Hoofdstuk 9 - Rekenen met functies

Transcriptie

1 5 Voorkennis V-a = = 6 5 = = : = d = + 05 = = V-a (8 ) : 0 = d 0 : 6 = 5 : 0 = 0 : 6 9 = 5 : 0 = 0 5 = 00 : 0 = 0 e 8 + ( ) = = 8 + ( 6) = = 8 + ( ) = = = ( 8) : = 8 5 = 6 : = 9 : = 08 : = 6 V-a 50 = 5 = 5 = = 00 5 = 00 5 = 0 5 = = = = 6 d 50 = 5 6 = 5 6 = 5 6 = 0 6 e 7 8 = 7 = 7 = 7 = V-a = = 5 6 ( ) = = = 6 9 d 5 7 = 5 7 = 0 e = 5 = 5 = 5 = 7 V-5a = 6 8 V-6a 0 = p p 9 = p d a a 5 a = a 9 e t t t = t 6 Lijn l is een stijgende lijn, daar hoort een positief hellingsgetal ij. Bij lijn l hoort dus de formule y =. Bij lijn m hoort de formule y= 9.

2 9 = 9 = = = : dus = = 7 7 Invullen ij y = geeft y = = Het snijpunt is (, 6 ). 7 7 Het hellingsgetal is 8 = =. 0 Het startgetal is 8, want lijn k gaat door (0, 8). De formule is y = + 8. d = + 8 = 8 = Invullen ij y = + 8 geeft y = + 8 = 9. Het snijpunt is (, 9). V-7a = = 0 7 = = : 7 dus = p + 95 = p = 5p = 5p p = 55 : 5 dus p = 7 8( + 7) = = = + 5 = = : dus = d 9a + 6(a 5) = (a + 0) 8a 9a + a 0 = 6a + 0 8a a 0 = a + 0 5a 0 = 0 5a = 50 a = 50 : 5 dus a = 0 V-8a w = 6(t ) + 8 w = t w = t + 86 w = 8(t + ) 5 w = t w = t + 7 w = 00(0,5t 0,0) +, w = 5t +, w = 5t +, d w = ( t )

3 56 V-9a Lijn l is een stijgende lijn, daar hoort een positief hellingsgetal ij. Bij lijn l hoort de formule y=. + ( ) = = 8 = = 5 = 5 : dus = = invullen ij y = geeft y = 0 dus y =. Het snijpunt is (, ). 9- Evenwijdige en samenvallende lijnen a Het hellingsgetal is. Ga vanuit een punt op de grafiek één hokje naar rehts en kijk hoeveel hokjes je naar eneden moet om weer op de grafiek te komen. Dat aantal is het hellingsgetal. Vanuit (, 0) op de lijn ga je naar (5, ) op de lijn. Het hellingsgetal is 0 = 5. d Vul = en y = 0 in ij de formule y= +. Dat geeft 0 = + dus 0 = + ofwel =. Een formule van lijn k is y=. e Het hellingsgetal van lijn m is ook. Vul = en y = 9 in ij de formule y = +. Dat geeft 9 = + dus 9 = 6 + ofwel = 5. Een formule voor lijn m is y = + 5. f Het hellingsgetal van lijn n is = 5 =. = en y = 0 invullen ij y = + geeft 0 = + dus =. Een formule voor lijn n is y = +. l en n snijden: 8 = + 8 = + 5 = = 5 : dus = Invullen ij y = geeft y = =. Het snijpunt is (, ). a rihtingsoëffiiënt = 0 8 = = = en y = 8 invullen ij y = + geeft 8 = + 8 = 6 + dus = Een vergelijking van de lijn is y = +. rihtingsoëffiiënt = = 0 = = en y = 9 invullen ij y = + geeft 9 = + 9 = + dus = Een vergelijking van de lijn is y = +.

4 rihtingsoëffiiënt = 0 7 = = = en y = 7 invullen ij y = + geeft 7 = + 7 = 9 + dus = Een vergelijking van de lijn is y = +. d rihtingsoëffiiënt = = 6 = Het startgetal is 0, want de grafiek snijdt de y-as in (0, 0). Een vergelijking van de lijn is y= + 0. a Lijn k gaat onder andere door het punt (, 0). Vul = en y = 0 in ij y = 6. Dat geeft 0 = 6. Dat klopt, dus de vergelijking y = 6 hoort ij lijn k. y = 6 y = + 6 (van eide kanten afgetrokken) y = (eide kanten gedeeld door ) y = y = y = + 6 d De rihtingsoëffiiënt is. e = + 6 = 6 = 9 Invullen ij y = + 6 geeft y = 9+ 6 = 0. Het snijpunt is (9, 0 ). a Van de lijn q kun je de rihtingsoëffiiënt uit de vergelijking aflezen. 5 + ( ) = geeft = = 9 = 9 : dus = Invullen ij y = geeft y = dus y = 9. Het snijpunt is (, 9). Van eide lijnen is de rihtingsoëffiiënt. Omdat het startgetal wel vershillend is, lopen de lijnen evenwijdig en heen dus geen snijpunt. d Voor elke waarde van geldt 0 = 0. e (, ): (, ): 5 + = 5 = klopt 5 + = = klopt y = + = + = klopt y = + = + = klopt (, 6): (0, ): = 5 = klopt = 0 + = klopt y = + = 7 + = 6 klopt y = 0+ = 0+ = f De lijnen p en s vallen samen. 57

5 58 5 l en m: m en k: De lijnen l en m heen vershillende 6 + ( + ) = rihtingsoëffiiënten dus snijden ze = elkaar. 0 = 0 l en n: Er zijn oneindig veel oplossingen. ( + 8) = De lijnen m en k vallen samen. 8 = n en k: 0 = 5 heeft geen oplossingen. n: y = ofwel y = + De lijnen l en n zijn evenwijdig. 6 + ( + ) = l en k: = 6 + ( + 8) = = 5 geeft = = De lijnen n en k snijden elkaar. 0 5 = 0 geeft = = De lijnen l en k snijden elkaar. m en n: ( + ) = + = = 5 geeft = De lijnen m en n snijden elkaar. 6 Noem de twee getallen a en. Dan moet gelden: a = 7 en a + = Dus a (a + ) = 7 a a 6 = 7 0a = Deze vergelijking heeft geen oplossingen, dus het raadsel is niet oplosaar. 7a 9- Rekenen met eponenten t 0 h 0,5 8 y O g t 0,5,5,5,5 t 0 g 8 0,5 h Zie de grafiek ij opdraht a. De grafiek van funtie g is dalend. In het funtievoorshrift is de groeifator kleiner dan.

6 8a De groeifator per uur is 00 : 50 =. De groeifator per twee uur is 600 : 50 =. De groeifator per vier uur is 00 : 50 = 6. d Toen waren er 50 : = 75 ateriën. 9a De groeifator per jaar is. De groeifator per jaar is = 9. De groeifator per jaar is = 8. De groeifator per 6 jaar is 6 = 79. Als je de groeifatoren per jaar en jaar met elkaar vermenigvuldigt, krijg je de groeifator per 6 jaar. 0a Bewering A is juist. Bij vermenigvuldigen van mahten met gelijke grondtallen moet je de eponenten optellen. De overige eweringen zijn onjuist. 5 6 a a+ A = C 5 5 = B = D 5 5 = 5 a De groeifator per week is 7 = 8. a a+ Eerste manier: de groeifator per weken is 8 = Tweede manier: weken is gelijk aan 8 dagen, dus de groeifator per weken is 8 = Volgens manier is de groeifator per weken ( 7 ). Volgens manier is de groeifator per weken 8. Dus is ( 7 ) = ( ) = = = 5 8 (, ) = 5, 5, = 5, = 5, 6 0 ( ) = C 0 ( ) = B ( ) = 8 D ( 0 ) = 0 a A ( ) = = a a ( ) = = 9 ( ) = = y a a a = 5 ( 5 ) 5 = ( ) = ( ) wordt = a a a wordt y = ofwel = 5 8a ofwel y = k 5 wordt k = 0 ofwel k + = 5 59

7 5a y y O 0,5,5,5,5,5 5 5, y De taellen van f en g zijn gelijk. Dat volgt uit de rekenregel g g = g d Ja, want = 8 a a+ 6a k() m() De funties k en m zijn gelijk. a Dat volgt uit de rekenregel g a ( ) = g, immers 9 = ( ) =. f() kun je shrijven als f( )= dus f( )= g() kun je shrijven als g ( )= ( ) dus g ( )= 6 5 l() kun je shrijven als l ( )= dus l ( )= ( ) ofwel l ( )= 8 De funties f en h zijn gelijk, de funties g en m zijn gelijk en de funties k en l zijn gelijk. 9- Rekenen met mahten 7a h() = 0, 5 = 97, De raket is na drie seonden 97, meter hoog. h(0) = 0, 0 5 = Na tien seonden is de raket meter hoog. h(7) = 67,8 h(8) = 07, h(7,5) = 99,9 h(7,6) = 0,0 Na 7,6 seonden is de raket ongeveer 0 km hoog. f

8 8a 0 p() 0 q() r() s() 0 Grafiek hoort ij funtie q. Grafiek hoort ij funtie p. Grafiek hoort ij funtie r. Grafiek hoort ij funtie s. 0 y 0,5 0 0,5 De grafiek van t loopt minder steil en is gespiegeld in de -as en daardoor dalend in plaats van stijgend. 9a k ( )= k ( )= 6 f( ) = ( 6) m ( ) = ( ) f( )= m ( )= f( )= 6 m ( ) = ( ) f( )= 96 0a ( 7p) = 7 p = 9p ( ) = = 6 ( ) = ( ) = d ( a) = a =a 5 5 e a a ( ) = ( ) = a 6 ( ) = ( ) ( ) = 8p 8 q m ( )= 9 f pq p q g ( 9y ) = 9 ( ) ( ) y = 8 y 8 h ( 0p ) = 0 ( ) ( ) q 5 ( ) 5 p 5 q 5 = p 60 q 5 ( ) = ( ) ( ) ( ) = y 6 z 8 i yz y z a f() = = 8 f(6) = 6 = 96 Je moet met de fator 96 : 8 = 6 vermenigvuldigen. f(5) = 5 = 65 f(0) = 0 = Je moet met de fator : 65 = 6 vermenigvuldigen. d f(a) = 6 f(a) e f(a) = (a) = a = 8 a dus f(a) = 8 f(a). y,5 0,5O 0,5,5 6

9 6 n n n a Kim denkt dat de rekenregel ( a ) = a ook voor optellen geldt. De antwoorden van Youri zijn juist. A y = ( ) geeft y= ( ) dus y = 9 B y = ( + 6) geeft y = ( + 6)( + 6) dus y= C y = ( + 8) geeft y = ( + 8)( + 8) dus y = D y = (8 ) geeft y = (8 )(8 ) dus y = E y = (8) geeft y= 8 dus y = 6 F y = ( 5 + ) geeft y = ( 5 + )( 5 + ) dus y = Rekenen met wortels a v = 6 0, De auto had een snelheid van ongeveer 0 km per uur. s v 0, 6,6 76,7 88,5 99,0 08, 7, v s Bij v = 50 lees je af: s. De lengte van het remspoor is ongeveer meter. d Bij s = 0 is v. Bij s = 0 is v 6. De snelheid verduelt niet als de lengte van het remspoor verduelt. a De grafiek heeft een randpunt voor + = 0, dus voor =. f( ) = dus het randpunt is (, ). Als je = invult, moet je de wortel uit een negatief getal nemen en dat kan niet. De lijn y = 6 heeft één snijpunt met de grafiek h, dus de vergelijking f() = 6 heeft één oplossing. De y = 0 snijdt de grafiek niet, dus de vergelijking f() = 0 heeft geen oplossingen. d Het randpunt ligt op de lijn y =. De vergelijking f() = p heeft oplossingen voor p.

10 5a Domein: 0 dus of [, Bereik: 0 dus y of [, Domein: 7 0 dus 8 of [ 8, Bereik: 7 0 dus y 7 of [ 7, Domein: 0 of [0, Bereik: 0 dus y of,] d Domein: 8 0 dus 8 of, ] Bereik: 8 0 dus y of [, 6a 5 = 5 a = a 5 98 = 5 6 = 5 = 80 d y = 6 y 7a 600 = 00 6 = 00 6 = 0 6 8a 5 = 9 5 = 9 5 = 5 5 = 5 = 5 = 5 d 9p = 9 p = 9 p = 7 p = p = 8 0 = = d 0 5 = 5 e 7 7 = 9 = f 9a 5a 6 = 0a f 0a 8 = 8 = 6 96 = = 6 0 p 0 p = = 5 p 5 p 7 y = y g a a = 6a 5pq 5pq = = 5q h p 5 5p = 5p 8 5p 5p d 5 = 5 = 0 65a 65 i = a = a a e 7 = 9 = y 0,,7,,5,65,8,6 Bijvooreeld f(), en f() = en is niet het duele van,. Vul voor = a in en ook = a. f(a) = a en f(a) = a = a dus f(a) = f( a) 5a 6

11 a funtie f: a y 0, 5,0 6 6,7 7,5 funtie g: y 0, 5,0 6 6,7 7,5 De taellen van f en g zijn gelijk. = 9 = 9 Ze telt ongelijksoortige wortels ij elkaar op en dat kan niet. De antwoorden en zijn goed. 9-5 Gemengde opdrahten 6 a t = = 096, 00 Het duurt 0,96 seonden om een odewoord van vier letters te kraken. 6 t = 5 = 906, 5 00 Het duurt 906,5 seonden om een odewoord van 5 letters te kraken. Dat is 906,5 : 600,6 uur. Vul n = a en n = a in. 6 n = a geeft t = a 00 n = a geeft t = ( a) = a = a 00 De omputer doet er 6 = 79 keer zo lang over. 00 a Sustitueer y= 5 in de vergelijking y = 8. ( 5) = = 8 0 = heeft geen oplossingen De twee lijnen zijn evenwijdig. ( 5) = + 0 = 0 = 0 Als de lijnen samenvallen moet deze vergelijking oneindig veel oplossingen heen. Dat is het geval als 0 = 0 dus als = 0. 5a Elke dag neemt de hoeveelheid luht in de and met 0% af. Je kunt dus telkens met 0,9 vermenigvuldigen. Dus is er sprake van eponentiële groei (afname). De groeifator per dag is 0,9. De groeifator per week is 0,9 7 0,8. De afname is ( 0,8) 00% = 5%. Na vijf dagen zit er nog 0,9 5,8 gram luht in de and. d t Een formule is L = 0, 9 met L de hoeveelheid luht in grammen en t de tijd in dagen

12 e f g t L,8,6,6,,8,06 0,96 0,86 0,77 0,70 l,8,6,, 0,8 0,6 0, 0, 0 t Lees af ij L =. Na ongeveer 6,5 dagen zit er nog gram luht in de and. Omdat er per verstreken dag nog 90% van de aanwezige hoeveelheid luht in de and ahter lijft, is de and nooit helemaal leeg. 6a Grafiek hoort ij funtie g. Grafiek hoort ij funtie f. Grafiek hoort ij funtie k. Grafiek hoort ij funtie h. De grafiek van f snijdt de lijn y = twee keer, dus de vergelijking heeft oplossingen. 6 = heeft oplossingen (de grafiek van g snijdt de lijn y = twee keer). = heeft oplossing. 0, 5 = heeft oplossing. 7a = = = = d = 0 =, 0 8a 0 5 k() m() d e De twee taellen zijn gelijk, dus de funties k en m zijn hetzelfde. k ( )= k( )= + f( )= 8 is gelijk aan f( )= ( ) + f( )= geeft f( )= dus f en g zijn hetzelfde. h ( )= 6 is gelijk aan h ( )= ( ) h ( )= geeft h ( )= 5 Dus a = en = 5. 65

13 66 9a y d e y 6 5 O De grafiek estaat uit twee halve lijnen. Voor heeft Janneke gelijk. Voor heeft Janneke geen gelijk, want voor die waarden van is de grafiek dalend. De grafiek heeft rihtingsoëffiiënt en startgetal, dus een funtievoorshrift voor de grafiek voor is h() = +. Test jezelf T-a rihtingsoëffiiënt = 8 = Vul = 8 en y = in ij y = + = 8 + geeft = 6 + dus = 8 Een vergelijking van lijn l is y = 8. rihtingsoëffiiënt = = 8 = Vul = en y = 0 in ij y = + 0 = + geeft 0 = + dus = 8 Een vergelijking van lijn k is y= + 8. De lijnen heen dezelfde rihtingsoëffiiënt en vershillende startgetallen, dus zijn het evenwijdige lijnen. d De vergelijking y = kun je herleiden tot y = +, dus tot y = 8. De lijnen l en m vallen samen. e + ( + 8 ) = 6 geeft + + = 6 = 0 dus = 0 : = y = 6 geeft y = dus y = Het snijpunt is ( 0, ).

14 T-a A = 6 6 B ( ) = = C a a a a a a ( ) = = a ( ) = = D f( )= 6 is gelijk aan f( )= De funties f en g zijn hetzelfde. en dus f( )= + E k ( )= + is gelijk aan k ( )= en dus k ( )= 8 F k ( )= 75 is gelijk aan k ( ) = = 6 T-a 8 8 ( ) p = ( ) p = 8p ( 5 ) q = ( 5) q = 65q ( ) = = 6a ( )= ( ) d a a e ( pq) = ( ) ( ) ( ) p q = 8p 8 q 5 5 ( ) = ( ) ( ) = p q 8 r 0 f pq r p q r g ( p 8) = (p 8)(p 8) = p 6p + 6 h ( 7) = ( 7)( 7) = en dus k ( )= 75 T-a 6 5 = 6 5 = 0 e 5pq pq = 5pq 5y = 0y f a = 9 a = 8a 7 p = 9 p = 7p g 7w z = 9 7w z = 6wz d a = a = a h 6 6 T-5a y= ( ) + geeft y= + en dus y= + Voor p = vallen de lijnen samen. Voor elke waarde van p zijn de lijnen evenwijdig. 8 pqr 8 pqr = = q = q = pr pr q 67

15 T-6a 68 d 85 m geeft l = 0,85 m 0, 0, 85 85,, dus de slingertijd is ongeveer,85 seonden. T in seonden l T 0,0,8,8,0,9,9 5, 5, l in meters Bij ongeveer 6, meter is de slingertijd 5 seonden. Controle: 0, 6, = 5, 00, klopt Vul l = a en l = a in. l = a geeft T = 0, a l = a geeft T = 0, a = 0, a =, 0 a Je moet de slingertijd met vermenigvuldigen. e 0, l =, 0 l 0, l =, 0l dus p,0 + T-7 f( )= g ( ) = ( ) + f( )= f ( )= ( ) g ( )= + g ( )= 6 + k ( )= + k ( )= k ( )= 6 ( ) f( )= 8 k ( )= 6 6 j ( )= ( ) j ( )= j ( )= ( ) j ( )= 6 h() = 6 p ( )= 6 6 m ( )= 8 l ( )= 6 De funties f en m zijn gelijk en de funties k en p zijn gelijk.