Hoofdstuk 2 - De kettingregel

Transcriptie

1 Hoofdstuk - De kettingregel ladzijde V-a P ( ) 0 ( 0+ ) W a + t voor a 0 a a T u ( r ) r r 8 d R log + V-a u t wordt t en s t u t wordt t en s t 7 V-a A: t ( ) A: t ( ) ( ) 8 8 V-a A: logt log ( log + log ) + log 6 + log A: t ( log 8) ( log 8 + log ) + log + log V- ( a ) a t ( ) t t met t > 0 ladzijde 0, 0, V-6a v v h 6 8 0, 09, P 0, v 0, ( 0, 09) Watt ( ) P 0, v 0, v h 0, v h 0, 0, 7 0, Stel P 0, ( v h ). Dan is P 0, ( v ( h), ) (, ) ( v h, ), 68 P. Dus met ongeveer 68%. 0, 7 d De vergelijking 700 0, v 0 oplossen met de rekenmahine levert v 6, 78 m/s. V-7a f ( t) ( t) + ( t ) 6 8t 8t + 6 6t g ( u) u + ( u ) u u + u 6 u u u R( m) 6m ( m ) ( m ) m 6 + 6m 8m 6m 8 + m V-8 f ( t) ( t + t )( t ) 6t t + t t 6t + t t t, f ( t) t + 6t 6t

2 Hoofdstuk - De kettingregel ( + ) V-9a T ( ) + + ( + ) ( + ) ( + ) ( q + ) ( q ) 6q + 6 6q + W ( q) 8 ( q + ) ( q + ) ( q + ) ( p + p) 0 ( p + ) A p 6 p ( ) ( p + p) ( p + p) V-0a f ( t) 7t t t 7t t t t t t, f ( t) t 0 t g( t ) t + t + t + t + t + t + t, f ( t) 8t t t 8t t t t t t t 7 7 h( t) t + t t t + t + t, h ( t) t + t t t t t t t t t ladzijde a V( 0) 0, liter, h( 00), 00, 6 m De vergelijking 80, V geeft 600, V en s V liter., De vergelijking 60 0, 0t + 00 geeft 0, 0t , waaruit volgt t , 0 en s t 6, 8 seonden. d e V V( 600) V( 0) liter per seonde t V V( 00) V( 0) 0, liter per seonde t V V( 600) V( 00) 000 ( 0, ) liter per seonde t h( 000) h( 00), 000, 00 0, 0 m per liter V a Het antwoord van opdraht geeft aan hoeveel liter er per seonde ij komt en het antwoord van opdraht e geeft aan hoeveel m er per liter ij komt. Samen geeft dit aan hoeveel m er per seonde ij komt, dat wil zeggen wat de gemiddelde stijgsnelheid is. 6 liter per seonde en 0,0 m per liter, s 6 0, 0 0, m per seonde. De eerste 00 seonden: liter per seonde (zie opgave d) en h( 00) h( 00) 0, 07 m per liter, s 0, 07 0, 0 m per seonde. V De laatste 00 seonden: liter per seonde (zie opdraht d) en h( 000) h( 900) 0, 0 m per liter, s 0, 0 0, m per seonde. V Conlusie: de stijgsnelheid is gerende de eerste 00 seonden kleiner dan gerende de laatste 00 seonden van het vulproes.

3 Hoofdstuk - De kettingregel d h( t), V, ( 0, 0t + 00) 0, 0t e h( 00) h( 0), 6, 6 0, 0 m per seonde t h( 600) h( 00) 00 8, 0, m per seonde t ladzijde a u + 0, en u u en u + 0, De grafiek van f heeft 0, als vertiale asmptoot en 0 als horizontale asmptoot. De grafiek van g daarentegen heeft 0 als vertiale asmptoot en 0, als horizontale asmptoot. d Als je eerst getallen optelt en daarna gaat delen, krijg je een andere uitkomst dan als je eerst deelt en daarna gaat optellen. Dus de volgorde van de shakels heeft invloed op de uitkomst van de funtie. q k : u + 9 en u, s : u t + 6 en 0, 7 u, w: u en u a 60 m 6 dm, O L 6 7 dm² V 0, L 0, 6, 6 dm, G 0, V 0,, 6, kg G 0, V 0, 0, L 0,0 L d De vergelijking 80 0, 0 L geeft L en s L 0, 0 Dit geeft O L, 87 0,98 dm². 000, 87. 6a h( V): h( 00), 00, 6 m, h( t): h( 00), ( 0, ) 70, 7 m In het eerste geval etekent h( 00 ) de hoogte van het water in het reservoir als het volume van het water 00 liter is. In het tweede geval etekent h( 00 ) de hoogte van het water in het reservoir na 00 seonden. ladzijde 6 7a d V V( 0) V( 0) 8 liter per seonde t h( ) h( ) 8, 9, 0, m per liter V 80 is dan t,, m per seonde Als je weet hoeveel liter er per seonde ijkomt en als je weet hoeveel m er per liter ijkomt, moet je deze twee getallen vermenigvuldigen om te erekenen hoeveel m er per seonde ijkomt. In formulevorm: h V h t t V Ook de eenheden kloppen: liter m seonde m liter seonde

4 Hoofdstuk - De kettingregel e t 0: V V( ) V( 9) 60 0 liter per seonde, t 9 h( 60) h( 0) 0, 8, 0, 8 m per liter, V s h V h t t V 0, 8 0, 9 m per seonde. 8a V V( 0) V( 0) liter per seonde t h( 0) h( 0), 6, 9 0, 06 m per liter V is dan t,, m per seonde Δh Δ Δ V Δ Δ h Δ V( 0, 00) V( 0) h( V( 0, 00)) h( V( 0)) t t V 0, 000 V( 0, 00) V( 0) 0, 0 0, 96, 990, 6 m per seonde 0, 00 0, 0 0 V t s V ( 0) 0 0, h V V en s (met V( 0) 0 h ( 0) 0 0, 086. De stijgsnelheid van het water op t 0 is s 0 0, 086, 6 m per seonde. 9a en d u u u en s f ( ) ( ) ladzijde 7 0a u t + 8 en u, d 6 t en u 0,,, d 6t, u t dt dt 9tu 0 h ( t) 9t( t + 8), u 7 en u, d u en d k ( ) 7( 7 ) 0, 0, u, d u 7u u en u, d u en d u, d u u en s f ( ) d u + 7 en u, d u + 7 en d g ( ) ( + 7) ( + 7) ( 9 + ) ( + 7) e u + p en u, d u dp h ( p) p( + p ) p en d en s en s u, d ( + 7) u en s u, d p u pu en s dp f u en u 6, d u en d 6u, d 6u 0u en s k ( ) 0 ( ) 6

5 Hoofdstuk - De kettingregel a Toepassen van de regel f ( ) n geeft f ( ) ( + ). n ( + ) u + en u, d u en d u, d u u en s f ( ) ( + ) ( + ) w( t) ( t ) t + +, u t + en u, d u t en d u u, dt t u 6tu en s h ( t) 6t( t + ) 6t dt dt ( t + ) g( p) ( p + p), u p + p en u, d u p + en d u p + p dp p + u ( ) ( p ) u dp en s + g ( p) ( p )( p p), a f ( ) ( + ) ( + )( + ) , f ( ) u + en u, d u en d u, d u 6 u en s f ( ) 6 ( + ) Dit klopt met het antwoord ij a. f ( ) ( + ) + ( + ) Dit klopt met de antwoorden ij a en. ladzijde 8 a f O 6 De grafiek van f heeft toppen. Met ehulp van de rekenmahine (via al en de optie minimum/maimum): de grafiek van f heeft uiterste waarden voor 0, en. f ( ) ( )( ) d f ( ) 0 oplossen geeft 0 of 0. De eerste vergelijking geeft ( ) 0 en s 0 of. De tweede vergelijking geeft en s. Conlusie: deze oplossingen kloppen met het antwoord ij opdraht. a Met ehulp van de rekenmahine (via al en de optie minimum): de funtie is minimaal voor en het minimum is. g ( ) ( 6 + 0) ( 6) ) g ( ) 0 oplossen geeft 6 0 waaruit volgt 6 en s. Conlusie: de funtie g heeft inderdaad slehts één uiterste waarde. 7

6 Hoofdstuk - De kettingregel a H t dh ( 0, 0t + 000) ( 0, 0t ) dt minuten 00 seonden, 0 minuten 600 seonden dh d t t 00 dh d t t 600 ( 0, ) 0, , m/s ( 0, ) 0, , m/s d Voor t 600 loopt de grafiek iets steiler dan voor t 00. 6a 0 h( t) t ( t + t), 0, 0, t( t + ), h ( t) ( t + t ) + t 0, ( t + t) ( t + ) t + t + t + t 0 w( q) q ( q + ), 0, 0,, w ( q) ( q + ) + q 0, ( q + ) q q + + 6q q + 7a TK q 0 < q < 0 zijn realistishe waarden voor q. Met ehulp van de rekenmahine (via al en de optie maimum): q 7, 07 d,,, TK ( q) 8 ( 00 q ) + 8q 0, ( 00 q ) q 8 ( 00 q ) 8q TK ( 7, 07) 0, s de in opdraht gevonden waarde van q klopt. ( 00 q ), 0 ladzijde 9 8a H( ) 06; H( ) ; H( ) 8 H t p( 06) 0 6 0, 09 0, ; p( ) 0 0, 09 0, 86; p( 8) 0 8 0, 09 0, 9 p( H) 0 ( H 00) 0, , 09 H+,, 0, 09H d p( t), 0, 09 ( t),, 0, 7t 0 0, 7t e p ( t) 0, 7, s per seonde daalt de luhtdruk 0,7 milliar. 8

7 Hoofdstuk - De kettingregel ( t + ) t ( t + ) ( t + ) t ( t + ) 9a k ( t) (( t + ) ) ( t + ) ( t + ) t ( t + ) ( t + 6t + 6) t ( t + ) k ( t) ( t + ) ( t + ) + + t 8t 8 t 8 t + 8t ( t + ) ( t + ) 0a Xmin 0, Xma 0, Ymin 0, Yma 0,0 Met de rekenmahine (via al en de optie maimum): t en C 0, 0. Met de rekenmahine (Y 0,0 en interset): t, 66 ( 0t + 0) 6 6t ( 0t + 0) 0 ( 0t + 0) 6 0t ( 0t + 0) d C ( t) ( 0t + 0) ( 0t + 0) Grafiek van C plotten en het maimum erekenen. Conlusie: er wordt voldaan aan de eis. ladzijde 0 a Vanaf dag tot en met dag is er sprake van toenemende stijging. Vanaf dag tot en met dag is er sprake van afnemende stijging. t per dag 6 d 000 aantal per dag 000 e tijd in dagen De top van de grafiek van de afgeleide (, 000) hoort ij de maimale groeisnelheid van opdraht. a f 6,, 0, O 0, De helling is maimaal voor 0, 8. 9

8 Hoofdstuk - De kettingregel f ( ) ( ) 8 6,, 0, O 0, f 6 Met ehulp van de rekenmahine (via al en de optie maimum) volgen de oördinaten ( 0,8; 0,) voor de top van de grafiek van de helling van f. a h ( t) t, 9t, h ( ), 9 0, 9 m/minuut. 0 0 h O 0,,, t De stijgsnelheid is maimaal voor t, O 0,,, h De top van de grafiek van de afgeleide hoort ij de maimale groeisnelheid van opdraht. d Met de rekenmahine (via al en de optie maimum): t,. e h (, ), 7 m/minuut en h( ) 9, m. t 0

9 Hoofdstuk - De kettingregel ladzijde a, 0,8 0,6 0, 0, f,67, 0,67 0, O 0, 0,67, t,67 f ( t) ( t + ), f ( t) ( t + ) 6t 6t ( t + ) d De grafiek van f plotten en het maimum en minimum erekenen levert t en t. Dit geeft de uigpunten (, ) en (, ). a, W u f ( u) 0, u + u, De grafiek van f plotten en het maimum erekenen levert u. Dit geeft het uigpunt ( ; 0, 7). d Op dit punt slaat de stijging van de winst om: van toenemend stijgend naar afnemend stijgend. 6a f heeft nulpunten, s f heeft toppen. Links van een minimum is er sprake van daling, rehts van een minimum is er sprake van stijging. Bij daling is de afgeleide kleiner dan nul, ij stijging is de afgeleide groter dan nul. Dus is er een minimum voor en. f heeft één maimum en één minimum, s f heeft twee uigpunten. d De grafiek van g heeft een horizontale raaklijn als geldt g ( ) 0. Dit is het geval voor en. e De grafiek van de afgeleide raakt de -as voor. Dat wil zeggen: de grafiek stijgt op het interval,, heeft een horizontale raaklijn voor en stijgt op het interval, weer verder. Er is s geen top. f g is maimaal voor en minimaal voor. De helling in de uigpunten is respetievelijk en 0.

10 Hoofdstuk - De kettingregel ladzijde 7a De stut staat 6, 6, meter van de muur af. De afstand tot de muur kan eshreven worden met een lineaire formule. De eginwaarde is, meter (zie opdraht a) en per seonde wordt de afstand tot de muur m 0,0 m groter. De formule is s u, + 0, 0t. h 6, u, u d h, u, (, + 0, 0t), ( 6, + 0, 0t + 0, 000t ) 6 0, 0t 0, 000t e 0, 0 0, 000t h ( t) ( 6 0, 0t 0, 000t ) ( 0, 0 0, 000t) 6 0, 0t 0, 000t Als de stut op de grond ligt, is u 6, meter en is h 0. Het tijdstip dat hierij hoort is t 00. h ( 00 ) estaat niet, want in de noemer komt nul te staan. h ( 99 ) is een erg grote waarde. De snelheid is in dit model oneindig groot. 8a Als er 0 mensen per minuut de tunnel verlaten heen zij ongeveer 0, m of ongeveer, 7 m tot hun eshikking. Bij de snelheid van 0 m/min is het eshikare vloeroppervlak ongeveer 0, 6 m. Bij vloeroppervlak 0, 6 m verlaten ongeveer 0 mensen per minuut de tunnel. d Bij vloeroppervlak 0, m verlaten de meeste mensen per minuut de tunnel. Dan is de snelheid 0 m/min. e V M 0, 0, 0, 0, 0,6 0,8,,8 N f 00 N aantal voetgangers dat per min de tunnel verlaat V in m/min Toelihting: Als de snelheid laag is, verlaten er ongeveer 0 mensen per minuut de tunnel. Het vloeroppervlak is per voetganger dan redelijk klein, maar door de lage snelheid is het aantal mensen dat de tunnel per minuut verlaat nog niet zo groot. Als de snelheid gemiddeld is, is het aantal mensen dat per minuut de tunnel verlaat maimaal. Het vloeroppervlak per voetganger is nog niet groot, maar de snelheid is al wel zo hoog dat het aantal mensen dat de tunnel per minuut verlaat maimaal is. Als de snelheid hoog is, wordt het aantal mensen dat de tunnel per minuut verlaat steeds kleiner. Dit komt doordat er per voetganger steeds meer vloeroppervlak nodig is.

11 Hoofdstuk - De kettingregel g Als er 7 mensen per minuut de tunnel verlaten heen zij 0, m of, m tot hun eshikking. In de spits gaat het om de eerste. Als je de tunnel groter maakt wordt M groter. Dan gaat de snelheid V omhoog. En in de N-M grafiek zie dat dan N groter wordt. Dus gaat het aantal mensen dat per minuut de tunnel kan verlaten omhoog. Conlusie: het is zinvol om de tunnel groter te maken. ladzijde 9a Oplossing (geheel door het os): meter leiding nodig. Kosten: 8 69 euro. Oplossing (geheel langs de weg): 7000 meter leiding nodig. Kosten: euro. Conlusie: geheel door het os is goedkoper. Als PQ km, dan is CP km 000 m en PH Dan geldt voor de aanlegkosten AK euro. Domein: d PQ, CP 000, PH AK 0 ( 000 ) e AK 0 + ( ) 0 + ( ) m. f AK 0 oplossen geeft 667 m AK AK Het ij opdraht e gevonden antwoord levert inderdaad de minimale aanlegkosten op. g PQ 667 m, CP m en PH Er is m leiding nodig en dit kost 0000 euro. m ladzijde I-a t dagen: V 90 V 90 m m : H, 0 dm De tijd-hoogtegrafiek evat het punt ( ;, 0 ). d t 0 dagen: H 7, 6 dm, t dagen: H 9, dm e In één assenstelsel kun je maar twee variaelen weergeven, terwijl je hier te maken het met drie variaelen, namelijk tijd, volume en hoogte.

12 Hoofdstuk - De kettingregel I-a t dagen V 97, m H, dm t 0 dagen V 000 m H 7, dm Deze antwoorden komen goed overeen met die uit opdraht I-. De formule voor V invullen levert H 0, V + 0, t, t +. h in m t in dagen De grafiek die ij de formule hoort is vloeiender, maar komt verder goed overeen met de grafiek van de meetgegevens. ladzijde a u + 0, en u u en u + 0, De grafiek van f heeft 0, als vertiale asmptoot en 0 als horizontale asmptoot. De grafiek van g daarentegen heeft 0 als vertiale asmptoot en 0, als horizontale asmptoot. De funtie f heeft geen nulpunten maar g wel. d Als je eerst getallen optelt en daarna gaat delen, krijg je een andere uitkomst dan als je eerst deelt en daarna gaat optellen. Dus de volgorde van de shakels heeft invloed op de uitkomst van de funtie. I-a O 0 u. De grafiek van deze funtie is dezelfde als ij opdraht a. Het domein van de kettingfuntie is of. Dit kun je uit de grafiek van de eerste shakel aflezen doordat de grafiek op dat domein groter of gelijk aan nul is.

13 Hoofdstuk - De kettingregel I-a u + De grafiek van de kettingfuntie heeft vertiale asmptoot u 0. Oplossen van + 0 geeft ( + ) 0 en s 0 en. Conlusie: de grafiek van de kettingfuntie heeft vertiale asmptoten 0 en. De funtie is maimum als u minimaal is. Het minimum van u epaal je met u ehulp van de afgeleide: u ( ) +. Dan geldt u ( ) 0 als. Plotten van de grafiek van u laat zien dat de grafiek voor een minimum heeft. Conlusie: voor heeft de kettingfuntie een maimum. I-6a en u u O De grafiek van de kettingfuntie heeft een vertiale asmptoot als geldt u 0. Oplossen van de vergelijking 0 geeft. Dit zie je terug in de rode stippellijn in het assenstelsel. en u u 6 O 6 De grafiek van de kettingfuntie heeft vertiale asmptoten als geldt u 0. Oplossen van de vergelijking 0 levert en. Dit zie je terug in de rode stippellijnen in het assenstelsel.

14 Hoofdstuk - De kettingregel I-7a, u, ( ) +,, 0 O 0 u (, ) 0 O 0 De rihtingsoëffiiënt van eide funties is gelijk, maar het egingetal is vershillend: ij opdraht a is, en ij opdraht is. I-8 Vooreeld : u en u. Vooreeld : u en u +. ladzijde 8 T-a u a, u u a 6, u, s f ( a) ( a ) a T-a h ( t) ( t + ) 8( t + ) K( p) ( p p), K ( p) ( p p) ( p ) w( q) ( q + 6), w ( q) ( q + 6) 6 ( q + 6) d f ( ) ( + 0) 8 ( + 0) p p p 6 e g( t ) ( t + ), + g ( t ) ( t ), t + f h( p) ( p ), h ( p) ( p ) 6 ( p )

15 Hoofdstuk - De kettingregel T-a V in liters, s a 0, 9 (want 900 m 0,9 dm ). H ( V+ ) ( 0, 9t + ) H ( 0, 9t + ) 0, 9 0, ( 0, 9t + ) H ( 0) 0, ( 0, ) 0, dm/min 0 mm/min 0, mm/s d H ( ) 0, ( 0, 9 + ) 0, dm/min, mm/min 0, mm/s e Situatie : H ( 0, 9t + ) en H 0 0 9t, (, + ) Situatie : V 0, 9t, 8t en s H (, 8t + ) en H (, 8t + ), 8 0, 6(, 8t + ) Als Erik gelijk heeft moet gelden H ( t) H ( t) H ( t), (, t + ) 0, 6 (, 8t + ) H ( t), s Erik heeft ongelijk. T-a 0 0 O 0 f 0 f ( ) 0 0 Plotten laat zien dat de grafiek van f drie toppen heeft, s f heeft drie uigpunten. d De grafiek van f heeft toppen voor, 0 en. Dit geeft de uigpunten (, 7 ), (0, 0) en (, 7). ladzijde 9 T-a Met de rekenmahine (Y en Y en via al de optie interset) volgt q 00. O ( q+ 00) q ( q + 00) ( q + 00) 0 000q ( q + 00) Als de oprengst maimaal is voor q 00 moet gelden O( 00) 0. O ( ) ( ) 0 Conlusie: een oprengst van 0000 euro is nog niet maimaal. d O 0 oplossen q q + 00 ( q + 00) 0 000( q + ) 0 000q( q + ) 0 000( q + 00) 0 000q 0000q q geen oplossing Conlusie: er is geen aantal waarvoor de oprengst maimaal is. 7

16 Hoofdstuk - De kettingregel T-6a Elke minuut 0, mm korter, s in 6 minuten mm korter. De eginlengte is 0 m 00 mm, s na zes minuten is de lengte van een rie 97 mm. Het volume is dan mm 9, 67 m. r 00 0, t mm V ( 00 0, t) 0,, ( 00 0, t) d V r ( 00 0, t) mm e V ( 0), ( 00 0) 000 mm /min, mm /min, V 000 oplossen met de rekenmahine geeft t 8, minuut. T-7a De eginwaarde is 0 m en de groeisnelheid is m per seonde. Samen geeft dit O t + 0 t. Voor de oppervlakte van een irkel geldt O π R. Dit geeft R O en s R O. π π De oppervlakte wordt steeds groter, s de uitkomst van O π wordt ook steeds groter. d De wortel maakt dat de straal afnemend groeit. Denk maar aan de grafiek van f ( ). R O t π π e R t ( ) t ( ) π π R 0, oplossen met de rekenmahine geeft t 7, seonden. T-8a Een funtie heeft een uigpunt als de afgeleide een minimum of maimum heeft. Bij een tweedegraadsfuntie is de afgeleide een eerstegraadsfuntie. Een eerstegraadsfuntie heeft geen minimum of maimum, s een tweedegraadsfuntie heeft geen uigpunt. Een funtie heeft een uigpunt als de afgeleide een minimum of maimum heeft. Bij een derdegraadsfuntie is de afgeleide een tweedegraadsfuntie. Een tweedegraadsfuntie heeft altijd een minimum of maimum, s een derdegraadsfuntie heeft altijd een uigpunt. f ( ), want f ( ) en deze funtie heeft geen minimum of maimum. 8