Blok 2 - Vaardigheden

Transcriptie

1 Moderne wiskunde 9e editie Havo A deel Blok - Vaardigheden ladzijde 0 a 6 f g h d, p, p p 0 5 p i e 6q 6q q q q 5 0 5a a 0a a t t t t t t a Per weken is de groeifator 7,, 9 Een kwartaal heeft 5 : weken. De groeifator per kwartaal is dus, 7 990, 5. Een dag is 7 -week, dus groeifator per dag is 7,, d In een week zitten 7 68 uren. De groeifator per uur is 7,, a Dit zijn 0 0 ncr ominaties van leerlingen. Per partij zijn er mogelijkheden, per partijen zijn er manieren, enz.. Een wedstrijd estaande uit 0 partijen kan dan op manieren verlopen d Hier zijn 6 5 7! 70 vershillende rijtjes mogelijk. a Je verwaht een kwart van de antwoorden goed te gokken, dus 5 stuks. Of ook: Het aantal goede antwoorden is inomiaal verdeeld met parameters n 0 en p. De verwahting is dan n p Deze kans is ( 0 00 ), Deze kans is ( ) ( ) ncr 0 ( ) ( ),. Je kunt het antwoord ook vinden via inompdf( 0; 05, ; 0 ). 5a De kans op 5 witte knikkers is 6 5 0, Er zijn 5 ncr 5 routes, elk met een kans 6. De gevraagde kans is dus 0, Er zijn 5 ncr 0 routes, elk met een kans 6 5. De gevraagde kans is dus 0 5 0, d De kans ij a zou zijn geweest ( ),, de kans ij is 5 ( ), en 0 6 tenslotte zou de kans ij zijn geweest a ( ) ( ) q( q) + q q q + q q + q ( ) d p ( p ) p p e s( s+ ) s( s ) s + 6s s + s 7s f ( s+ ) s s ( + s) s + s s s s + s ( ) ( ),

2 Blok - Vaardigheden Moderne wiskunde 9e editie Havo A deel 7a Voer de twee funties in. Neem als vensterinstelling ijvooreeld 0 0, y 60. Met Interset vind je dan het snijpunt ( 5, ; 50 ). Voer de twee funties in en neem als vensterinstelling ijvooreeld 0 8, 0 y 0. Met Interset vind je de snijpunten ( ; ) en (, 575;, 875). ladzijde 8a De lijn l gaat door de oorsprong, dus is de vergelijking y a. Invullen van A( ; ) geeft a a en de vergelijking van l is y. De lijn m heeft vergelijking y a+. Invullen van de punten A( ; ) en B( ; ) a+ geeft het stelsel vergelijkingen a+ Met aftrekken van de vergelijkingen krijg je a a. Dit laatste invullen in de vergelijking a+ geeft en de vergelijking van m is y +. De lijn n is evenwijdig aan y en heeft dus dezelfde rihtingsoëffiiënt. De vergelijking wordt dus y +. Invullen van punt C( 5; ) geeft 5+ en de vergelijking van m is y. 9a d 80 Voer de twee funties (ehorend ij de uitdrukkingen links en rehts van het -teken) in en geruik ijvooreeld als vensterinstelling, 0 y 5. Met Interset vind je de oplossingen 5, en 08,. Voer de funties in en geruik ijvooreeld als vensterinstelling 6 6, 0 y 00. Met Interset vind je de oplossingen a 97, en a 08,. Voer de funties in en geruik ijvooreeld als vensterinstelling, y. Met Interset vind je de oplossing t 05,. Voer de funties in en geruik ijvooreeld als vensterinstelling 5 0, 50 y 50. Met Interset vind je de oplossing t 8,.

3 Moderne wiskunde 9e editie Havo A deel Blok - Vaardigheden 0a De groeifator per jaar is 0,9. Per twee jaar is de groeifator 09, 0, 86, dat etekent in twee jaar een afname van ( 0, 86) 00% 5, 6% en niet een afname van 6%. Per jaar is de groeifator 0,9 en die per twee jaar is 0,86. t De formule voor het aantal inseten na t jaar is Nt () ,. d t Je lost hier op de vergelijking , 500 of (wat hetzelfde is) 09, 0, 5. Invoeren in je rekenmahine geeft met Interset t 8,. Dit komt overeen met 8 jaar en maanden dus met 00 maanden. a Als je veronderstelt dat de gerealiseerde diameter normaal is verdeeld, dan is de kans dat een willekeurig staafje wordt goedgekeurd gelijk aan normaldf( 65, ;, 9;, 8; 0, 06) 0, 960. De kans op afkeuring is dus 0,050 en het verwahte perentage afkeuringen 5,%. Voor het gezohte gemiddelde m moet gelden normaldf( 65, ; E^99; m ; 0, 06) 095,. Voer deze funtie van m in de rekenmahine in. Met enig gezoek via TBLSET en TABLE krijg je: Dus m, 79. 8

4 Moderne wiskunde 9e editie Havo A deel Blok - Door elkaar ladzijde a De wijnsoorten kunnen in ! volgorden worden geproefd. Dit aantal is! Als de vier Bordeau wijnen als eerste aan de eurt zijn om te worden geproefd dan is het ijehorende aantal volgordes! 8! De flessen kunnen in het rijtje van de overige aht wijnsoorten op 9 plaatsen voorkomen met steeds als aantal mogelijkheden. Het totaal aantal volgorden is dus d Nu letten we even niet op de volgorde van proeven. Het gevraagde aantal manieren is nu ncr, dit is het aantal ominaties van 0 uit wijnsoorten dat de wijnliefheer goed kan enoemen. 500 a Bij dit aantal kerstpakketten is q 5 en dus GK (euro s) De gemiddelde kosten per kerstpakket zijn nugk 0 +. Bij kerstpakketten etekent dat de totale kosten TK euro, dus 7,5 miljoen euro. Als het aantal kerstpakketten erg groot wordt zullen de gemiddelde kosten per kerstpakket naar 0 naderen. d Voer funtie W in de rekenmahine in. Neem als vensterinstelling ijvooreeld 0 0, 0 y 50. Neem het maimum en je krijgt: Bij q 50 en dus kerstpakketten treedt de maimale winst per pakket op. ladzijde a De verversing van % s nahts etekent groeifator 0,97. Na de eerste dag is er 500 g aanwezig, s nahts wordt dit geredueerd tot 097, g. Op de tweede dag komt er weer 500 g ureum ij, dat maakt samen 985 g. De daarop volgende naht wordt dit geredueerd tot 097, , 5 g. Aan het egin van de derde dag is er dus ruim 955,5 g ureum aanwezig. 0 m is % van het totale volume van het zwemad. Dus evat het zwemad 000 m en de kritishe grens van g/m ligt voor dit zwemad dus op 000 g. Beredeneer de hoeveelheid ureum s ohtends en s avonds op de ahtereenvolgende dagen, op een manier vergelijkaar met onderdeel a. Na enig rekenwerk krijg je de volgende tael. 8

5 Moderne wiskunde 9e editie Havo A deel Blok - Door elkaar s ohtends s avonds e dag e dag e dag 955,5 55,5 e dag,8 9,8 5 e dag 85, 5, d Dit etekent dat de kritishe grens in de loop van de vijfde dag wordt overshreden. 00 liter per ezoeker etekent in totaal 00 m en dat is 0% van de totale inhoud van het zwemad. Na de nahtelijke shoonmaakatie is er nog maar 80% van de hoeveelheid ureum over. Als er s ohtends een hoeveelheid U aanwezig is, dan is dat s avonds U en daarvan is de volgende ohtend nog 08, ( U + 500) 08, U + 00 over. De kritishe hoeveelheid is 000 g. Omdat U n < 000 (er wordt in de formule steeds iets positiefs van 000 afgetrokken) voor elke n is aan het egin van de dag steeds aan de wettelijke norm voldaan. a Een lineair verand tussen X en Y wordt eshreven door Y ax +. Deze lijn moet gaan door (0; ) en (50; 0). Dit geeft het volgende stelsel vergelijkingen in a en :. De oplossing is a 08, en en het gezohte lineaire verand 50a+ 0 Y 08, X +. Invullen van X geeft het ijfer 6,8. 9 8,5 8 7,5 7 6,5 6 5,5 5,5,5,5,5 0, Om van 5,5 naar 0 te komen (,5 punten) moet je 50 8 antwoorden etra goed heen. Dat etekent dat voorij het omslagpunt dat je 5, 9 per goed 6 eantwoorde vraag krijgt. Iemand met 0 goede antwoorden heeft 0 vragen te 9 5 weinig voor het ijfer 0 en zit dus 0 punten onder de 0, op 6 deimaal nauwkeurig is dat een 8,6 (vergelijk ook de grafiek hieroven). Deze leerling heeft 5 antwoorden te weinig en krijgt daardoor,5 punten minder dan een 0. Voorij het omslagpunt krijgt hij dus 5, punt per goed eantwoorde 5 6 vraag. Het omslagpunt hoort ij het ijfer 5,5. Dit is,5 punten onder een 0. Om een 5,5 te halen moet je dus 5, : 7 goede antwoorden missen. Het omslagpunt ligt 6 in dit geval dus ij 50 7 goede antwoorden. 8

6 Moderne wiskunde 9e editie Havo A deel Blok - ICT Benaderen met de normale verdeling ladzijde a Vul de gegevens in en lees af ij kans rehts : 0, Nadat je het olletje voor tweezijdigheid het aangeklikt en de linker en rehter grens het ingesteld lees je af ij kans midden 0,759. Het eenzijdigheidsolletje moet hier weer worden aangeklikt. Nadat kans links op 0,5 is gezet, lees je ij grens af:,997. Het antwoord is dus: deze eikels heen een gewiht van, gram. a kleur al groen lauw zwart prijs 6 kans Je krijgt nu preies de figuur in het oek. Dit is de verwahting van de prijs die je krijgt: ,. En als je dit spelletje erg vaak doet zal de prijs op de lange duur gemiddeld,67 naderen. d Zet het aantal worpen op, dan lees je rehtsonder als verwahtingswaarde 7,. Deze verwahtingswaarde is die van de som van de prijzen die je via de twee spelletjes krijgt. Deze verwahtingswaarde is natuurlijk zo groot als die ij spelletje. e 8

7 Moderne wiskunde 9e editie Havo A deel Blok - ICT Benaderen met de normale verdeling Het gemiddelde van de normale verdeling ofwel de symmetrielijn van de klokvormige urve ligt in de uurt van 55, wat overeenkomt met de verwahtingswaarde van de som. ladzijde 5 a Na instelling van sheef links lees je af: aantal ogen 6 kans 0,8 0,0 0,09 Bij ongeveer 5 worpen, Bij ongeveer 0 worpen. Als het aantal worpen toeneemt gaat de verdeling hier eerder op een normale verdeling lijken dan de verdeling van sheef links. a P( X ) 0 ncr ( ) ( 0 ) ( ) 0, De ontrole kun je ook uitvoeren via inompdf. Van oven naar eneden zie je de verdelingen ehorend ij p 0, ; p 05, en p 09,. Van 0, naar 0,5 gaande, lijkt de verdeling meer op een normale verdeling. Startend vanaf 0,5 rihting 0,9 lijkt de verdeling gaandeweg weer steeds minder op een normale verdeling. 85

8 Blok - ICT Benaderen met de normale verdeling Moderne wiskunde 9e editie Havo A deel Bij ijvooreeld n 50 krijg je volgende verdeling: d Ze heen ij n 80 allemaal wel ongeveer de klokvorm van de normale verdeling. Wel geldt voor ijvooreeld p 0, en p 09, dit wel iets minder dan voor p 05,. 5a De verdeling is duidelijk niet symmetrish. Je maakt p gelijk aan 0,5 of je maakt n zo groot dat de verdeling vrijwel de klokvorm van een normale verdeling heeft. Voor X zijn de grenzen 0,5 en,5; voor X zijn dat,5 en,5; voor X zijn de grenzen,5 en,5. Zie ook de figuur ij a. 6 Je ziet in de figuur in het oek dat de normale enadering ij p 0, nog niet erg goed werkt. Als je in de uurt van p 05, komt is die enadering (hoewel nog niet helemaal ideaal) een stuk eter. Voor p > 05, gaat het langzamerhand weer wat minder en ij p 09, heeft de enadering ongeveer weer dezelfde matige kwaliteit als in het geval p 0,. ladzijde 6 7a Na instelling van de parameters lees je af P( X 8) 0, 75 en P( Y ) 0, 6. Bij X ( n 5; p 0, ) lees je als verwahtingswaarde af 0 en als standaarddeviatie,5; ij Y ( n 5; p 005, ) lees je als verwahtingswaarde af,5 en als standaarddeviatie,09 P( X 8) P( U < 8, 5) waarij U een normaal verdeelde stohast is met gemiddelde 0 en standaarddeviatie,5. Na instelling van de juiste parameters ij de normale verdeling zie je ij kans links de enaderende waarde 0,07. 86

9 Moderne wiskunde 9e editie Havo A deel Blok - ICT Benaderen met de normale verdeling d e Op vergelijkare manier vind je als normale enadering van P( Y ) de waarde 0,09. Vergelijken met de juiste waarden leidt tot de onlusie dat de enadering van P( X 8 ) redelijk in de uurt ligt, terwijl die van P( Y ) een stuk slehter is. Stel de juiste parameters van de inomiale verdeling in. De verwahtingswaarde van T is,50 en de standaarddeviatie is,5, terwijl via een kanstael is af te leiden dat P( T 0) P( T 0) P( T ) 0, 988 0, 005 0, 989. De verwahtingswaarde van T is,50 en de standaarddeviatie is,5 (zie opdraht d). Bij de enadering van P( T 0) moet je uitgaan van het interval [,5; 0,5]. Na instelling van de juiste parameters ij de normale verdeling krijg je als enadering ij kans midden 0,98. 8a Die is niet aeptael. Bij n 00 egint het ergens op te lijken. Dit is een eetje afhankelijk van wat aeptael wordt gevonden. Hieronder een tael die enig inziht geeft in de samenhang tussen p en de enodigde n. waarde p 0, 0, 0,0 0,05 0,95 minimale n ladzijde 7 9a Je neemt dan m n p 85 08, 68 en s n pq 85 08, 0,, Via de inomiale verdeling in VU-Statistiek kun je aflezen 0,98. In deimalen is dat 0,98. De normale enadering geeft 0,97. De enadering wijkt 0,0 af. Via de inomiale verdeling in VU-Statistiek kun je afleiden P( 65 W 70) P( W 70) P( W 6) 0, 76 0, 70 0, , 576. De normale enadering geeft 0,5798 0, 580. De enadering wijkt 0,00 af. d De eis kun je ook vertalen in P( X a ) > 0, 95. Uit de tael van de inomiale verdeling lees je af dat a 7 en dus a 75. 0a Er wordt getrokken zonder teruglegging zodat de kansen op een lik met verstreken datum niet steeds helemaal gelijk zijn. En dat laatste is nodig voor een inomiaal kanseperiment en een inomiale kansverdeling voor B. 87

10 Blok - ICT Benaderen met de normale verdeling Moderne wiskunde 9e editie Havo A deel Na instellen van de parameters lees je af P( B ) 0, De parameters van de inomiale verdeling moeten zijn n 5 en de kans op een 80 lik met verlopen datum p 0, Bijehorende inomiale verdeling 00 5 hoort natuurlijk eigenlijk ij het trekken met teruglegging. Uitgaande van deze kansverdeling is P( B ) inomdf(; 5 0, ; ) 0, 878. Via VU-Statistiek en de inomiale verdeling krijg je dezelfde uitkomst. d Er is sprake van een kleine steekproef vergeleken met de populatiegrootte en de aantallen likken met en zonder verstreken datum. e Een enadering met de normale verdeling ( m, en s 98 ) geeft als uitkomst 0,887. Deze enadering is iets minder goed dan de inomiale enadering, maar valt nog mee. a Hier is n 6 en p 075,. In VU-Statistiek kan n ij de inomiale verdeling niet hoger worden gekozen dan 000. Als je via VU-Statistiek werkt moet je dus wel enaderen met de normale verdeling. De parameters van de normale verdeling zijn nu m n p 6 075, 5 en s n pq 6 0, 75 0, 5 8, 5. Bij het enaderen van P( X 00) neem je dus als interval ; 00,5] en je krijgt dan als uitkomst 0,05. Bij het enaderen van P( X 00) neem je als interval [99,5; en krijg je als kans 0,967. Natuurlijk kun je deze uitkomsten ook krijgen door te werken met normaldf op je rekenmahine. Klik het olletje van de tweezijdigheid aan. Neem nu als interval [00,5; 99,5]. Je leest af ij kans midden 0,08. d Het aantal planten met witte loemen X meer dan drie keer zo groot als het aantal rode loemen etekent X > ( 6 X) X > 5. Een normale enadering gaat via het interval [5; en geeft als uitkomst 05,. 88