Noordhoff Uitgevers bv

Transcriptie

1 Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt kg lengte in m gewicht in kg 7 9 c d gewicht in kg lengte in m m weegt kg dus m weegt kg meter e startgetal hellingsgetal V-a y + Dus ( ) y + dus ( ) y + dus ( ) y 9 7 O 7 9 c y y + De y-coördinaten verschillen dan. d y y dus + en het verschil in de -coördinaat is dus V-a + Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

2 V-a y y dus snijpunt ( ) c lijn l : y + d lijn m: y + + startgetal ladzijde y O m A 7 9 y 9 ( ) 9 ( 9) V-a y + y 7+ c y d y V-a y dus 7 y 7 y + + dus y + c y + + dus y Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel B

3 V-7a cm in uur dus cm in uur De kaars was dus cm lang. l t + t + V-a y y c Zie opdracht a. y + d y V-9a y + y + hellingsgetal lijn l is hellingsgetal lijn m is snijpunt met de y -as: y dus ( ) snijpunt met de -as: y geeft 9 dus ( 9 ) c snijpunt met de y -as: y dus ( ) snijpunt met de -as: y geeft dus ( ) d dus y snijpunt ( ) V-a + 9 dus y + snijpunt ( ) ( y ) sustitueren in y ( ) geeft y (( y ) ) y y y dus ( ) snijpunt ( ) c y ( ) sustitueren in ( y ) + geeft ( ( ) ) + + dus y ( + ) 7 snijpunt ( 7) d y geeft y ( ) + y geeft y + + dus y snijpunt (; ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

4 V-a ( ) ( ) + + ( )( ) met y of met y snijpunten ( ) en ( ) f( ) ( ) dus ( ) ligtopdegrafiek van f. c () ligtopde lijn y want ( ) ( ) + + ( )( ) Er is slechts één oplossing dus de lijn raakt de grafiek van f.. Toenamediagrammen ladzijde a In het e-uur (dus van uur tot uur). In het e -uur (dus van uur tot uur) is de temperatuur C afgenomen. c In dat uur is er een temperatuurdaling. d 7 uur C uur + C (toename van C in het ste -uur) 9 uur + C (toename van C in het 9 e -uur)) a ladzijde 7 lengtetoename in cm 7 9 leeftijd in jaren De tael en het toenamediagram aanvullen met de punten: 7 9 Zie opdracht a. c cm Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

5 a c O R k O O h p a t d De toename is per defenitie de toename over de voorgaande periode; hier is de stapgrootte dus t () f () f ( ) e voor R: toename p+ (( p ) + ) t t t t voor K: toename ( ) voor h: toename a + a ( ( a ) + ( a )) a + 7 a temperatuur in C hoogte in km Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

6 c d De langste staaf is C. Een toename van C per km. h km T C h km T + C De temperatuur heeft een maimum daar waar een toename overgaat in een afname; dus ij h km kan een maimum zijn. a cm Je kent de lengte ij de geoorte nog niet. c De toenames worden minder. d Elyse was 9 7 cm lang ij de geoorte. e lengtetoename in cm 7 9 leeftijd in jaren. Gemiddelde verandering ladzijde a Nee want Annika versnelt niet aan het einde van de race maar aan het egin van de race. De grafiek van Bea ligt aan het egin hoger dan die van Annika. c gemiddelde snelheid is km per minuut d Bij 9 minuten over km hoort een gemiddelde snelheid van km per minuut. 9 s t 9 7a s( ) s( ) 7 s s( ) s( ) is de afstand die Annika aflegde van t tot t gemiddelde snelheid is s( ) s( ) km per minuut c van t tot t : gemiddelde snelheid s( ) s( ) 79 7 km per minuut van t tot t : gemiddelde snelheid s( ) s( ) 9 km per minuut d km per minuut Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

7 ladzijde 9 a f( ) ( ) f( ) ( ) differentiequotiënt f() f(( ) 7 f () f() f( ) 9a op differentiequotiënt f () f() f( ) op differentiequotiënt f () f() 9 f( ) op 9 differentiequotiënt 9 f() en f( 9) 7 7 helling van lijn l differentiequotiënt op [ 9] 9 a f() en f() f() f() differentiequotiënt klopt! Alle intervallen symmetrisch rond ijvooreeld: [ ]; [ ]; [ ] of [ a +a] met a >. f ( ) f( ) f( ) a op differentiequotiënt f ( ) f( ) f( ) op differentiequotiënt f ( ) f( ) f( ) op differentiequotiënt nee; ofschoon de intervallen groter worden toch worden de differentiequotiënten kleiner. f ( ) f( ) f() op ; differentiequotiënt 7 c f ( ) f( ) f() op ; differentiequotiënt 99 f ( ) f( ) f( ) op ; differentiequotiënt 997 f ( ) f( ) f( ) op ; differentiequotiënt 9999 Het differentiequotiënt lijkt nul te naderen. De grafiek van f heeft een maimum voor en dus een horizontale raaklijn in (; ). a maimum A( ) en minimum B( ) y helling van de lijn door Aen B 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 7

8 c y helling van de lijn door O en A y helling van de lijn door O en B 7 d interval [ ] [; ] [99; ] e differentiequotiënt [; ] [99; ] helling is in ( ); een horizontale raaklijn door het minimum. Hellingen enaderen ladzijde a gemiddelde snelheid is km per minuut of km per uur De helling van de grafiek van Carel is soms groter dan die van de grafiek van s. c Op de intervallen [ ] en [ ] reed Carel sneller dan km per uur. a helling van de raaklijn f f( ) f( ) lijn l: y + + dus lijn l: y + a Y Y CALC intersect geeft: snijpunt S( ) hellingsgetal c op [99; ] f 99 op [; ] f op [99; ] f de helling van de grafiek van f in S is gelijk aan de helling van de raaklijn ladzijde Y /( X ) Y ( Y( X) Y( X ))/ vensterinstelling: min ; ma ; ymin ; yma helling van de grafiek in (7 ) is 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

9 7a a voor ( ) is de helling f () f( ) f( ) voor ( ) is het hellingsgetal f () f( 999) f( ) 999 d O t op de top is de raaklijn horizontaal dus hellingsgetal h h( ) h( ) t. Hellingen eact ladzijde 9a interval differentiequotiënt [; ] [; ] [; ] [; ] Zie de tael ij opdracht a. c Hoe kleiner des te nauwkeuriger is de enadering van het differentiequotiënt. a f( + ) ( + ) 9+ + ( ) f( +) f() 9 differentiequotiënt + + ( ) Als tot nul nadert dan gaat het differentiequotiënt naar. De eacte helling is dus. a f( + ) ( + ) + + a f () f( +) f() + ( + ) + c De eacte helling in punt ( ) is dus. d De grafiek van f is een lijn met helling. ladzijde f () f( +) f( ) + ( ) + Dit nadert naar als naar nadert. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 9

10 7 c f () f( +) f( ) + ( ) + Dit nadert naar als naar nadert; klopt! a Y ( Y( X + ) Y( X))/ of Y numderiv( Y XX ) dy d a Y Y ( Y( X + ) Y( X))/ calc value geeft Y() geeft f() dus in ( ) is de helling 7 geeft f( ) dus ook in ( )isdehelling 7 c ( ) en ( ) d helling Dus een horizontale raaklijn ij het maimum ( ) en ij het minimum ( ).. De afgeleide functie ladzijde a steeds erij als met toeneemt c y d 7 dus en y dus ( ; ) a f () f ( +) f() ( +) + + als tot nadert dan wordt f () oftewel f'( ) f '( ) f'( 7) en f'() 7 f is spiegelsymmetrisch om de lijn ; de raaklijnen aan de grafiek van f zijn dat dan ook. c f '( 9 ) 9 7a f () + + dus f'( ) f'( ) en f'() c f'( ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

11 a f ( + ) ( + ) ( + )( + )( + ) ( + + ( ))( + ) + + ( ) + ( ) f ( +) f() ( + + ( ))( + ) + + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) c d f () + + ( ) als tot nadert dan f () dus f'( ) ladzijde 9a Y X^ Y ( Y( X + ) Y( X))/ dus f '( ) dus f '( ) dus f '( ) klopt! f() f () c f'( ) 9 a f'( ) g'( ) 9 f '( ) c g'( ) d dus dus of met respectievelijk y en y dus ( ) en ( ) a f'( ) dus f'() g'( ) dus g'() Dus loopt de grafiek van g in ( ) steiler dan de grafiek van f. f '( ) 7 g'( ) 7 c 79 nderiv( )9 en nderiv( )9 klopt! Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 7

12 a 7. Differentiëren ladzijde y 9 7 O vermenigvuldiging met ten opzichte van de -as. c Y X Y (( X + ) X )/ d g'( ) e g'( ) f g'( ) a Een translatie over +7 ten opzichte van de -as (7 omhoog schuiven). g'( ) f'() immers een verticale translatie (verschuiving) eïnvloed de helling niet. c g'( ) a optellen van de grafieken t dus + m/s t dus + m/s c st () t () + pt () d s'( t) '() t + p'( t) ladzijde 7 a f'( ) f'( ) + + c f'( ) 9 d g'(() t + t + t e h'( p) p p ds a s'( t) t dt ds s'( t) ( t )' t t dt c s 7 7 t dus s' t t d s t + t + dus s' t + Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

13 7a en want het hellingsgetal van de lijn is f'( ) c f'( ) ja! a s( ) km 9 7 kilometer per uur s'( t) t t + t 9t + s'( ) kilometer per uur s'( ) kilometer per uur c Haar snelheid op t is gelijk aan haar snelheid op t. d Y t 9t + minimum ij t ; minimale snelheid km per uur 9a Y + Y vensterinstelling: min ; ma ; ymin ; yma intersect geeft of 9 f'( ) f( ) ( ) + dus P( ) c P ligt op de lijn y + p als + p dus als p controle: Y klopt!.7 Machtsfuncties en raaklijnen ladzijde a f'( ) Y / en Y nderiv( Y ) of Y ( Y( X + ) Y( X))/ klopt! c klopt! d in de uurt van is de helling zeer groot (negatief) a f'( ) Y en Y nderiv( Y )of Y ( Y( X + ) Y( X))/ klopt! a g () g'( ) + g'( ) + + Y + / en Y c In geen enkele punt van de grafiek is de helling gelijk aan. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 7

14 7 a f'( ) 7 f '( ) 7 7 y dus ladzijde 9 a f() dus P(; ) f'( ) f '( ) y + + dus vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f door P : y f( ) ( ) dus Q( ; ) f '( ) ( ) y + + dus vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f doorq : y a f'( ) f '( ) y + + dus vergelijking van de raaklijn: y Y en Y intersect geeft: en y 9 dus het punt ( 9) f a f( + ) f( ) + y + + dus 9 vergelijking van de raaklijn: y 9 c Y ^ 9en Y 9 klopt! 7a Y ^ ^en Y de lijn raakt de grafiek niet Opgelost moet dan worden f'( ) en dit heeft oplossingen. Er zijn dus raaklijnen aan dfe grtafiek van f evenwijdig met y. c f'( ) f '( ) ( ) ( ) y + + dus vergelijking van de raaklijn: y Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

15 a f'( ) dus Een nulpunt van f ' komt overeen met de -coördinaat van een top van de grafiek van f dit kan een maimum of een minimum zijn. Hier dus een minimum van de grafiek van f.. Gemengde opdrachten ladzijde 9a d() en d( ) gemiddelde snelheid: m/s d'( t) tdus d'() m/send'( ) m/s en d'( ) m/send'( ) 7 m/s c 7 m/s d d( ) meter de formule wordt dan d 7t + 7 7t. Dus a 7 en e d O t 7 a r() 7 en r() gemiddelde snelheid: 7 7 cm/s r'( t) t t r'( ) 7 cm/s c O() (()) r 9 9 cm d O( ) ( + ) 97 cm O( ) O( ) 99 cm /s a f() en g() afstand CD CD wordt kleiner ij een verschuiving naar links CD wordt groter ij een verschuiving naar rechts c a'( ) d a'( ) ( ) (vervalt) of Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 7

16 7 ladzijde a O () 9 I () lengte reedte hoogte I () ( 9 )( ) I () + domein c I'( ) + + of (vervalt; uitenhet domein) Dus voor is de inhoud maimaal. a De kosten stijgen zeer sterk naarmate de volledige escherming wordt enadert. Betere escherming geeft minder diefstal maar ondanks alle escherming zal er nog wel wat gestolen worden. c De zeer hoge kosten van ver doorgevoerde escherming staan niet meer in verhouding tot de kleine vermindering van de diefstallen. d Noem T() S () + B () T () T'( ) + T'( ) als e T() en T( ) Het edrijf espaart -9 euro. I-a ICT - Gemiddelde verandering ladzijde De km lange wandeling duurde uur De gemiddelde snelheid was km/uur c tijdsinterval toename tijd toename afstand 7 7 gemiddelde snelheid 7 7 d tijdsinterval toename tijd toename afstand 7 7 gemiddelde snelheid e tijdsinterval toename tijd toename afstand 7 7 gemiddelde snelheid A was keer sneller dan de gemiddelde snelheid A was keer gelijk snel aan zijn gemiddelde snelheid Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

17 I-a maimale hoogte op t h() en h() 7 gemiddelde snelheid: h () h () 7 m/s c h() en h() 7 en h() gemiddelde snelheid op [ ]: h () h () 7 m/s gemiddelde snelheid op [ ]: h () h () 7 m/s gemiddelde snelheid op [ ]: h () h () m/s d gemiddelde snelheid op [ ]: h () h () m/s ladzijde I-a f() 9 en f() differentiequotiënt op[ 9]: f () 9 f () 9 I-a f( ) f( ) f( ) f( ) 9 9 f( ) differentiequotiënt op [ ]: f () f () differentiequotiënt op [ ]: f () f () differentiequotiënt op [ 9]: f () 9 f () 9 differentiequotiënt op [9 ]: f( ) f() Het teken (+ of -) van het differentiequotiënt geeft aan of de grafiek op het interval stijgt (+) of daalt (-). De grootte van het differentiequotiënt geeft de gemiddelde verandering van de functie op het interval. c f() 7 en f( ) 9 differentiequotiënt op [ ]: f() f() differentiequotiënt op [; ]: f() f( ) 9 De lijn geeft het gemiddelde verloop van de grafiek over het interval. 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 77

18 I-a H() en H() en H() 7 en H() 7 differentiequotiënt op [ ]: H () H () 7 differentiequotiënt op [ ]: H () H () differentiequotiënt op [ ]: H () H () De grafiek van H is toenemend stijgend. c H() en H( ) differentiequotiënt op [; ]: H() H( ) differentiequotiënt op [; ]: H( ) H( ) d H( ) en H( ) differentiequotiënt op [; ]: H( ) H( ) differentiequotiënt op [; ]: H( ) H( ) Voor steeds kleinere intervallen nadert het differentiequotiënt op [ ; +] tot. I-a klopt! f() 9en f( ) en f( ) differentiequotiënt op [; ]: f( ) f( ) differentiequotiënt op [; ]: f( ) f( ) c y 9 7 d y Test jezelf ladzijde T- t in uren ezoekersaantal ezoekersaantal tijd in uren Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

19 T-a R( ) en R( ) 9 en R( ) toename van de omzet van naar machines is duizend euro toename van de omzet van naar machines is duizend euro op [ ]: R R( ) R( ) duizend euro per machine Q op [ ]: R R( ) R( ) duizend euro per machine Q c R( 7) en R( ) en R( 9) 97 op [ 7]: R R( 7) R( ) 7 duizend euro per machine Q 7 op [ ]: R R( ) R( ) duizend euro per machine Q op [ 9]: R R( 9) R( ) duizend euro per machine Q 9 ( ) T-a f( ) f() ( +) ( +) f( +) f() + ( +) c Als naar nadert dan is de eacte helling. T- Y X + Y ( X ) Y nderiv( Y XX )óf Y ( Y( X + ) Y( X)/ Y nderiv( Y XX )óf Y ( Y( X + ) Y( X))/ tale geeft: ladzijde 7 T-a f'( ) f '( ) f( ) y + + dus raaklijn door P : y c f'( ) > < < T-a f'( ) 9 s'( t) t c Hm ( ) m + m m dus H'( m) m + m d h () + dus h'( ) + Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 79

20 T-7a Nt () t t + t dus N'( t) + t t + t t Au ( ) u 9 + u dus A'( u) u u u u u 7 c g () + dus g'( ) 7 T-a s'( t) + dus s'() m/s s'( ) 9 m/sens'() m/s c s'( t) als t s( ) 7 dus m voor het verkeerslicht T-9a y 9 7 O c De lijn y a is raakt aan de grafiek. Beide moeten door het raakpunt gaan a + In het raakpunt zijn de hellingen gelijk anders is het geen raaklijn a f'( ) d + a en a Los dit stelsel vergelijkingen op door sustitutie: a + a a a a of a T-a f () + cmetc in 7 Er zijn dus vele mogelijkheden. In (()) afa is de grafiek van f noch stijgend noch dalend. De grafiek van f heeft in (()) afa een horizontale raaklijn en gaat in (()) afa over van afnemend stijgend naar toenemend stijgend of van afnemend dalend naar toenemend dalend. y Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel