Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen

Transcriptie

1 Voorkennis V-a Bedrijf A rekent = 6 euro en bedrijf B rekent, = 0 euro. Hij is goedkoper uit bij bedrijf B. b Dat kan met de vergelijking 7a + 5 =, 5a + 60 waarbij a het aantal m zand is. c, 5a + 5 = 60, 5a = 5 a = d Bij m zand, m zand of m zand ben je bij bedrijf A goedkoper uit. V-a ( x 7) + = 5x 6x + = 5x 6x 7 = 5x x 7 = x = 5 Controle ( 5 7) + = ( 0 7) + = + = 9 + = en 5 5 = 5 = en dat klopt. b 8 ( x) = 6( x ) x = x x = x + 6 = 8x + 8x = 6 x = Controle 8 ( ) = 8 5 = 8 0 = en 6 ( ) + 8 = 6 ( ) + 8 = = = en dat klopt. c x = ( x ) 8x x = 6x 6 8x x = x 6 6x = 6 6x = 5 x = Controle = en ( ) 8 = ( 5 ) 0 = 0 = 9 0 = en dat klopt. d 7( 8 x) x + ( 5x + 6 ) 56 x x + x + 5 x = x + 5 = x + x = 50 x = Controle 7 ( 8 ) = 7 ( 8 ) = 7 = = en 0 + ( ) = 5 + ( ) = 5 + = = en dat klopt.

2 V-a ( 5x 8) = 96 5x = 96 5x x = 8 b Hij komt aan het getal omdat 96 : =. c 5x 8 = 5x = 0 x = 8 V-a ( x 0) = 8 x 0 = 7 x = 7 x = 8 Controle ( 8 0) = ( 7 0) = 7 = 8 en dat klopt. b 5( 9a + ) = 75 9a + = 5 9a = 7 a = Controle 5 ( 9 + ) = 5 ( 7 + ) = 5 5 = 75 en dat klopt. c ( p) = 00 p 0 p = 66 p = Controle ( ) = ( + 66) = 00 = 00 en dat klopt. d ( 6d 5) = 6d 5 = 6d = 9 d = 6 Controle ( 6 6 5) = ( 9 5) = = en dat klopt. e + 6( x ) = 9 6( x ) = 6 x = x = 5 Controle + 6 ( 5 ) = + 6 = + 6 = 9 en dat klopt. f 5 ( m + ) = ( m + ) = m + = m m = Controle 5 ( + ) = 5 ( 0 + ) = 5 = 5 = en dat klopt.

3 V-5a De oplossing is x = 7 of x = 7. b De oplossing is x = of x =. c A 5x + = C x x x 8 x = x = 6 x = of x = x = 6 of x = 6 B 0 x D x + 5 = 0 x 0 x = 5 x = 5 x = 6 x = 5 of x = 5 x = of x = V-6a In de vergelijking ( x + 6) = 6 komt de variabele x op één plaats voor en dan kun je de vergelijking met bordjes oplossen. In de vergelijking x + 6x = 6 komt de variabele x op meer plaatsen voor en dan kun je de vergelijking niet met bordjes oplossen. b ( x + 6) = 6 x + 6 = of x + 6 = x = of x = 0 c x + 6x = 6 x + 6x 6 ( x )( x + 8) x of x + 8 x = of x = 8 V-7a ( x 8) 0 x 8 of x 8 = 0 x = 8 of x = x = 9 of x = b x + 6x + 60 ( x + 6)( x + 0) x + 6 of x + 0 x = 6 of x = 0 c p 7p = p 7p + ( p )( p ) p of p p = of p = d 5 a = 7 a = 8 a = 9 a = of a = e q + q = q + q + ( q + )( q + ) q + of q + q = f x + 8x x( x + ) x of x + x of x = x of x = g m = m m m m( m ) m of m m of m = h b + 5b = b + 5b ( b )( b + 7) b of b + 7 b = of b = 7

4 6- Lineaire en gebroken vergelijkingen a ( 5 x) = 5 x = x = x = b ( 5 x) = 5 6x = 6x = x = c Je kunt deze vergelijking niet met een bordje oplossen omdat de variabele x op meer plaatsen voorkomt. d ( 5 x) = x x = x = 8x + 9 8x = x = a De vergelijkingen A en D kun je met bordjes oplossen. A 9( x + 6) = 7 x + 6 = 8 x = 8 D 6 = ( b + ) b + = 8 b = 9 b = 6 b B 5a = 8a + = a + a = 57 a = 9 C 0 0p = 0p = 60 p = 6 E 8 w = w + 8 = 5w + 5w = 6 w = 5 F 6( t 8) = + ( 9t) t + 8 = + 7t t + 6 = 6 7t 5t + 6 = 6 5t = 0 t =

5 Bij de vergelijking ( x + ) = 7 gebruik je bordjes. x + = 9 x = De coördinaten van het snijpunt zijn (, 7). Bij de vergelijking ( x + ) = 7x 7 gebruik je de balansmethode. x = 7x 7 x 7 0x = 5 x = Invullen van x = geeft y = + = = 0 ( ) en y = 7 7 = 7 = 0. De coördinaten van het snijpunt zijn (, 0 ). Bij de vergelijking 7x 7 = 7 gebruik je de balansmethode of bordjes. 7x x = De coördinaten van het snijpunt zijn (, 7) a b c d 5a b 7. Bij waarden van x ver van 0 nadert de uitkomst van de formule naar de waarde y. x = x = Als x vanaf de positieve kant naar de 0 nadert, dan blijft de grafiek stijgen. Er zal dus een waarde van x bestaan waarbij de uitkomst van de formule gelijk is aan 000. = 000 x x, 00 0 x 5 = 6 x 5 x = x 5 x 05 0 x 5 = x 5 =, x = 7 x = 6, 6a Op het bordje moet het getal 7 staan omdat 5 = 6. 7 b Bij deze stap is gebruik gemaakt van een bordje of van de balansmethode. c 6 7 = 5 (gebruik een bordje of de balansmethode) a 6 = (gebruik een bordje) a a = (gebruik een bordje) a (gebruik een bordje) a 5

6 7a b 6 8 x + = x + = 9 x = 8 x = 6 = 8 6a 0 6a 0 = 6a = 8 a = 6- Kwadratische vergelijkingen 8a In de formule y = x 6 x staat een positief getal voor de x, dus de bijbehorende parabool is een dalparabool. b x 6x x( x 6) x of x 6 x of x = 6 Voor x en voor x = 6 snijdt de parabool de x-as. c De vergelijking x 6x = 8 kun je niet met bordjes oplossen, want de variabele x komt op meer plaatsen voor. De vergelijking ( x 5) = 8 kun je met bordjes oplossen, want de variabele x komt op één plaats voor. d x 6x = 8 ( x 5) = 8 x 6x + 8 ( x 5) = ( x )( x ) x 5 = of x 5 = x of x x = 7 of x = x = of x = 9a x = 00 6x = 50 x = 5 x = 5 of x = 5 b ( a 6) = 9 a 6 = of a 6 = a = 9 of a = a = of a = c 75 ( b 8) = 9 ( b 8) = 6 b 8 = 6 of b 8 = 6 b = of b = c d 00 = 7 + p 7 + p = 5 p = p = = x 5 = 5 x x = 9 x = x = e m + = 70 m + = m + = 5 m = 6 m = f 0 = 5 a 0 a = a = 5 a =

7 0a d 00 p = 86 p = p = 7 p = 7 of p = 7 e 5 = ( 7 m) ( 7 m) = 6 7 m = of 7 m = m = of m = m = of m = 5 f ( 9x + 6) 9x + 6 9x = 6 x = De vergelijkingen A, C, D en F kun je met bordjes oplossen. A ( x + 6) = x + 6 = of x + 6 = x = of x = 8 x = of x = C 5 0p = 75 0p = 70 p = 7 p = 7 of p = 7 D 6 = ( b + ) b + = 6 of b + = 6 b = 5 of b = 7 b = of b = F ( 5a )( 9 + 6a) 5a of 9 + 6a 5a = of 6a = 9 a = of a = 5 b B a 5a = 6 a 5a 6 ( a 6)( a + ) a 6 of a + a = 6 of a = E x + 8 = 9x x 9x + 8 ( x )( x 6) x of x 6 x = of x = 6 7

8 a Roos legt een bordje op ( x 9) en dat moet dan 5 zijn, want 5 = 5. b ( x 9) = 5 (gebruik een bordje) ( x 9) = 5 (gebruik een bordje) x 9 = 5 of x 9 = 5 (gebruik de balansmethode of een bordje) x = of x = (gebruik een bordje) x = 7 of x = a 8( 5 x) = ( 5 x) = 5 x = of 5 x = x = of x = 7 x = of x = b ( 5p + 0) = 00 ( 5p + 0) 0 5p + 0 of 5p + 0 = 0 5p of 5p = 0 p of p = c ( a) = 8 ( a) = 6 a = of a = a = 8 of a = 6 a = of a = d 5 + ( m ) = 96 ( m ) = 8 m = 9 of m = 9 m of m = 8 m = of m = a De lengte van het groene gebied is 0 x cm en de breedte is 6 x cm. De oppervlakte is lengte keer breedte, dus A = ( 0 x)( 6 x). b A = ( 0 x)( 6 x) 8 6 x x x 6x +x A = x 6x + 60 c Je moet dan de vergelijking ( 0 x)( 6 x ) = oplossen. d Nee, je kunt de vergelijking van opdracht c niet oplossen met een bordje omdat de variabele x op meer plaatsen voorkomt. e ( 0 x)( 6 x) = x 6x + 60 = x 6x + 8 ( x )( x ) x of x x = of x = f De oplossing x = is in dit geval niet bruikbaar omdat de breedte van de twee stroken die er van afgehaald worden hoogstens 6 cm kan zijn.

9 a Invullen van a geeft h, 0 0 0, De boog is 0 meter boven punt P vastgemaakt. b 0, 0x 0, 55x + 0 0, 0x 0, 55x 0, 0x( x 55) 0, 0x of x 55 x of x = 55 c De afstand tussen de punten P en Q is 55 meter. d De symmetrieas ligt bij x = 7, 5. Invullen van x = 7, 5 geeft h, 0 7, 5 0, 55 7, = 7, 565 5, =, 75. Het laagste punt van de boog hangt ongeveer, meter boven het wegdek. 6- Exponentiële vergelijkingen 5a In 996 kostte een gemiddelde koopwoning in de stad Groningen e 6.000,- = e 9.000,-. En in 006 was dat e 9.000,- = e 8.000,-. b Tussen 986 en 06 zit 60 jaar. In die periode zal de prijs 6 = 6 keer zo veel geworden zijn. In 06 zal de prijs dan 6 e 6.000,- = e.9.000,- zijn. c De laatste halve eeuw zijn de huizenprijzen in Nederland elke tien jaar verdubbeld, maar het is niet zeker of dat zo door blijft gaan. Door bijvoorbeeld een crisis kunnen de huizenprijzen minder snel stijgen, maar als er bijvoorbeeld een tekort aan huizen ontstaat, dan kunnen de huizenprijzen sneller gaan stijgen. d In 976 was de prijs e 6.000,- : = e.000,- en in 966 was de prijs e.000,- : = e.500,-. In 966 was de prijs (omgerekend) ongeveer e.500,-. 6a Na ongeveer 5 dagen is het aantal algen per m gegroeid tot Invullen van t = 5 geeft N = 8000 = en dat klopt redelijk. 0 b Na tien dagen zijn er algen per m water. 7a Links en rechts delen door 8000 geeft links t en rechts : 8000 = 8. b = 8 c Na drie dagen is het aantal algen gegroeid tot a Links en rechts delen door 0 geeft links x en rechts 60 : 0 = 8. b macht 5 6 uitkomst c Hugh krijgt de oplossing x =. 9a = 79 c x 5 = 5 = 6 = x = 6 = 5 x = 5 b 8 d 8 = = 9 = = = x = x = 9

10 0a Ja, 5 =. b Op het bordje moet het getal 5 staan. 6 c x = 6 x 5 = 6x = 5 x = 5 6 a 0+ Invullen van x geeft y = = = en invullen van x = geeft + 5 y = = =. b 0 c Ze vindt x + = oftewel x =, dus x =. d = 6 = 0 = x + = x + x = x = 9 x = x = macht uitkomst macht 5 uitkomst a 5 = 6 d p+ = 56 5 = p+ = x 5 = p + = x = 8 p p b x = e 5 = 00 x = = 6 x = = x = m = x = c 0 5 f 6 = 096 0a 5 5 = t = 6 0a 5 = 5 = 0a = 0 t = a = 6- Wortel- en machtsvergelijkingen a De zijde van het linker vierkant is 6 = 6. b Een formule is z = A. c Invullen van A = geeft z = =. Invullen van A = geeft z =, 6. d A = 7 A = 5 A = 7 = 9 A = 5 = 5

11 a Je vindt het randpunt als x oftewel x =. Invullen van x = geeft y =. De coördinaten van het randpunt van de grafiek zijn (, 0). b Invullen van x = 85 geeft y = 85 = 8 = 9. c x = 7 x = 9 x = 5 5 Sharon komt daar aan door rechts en links 5 af te trekken. Ze vindt ook x = 9, want 9 = 76. 6a 5x + 9 = 5x + 9 = 69 5x = 60 x = b a = a = a = 6 a = c 5t + = 5t + = 59 5t = 55 t d 0, q 00 = 0, q 00 = 0, q = q 5 e x + 9 = 6 x + 9 = x + 9 = x = 5 7a De inhoud van de vaas met een diameter van cm is 0, 0005, 86 liter. De inhoud van de vaas met een diameter van 8 cm is 0, =, 96 liter. b Bij de vraag van Mary hoort de vergelijking 0, 0005d =. f 8 a + = 0 a + = 5 a + = 5 a = a = 7 g x = x = 8 x = 6 x = 6 h + p = 57 p = p = 6 p = 96 p = 99 i 00 d + 8 = 78 d + 8 = d + 8 = 8 d = 76 d = 95 j 5 8 m = 5 8 m m = 5 m = 5 m = m = 55

12 c Rechts en links delen door 0,0005 geeft links d en rechts : 0, 0005 = d = 8000 d d 0, 0005d, 5 d 00 d 8a x = 7 c a 8 = 56 x = a = 6 x = a = a = b p 5 = d 5 00 t = 57 p 5 = 5 t 5 = p = t 5 = 5 t = 9a Grafiek hoort bij de formule y = x. En grafiek hoort bij de formule y = x 5. b Aan grafiek zie je dat de vergelijking x = 8 twee oplossingen heeft, namelijk één voor een negatieve waarde van x en één voor een positieve waarde van x. De oplossingen zijn x = en x =, want = 8 en ( ) = 8. c De vergelijking x 5 = heeft één oplossing, namelijk x =, want 5 =. d De vergelijking x 6 = 6 heeft twee oplossingen, namelijk x = en x =, want 6 6 = 6 en ( ) = 6. 0a Lotte komt daar aan door rechts en links door 5 te delen. b ( x ) = 8 x = x = 6 c 5( x ) = 5 + ( p + ) = 9 ( x ) = ( p + ) = 8 x = p + = of p + = x = 5 p = of p = Gemengde opdrachten a Tussen januari 00 en januari 00 zitten vier periodes van drie maanden. Op januari 00 kostte een brood 0, 60 = 9, 60 dollar. b Tussen januari 000 en januari 00 zitten 6 maanden. Invullen van t = 6 geeft P ,, 60 = 9, 60 en dat klopt. m 8 c 0, 60 = 76, 80 m 8 = 8 m 8 7 = m 8 = 7 m = 5 m = 5 Dat was 5 maanden, oftewel jaar en 9 maanden, na januari 000. Op oktober 00 was de prijs van een brood 76,80 dollar.

13 a Na vijf dagen is het ijs, 8 5 cm dik. b, 8 t = 9 t = 5 t = 5 Na 5 dagen is het ijs volgens de formule 9 cm dik. c Na vijf dagen is het ijs volgens deze formule = 6 5, 8 cm dik. De formule d = 9t + geeft de grootste ijsdikte na vijf dagen. d 9t + = 9 9t + 9t + 0 9t = 99 t = Na dagen is het ijs volgens de formule die je in opdracht c leerde kennen 9 cm dik. a Op het bordje kunnen de getallen 9 en 9 staan. b ( x 5) = 8 x 5 = 9 of x 5 = 9 x = of x = x = of x = Je vindt twee oplossingen. c ( p ) = 5 p = 5 of p = 5 p = 6 of p = p = of p = Je vindt twee oplossingen. a Invullen van x = 5 geeft y, 5 ( 5 ), 5 ( 0 ), 5 7, 5 9 =, 5. Nee, het punt (5, ) ligt niet op de parabool. b 0, 5( x ) = 8 ( x ) = 6 x = 6 of x = 6 x = 9 of x = x = of x = De coördinaten van de snijpunten zijn (, 8) en (, 8). c Invullen van x geeft y, 5 ( 0 ), 5 ( ), 5 9 =, 5. 0, 5( x ) =, 5 ( x ) = 9 x = of x = x = 6 of x x = of x De coördinaten van punt B zijn (;,5).

14 5a 50 ( 6 y) = 00 ( 6 y) = 6 ( 6 y) = 6 y = y = 6a b b 8 ( p + ) = ( 8p ) 0p 8 p = p 0p 5 p = 6 p 5 + p = p = 6 p = 5 m 5 c 0, 5 = m 5 = 8 m 5 = m 5 = m = 8 Als er in totaal bezoekers zijn, inclusief Ashley, Bill en Cay, dan zijn er bezoekers uitgezonderd Ashley, Bill en Cay. De prijs van een toegangskaartje is dan : 0 = 5 + = 7 euro. Als a het totale aantal bezoekers is, dan is a het aantal bezoekers uitgezonderd Ashley, Bill en Cay. De totale kosten gedeeld door het aantal bezoekers is dan 0 euro. a De prijs van een toegangskaartje is vijf euro plus 0 euro, dus p = a a. c Invullen van a = geeft p = = = = 7 en dat klopt. d Invullen van a 0 geeft p = = , 7 en invullen van a 0 geeft p = = ,. Als het aantal bezoekers toeneemt van 00 naar 00, dan neemt de prijs met ongeveer 7, 7 6, =, 5 euro af. e = 6, 60 a d z = 5 z = 5 z = 5 z = 6 z = 6 e x( x ) = 5x + 7 x x = 5x + 7 x 6x 7 ( x 7)( x + ) x 7 of x + x = 7 of x = 0 60 a =, a = 50 a = 5 Er waren 5 bezoekers van het feest. f Er waren 5 = 50 betalende bezoekers van het feest. Ashley, Bill en Cay hebben 50 e 6,60 = e 990,- voor het goede doel ingezameld. f 00 a + 6 = a + 6 = 5 a = 9 a = 9

15 + 7a Aan het begin zijn er = = = = 0 ratten. t+ b = 90 (gebruik de balansmethode of een bordje) t+ 5 = 880 (gebruik een bordje) t+ = 6 t+ 6 = t + = 6 (gebruik de balansmethode of een bordje) t = 5 (gebruik een bordje) t t+ t+ c = = 090 t+ t+ 5 = = 00 t+ t+ = 8 = 5 t+ 7 t+ 9 = = t + = 7 t + = 9 t = 6 t = 8 t = t = 6 In 6 = weken tijd neemt het geschatte aantal ratten toe van 580 tot 090. Test jezelf T-a 8p 9 = p + 6 0p 9 = 6 0p = 5 p = b 8( r 9) = 56 r 9 = 7 r = 6 c 5b = 5b = 6 5b = 9 b = 5 d + 0 = 6 7h 0 7h = 5 7h = 6 h = 6 7 e = 5( x 7) x 5 x 9 0x = 50 x = f 5 = ( a ) a = 5 a = 6 a = 0 g 5 y + + h 0 5y + = 5y + = 5y = 5 y = 8 = 9 ( m ) ( m ) = m = m = 5

16 T-a De vergelijkingen A, B, D en F kun je met bordjes oplossen. A 0 + b = 6 b = 6 b = 9 b = of b = B ( p)( p + 8) p of p + 8 p = of p = 8 p = of p = D 00 ( a 8) ( a 8) 0 a 8 of a 8 = 0 a = 8 of a = a = 9 of a = F ( 5p) = 69 5p = of 5p = 5p = of 5p = 5 p = of p = 5 5 b C x = 7x + 8 x 7x 8 ( x + )( x 9) x + of x 9 x = of x = 9 E m + 5 = 6m m 6m + 5 ( m )( m 5) m of m 5 m = of m = 5 x+ T-a = 8 x+ = x + = x b + 5a = + 5 a = + 5a = 5a = a = 5 6 x c 5 = x = 5 6 x = x = d 5 a = 5 5 a = 5 a = a = 6 e 7 p = 56 p = 8 p = p = f 0, 5 x = 5 5 x = x = 5 6 x = 6 g 56 q q = 56 q = 8 q = 7 q = 7 h a = 8 a = a = a = 5 a =

17 T-a a + = 9 a + = 8 a = 69 a = b p = p = p = p = c 5 5x 0 5x = 5 5x = 65 x = 5 d + q 7 = 7 q 7 = 5 q 7 = 5 q 7 = 5 q = T-5a Bij een lengte van mm hoort een gewicht van 0, 00 =, 97 gram. Bij een lengte van 8 mm hoort een gewicht van 0, 00 8 = 5, 8 gram. Het gewicht van deze rups neemt dan met 5, 8, 97, 6 gram toe. b 0, 00l = 8 l = 8000 l l Deze rups is volgens de formule 0 mm lang. c Invullen van l = 5 en g =, 5 geeft, 5 = a 5 oftewel 5 65a =, 5, dus a, T-6a Bij grafiek hoort de formule y = x +, bij grafiek hoort de formule y = ( x + 9) en bij grafiek hoort de formule y = x 6. b ( x + 9) = x 6 x + = x 6 = x 6 x x = Invullen van x = geeft y = ( + 9) = 0 = 5 en y = 6 = 5. De coördinaten van het snijpunt van de twee lineaire grafieken is (, 5). c Invullen van x = geeft y = + = 5 = 5 = 5. Ja, het snijpunt ligt ook op de derde grafiek. d Invullen van x = p en y = 9 geeft 9 = p + p + = p + = 69 p = 65 e d = 6 d = d = f 5d = 05 d = 8 d = d = of d = g 000 m 00 m 00 m m 7 h 6 + x = 00 7 x = 8 x 7 = 8 x 7 = 7 x = 7

18 T-7a ( 0q 5) = 5 ( 0q 5) = 5 0q 5 = 5 0q q = 8 b 7 t t = 7 t = 9 t = 8 t = 7 c ( x 8)( 7 6x) x 8 of 7 6x x = 8 of 6x = 7 x = of x = d ( a + 6) = ( 5 a) + a + a 8 8a + a + 6 a = 7a 6 + a = a = 6 a = e m = 68 6 m = 8 m = 8 m = m = f = 5 9 b 50 = 5 9 b 9 b = 6 b = b =