Formules en grafieken Hst. 15

Transcriptie

1 Formules en grafieken Hst. 5. De totale kosten zijn dan : 0, = dollar. Dan zijn de kosten per ton, dollar. De prijs is dan :, = dollar. 0,50 dollar per ton en 4000 mijl. Aflezen geeft het punt (60 ; 0,5) ton. Uit het gegeven volgt: kosten per ton * = De kosten per ton zijn dan,35 dollar. We lezen dan een tocht van 8000 mijl af. e. Bij een tanker van ton zijn de kosten 3 dollar per ton. Kosten in totaal zijn dan = dollar. Bij een tanker van ton zijn de kosten per ton 0,75 dollar per ton. de totale kosten zijn dan ,75 = dollar. De grote tanker is dus het goedkoopst.. De melkproductie in 995 per koe is 6500 kg. We lezen een aantal van,7 miljoen koeien af. De totale melkproductie is dan in 995: 6500.,7 miljoen miljard kg. In 995 was de melkproductie per koe 6500 kg en in 000 was de melkproductie 7500 kg. De toename is : % 5,4% 6500 De afname was :,9 miljoen,5 miljoen = 0,4 miljoen. De procentuele afname was : 0,4 miljoen 00%,9miljoen,% Melkproductie in 990 is : 6000.,9 miljoen = 400 miljoen. In 985 was de productie : 500.,4 miljoen = 480 miljoen. De productie was in 985 dus meer. Het percentage is: % 8,7% 480 e. Aangezien we verschillende eenheden links en rechts hebben, zegt het snijpunt verder niets. 3. Op een gegeven moment wordt het te vol. 4 3 P = 0,05x + 0,8x +,6 x +, 45x Bij 5 werknemers is de productieomvang 6. Bij 6 is de productieomvang 74,3.

2 4. De toename is dus 58,3 per dag. 50 P = 50 met 0 x 0. + x Niet gespoten x = 0 P = 00 De opbrengst is dan 00 kg. Als x toeneemt dan neemt de breuk af. De negatieve breuk neemt dan dus toe. 50 plus de negatieve breuk geeft dus een toename. 50 P = 50 y (4,5) 40,9 en y (6,5) 43,33. + x De procentuele toename is : 43,33 40,9 00%,7%. 43,33 Voer in in GR: y = 5. 0,4 R = 6,4q,5q 6500 stuks q = 6,5 R(6,5) 3,78 De opbrengst is ongeveer 3780 euro. In de schets zien we dat er inderdaad sprake is van een maximum. Met de optie maximum vinden we bij x = q is ongeveer,4 van 5,48. Het maximum is ongeveer dan 5480 euro. Opbrengt is meer dan 4500 euro. De grens is dus bij R = 4,5. Voer dus in : y = 4,5. De optie intersect geeft het snijpunt bij x = q 5,34 en bij x = q = 0,70. De productie is meer dan 4500 is dus bij een productie tussen 700 en 5340 stuks. De productie bij 4000 stuks is R(4) 5, euro. Bij 4800 stuks is R(4,8) 4, euro. De afname is dan % 6,9% N = met N is het aantal personen en t is het aantal weken ,3 t t N De grenswaarde is de hoogte van de horizontale asymptoot. Voor de asymptoot geldt dat t heel groot wordt. Dan gaat 0,3 t naar 0 de hele breuk gaat dan dus naar 75000/4 = 8750 de vergelijking van de horizontale asymptoot is dus : N = 8750 De grenswaarde G is dus 8750.

3 3 De derde week gaat de t van naar 3. N(3) 393 en N() = 699 Er zijn dus = 5474 ziektegevallen bijgekomen. 4 e week : t van 3 naar 4. Het aantal ziektegevallen is toegenomen met: % 3,% 393 e. GR : voer in : y = N(x) en y = 5000 Met de optie intersect vinden we : x 3,6 t 3,6 7. N = 90t 40 t + 0 met 0 t uur t = 0,75 N(0,75) 6,59 Om 7.45 uur passeren ongeveer 6 auto s per minuut. Het drukst. Maximale passage. Voer in y = 90x 40 x + 0 De optie maximum geeft een maximum van 87,5 bij x = t =,5. Het drukst is het om 9.5 uur. Er passeren dan tussen 87 en 88 auto s per minuut uur t = 0,5 Dan N(0,5) 50,86 Voer nu in y = 50,86. Met de optie intersect vinden we het tweede tijdstip bij t 4,8 Tijdstip.00 uur + 0,8 60min.7 uur. Om.7 uur passeren dan ook ongeveer evenveel auto s als op het tijdstip 7.30 uur.,5 8. q= 6t t met q ia het aantal verkochte T-shirts per dag in duizendtallen en t is het aantal dagen na mei. q(6) = 3 en q(4) = 6 Het meerpercentage is dan : % = 00% 600 q(0) = 0 en q(36) = 0 Nu de grafiek schetsen Uit de grafiek blijkt dat q tussen 0 en 36 positief is. Er is daardoor tussen deze dagen sprake van een verkoop van T-shirts.,5 Voer in : y = 6x x Met de optie maximum en de schets vinden we dat er bij t = 6 inderdaad een maximum is. Het maximum is bij t = 6 dus op 8 mei q(6) = 3 Er werden toen 3000 T-shirts verkocht. q 0 36 t We beginnen bij t = en we moeten steeds de verkopen berekenen. Dat doen we t/m t = 7. Vervolgens tellen we deze 7 verkopen bij elkaar op. De verkoop berekenen m.v. de tabel. We krijgen dan:

4 4 t q(t) 5 9,7,80 6 8,8,30 3,48 Dit bij elkaar optellen geeft een resultaat van 06,57 In die week werden ongeveer T-shirts verkocht. 9. B = 6 + 0,33v,78,78 Uit de gegevens blijkt : 6 + 0,33v = 97,78 Voer in y = 6 + 0,33x en y = 97 Met de solver vinden we v,0 km/uur. Dat is de overschrijding. Dus haar snelheid was ongeveer km/uur. Nu min of meer hetzelfde. Voer nu in : y = 365. Met de solver vinden we v 50 km/uur. Dus de overschrijdingssnelheid is dus 50 km/uur. Neem eerst een overschrijding van 0 km en dan een overschrijding van 40 km. Dan worden de boetes:,78 B (0) = 6 + 0, ,30,78 B (40) = 6 + 0, ,5 en De boete blijkt in dit voorbeeld zelfs 3 keer zoveel te zijn. Jeroen heeft dus geen gelijk. 0. q= 0 p+ 0,3A+ 50 A = 40 en q = 7 7 = 0 p + 0, p= p= 05 p = 0,50 De prijs is dus 0,50 euro per blik. Nu krijgen we : 9 = 0 8,50 + 0,3A ,3A= ,3A= 54 A= 80 Het bedrag uitgegeven aan reclame is die week 80 euro.. x y N =, 4x+ y+ 0 8 Uit het gegeven volgt : N = 580 en y = 400 x =,4 x Voer in : y = 8 0 x 400,4 x Het aantal zakken rijst dat nodig is, is 444. en y = 580 Met de solver vinden we x 444. Bonen is 00 meer dan de zakken rijst. y = x inwoners N = 7800

5 5 x ( x+ 00) x ( x+ 00) 7800 =,4 x+ ( x+ 00) =,4 x+ x x ( x+ 00) ,4x + = x ( x+ 00) Voer in y = ,4x + en y 8 = De solver geeft x 875 Er zijn 875 zakken rijst nodig en dus 075 zakken bonen.. x y N =, 4x+ y+ 0 8 Uit het gegeven volgt : 0x + 50y = y = -x + 00 y = -0,4x + 0 N = 500 en uit a weten we : y = -0,4x + 0 Dit nu invullen in de gegeven formule x ( 0,4x+ 00),4 x+ ( 0,4x+ 00) + = x ( 0,4x+ 00) x ( 0,4x+ 00),4 x 0,8x = 500 0,6x+ = x ( 0,4x+ 00) Voer in y = 0,6x + en y 8 = 00 0 Met de solver vinden we x 6,7 Er zijn dus ongeveer 63 zakken gelever 3. Gegeven: 30 K = + 40x+ 80y+ 40xy xy Als x= en y = 0,75 Nu x = 4 30 K = euro, K = y 40 4 y y = y + y + Nu moet gelden : 80 40y y + + = Voer in : y = x x + + en y = 54 Met de optie intersect vinden we de snijpunten bij x = y 0,7 en bij x = y,5 De breedte van de bak is 0,7 meter of,5 meter.

6 6 Nu x = 3 K = y + + y+ y= 3y + y+ < Voer in y = 30 00x 0 3x + + en y = 500 Met intersect vinden we de snijpunten bij x = y 0,34 en bij x = y,56 Zie ook de schets. 0,34 < y <,56 De breedte van de bak moet liggen tussen 0,34 meter en,56 meter K = + 80x + 0y + 00 xy xy De lengte is 0,5 meter meer dan de breedte x = y + 0,5 y = x 0,5 Nu invullen 600 K = + 80x+ 0( x 0,5) + 00 x( x 0,5) = xx ( 0,5) x+ x + x x= + xx ( 0,5) xx ( 0,5) x + x Voer in : y = + 00x + 50x 60 met x > 0. xx ( 0,5) De optie minimum geeft bij x,64 een minimum van ongeveer 776. Zie ook de schets. De minimale kosten zijn 776 euro en de afmetingen van de bak zijn dan : lengte,64 m ; breedte is,4 m en de hoogte is 0,5 meter. I bak =,64.,4. 0,5 0, Nodig: 53.5 Er zijn dus 54 ritten nodig. 0, ,6,67 v= 0,78h s,6,67 s =, ; h = 0,8 v= 0,78 0,8,,37 m / s.,6,67 h = 0,4 v= 0,78 0, 40 s,67, 58 s,67 h = 0,40 en v =, m/s,58 s =,,67 Voer in y =, 58 x en y =, De optie solver geeft x = s = 0,68 De stapgrootte is dan 68 cm.

7 7,6,67 Nu s = 0,65 m en v = m/s 0,78h 0,65 =,6,67 Voer in : y = 0,78x 0,65 en y = Met de solver vinden we x = h 0,4 De heuphoogte is dan ongeveer 4 cm. 6. Gegeven P= a Q,8 Gegevens invullen 8,3 5,9 P= 0,75 Q 48 = 0,75 Q,8,8 8,3 5,9,8 = a a= 0,75,8,8 Voer in y = 0,75 Q en y = 48 De solver geeft het snijpunt bij x = Q 0,. 7. y= a x,35 De grafiek gaat door (5, 3) y B = 80 Voer in : y = 80 = 00 x,35 00 x,35 3 a 5 a 3 5,35 = = 00,35 en y = 80 De solver geeft x 7,4. 8. Gegeven : K 0,68 = a P P = 5000 ton dan K = euro ,68 De formule wordt nu : K = 5330 P 6 6 0,68 = a a= 0,68 538, 5330 Nu K = 8, , P = 8,6 0 0,68 Voer in : y = 5330 x en y = 8, Neem v. het window [0, ] X [0 ;.0 6 ]. Met intersect vinden we het snijpunt bij x De productie was in dat jaar ongeveer ton. 9. We zien direct dat geldt: K = 0,60. q + 00 Gegeven de punten (000, ) en (800,.40) Stel p = aq + b dan geldt :, 40 a = = 0,00 p = -0,00.q + b door (000, ) = - + b b = p = -0,00q broodjes q = 900 p = -0, =, en K = 0, = 740 de opbrengst is dan,. 900 = 980 euro De winst is dan : W= R K = = 40 euro

8 8 p= 0,004q+ 8 K =,q en W R K p q q q q q = = (, + 400) = 0, , 400 W = q + q 0,004 6,8 400 = + = 0, , q = 450 W De winst is die dag 850 euro. p = 5 5 = -0,004q + 8 0,004q = 3 q = 750 Dan W = 450 euro. + 0,004x 6,8x 400 Voer in y = Het is een bergparabool, dus we hebben inderdaad te maken met een maximum. De optie maximum geeft een maximum bij x = q = 850 van 490 euro. De prijs is dan dus : p = 0, = 4,60 De gevraagde prijs is dan dus 4,60 euro.. Stel p = aq + b punten (400, 8 ) en (00, 0) Δp 8 0 a = = = 0,0 Δq p = -0,0q + b door (400, 8) 8 = -0, b b = 3 p = -0,0q + 3 De opbrengst R is dus : R = p.q = -0,0q + 3q R q q q q = 400 0,0 + 3 = , = 0 q 300q = 0 (q-00)(q-000)=0 q=00 q=000 Bij q = 00 dan p = -0, = 0 Bij q = 000 dan p = -0, = dus bij prijzen van en 0 euro Opmerking: We hadden dit resultaat natuurlijk ook met de GR kunnen berekenen.!!! R is een bergparabool Er is een maximum. Het maximum krijgen we bij b 3 q = = = 600 dan is het maximum R(600) = 5600 a 0,0 maximum is dus 5600 euro De prijs is dan : -0, = 6 euro Ook hier hadden we ook met de optie maximum het gevraagde kunnen berekenen!!! K = q W = R K = 0, 0q + 3q- ( q) = -0,0q + 6q 500 e. We moeten eerst de snijpunten weten van W = 3300 Voer in : y = -0,0x + 6x = 500 en y = 3300 De optie intersect geeft x = 400 en x = 00 y =3300 W

9 9 Aflezen uit de figuur geeft aan dat de winst meer is dan 3300 euro als de prijs tussen 400 en 00 euro ligt.. h = -0,8x + 0,96 met h en x in honderden feet en foot = 0,34 meter Snijpunten x-as -0,8x + 0,96 = 0 0,8x = 0,96 x x,3 x = -,3 AB =.,3 = 4,6 keer 00 feet = 46 feet = 46. 0,34 meter 45 meter PQ = 380 feet = 3,8 keer 00 feet x Q =,9 h q = -0,8.,9 + 0,96 = 0,30 Verder weten we dat OT = 0,96 het hoogteverschil tussen T en Q is dus 0,6498 het water staat 0,6498 keer feet onder T 70 feet onder T 0,7 keer 00 feet onder T het wateroppervlak heeft dan een hoogte van 0,96 0,7 = 0,6 h = 0,6-0,8x + 0,96 = 0,6 0,8x = 0,70 x 3,88 x -,97 x,97 De breedte van het wateroppervlak is dan:.,97 keer 00 feet = 394 feet = ,34 meter 3,7 meter = 37 dm 3. Bij 40 deelnemers is de prijs per deelnemer : = 30 euro De totale opbrengst is dan : = 900 euro Bij 35 + x deelnemers is de prijs per deelnemer : 50 4x euro De totale opbrengst is dan : TO = (50 4x)(x + 35) = 50x -4x 40x TO = -4x + 0x = 4x 0x Er geldt TO 900 Bereken dus TO = 900 Voer in : y = -4x + 0x en y = 9400 Met intersect vinden we x 8,9 of x 8,6 Aangezien we te maken hebben met een bergparabool moeten we dus het gebied tussen 8,6 en 8,9 hebben. Dat is natuurlijk boven de 35 deelnemers. De opbrengst is meer dan 9400 euro als het aantal deelnemers van 44 t/m 53 is. Nu met de optie maximum vinden we het maximum bij x 3,75. Bij x = 3 vinden we een opbrengst van 9504 euro en bij x = 4 is de opbrengst 9506 De opbrengst is maximaal bij 49 deelnemers. Het maximum is dan 9506 euro. 4. T = ( p 6)( q 8)

10 0 Als p = 6 dan T = 0. (q 8) = 0 want een product is altijd nul als van de factoren nul is. Als q = 8 = 0 dan is de opbrengst T ook 0. Dat is dus bij q = 8. 5., x(8 x) = 0,x = 0 8 x = 0 x = 0 x = 8 ( x 5)(x 0) = 0 x 5 = 0 x 0 = 0 x= 5 x = 0 e. f. 00 x(8 0,5 x) = 0 00x= 0 8 0,5x= 0 x= 0 8= 0,5x x= 0 x= 36 0,00x 6x 0 x(0,00x 6) 0 = = x= 0 0,00x 6 = 0 x= 0 0,00x= 6 x= 0 x= x( x 5) + 6= 6 7 x( x 5) = 0 7x= 0 x 5= 0 x= 0 x = 5 0,5( x + 7) = 0 x+ 7 = 40 x = a(0 0, b) = a(0 0, b) = 0 3a= 0 0 0, b= 0 a= 0 0, b= 0 a= 0 b= 00 p ( q) 3 5 =0 Aangezien bekend is dat p niet 0 is geldt dus dat 3 q = 0 q = q = 5 niet gelijk is aan 0. Dus geldt alleen 5 5 p natuurlijk ook 00x 80xy + 50 = 50 00x 80xy = 0 40 x(5 y) = 0 40x= 0 5 y = 0 x= 0 y= 5 x= 0 y= 7 0,0 x (8 0, x ) = 0 0,0 x= 0 8 0, x= 0 x= 0 0,x= 8 x= 0 x= 40 3 x(0 x) + 5 = 5 3 x(0 x) = 0 3x= 0 0 x= 0 x= 0 x= 0

11 + = = = 0,0q 8q 0 q(0,0q 8) 0 q 0 0,0q 8= 0 q= 0 0,0q= 8 q= 0 q= 400 0,4( p ) = 0 p = 5 p = x(3 y) = 0 5x = 0 3 y = 0 x= 0 y = 3 7 x(8 y) + 35 = 35 7 x(8 y) = 0 7x= 0 8 y = 0 x= 0 y= 8 5x 0xy + 7 = 7 5x 0xy = 0 5 x( y) = 0 5x= 0 y = 0 x= 0 y= x= 0 y = ( x)(3 + y)(5 x) = 0 x= 0 3+ y= 0 5 x= 0 x= y = 3 x= 5 x= y = 3 x= 9. A = 6(50 v)( w ) w = 3 ; v = 40 A = 6(50 40)(3 ) = = 490 Er passeren dan 490 auto s per uur. Nu geldt w = 3,5 A = 6(50 v)(3,5 ) = 6,5(50 v) = 450 9v+ 430 A = 880 9v Nu w = 5 A = 6(50 v)(5 ) = 8(50 v) = 900 8v+ 430 A = 330 8v Verder geldt dat hierbij A = v = 50-8v = -80 v = 45 De snelheid is dan 45 km/uur. Nu geldt : A = 6(50 v)( w ) = 430 6(50 v)( w ) = 0 50 v= 0 w = 0 v= 50 w= De snelheid is dan 50 km/uur of de breedte van de auto is dan meter. x = 7 x= 49

12 x = 6 x = 36 x= 37 x 3 = 5 x 3= 5 x= 8 x = 4 e. f. x x x = 0 = 0 = 0 x x x x = 4 = 5 = 5 = 5 x = 7 x = 8 x = 4 x= x= 3. y = 6x y = 6 x y = 4 x y = 0x y = 0 x y 4,47 x y = 3 7x y = 3 7 x y 7,94 x 3. A t t A t A = 3 3= = +3 S = t+ S = t+ t+ = S t = S ( ) y = t t = y t = y t = y + 0, E = 3,8 T 8 T 8 = E T 8 = E 3,8 3,8 = + + T E 8 T 0,07E 8 3,8 a = 0,07 en b = 8 s t t s t s t s = = 3 5 = ( 3) = ( 3) 5 a = 5 en b = 3.

13 3 34. x -5 en y x x y x y x = ( + 5) ( + 5) = + 5= = 5+ y t 3 L= 5( t 3) ( t 3) = L t 3 = L t = 3 + L t 3+ 0,45 f L = 0,6 0,5t+,5 35. ( ) ,6 0,5x +,5 Na 3 kwartier t = 0,75 Voer in y = ( ) t = x geeft y 0,75 Er is dan nog ongeveer 7% gevul Nu ook invoeren y = 0,5 De optie intersect geeft x = t =,50 Na,5 uur is nog 5% gevul Voor een lege maag moet gelden : ( ) t t 0,6 0,5 +,5 = 0 ( 0,5 +,5) = 0 0,5t+,5 = 0 0,5t =,5 t = 5 Na 5 uur is de maag leeg. ( ) f = 0,6 0,5t+,5 f = ( 0,5t+,5) 0,6 t+ = f t+ = f 0,6 0,6 ( 0,5,5) 0,5,5 0,5t =,5 + f 0,5t =,5 +,5 f 0,6 t = 5 5 f 36. (00 ),96 p a = p n Gegeven n = 500 en er geldt : % = 30% p =

14 4 c e. De nauwkeurigheid geeft : We gaan eerst p berekenen. Nu de nauwkeurigheid berekenen 30(00 30) a =,96, % = 0,5% p = 0, ,5(00 0,5) a =,96 4, Het maximale percentage is dus 0,5% + 4,0% 4,5%. Het maximale aantal stemmen op partij Y is dus 0, mensen. a = 4 en p = 40 Voer in : y = 40(00 40),96 4 n 40(00 40),96 en y = 4 X = De optie intersect geeft X = n 576 De steekproef moet een omvang hebben van ongeveer 576 mensen. Uit de gegevens volgt : Voer in : y =,96 p(00 p),96 = 6 00 X(00 X) en y = 6 00 Intersect geeft X 5,0 of X 75,0 De mogelijke percentages zijn dan 5,0% of 75,0%. p(00 p) p(00 p) a p(00 p) a a =,96 = = n n,96 n,96 n a,96 00 p p n ( p p ),96 00 = ( ) = a n = 384,6 p 3,846 p a d -3,84 en e

15 5 38. A C A B C B = = A 0 A 0 B = = 6 = ( x ) = 6 x = 3 x= 5 x x 3 = 4 4( x + ) = x 3 4x 8 = x 3 5x = 5 x = x ( x 3) 8 x 3 4 x 7 x 3 = x 3 = = = = x 3 = 8(x ) = 3(3x + ) 6x 8 = 9x + 6 7x = 4 x = 3x ( x 3) 0 x 3 5 x x 3 = x 3 = = = = ( x 3) 800 x 3 x 5 x 3 = x 3 = = = = (x )( x+ 8) = 0 x = 0 x+ 8= 0 3x + 7 x= x= 8 x= x= 8 0,0x 0 6 = 0 0,0x 0 = 0 0,0x= 0 x= 000 x D g = g k 4,95 P = 4,5 00 D

16 6 D =,08 P 4,95 = 4,5 00 7, 49, 08 Het percentage is dus ongeveer 7,5%. e ,95 D= = P= 4, , Het percentage is ongeveer 37,7%. 4,95 4,95 4,95 4,5 00 = 5 4,5 = 0, 5 = 4,75 D D D 4,95 4,75 D= 4,95 D=,04 4,75 Nu geldt P = 0 4,95 4,95 4,95 4,5 00 = 0 4,5 = 0 = 4,5 D D D 4,95 4,5D= 4,95 D= D=, 4,5 P = en k = 3 Uit het gegeven volgt dat we eerst D gaan berekenen en dan kunnen we g gaan berekenen. 4,95 4,95 4,95 4,5 00 = 4,5 = 0, = 4,6 D D D 4,95 4,6 D= 4,95 D= 4,6 Nu dit invullen in de andere formule g 4,95 = 4,95( g 3) = 4,6g 4,95g 4,85 = 4,6g g 3 4,6 4,85 0,33g = 4,85 g = g = 45 0,33 Het lichaamsgewicht is dan 45 kg.

17 7 g f. D < g g k k 0 g k < < < 4. e. f a a + 3a + = + = + = a a a a a a 5 5 x 5 x = = x x x x 3 a 5a 5 = p 7 7p a 8( a ) 6( a ) 8 = = 3a 3a a b 3 a 8b+ 3a + = + = a b a b b a ab 3 a 0 3 a 30 0a 5 = = a a a a a( a ) a a a = = = a a a a a a b 00 a 00b+ 00a + = + = a b a b b a ab 3 x 3 5x x 7 5+ = 5 + = = x x x x x x 000x 6000 = x 4 x 4 e. a b a b = = a b b b b f b b b 7 = = = b a a a a = 5 = =

18 = = 3 = Natuurlijk kan ook : = = x = = = 0 x 0 0x x e. f = = x x x 0 00 x x+ 5 = 6x+ 5 = 6x+ = 6x+ 5 x 5 5x x = 70 = 70 = 70 x x x x 3 8 a = + 6 = + = + 4 a 4 4a a a = + a = + a x A = 8 + 5x= 8 + 5x= + 5x= + 5x 0 x 0 0x x 46. x + 4x+ 3 x 4x 3 3 A= = + + = x+ 4 + x x x x x

19 9 T + + = = + + = 3x+ 6+ x x x x x 3x 6x 80 3x 6x x x y = = = x x x x q 5q q 5q K = = = q 5 q q q 47. A A C B 3 B 3 B+ 3 C A C A A A C 5 C 5 B B B C e. f. 49. K = 8 8 q q = K q= 8 K K = 5+ K 5= q= q q 8 K K = 8 K 8 = q+ 3 = q= 3 q+ 3 q+ 3 K 8 K 8 K K + K + K q q K 8 = = = + = + + = + q K K K K K K = 5 q= q= 5 q= 5 5 q K K K 44 K = q = q= q= q K K K 5 + t Z = 5+ t = Zp t = Zp 5 p 3 t K = 3 t = 0K t = 0K 3 t = 3 0K 0 5+ t 5+ t L= + L = + t = a L t = al a 5 a a 5 ( )

20 0 50. e T = 30 + T 30 = a 50 = a = 50 + a 50 a 50 T 30 T L= 30 L 30 = q = q= q q L 30 L A= + A = t = t = t = t t A A ( A ) 5 y A = 5 y = 6A y = 6A 5 y = 5 6A 6 A 3 A 3 A 3 3 A= p+ = p= + p= + p + A A A A 3 p = A 5. y x x = x van 0 naar y van y(0) naar y() dus van 4 naar y = 7. x van naar y van y() naar y() dus van naar 5 y = 5 5. N = t + t+ 0,5 3 5 Eerst een tabel maken x y 5 7,5 9 9,5 9 7,5 y,5,5 0,5-0,5 -,5

21 delta Y 3 O x 3 Tot 3 is er sprake van een afnemende stijging. Na de 3 is er sprake van een toenemende daling. 53. Zie de figuur in het boek. Maak eerst weer de tabel met x = x y 4 - -,5-0 y ,5 0,5 3 delta Y O x 3

22 delta Y 3 O x Nu een tabel met x = x y y Eerst de vertaling van het diagram naar de tabel. t T T O t

23 3 Nu op het interval [, 6] met t = 0,5 T t,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 T 0,5-0,5 0,5 0, ,5 0,5 O t figuur : Eerst afnemend stijgend en vervolgens toenemend stijgen figuur : Eert afnemend stijgend en vervolgens toenemend dalend en dan afnemend dalen figuur 3: figuur 4: Eerst constante daling en dan een constante stijging. Eerst een afnemende daling dan een kleine toenemende stijging dan een kleine afnemende stijging en tenslotte een toenemende daling.

24 4 56. x = 5 en y = 4 Δ y = Δx De gemiddelde verandering op [, 5] is : Het differentiequotiënt op [-,5] is: Bijv. het interval [, 6] Het hoogteverschil is 0. Δy f(5) f() 6 5 = = = Δx 5 3 Δy f(5) f( ) 6 4 = = = = Δx 5 ( ) Bijv. het interval [-, ] want Δy f() f( ) 5 = = = Δx ( ) Gegeven : y = x 3x+ 5 Op [,4] : Op [3,6] : Op [,5 ; 5] : Δy f(4) f() 9 3 = = = Δx 4 3 Δy f(6) f(3) 3 5 = = = 6 Δx Δy f(5) f(,5) 5 3,75 = = = 4,5 Δx 5,5,5

25 5 3 K q q q 59. Gegeven : K en q in duizendtallen. = ΔK K(6) K(4) = = = Δq 6 4 = 9 Van 000 naar 5000 stuks dus van naar 5 in duizendtallen ΔK K(5) K() = = = 0 Δq De gemiddelde toename per stuk is dus 0 euro. = ΔK K(6,) K(3,6) 98,0 30,696 67,35 = = = Δq 6, 3,6,5,5 De gemiddelde snelheid is dus 6,93 euro per stuk. = 6,93 C = 0, t( t 70)(0,0003t+ 0,06) 60. C in mg per liter en t in minuten. Ook geldt : 0 t 70,5 uur = 90 minuten C (90) = 0, 90(90 70)(0, ,06) = 40,94 De concentratie is dan ongeveer 4 mg per liter. Voer in y = 0, x( x 70)(0,0003x+ 0,06) Met de optie dy dc dx vinden we : dt t= 60 =,548 De snelheid na uur is dan ongeveer,55 mg per liter per minuut. dc dt t= 0 =, 6 > 0 De concentratie gaat meteen stijgen. Met de optie maximum vinden we het maximum van C bij x = t = 59,5 Na ongeveer 59,5 minuten is C maximaal N = t

26 6 800 Voer in : y = 800 dy dn Met de optie + x dx vinden we dt t= 5 Op t = 5 neemt het aantal insecten dus toe., > 0 Op de 5 e dag gaat t van 4 naar 5. We krijgen dus : N(5) N(4) 666, Op de 5 e dag zijn er ongeveer 7 insecten bij gekomen. Voer ook in y = 70 en neem bijv. het window [0,50] X[500,000]. Met de optie intersect vinden we het snijpunt bij x 5,67. Op de 6 e dag zijn er voor de eerste keer meer dan 770 insecten N = + 0,95 t N is het aantal vissen en t de tijd in weken met 0 t 0. Voer in y = dn dt t= N = dy + 0,95 x Met de optie dx,00 ongeveer vissen per week. vinden we De snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt op t = 0 is dy dn Met de optie dx vinden we,0. dt t= 33 Dit is inderdaad ongeveer twee keer zo groot als de snelheid op t = 0. De snelheid moet op een gegeven moment niet meer toenemen. D.w.z. dat de grafiek van de oorspronkelijke functie N van toenemend stijgend over zal gaan in afnemend stijgen Dat klopt. Zie ook de figuur. Natuurlijk kunnen we het ook controleren met een voor beel dn dt t= 33,0 en dn dt t= 80 De snelheid neemt dus niet steeds toe. 4,6.