Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Transcriptie

1 Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 1 V-1a Bij A hoort een kwadratish verand, want de toename van de toename is steeds 4. Bij B hoort een lineair verand, de toename is steeds 5. Bij C hoort een omgekeerd evenredig verand, het produt van de getallen die oven elkaar staan in de tael is steeds 6. Bij D hoort een eponentieel verand, want de getallen in de onderste rij van de tael worden steeds met 4 vermenigvuldigd. A: = 16 of =- 16 B: g ()= C: h ))= 6 D: k () = 0754, V-a y g ()=- + 7 Het hellingsgetal is - 6 =-1. De formule is y= ladzijde 13 V-3a Als = dan is y = 6 en als =- dan is y =-6 1 0,5 0 0,5 1 3 y d Als steeds groter wordt dan nadert y naar nul. f ()= 1 V-4a Als + 4= 0 dus =-4 h = 0 is de kleinst mogelijke uitkomst. Bij m: Als - 4= 0 is = 4, dus 4 is de kleinste waarde voor. m = 0 is de kleinst mogelijke uitkomst. Bij p: Als 3 + 6= 0 is =-, dus is de kleinste waarde voor. p = 0 is de kleinst mogelijke uitkomst. V-5a Een negatief getal tot de vijde maht levert een negatieve uitkomst. Een negatief getal tot de vierde maht levert een positieve uitkomst. V-6a a( 8) = 1 = 1, ( 8) = 3 8-7= 17, ( 8) = 3 8-7= 185, d( ) a: geen uitkomst mogelijk voor kleiner dan 7 : alle waarden van geven een uitkomst : alle waarden van geven een uitkomst d: geen uitkomst mogelijk voor =-1 8 = -3 =

2 Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine V-7a t = levert h = 1, 8 dus 1 meter en 80 entimeter hoog. Dan is h = 1000 Maak een tael: t 4 5 4,7 4,8 h 409, Dus na (ijna) 4,8 seonden is de vuurpijl een kilometer hoog. ladzijde 14 1a 5

3 Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine a De y-waarden liggen tussen 10 en 4 3a Het este eeld krijg je als ligt tussen en Top ( 0,5; 9,375) Snijpunten met de -as ( 1,5; 0) en (1, 0) Snijpunt met de y-as (0, 9) De grafiek lijkt ij deze instellingen door de oorsprong te gaan. ladzijde 15 4a t y y Top (1,5: 5,5 5a y y

4 Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine 6a 7a 7= 14 dus 14 m Als B = 3 dan is er 5 meter over. 35 = 15 dus oppervlakte 15 m O B d De top is (,75; 15,15) De grootst mogelijke oppervlakte is 15,15 m ladzijde 16 8a f() 0,833 0,75 0,5 * 1,5 1,5 1,167 Omdat 5 zinloos is heeft f( 0 ) geen etekenis. 0 f( 0, 0001) = en f( - 0, 0001) = d In de uurt van = 0 loopt de grafiek steeds meer vertiaal. e Als steeds groter wordt, loopt de grafiek steeds meer horizontaal. f y

5 Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine 9a De grafiek ziet er nu uit als een rehte lijn, terwijl f een tweedegraads funtie is. De grafiek van f moet dan een paraool zijn f() De top ligt dus ij = 100 Bijvooreeld: X van 50 tot 50 en Y van 100 tot 50 10a De ijehorende standaardfuntie is f ()=, de grafiek is een (dal)paraool. De ijehorende standaardfuntie is f ()= 1, de grafiek is een hyperool. 11a 1a Grafiek A B C D Funtievoorshrift h g f k A: grafiek van een wortelfuntie B: grafiek van een eponentiele funtie C: rehte lijn D: hyperool P (0, 4), Q (0, 5), R ( 4, 0) en S (0, ) 13a GK is een geroken funtie, dus de grafiek is een hyperool. Neem Y van 0 tot 0 d Als er veel wordt geprodueerd, naderen de gemiddelde kosten volgens de formule naar een edrag van 3 euro. Bij weinig produtie zijn de gemiddelde kosten hoog. Dat lijkt wel in overeenstemming met de werkelijkheid. 8

6 Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 18 14a De derde plot geeft het este eeld. De maimale y-waarde moet lager worden. Neem y maimaal 5 15a Zowel de tijd (X) als de hoogte (Y) kunnen nooit onder de waarde nul komen. De steen komt aan de plot te zien ongeveer 50 meter hoog. Aan de plot te zien komt de steen na ongeveer vier seonden op de grond. d Neem X van 0 tot 5 en Y van 0 tot 50. ladzijde 19 16a Neem X van 15 tot 15 en Y van 150 tot 50. Neem X van 4 tot 5 en Y van 10 tot 50. Neem X van 6 tot en Y van 15 tot Neem X van 0 tot 0 en Y van 0 tot a Het randpunt is ( 50, 0) en de grafiek zal stijgen. Neem X van 60 tot 50 en Y van 10 tot 0. 19a t loopt van 0 tot 10 en C van 0 tot 3 Maak een tael: Dan is C maimaal,4 mg/liter. 0 Je kent hier de vorm van de standaardgrafiek, een hyperool. De vertiale asymptoot is =-5 en de horizontale y = Deze geruik je om de goede instellingen te vinden. Bijvooreeld: X van 30 tot 0 en Y van 900 tot

7 Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 0 1a f( - ) = - ( ) - (-)- 1) = 0en f( 3) = ) = 0 De grafiek heeft dus twee randpunten op de -as. Als tussen en 3 ligt, dan is de uitkomst van -- 1 kleiner dan nul. De wortel daarvan estaat niet. y a Er is een sprong in de grafiek als = 35, Maak een tael: Voor grote positieve waarden van komt g() steeds dihter ij 1. ladzijde 1 3 Randpunt als = 0. Dan is 3 + 6= 0 ofwel =- g( - ) =-4 dus randpunt (, 4) 4 Randpunt als 8p - 0= 0. Dan is 8p = 0 dus p = 0 = 5, 8 Het randpunt is dan (,5; 19) 5a Vertiale asymptoot als - 3= 0 ofwel als = 15,. 10

8 Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine Met een tael kun je, door voor grote waarden te nemen, vinden dat de horizontale asymptoot y = 4 is. Dit zie je aan het funtievoorshrift door in te zien dat de reuk 6-3 voor grote waarden van steeds dihter ij nul komt. 6a Vertiale asymptoot als 85t = 0 ofwel 85t = 340 dus t = 340 = Horizontale asymptoot N = a 000 m dan is A = Dan is P = = 19 dus 19 euro per m per jaar = dus de totale kosten zijn dan euro per jaar. Als A = 30 dan is P = 13, 4 Als de waarde van A steeds groter wordt, komt de uitkomst P steeds dihter ij 13. d P = 13 e De prijs per m per jaar wordt ij grote vloeroppervlakte 13. Maar onder dit edrag kom je nooit! f Bij een kleine waarde voor A wordt P erg groot. 8 Randpunt ij de grafiek van g als p - 1= 0 dus p = 05,. g( 05,) = 0 dus randpunt (0,5; 0) Horizontale asymptoot ij de grafiek van h. Met een tael vind je voor grote waarden van t dat de uitkomst steeds dihter ij 0 komt, dus: y = 0 Vertiale asymptoot ij de grafiek van f als - = 0 ofwel = Horizontale asymptoot y = ij de grafiek van f. ladzijde 9a f is een wortelfuntie. Dan kan - 4 niet onder nul komen, dus mag niet kleiner zijn dan 4. Het randpunt is (4, ). Je ziet aan de plot dat de grafiek stijgt. Mogelijke funtiewaarden zijn dan en groter. 30a De grafiek heeft een randpunt (, 5) en de grafiek daalt. Domein, ereik y 5 11

9 Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine Domein, ereik De grafiek is een dalparaool met top (,5: 0,5) Domein, ereik y -05, d De grafiek is een stijgende lijn. Domein, ereik 31a p loopt van 0 tot en met 38 en C van 1 tot en met 10 Iemand met 31,5 punten krijgt als ijfer een 8,5 Iemand met een 5,5 heeft 19 punten ehaald. 3 Ongelijkheid - < 6 >-9 < 0 - < 1 Interval [- 6, -9,,0 -, 1] 33 Wortelfuntie: domein [-, en ereik,-3] Geroken funtie: domein,3 en 3, en ereik, en, Kwadratishe funtie: domein en ereik [, 34a t loopt van 0 tot 15 dus [0, 15] h loopt van 0 tot 60 dus [0, 60] Linkervaas: als t = 4 dan is h = 16 dus hoogte 16 m. Rehtervaas: als t = 4 dan is h = 31 dus hoogte 31 m. 1

10 Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine 35a ; ; [ 0, 0; y 0 ; [ 0, ; [ 0, ; [ 0, [, 3] etekent vanaf tot en met 3, dus de randen tellen eide mee. 3, etekent tussen en 3, dus de randen tellen eide niet mee. (, 3) etekent het punt met = en y = 3. ladzijde 4 36 De grafiek van f is een ergparaool, dus f hoort ij. De grafiek van g is een hyperool, dus g hoort ij 4. h is een wortelfuntie en heeft dus een randpunt. Dan hoort h ij 3. m is een eponentiele funtie met groeifator 1,3 dus stijgt de grafiek. Dan hoort m ij 1 37a t = 0 levert C( 0) = , = 90 dus 90 C Maak een tael: d Tijd in minuten Temperatuur in graden Celsius ,6 58,8 0 In de eerste minuut is de thee = 13 graden afgekoeld. In de derde minuut is de thee = 8 graden afgekoeld Als je voor t hele grotewaarden neemt, komt de uitkomst C steeds dihter ij 5 te liggen. Dus op den duur wordt de theetemperatuur 5 C Maak weer een tael: Tijd in minuten Temperatuurvershil in graden Celsius ,6 33,8 =,, 41, 6 =,, , 8 = 08, 41, 6 De groeifator per minuut is steeds 0,8. Het vershil in temperatuur neemt dus per minuut met 0% af 38a Neem X van 5 tot 5 en neem Y van 750 tot Zo op het oog verandert er helemaal niets! 39a De lineaire formule hoort ij lampje. In het egin daalt het peil van lampje het snelst, omdat lampje ovenaan smaller is dan lampje 1. De hoogte egint ij 0 en eindigt ij 0, dus: [0, 0] d De grafiek van lampje 1 is een deel van een (erg)paraool, de grafiek van lampje een deel van een lijn. h t 13

11 Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine 40a Vul d = 010, en h = 15, in de formule in, dan is v 18, 3 dus ij minstens 18,3 m/s. Dan wordt v heel erg groot. Ofwel: om een heel laag muurtje van 10 m dik om te lazen moet het werkelijk onvoorstelaar hard waaien. Dat lijkt niet in overeenstemming met de werkelijkheid, een laag muurtje zal eerder omwaaien dan de formule aangeeft. Een hogere muur van dezelfde dikte zal ij een lagere windsnelheid omwaaien. Je ziet aan de formule dat je door h deelt, terwijl je met de wortel van 3+ 3h vermenigvuldigt. Voor hoogtes vanaf 3 meter 80 levert dit een lagere windsnelheid op als je de muur verhoogt. d Eerst: 90 km/uur is gelijk aan 5 m/se, dus v = d , Opgelost moet worden: = 5 190, e Met ehulp van je rekenmahine vind je een minimale dikte van 16 entimeter. 100 d , , Je krijgt dan als formule: v = = d ofwel 190, 190, v= d getal en dat levert een rehte lijn op. ladzijde 6 I- 1a Voor <4 estaat de funtie niet (4, ) < 3 d Nee, het kwadraat onder de wortel is positief of 0 voor elke waarde van. e Alle funtiewaarden zijn. I-a Voor < 0 en > < 0 voor de waarden van genoemd ij. ladzijde 7 I-3a p ligt tussen 0 en 38, C ligt tussen 1 en 10. 8,3 19 punten 14

12 Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine I-4a Domein:, Bereik:, 5] Domein:, -1,84] of [0,18;, Bereik: [0, Domein: 0, Bereik: h 3 d Domein:, 4], Bereik:, 3] e Domein: 4, Bereik: l,5 f Domein:, Bereik: [-,5; 0 I-5a Domein:, 1] of [1,, Bereik: [0, I Voor geen enkele waarde van a, de wortel is altijd positief. II Voor a 0, de waarde onder de wortel is dan altijd positief of 0. III Voor a < 0, zie vooreeld ij opgave a. Zie uitleg ij I ladzijde 30 T-1a Tael: a h 0 1,8 3, 4, 4,8 5 4,8 4, 3, 1,8 0 d De al komt maimaal 5 meter hoog. e Voor a = 18 geeft de formule uitkomst h = 18,. De al is dan dus 1 meter 80 hoog. Een speler van gemiddelde lengte moet de al dan koppend kunnen innenhouden. T-a Grafiek 1 is een rehte lijn, daarij hoort een lineaire funtie dus k; Grafiek 3 is een hyperool, daarij hoort een geroken funtie dus h; Grafiek 4 heeft een randpunt, daarij hoort een wortelfuntie dus g; Dan hoort ij grafiek een eponentiele funtie dus f. Punt A: = 0 en y= k() 0 = 3 dus oördinaten (0, 3) Punt B: y = 0 dus k ()= 0 ofwel 3-1 = 0. Dan volgt = 6 dus oördinaten (6, 0) Punt C: = 0 en y= f() 0 = 3 dus oördinaten (0, 3) Punt D: het randpunt van g () dus 9- = 0 ofwel = 45,. De oördinaten zijn dan (4,5; 0) 15

13 Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine T-3 Bij f: de snijpunten met de assen zijn (0, 5) en (,5; 0). Neem X van 5 tot 10 en Y van 10 tot 15 Bij g: randpunt (, ). Neem X van 5 tot 10 en Y van 0 tot 10 Bij h: hyperool, met horizontale asymptoot y = 14 en vertiale asymptoot = 0. Neem X van 10 tot 10 en Y van 10 tot 30 Bij k: Neem X van 3 tot 3 en Y van 0 tot 10 Bij m: dalparaool met top (1, 81). Neem X van 10 tot 1 en Y van 100 tot 0 T-4a Randpunt als 16 - = 0 dus als = 8. f( 8) =- dus randpunt (8, ) Randpunt als 1+ = 0 dus als =-05,. g( - 05, ) = 3 dus randpunt ( 0,5: 3) Vertiale asymptoot als 6- = 0 dus als = 3 Horizontale asymptoot y =- T-5a De top van f is (10, 5). Domein en ereik, 5] Randpunt (8, 0). Domein, 8 ] en ereik [-, Geroken funtie, asymptoten = 3 en y =-. Domein,3 en 3,. Bereik, en -, 3 T-6a t = 0 geeft V = 30 = 7000 dus 7000 mm 3 ofwel 7 m 3 Op tijdstip 0 is het volume nul, het ijslokje is dan gesmolten. t loopt van 0 tot 0 en V van 0 tot 7000 d Er moet gelden: ( 30-15, t ) < Bereken eerst ( 30-15, t ) = 10000, dit geeft (met je rekenmahine) t 5, 6371 Na 5, 6371 minuten ofwel na 5 minuten en 39 seonden. T-7a Neem X van 0 tot 10 en Y van 0 tot 10. v = 10 levert S = 111, 6 dus 111meter en 60 entimeter. v = 40 levert S = 1, dus dat lukt netaan. 16

14 Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine d v = 50 levert S = 9 dus stopafstand 9 meter v = 50 levert R = 1, 5 dus remweg 1,5 meter. Het vershil is dan 16,5 meter. T-8a Bij veel eponentiele funties is dit het geval, ijvooreeld ij f ()= Ook ij de funtie f ()= is dit het geval. Nee Het is een wortelfuntie, dus eerst het randpunt erekenen is het handigst. Randpunt als = 0 dus als = -157 = Het randpunt is dan (-5 1 3, - 83). De grafiek is stijgend. Neem ijvooreeld als instellingen X van 100 tot 300 en Y van 100 tot 0 17