in feite hetzelfde en het is bovendien foutgevoeliger. Beredeneren wil dus niet zeggen dat je helemaal niet mag rekenen aan een formule. Voorbeeld 3. (VWO wiskunde A 2005 I opg 7.) ( ) Leg uit hoe je uitsluitend aan de hand van de formule voor dus zonder gebruik van de GR kunt beredeneren dat hier sprake is van een dalende functie. Aanpak Je mag niet schetsen, differentiëren of getallen invullen. Dalen van de functie wil zeggen dat als toeneemt, dan moet de waarde van kleiner worden. We zullen kijken naar de onderdelen van de formule waar B in voorkomt en dat combineren tot één geheel. Antwoord Als toeneemt, dan neemt ( ) toe en neemt ( ) dus af. Als toeneemt, dan neemt af. bestaat uit twee factoren die afnemen, als Het product ( ) neemt dus ook af. toeneemt.

4 Voorbeeld 4. Een seismograaf is een apparaat om trillingen in de aardbodem weer te geven. De amplitude (uitslag) van de seismograaf geeft aan hoe sterk de trilling is. De kracht van een trilling wordt weergegeven met een getal op de schaal van Richter. Hiervoor gebruikt men de formule ( ) met de kracht van een beving op de schaal van richter en de amplitude van de seismograaf in millimeter. Als de amplitude van de seismograaf tweemaal zo groot wordt, dan neemt constante waarde toe. Toon dit aan. met een Aanpak We vervangen door en proberen de formule van in dit antwoord terug te vinden. Antwoord ( ) ( ) ( ) ( ) Dus neemt met 0,3 toe als verdubbelt. Voorbeeld 5. (VWO wiskunde A 2010 II opg. 17) Beredeneer aan de hand van de formule dat 10 keer zo groot wordt, als 100 keer zo groot wordt. Aanpak Vervang door Dan proberen we de formule van terug te schrijven met een factor 10. Antwoord Dus als 100 keer zo groot wordt, dan wordt 10 keer zo groot.

5 Een lastig voorbeeld is de volgende (bewerkte) examenvraag. De opgave staat op de volgende pagina. Voorbeeld 6. (VWO wiskunde A 2010 II opg.4) Bij het ontwerpen van bijvoorbeeld stoelen maakt men gebruik van zogenaamde antropometrietabellen. Hierin staan de lichaamsmaten voor mannen en vrouwen apart vermeld. Zie bijvoorbeeld de gegevens voor lichaamslengte in mm in tabel 1.

6