Noordhoff Uitgevers bv

Transcriptie

1 Hoofdstuk - Meer variaelen ladzijde V-a Omdat het water met onstante snelheid uit de ak stroomt en de ak ilindervormig is, is de afname van de hoogte van de waterstand per tijdseenheid onstant. De hoogte van de waterstand heet niet y, maar h dus je geruikt h! Stel dat de formule wordt: h= a t+, dan is a = h = = =, t 9 dus h= t+. Nu moet h( ) =, dus + = = + = 9 d De formule wordt h= t+ 9. e De waterak is leeg als h =, dus als t + 9 = t = 9 t =, dat wil zeggen: na minuten is de ak leeg. V-a Bij het egin geldt t =, dus de eginhoeveelheid is N( ) =, = =. Na één week, dus op t = zijn er N( ) =, =. X Plot Y=, Venster: X en Y. d V-a aantal N Jos 7 9 t in weken X Plot Y =, en Y =, Venster: X en Y. Interset geeft : X, 77 Dat wil zeggen: na ruim,7 weken zijn er nog zo n vissen over. = y = = y,, y = y = = 9 y = y = = d y+ 7 = y = y = y = = V-a Venster: X ; Y Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel

2 Venster: X, ;, Y, Venster: X ; Y. d Venster: X ; Y. ladzijde V-a Op t = geldt in de formule h= 9, t dat h =, in de eide andere formules h = en h =. De formule moet dus wel ij de top van de toren horen. Bij deze proef geldt: h = als h=, 9t t =± ±, 9, De steen raakt dus ongeveer op t =, de grond. Hoofdstuk - Meer variaelen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel

3 Hoofdstuk - Meer variaelen h in meters. a.. t in seonden Grafiek a hoort ij de formule h= 9, t, grafiek ij h= 9, t en grafiek ij h= t 9, t. V-a Bier: = ; wijn:, = ; sherry: 7 = en jenever: =. I in ml Volgens de formule moet voor zwaar ier gelden: p in proenten, I, =, I = =,, dus de inhoud van een zwaar ier glas zou, ml moeten zijn. d Als je I = 7 in de formule invult krijg je 7 = p =,. p 7 in werkelijkheid is p =,, dus Joke heeft gelijk als ze zegt dat het aloholperentage van een Breezer te hoog is, het zou ongeveer, moeten zijn volgens de formule. Als je p =, in de formule invult krijg je I =, dus een passende inhoud, zou zo n ml zijn. Arnold heeft dus ook gelijk als hij zegt dat de inhoud van het flesje van een Breezer (7 ml) te groot is. V-7a Een formule van de paraool is y= ( t )( t ). de nulpunten zijn dus en ( y = t = of t = ) De top ligt wegens de symmetrie midden tussen de nulpunten, als je t = in de formule invult krijg je y =. De lijn gaat door de top (, ) en door het punt (, ). Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel

4 Stel een vergelijking van de lijn is y= at+, dan is a = ( ) = = en dus y= t+. Invullen van (, ) geeft = + =. Een vergelijking van de lijn is y= t+. Stel de formule voor exponentiële groei is y= a t, dan is = (gegeven), dus t y= a. Door (, ), dus = a a =. De formule voor exponentiële groei wordt t y =. y = C, door (, ) dus = C C =. t y O 7 9 t ladzijde a De in de formule is een vast edrag ( euro) dat je altijd moet etalen, onafhankelijk van het aantal geruikte rollen ehang en van het aantal gewerkte uren. Het starttarief dus. Als er rollen worden geplakt in uur moet je = euro etalen. En als er rollen worden geplakt in uur wordt het = 9 euro. R komt lineair voor in de formule, dus als er rol meer geruikt wordt, komt er 9 = 9 euro ij en + 9 = 9 d Als het aantal uren één groter wordt komt er 7 euro ij de prijs op, omdat U ook lineair en met hellingoëffiiënt 7 in de formule voorkomt! e Als Watererg 7 moet etalen, terwijl er rollen ehang zijn geruikt geldt: U = 7 7U = 7 7 7U = U = = 7 Dus dan is er uur gewerkt. f De nieuwe formule wordt: P =, +, R+ 9 U, dus P = 7, +, R+ 9U g Als er rollen worden geplakt in uur moet je nu 7, +, + 9 =,, dus euro en ent etalen. a De jaarlijkse kosten gedeeld door vormen de kosten per maand. De teller van de formule, de jaarlijkse kosten, estaat uit de maandelijkse afshrijving A keer, de halfjaarlijkse grote eurt plus reparaties G keer, Hoofdstuk - Meer variaelen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel 7

5 Hoofdstuk - Meer variaelen de jaarlijkse verzekeringspremie en de motorrijtuigenelasting V keer. De enzinekosten per gereden km, B, worden vermenigvuldigd met het jaarlijks gereden aantal kilometers K, dus de term B K in de teller staat voor de jaarlijkse enzinekosten. De halfjaarlijkse eurt met de reparatiekosten G en de enzinekosten B, dus ook de term B K zullen ij een tweedehands auto hoger zijn dan ij een nieuwe; ij een nieuwe auto zal alleen de maandelijkse afshrijving A hoger zijn dan ij een tweedehands auto. ladzijde a Gelden moet 7p+ = 7p= p = 7, 9 7 De seniorleden moeten samen minstens 7 euro oprengen, dus de ontriutie van een seniorlid zal zo n, euro worden. Als de ontriutie voor de seniorleden 7 euro lijft, moet q = ofwel 7p+ = q = 79 q = 7,. Als de juniorleden alleen de verhoging moeten oprengen moeten ze samen 7 etalen, dus zo n, per lid. Als de juniorleden,- per lid etalen wordt de vergelijking 7p + =, dus 7p= 7 p= 7, 7. De ontriutie voor de seniorleden zal 7 dus zo n 7, worden. a De enzinekosten zijn, per km, dus: De formule ingevuld wordt: ent/km = ent/km. A+ G+ V + B K + + +, = =, Zijn maandelijkse kosten zijn dus ongeveer, Meneer Vergouwen etaalt voor enzine per verreden km: ent = ent alle gegevens in de formule ingevuld geeft: , = = 7, Hij is per maand dus 7, kwijt; dat is minder dan meneer Santini. ladzijde a Vanwege de relatie I = hz is het zo dat als twee van de drie variaelen ekend zijn, de derde vast ligt. Vul z = in: I = h Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel

6 ,d Bij een odem van ij hoort de formule I = h e a d I in m z = z = z = 7 z = z = z = 7 9 h in m In figuur he je ovenstaande figuur met z = en z =, voor figuur d komen daar z =, z=, z= 7 en z = ij. Bij een inhoud van m en een hoogte van m geldt: z = z = z =, en ij een inhoud van m en een hoogte van m geldt: z = z = z =,. Alleen de gehele waarde z = ligt tussen, en, en komt dus in aanmerking. ladzijde 7 Het getal in de formule stelt voor: de materiaalkosten voor één TV; zijn de kosten van één eenheid areid. Als de totale kosten per week euro zijn en er zijn eenheden areid geruikt, dan geldt: = M+ M = + M = 7 = 9, er zijn dan dus 9 eenheden materiaal verruikt. Als er eenheden materiaal eshikaar zijn wordt de formule voor de totale kosten: TK = + A ofwel TK = + A. TK in euro areid A Als er eenheden areid eshikaar zijn wordt de formule voor de totale kosten: TK = M +, dus TK = M +. TK in euro materiaal M Hoofdstuk - Meer variaelen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel 9

7 e Hoofdstuk - Meer variaelen Het hellingsgetal is in eide formules voor de etreffende variaele even groot! Als ijvooreeld de materiaal eenheden vastliggen en de areidseenheden variael zijn luiden de formules TK = A + (vooreeld) en TK = A + (opdraht ), dus de ijehorende lijnen zijn evenwijdig als je ze in één figuur tekent. 7a I = hz met h = wordt I = z. Y=X Venster: X ; Y. inhoud in m zijde z in m In de figuur van 7 de grafieken ij de formules I = z, I = z en I = z erij d inhoud in m h = h = h = h = 7 9 zijde z in m De figuren van d en van 7 met een kruisje ij de doos waarvan de zijden m ij m zijn en waarvan de inhoud m is: (respetievelijk op de lijn waar z = en h =, immers = en op de paraool waar h = en z 7, immers = en 77,!) inhoud in m 9 7 z = 9 z = 7 z = z = hoogte h in m Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel inhoud in m h = h = h = h = 7 9 zijde z in m

8 a De hoogte is h (m), de oppervlakte van het grondvlak is z (m ) en voor de inhoud geldt I = (m ), dus moet h z = of h =. z z h, 7,7,,9,,9,9, d 9a hoogte in m hoogte in m Elo zijde z in m zijde z in m Voor de hoogte die ij een ELO-pak hoort vind je ongeveer, m, want h =,. 7 ladzijde Bij ijzel is het nog gladder dan ij nat weer en zeker gladder dan ij droog weer. De remweg zal dus ij ijzel het langst zijn en dus zal a groter zijn dan, (nat weer) en ook zeker groter dan,7 (droog weer). remweg R in m 9 7 a =, a =, a =,7 7 9 snelheid v in km/uur Omdat het droog weer was neem je a =, 7, R =, dus =, 7v moet worden opgelost. Je vindt v =, ofwel v, 7, dus de, 7 auto reed ongeveer 7 km/uur. Hoofdstuk - Meer variaelen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel

9 d e a, d Hoofdstuk - Meer variaelen remweg R in m 9 7 A 7 9 snelheid v in km/uur B Bij B zie je dat ij nat weer de remweg ij een snelheid van ruim 7 km/u zo n meter zal zijn. K neemt zijn grootste waarde aan als X en P maximaal zijn. In het geareerde geied is X maximaal 7 en P maximaal, dus daar is K maximaal K max =, 7+ =,. x 9 7 p =, p =, p =,7 p =, x 7 9 K is minimaal ij X = en P =, : K min =, +, = K is maximaal ij X = 7 en P =, : K max =, 7+, = 7, De formule is lineair in X en de hellingsoëffiiënt is voor vershillende waarden van P steeds,. De lijnen zijn dus evenwijdig. a Voor X =, X =, X = en X = krijg je respetievelijk de formules: K = P, K = + P, K = + P en K = + P. y 9 7 x = x = x = x = x 7 9 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel

10 Op dit geied geldt: K is minimaal ij P = en X = : K min =, + = K is maximaal ij P = 7 en X = : K max =, + 7= K =, X + P X = K P ; dus X is maximaal als K maximaal is en P minimaal;, X = = max en X is minimaal als K minimaal is en P maximaal, dus, X = = min., ladzijde 9 a Aflezen: ongeveer, m Aukje had ongeveer 7, m huidoppervlakte, nu is dat ongeveer, m, voor Mieke was het ongeveer 77, m tegen ongeveer, m nu (aflezen!); Aukjes huidoppervlakte is met ongeveer 9, m toegenomen en die van Mieke met ongeveer, m, er is dus niet veel vershil, maar Aukjes huidoppervlakte is iets meer toegenomen. d Voor Aukje: 9, m / kg, m / kg. Voor Mieke:, m / kg =,7 m / kg. a,, 7, 7 H =, L H =, L, 7 Voor G = krijg je de formule H =, L en voor G = krijg je de, 7 formule H =, 9 L.,, 7 H = 9, en G = invullen in de formule geeft 9, =, L, dus 9, L =,,, 7, 7, dus deze persoon is ijna m lang. a H =, G H =, G H =, G H =, G, Plot Y =, X, eny =, X. Venster: X ;, Y,, 7,,, 7, huidoppervlakte H in m,9,9,,,7,7,,,, 7 7 l = l = Uit de grafiek lees je af dat de man ruim kg moet wegen., Preiezer: H vrouw =, 7, Plot Y =, X, en Y=, Venster: X ;, Y Interset: X, ; de man weegt dus ongeveer, kg. 9 9 gewiht G in kg Hoofdstuk - Meer variaelen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel

11 Hoofdstuk - Meer variaelen ladzijde a V = 7 en B =, dus TK =, K + 7 TK in euro aantal km K Aflezen: Vanaf ongeveer km per maand komen zijn kosten oven de per maand. Preiezer: =, K + 7, K = 7 K =,, 7, dus ongeveer vanaf 7 km per maand. a B =, en K =, dus B K =, =, de formule wordt TK = V +. TK in euro vaste kosten V in euro Aflezen:. Preiezer: TK V + V 7a TK = en B =, = V +, K V =, K K = V =, = K = V =, = K = V =, = K = V =, = d vaste kosten V in euro TK = aantal km K Als deze koper per maand 7 km rijdt, mogen de vaste kosten per maand zo n euro zijn volgens deze grafiek. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel

12 ladzijde a s =, h = 7,, dus p =, 7 = 7, 9, De eikenoom zal dus krap 7 waard zijn. = > =, de ewering klopt dus niet! 9a investeren etekent K =. A =,, het edrijf moet dus werknemers inzetten., 9 Voor Q = krijg je A = =,, 9 K K d e Plot van Y =. Venster X ; Y X, aantal werknemers A kapitaal in duizenden euro s Uit de grafiek kun je aflezen dat er dan ongeveer 7 euro nodig is volgens dit model. Preiezer: Plot Y = en Y =, Venster: X ; Y X, Interset geeft een snijpunt ij 79,, dus ongeveer 7 euro is er nodig. f A =, Het aantal werknemers was en nu,, dus het wordt, ( 7) ijna tien keer zo klein. ladzijde a De koe levert ongeveer kg melk per dag. (Aflezen!). Ongeveer kg kg = kg. (Aflezen!). Bij %: ongeveer 9 kg 9 kg = kg. Nee, kg >kg. Je kunt ook diret zien dat het nee moet zijn: Bij % liggen de grafieken dihter ij elkaar dan ij %. a = + (, + 9, ) m 9m = m =, 9 Klopt redelijk met het antwoord van a. Hoofdstuk - Meer variaelen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel

13 Hoofdstuk - Meer variaelen = + (, +, ) m m =, (, +, ) = + (, +, ) m m =, en (, +, ),, =, Klopt aardig met de van opdraht. = + (, +, ) m m =, en (, +, 9) = + (, +, ) m m =, en (, +, 9),, =. Klopt met het antwoord van. = + (, +, v) m = (, +, v) (, +, v) m, 9, dus, = (, +, v) m klopt!,, d, = (, +, v) m, +, v = v = m, m, m 7 v,,,77,,9,, e,f Bij VEM = : = + (, +, v) m = (, +, v) dus (, +, v) m 9,, zodat v =, 9, m, m 7 v,,,, -, -,9 -,7 Voor het geareerde geied geldt: VEM en v. v 7 m ladzijde a Q Marian = (, ) Ja Plot Y = {,,,, } X,Y =, Y= Venster: X, Y. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel

14 d a Interset (met de tweede getekende lijn van Y en Y) geeft X = 7. Interset (met de tweede getekende lijn van Y en Y) geeft X=7. Voor het gezond gewiht van iemand van,7 m geldt dus dat het in zou moeten liggen tussen 7, kg en 7, kg. De undel grafieken hoort ij de lineaire formules: y= x, y= x, y= x, y= x, en y= x, het zijn dus, 7, 7,,, inderdaad rehte lijnen. g Q = g = 7, Q g =, Q 7, g Q = g =, Q g =, Q, g a g = l = Q = l, a gewiht g in kg, Q = Q = Q = Q =,, lengte l in m Hij zou ongeveer kg moeten wegen (aflezen!) en moet dus zo n kg afvallen! Iemand van, m is ij kg of minder te mager. (Aflezen!) ladzijde I-a Tael ij grafiek A: x y 7 9 Tael ij grafiek B: x y,,,, Hoofdstuk - Meer variaelen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel 7

15 Hoofdstuk - Meer variaelen Grafiek A gaat door (, ) en (, ), helling: y x = ( ) =, dus een formule ( ) van deze lijn is van de vorm y= x+. De lijn gaat door (, ), dus het startgetal is. Een formule is y= x+. Grafiek B gaat door (, ) en (, ), helling: y x = ( ) =,, dus een ( ) formule van deze lijn is van de vorm y=, x+. De lijn gaat door (, ), dus het startgetal is. Een formule is y=, x. I- - I- - y O x I-a Het eginaantal is. Eén week later zijn er, = vissen. Neem t en N. d Nog na,7 weken en 9 na 7 weken. ladzijde I-a Bij proef, op t = is h =, dus de steen wordt omhoog geworpen. De formule h= 9, t hoort ij proef, omdat de steen dan op m hoogte, dus halverwege de toren, egint te vallen. h= 9, t hoort ij proef. Bij de formules h= 9, t en h= t 9, t, dus ij de proeven en hoort dezelfde valtijd, immers: 9, t = t =± ±, en t, 9t = t = 9, of t =, 9, I-a I p = = ; I p =, = ; Bier Bier Wijn Wijn I p = 7 = en I p = =. Sherry Serry Jenever Jenever,,7 d I pzou ongeveer moeten zijn, voor een Breezer geldt: 7, = >. Beide heen ze dus gelijk. Als het aloholperentage, moet zijn, dan is de 7 te groot en als de inhoud van een flesje 7 ml moet zijn is de fator p te groot. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel

16 I-7a Een formule van de paraool is y= ( t )( t ). de nulpunten zijn dus en ( y = t = of t = ) De top ligt wegens de symmetrie midden tussen de nulpunten, als je t = in de formule invult krijg je y =. De lijn gaat door de top (, ) en door het punt (,. ) Stel een vergelijking van de lijn is y= at+, dan is a = ( ) = = en dus y= t+. Invullen van (, ) geeft = + =. Een vergelijking van de lijn is y= t+. Stel de formule voor exponentiële groei is y= a t, dan is = (gegeven), dus t y= a. Door (, ), dus = a a = De formule voor exponentiële groei wordt t y =. y = C, door (, ) dus = C C =. t ladzijde I-a Bij ijzel is het nog gladder dan ij nat weer en zeker gladder dan ij droog weer. De remweg zal dus ij ijzel het langst zijn, dan ij nat weer en dan ij droog weer. Grafiek A zal ij ijzel horen, ij nat weer zal grafiek B horen en ij droog weer grafiek C. Ongeveer 7 km/u. d Ongeveer, km/u e R=, v f Hoogstens km/u. I-9 K max, d K max 7, en K min e De formule luidt: K =, X + P ; de lijnen heen dus allemaal hellingsoëffiiënt, en zijn daarom evenwijdig! I-a Van eneden naar oven: X =, X =, X = en X =. K = en K = min max X = en X = min ladzijde 7 max I-a Ongeveer, m Aukje had ongeveer 7, m huidoppervlakte, nu is dat ongeveer, m, voor Mieke was het ongeveer 77, m tegen ongeveer, m nu (aflezen!); Aukjes huidoppervlakte is met ongeveer 9, m toegenomen en die van Mieke met ongeveer, m, er is dus niet veel vershil, maar Aukjes huidoppervlakte is iets meer toegenomen d Voor Aukje: 9, Voor Mieke:, m / kg, m / kg m / kg =,7 m / kg Hoofdstuk - Meer variaelen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel 9

17 Hoofdstuk - Meer variaelen I-a,, 7, 7 H =, L H =, L, 7 Voor G = krijg je de formule H =, L en voor G = krijg je de, 7 formule H =, 9 L,, 7 H = 9, en G = invullen in de formule geeft 9, =, L, dus 9, L =,,, 7, 7, dus deze persoon is ijna m lang. I-a -, H vrouw =, 7, Plot Y=, X, Y=, Venster: X ;, Y Interset: X, ; de man weegt dus ongeveer, kg. ladzijde T-a K zijn de totale kosten in euro s, V is het aantal aan te shaffen Valken en P het aantal aan te shaffen Piraten. K = + 9 =, de kosten edragen dan euro. Vul in de formule in K = en V = : = + 9V V =, 9 Hij kan dan dus nog Piraten aanshaffen. d Eén Valk en één Piraat kosten samen euro., 9 ; hij kan dus stellen aanshaffen, ofwel oten!, T-a Volgens de vuistregel zou je over die km uur + minuten doen, dus, uur en minuten, ofwel uur en minuten. Als je a km aflegt met km/u doe je daar a minuten = a minuten over., km stijging kost je minuten extra, dus km stijging minuten. De term h in de formule geeft dus het aantal minuten dat je extra nodig het als je h km stijgt. Vul W = en h =, in in de formule, je vindt: = a+, a = a = Er is horizontaal ongeveer, km afgelegd. d h in km,,7,,,,,, W = W = W = W = a in km Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel

18 T-a e Kijk in de figuur ij opdraht d; de horizontale lijn h =, geeft via de snijpunten met de lijnen W =, W =, W = en W = aan dat je horizontaal respetievelijk, km;, km;, km en, km aflegt. ladzijde Steven s kniereedte is ongeveer, m. (Aflezen!) De lijn lijkt door (, 7 ; ) en (, ; ) te gaan; G K 7,.,, Stel een vergelijking van de lijn is G = ak+, dan is a, ; door (, 7 ; ), dus 7 =,, + = 7 9, =. ; een vergelijking van de lijn is G =, K,., L = in G =, K L geeft G, K. Het antwoord ij opdraht klopt niet helemaal, maar zit wél aardig in de uurt., d Plot Y=,, X en Y = Venster: X ; Y. Interset: X 7, 7. Sijtze is dus ongeveer 7 m. T-a I = 79, h, dus I = 9, 7h; I = 79, h, dus I = 79h I =, 79 h, dus I = 77, 7h. l in m 9 d = d = d = h in m I = 79, d I = 7, 9d I = 79, dus 79 = 79, d h h = 79 h = ; 79, d d d = geeft h= ; d = geeft h= en d = geeft h=. De afmetingen van drie dozen met een inhoud van 79 m zijn: hoogte in m diameter in m T-a D = ( 7 + ) = Anne s geshatte lengte is, m = ( V + ) = ( V + ) V = 7 De vader zal,7 m zijn. V = invullen in D= ( + M ) geeft D= M+ 7, ; Deze lijn gaat door ( ; 7, ). Dus de één na onderste. d D= ( V + M), dus als D= V. D= ( V + D) D= V + D D= V Als moeder en dohter even lang zijn is de vader volgens de formule dus altijd m langer. Hoofdstuk - Meer variaelen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo A deel