Logaritmische verbanden

Transcriptie

1 9 Zes momentopnamen van een zeester Van elke zeester is de armlengte gemeten, vanuit het midden van de ster. De resultaten staat in de tabel: a. Voer de gegevens in op de GR. Dat gaat dat als volgt: Toets STAT en kies EDIT. Toets in L (lijst ) de aantallen dagen na 6 juli in. ( augustus is 7 dagen na 6 juli.) Toets in L (lijst ) de gemeten armlengten in. Met het menu STAT PLOT kun je het type plaatje kiezen. Kies voor losse punten. Kies WINDOW: 0 x 90 en 0 y 60. Teken met GRAPH een plaatje (X = L, Y = L) De punten liggen niet op een rechte lijn. Kennelijk groeit de armlengte niet lineair in de tijd. b. Maak nu L3 = LOG(L) (lijst 3 in menu STAT EDIT). Kies WINDOW: 0 x 90 en 0 y. Teken met GRAPH een plaatje ( X = L, Y = L3 ). De punten liggen nu wel aardig op een rechte lijn. Kenne-lijk groeit de logaritme van de armlengte lineair in de tijd. 43

2 De planetenbanen Er draaien negen planeten om de zon. Hoe lang de planeten over een omwenteling doen en hoe ver ze gemiddeld van de zon af staan, vind je in de tabel: a. Verwerk deze gegevens op de GR in het menu STAT. Voer de omlooptijden in L in en de gemiddelde afstanden in L. Kies een geschikt venster. Bekijk de grafiek. Liggen de punten op een rechte lijn? b. Verander L in LOG(L) en L in LOG(L). Bekijk opnieuw de grafiek (venster aanpassen). Liggen de punten op een rechte lijn? Uit de grafiek in b blijkt dat er (ongeveer) een lineair verband is tussen log T en log R. Dus: log R = a log T + b voor zekere constanten a en b. c. Uit de gegevens over Mercurius en Venus volgt dat: log 57,9 = a log 88 b en log 08, = a log 5 b. Bepaal a en b. d. Controleer of de gevonden waarden voor a en b ook kloppen met bijvoorbeeld Saturnus. 44 Exponenten en Logaritmen

3 3 De gemiddelde levensduur van een zoogdier in gevangenschap (bijvoorbeeld in dierentuinen) hangt af van de grootte van het dier. De onderzoeker Sachs vond de volgende formule: log T =,07 + 0,0 log G, waarbij T de levensduur is in jaren en G het gewicht in kg. a. Hoe oud worden olifanten (4000 kg) gemiddeld in een dierentuin, volgens de formule? b. Neem nog een paar waarden voor G en bereken de bijbehorende waarden voor T. c. Als je T en G tegen elkaar uitzet, krijg je geen rechte lijn als grafiek. Die krijg je wel als je log T en log G tegen elkaar uitzet. Doe dat. In de natuur en in de techniek is er vaak een lineair verband tussen de logaritmen van twee grootheden. Voorbeeld Een steen valt van een toren. Na t seconden is de steen s meter gevallen. Dan geldt: s = 5t. We gaan deze formule anders schrijven: s = 5t log s = log 5t log s = log t + log 5 log s = log t + 0,7 Je kunt de berekening ook van onder naar boven maken. 4 a. Ga na dat elke stap in de afleiding hierboven correct is. b. Als je s tegen t uitzet, krijg een (deel van een) parabool. Wat voor grafiek krijg je als je log s tegen log t uitzet? 5 Bij het vliegen worden de vleugels van vogels (en vlieg tuigen) belast. De vleugelbelasting B (in kg per m ) is afhankelijk van de bouw en van het gewicht G (in kg) van de vogel (of het vliegtuig). Alle zeevogels hebben onge-veer een zelfde bouw: het zijn schaalmodellen van elkaar. Voor hen geldt: log B = log G + 0,7 (uit Henk Tennekes, De wetten van de vliegkunst). a. Bereken de vleugelbelasting van een zeemeeuw van kg. b. Teken de grafiek waarbij je log B uitzet tegen log G. c. Schrijf het verband tussen de vleugelbelasting B en het gewicht G van een zeevogel zonder logaritmen. 45

4 6 a. Schrijf de volgende formules zonder logaritmen. log y = log x + log 3 log y = log x log y = log x + 3 b. Schrijf de volgende formules in de gedaante log y = a log x + b. 4 y = 0 x y = 0, x y = 8x 7 Het lichaamsgewicht G van een warmbloedig dier (in kg en zijn dagelijkse warmteproductie W (in joule) hangen samen. Hieronder staat daarvan de grafiek; op de horiw. zontale as is log G uitgezet, op de verticale as log 40 log W 40 a. Hoe zwaar is een cavia (Guinea pig) volgens de grafiek? b. Hoeveel warmte produceert een cavia (gemiddeld) per dag volgens de grafiek? W c. Stel een formule op voor het verband tussen log 40 en log G. d. Schrijf de formule uit c om naar een formule zonder logaritmen. 46 Exponenten en Logaritmen

5 8 Karperlarven Voor opgroeiende karperlarven kleiner dan 9 mm bestaat het volgende verband tussen lengte en gewicht: c a W = 0 L, waarbij W het gewicht is in mg en L de lengte in mm, c en a zijn constanten. Voor karperlarven groter dan 9 mm geldt net zo'n formule maar dan met andere waarden voor c en a. a. Leid uit de gegeven formule een uitdrukking af voor log W, uitgedrukt in c, a en log L. De twee lijnstukken in de grafiek hierboven geven het verband weer tussen de logaritme van de lengte en de logaritme van het gewicht van karperlarven. b. Bepaal met behulp van de grafiek in mg nauwkeurig hoeveel een karperlarve van mm weegt. c. Bereken met behulp van de grafiek voor karperlarven kleiner dan 9 mm de constanten a en c. Iemand beweert dat alle karperlarven vanaf 9 mm niet meer van vorm veranderen. Dit betekent dat hun gewicht evenredig is met de derde macht van hun lengte. 3 b. De bewering is dat W = b L. Schrijf deze formule in de gedaante: log W = logl. e. Ga na of de r.c. van de lijn overeenstemt met deze formule. Examen havo wiskunde B, 995 tijdvak * 9 We bekijken twee formules: () log y = log x +, () y = 0 x. a. Ga na dat de formules gelijkwaardig zijn. b. Teken op het werkblad de grafiek van () op gewoon grafiekenpapier; zet log x horizontaal uit en log y verticaal. 47

6 c. Teken de grafiek van () op het speciale grafiekenpapier. y log y log x 0 x Het speciale grafiekenpapier is zogenaamd dubbellogaritmisch papier: op beide assen staat een logaritmische schaal. Daardoor hoef je niet meer de logaritme van x en van y te nemen; het effect is hetzelfde als bij () op gewoon grafiekenpapier. 0 Motoren heb je in allerlei maten. Van 39 motoren zijn gemeten: de massa m (in kg), het vermogen V (in pk) het aantal toeren T per minuut. Hoe groter de massa, hoe krachtiger de motor en hoe minder toeren per minuut. Hieronder zijn V en T tegen m uitgezet op dubbellogaritmisch papier (afkomstig uit De maat van het leven). Op de verticale schaal links kun je het vermogen aflezen (in pk); op de verticale schaal rechts kun je het toerental aflezen (in toeren per minuut). a. Een motor maakt.000 toeren per minuut. Welk vermogen mag je van die motor verwachten. De stippen van de motoren en 36 liggen nagenoeg op de grafieken: motor is de Ranger 6-440C: massa 7 kg, vermogen 00 PK, 450 toeren per minuut, motor 36 is de Fairbanks-Morse, massa 860 kg, vermogen 000 PK, 400 toeren per minuut. 48 Exponenten en Logaritmen

7 b. Stel met behulp van deze twee motoren een formule op van de vorm: log V = a log m + b. Rond a en b af op twee decimalen achter de komma. toerental vermogen motormassa (kg) c. Schrijf de formule uit b zonder logaritme. d. Stel een formule op van de vorm: log T = a log m + b. Gebruik daarbij weer de motoren en 36. Rond a en b af op twee decimalen achter de komma. e. Schrijf de formule uit d zonder logaritme. Zoals je gezien hebt in a, kun je het vermogen van een motor bepalen uit het aantal toeren per minuut. f. Stel met behulp van de formules uit c en e een formu-le op voor V, uitgedrukt in T. Controleer met deze formule je antwoord op a. 49