Hoofdstuk 4 - Modelleren

Transcriptie

1 Bladzijde 84 1a De gemiddelde oprengst per vluht is ( ) 500,- = ,-. Alle stoelen zijn ezet. Dat levert dus ,- = ,- op. Het aantal mensen waaraan een afkoopsom moet worden etaald is = 17. Dit kost ,- = ,- De oprengst van deze vluht is dus = ,-. 2a 1000 maal simuleren kan ijvooreeld opleveren: d Het gemiddeld verlies is dus ongeveer e 3000,- per vluht. Uit de grafiek hieroven lees je af dat ij 29 overoekingen het verwahte verlies het kleinst is. Omdat de afkoopsom verduelt, verduelt ook het gemiddelde verlies. Als je geruik maakt van de simulatie hieroven dan wordt dat dus ongeveer e 6.000,-. e Als het perentage niet opkomende passagiers stijgt tot 25% dan neemt het verlies toe tot een edrag van ongeveer e 4.940,-.Als je allerlei simulaties uitvoert voor tussenliggende uitvalperentages, dan lijkt dat ij 19% het kleinste verlies optreedt, namelijk ongeveer e 1.900,- Gaande van 16% tot 25% daalt het verlies eerst tot a. e1.900,- (ij 16%) en stijgt vervolgens naar a. e 4.940,- (ij 25%) Het hangt ervan af hoe je het ekijkt. 92 Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 1 Noordhoff Uitgevers v

2 Bladzijde 85 3a d De jaarlijkse toename voor een populatie van 2 miljoen vissen is 1,2 miljoen. Dat is dan ook het aantal vissen dat jaarlijks kan worden gevangen om die populatiegrootte te houden. Bij een populatiegrootte van 2 miljoen is dit 0,3 miljoen te veel: verloop (in miljoenen): 2 1, 7 1, 2 0, 5 en de populatie verdwijnt; ij populatiegrootte van 8 miljoen is het verloop ongeveer 8 7, 9 7, 8 7, 7 7, 7 en gaat dus naar een staiele situatie toe Lees af: ij 0 en ij 10 miljoen vissen. In de grafiek loopt n van 1 tot 10 in miljoenen. Dat etekent in het model dat er maximaal 10 miljoen vissen kunnen zijn. 4 Watervervuiling heeft een negatieve invloed op het aantal geoorten, ook zullen er meer vissen doodgaan. Vissers die gevangen vissen niet weer teruggooien, zullen het aantal vissen dat sterft eïnvloeden. Roofvissen en vogels veroorzaken dat er meer vissen doodgaan. Conurrentie op het geied van voedsel veroorzaakt voedselshaarste en leidt tot meer sterfte. Bladzijde 86 5a d eveiliging winst (): eveiliging rengt kosten met zih mee; eveiliging diefstal (): eveiliging zal diefstal moeilijker maken diefstal eveiliging (): meer diefstal zal leiden tot meer eveiliging diefstal winst (): gestolen goederen rengen geen geld in het laatje verkoopprijs diefstal (): een hogere prijs voor koper zal het voor dieven aantrekkelijker maken om koperen spullen te stelen vraag verkoopprijs (): hoe groter de vraag, des te hoger de verkoopprijs zal zijn (eonomish prinipe) verkoopprijs winst (): hoe hoger de verkoopprijs, hoe meer geld er in het laatje komt Dit is niet nodig omdat via de verkoopprijs dat verand al is gelegd. Dit lijkt ui de oorzaak-gevolg-keten meer eveiliging minder diefstal meer winst (dus via twee pijlen met -teken). Het is model is kwalitatief. 6a Als de evolking toeneemt is er minder plaats voor immigranten, dus zal op den duur de immigratie verminderen. Als de evolking toeneemt zullen er meer mensen zijn die willen emigreren, maar emigratie etekent ook dat de evolking kleiner wordt. Gezinshereniging: Immigranten die hun gezin zijn vooruit zijn gereisd, zullen het aantal immigranten doen toenemen als zijn hun gezinsleden laten nakomen. Bladzijde 87 7a rente kapitaal gewiht dieet Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 1 Noordhoff Uitgevers v 93

3 Bij het rente-kapitaal-model is sprake van positieve feedak: Beide grootheden eïnvloeden de andere grootheid positief. Bij geen van eide modellen is er sprake van negatieve feedak. 8 evolking verkeersdihtheid wegenaanleg aantal ongelukken per jaar Er zijn wel meer veranden, maar die zijn al indiret aanwezig in het model, ijvooreeld: ongelukken per jaar verkeersdihtheid is gerealiseerd via evolking. 9a Een groter aantal gezonde mensen heeft als gevolg ook meer zieken. Bij esmetting hoort dus pijl B. Hoe meer zieken, hoe meer mensen er ook weer gezond zullen worden. Hier gaat het om genezing (pijl A). A (genezing): of er een vain estaat tegen de ziekte en in de uurt eshikaar is, of er een omgeving is die zo nodig op tijd een dokter waarshuwt, goed voedsel, een goed ed, et.. B (esmetting): de manier waarop esmetting plaatsvindt, de mate waarin deze ziekte esmettelijk is, de frequentie waarmee gezonde mensen met zieke mensen in aanraking komen. 10a gezond ziek immuun permanent gezond ziek immuun tijdelijk Bladzijde 88 11a Gedurende 288 uur verruikt het vliegtuig 90% van 5600 dus 5040 liter. Het hellingsgetal is dus = 17. De lijn gaat door (; ) en dus is de vergelijking B = t. 2 Vermindering van de randstofvoorraad tijdens de vluht maakt het vliegtuig lihter, dus zal er minder randstof nodig zijn om de reis te vervolgen en zal de randstofvoorraad minder snel slinken. 94 Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 1 Noordhoff Uitgevers v

4 De randstofvoorraad daalt nu exponentieel. In 288 uur daalt die voorraad 90%, dus de groeifator per uur is , 0, B( 0) = 5600 en dus is ijehorende t formule B = , a aantal reeën 1 nov 1 nov 1 nov 1 nov tijd Op 1 januari zijn er 450 reeën. De groeifator per jaar is 1,04. Per maand etekent dat een groeifator van ,. Op 1 novemer vóór de jaht zijn er dan ( 104, ) 465 reeën. Op 1 novemer preies een jaar eerder maar na de jaht waren er Er mogen nu dus = 18 reeën worden afgeshoten. 104, 13a afkoeling opwarming Zowel de opwarming als de afkoeling verloopt lineair in de tijd 1 {; 015 : T = 18 t ; [ 15; 105 : T = t ; [ 105; 120 : T = 3 t; [ 120; 125 : T = 25 t. 30 Bladzijde 89 14a Hieroven staat parameter g op 2 en hieronder op 4: Naarmate g groter wordt stijgt het aantal zieken sneller. Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 1 Noordhoff Uitgevers v 95

5 Hieronder de grafiek voor g = 3. 15a Je gaat uit van de grafiek van opdraht 14. Kies ahtereenvolgens voor optie Extra en Toenamen. Kies in het dialoogvenster ij gemiddelde toename Z voor optie Z t en kies toename t gelijk aan ijvooreeld 0,01. Voor krijg je dan: Je leest af dat de epidemie voor deze waarde van g na 2 dagen op zijn hoogtepunt zit. Bij shuiven met de parameter en aflezen van t top van epidemishe urven zoals ij onderdeel a is gedaan, krijg je ongeveer: g t top 5,7 3,3 2,4 2,0 1,8 1,6 1,4 1,3 Bladzijde 90 16a aanwas = 2, geoorte = aanwas, de initiële waarde van populatie is 100, en de formule voor populatie is populatie = populatie dt*geoorte 96 Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 1 Noordhoff Uitgevers v

6 De tijdgrafiek loopt nu van 150 naar 350. d De tijdgrafiek moet lineair oplopen van 150 naar = 850 Bladzijde 91 17a Exponentiële groei, de populatie groeit immers jaarlijks met een vast perentage. De grafiek van een simulatie: De groeifator gaat van 1,03 naar 1,05. De grafiek zal sneller stijgen. Een simulatie laat dit ook zien. De grafieken ij de geoorteijfers 0,05; 0,03 en 0,01: Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 1 Noordhoff Uitgevers v 97

7 18 Simulaties ij sterfteijfers 0,02; 0,03 en 0,05 geven het volgende resultaat. 19a Er is hier sprake van exponentiële groei. Omdat de populatie stijgt is het geoorteijfer dus hoger dan sterfteijfer. Bij duel klikken op ijehorende symolen lijkt het geoorteijfer 0,03 en het sterfteijfer 0,02. Als je het geoorteijfer gelijk maakt aan 0,02, lijft de populatie onstant. Via een simulatie krijg je de volgende grafiek: 20a De epidemie egint ongeveer na 30 tijdseenheden en is voorij na ongeveer 60 tijdseenheden, preies de periode dat de populatiegrootte daalt. De epidemie lijkt dus 30 tijdseenheden te duren. Na 80 tijdseenheden is de populatie weer op het niveau van 30 tijdseenheden. 98 Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 1 Noordhoff Uitgevers v

8 Via de knop Graph krijg je de grafiek hieroven. De epidemie was op zijn hoogtepunt na 50 tijdseenheden. Dat is ook ongeveer het punt waar de populatiegrootte het snelst daalde (zie grafiek ij onderdeel a. Bladzijde 92 21a nieuwe populatie = oude populatie 003, oude populatie = 103, oude populatie Hieroven staan het resulterende diagram en ijehorende definities. nieuwe populatie = oude populatie geoorten sterfgevallen = oude populatie 003, oude populatie 001, oude populatie = (1 003, 0, 01) oude populatie = 102, oude populatie 22a De reursievergelijking is St ( 1) = 1, 05 St (). Er is hier niet gegeven over welk edrag de 5% rente wordt uitgekeerd, ijvooreeld S( 0 ) is onekend. 23a De aanwas is 12, het sterfteijfer is 0,03. De populatiegrootte lijkt naar ongeveer 390 te gaan. Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 1 Noordhoff Uitgevers v 99

9 Het antwoord ij klopt niet helemaal. De populatiegrootte gaat naar 400. d De populatiegrootte gaat ook nu naar 400. e De reursievergelijking is Pt ( 1) = Pt () 12 0, 03 Pt () of Pt ( 1) = 0, 97Pt () 12 Bladzijde 93 24a De verandering ten opzihte van de oude populaties S is 12 0, 03S. Bij een staiele populatie is die verandering , 065S = 0 0, 065S = 70 S = , a de onstanten: toenamefator = 0,8; maximum = 10; vangst = 1,5; de variaelen: toename = toenamefator*populatie*(1-populatie/maximum); afname = vangst en tenslotte is de grootheid populatie gedefinieerd met INIT = 2 en flow = dt*afname, dt*toename Na ongeveer 4 tijdseenheden is de populatie verdwenen. De populatie gaat nu naar 7,5 (miljoen) en is dan staiel. us d De verandering per tijdseenheid is 15, 08, u ( 1 ) en deze moet dus 0 zijn. S 10 us 2 e 15, 08, u ( 1 ) = 0 8u 80u 150 = 0 u u = 0 S 10 S S S S Dus u = 10 ± 25 u = 25, en u = 75,. S S S 2 Er zijn dus twee gevallen waarin de populatie staiel is. 4 26a grootte gaat naar 8,13 Ook met deze startwaarde gaat de populatiegrootte naar 8, Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 1 Noordhoff Uitgevers v

10 27a Conentratie_Co Als er wordt geventileerd, neemt de onentratie af met een snelheid die evenredig is met de aanwezige hoeveelheid CO. Dat etekent dat de afname teruggekoppeld is met onentratie_co. De ander twee pijlen zijn duidelijk. De tijdseenheid is hier een minuut. Na 60 minuten heeft de grafiek hieroven zijn verzadigingspunt ereikt. Conentratie_Co Het verzadigingspunt is nu al na ongeveer 30 minuten ereikt. Bladzijde 94 28a Hiernaast de definities. eotype gras ruigte oever water hakhout oppervlakte ha Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 1 Noordhoff Uitgevers v 101

11 d Hakhout Als je van elk eotype een grafiek maakt, dan lijkt dat de evenwihtssituatie ongeveer na 250 à 300 tijdseenheden optreedt. Hieroven de grafiek van eotype hakhout. Bladzijde Als je de eginvoorwaarden van eerst ruigte, dan hakhout en tenslotte water 10 ha hoger of 10 ha lager maakt, verandert er niet veel in de verhoudingen in de evenwihtssituatie. In alle gevallen verdwijnt ijvooreeld nog steeds het grasland. 30a, Rehts staan alle definities. De tael maakt duidelijk welk evenwiht zih instelt. Het is duidelijk dat op deze manier het grasland ehouden lijft. Je voert eerst een 10-staps-simulatie uit met het model van opgave 28. Dit levert voor de vershillende eotypes het volgende resultaat (lees ij =10): 102 Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 1 Noordhoff Uitgevers v

12 De gevonden oppervlakten worden nu ingevuld als initiële waarden in het model van deze opgave, terwijl je kunt laat eginnen ij 10 (te regelen via Simulation Setup ij optie Simulate). Het lijkt dat je toh op den duur hetzelfde evenwiht krijgt. Tien jaar later doorvoeren van de maatregelen maakt dus op den duur niets uit. Bladzijde 98 T-1a datum aantal 1 mei januari (2000 eraf) 1 mei (35% erij) 1 januari (2000 eraf) 1 mei (35% erij) Na ijna 11 jaar. Op 1 mei 2020 zijn er vissen. Op 1 januari 2021 zijn er nog 9459 over, maar in de daarop volgende periode van natuurlijke aanwas zou de kweekvijver vol raken. T-2 maximale hypotheek inkomen rente inkomen maximale hypotheek (); maximale hypotheek inkomen () in verand met de rente die moet worden etaald; rente maximale hypotheek (); T-3a N( 0) = , 4 1 = Voer in je rekenmahine in Y1 = /( 1 1, 4* 0, 835^ X) en maak een tael van de natuurlijke ontwikkeling in de kweekvijver in het geval er geen vissen worden gevangen. De jaarlijkse natuurlijke toename is nooit hoger dan 600, dus een visvangst van 1500 per jaar wordt de vispopulatie fataal. Een visvangst van 1000 is nog steeds fataal voor de vispopulatie. Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 1 Noordhoff Uitgevers v 103

13 T-4a Het renteperentage is 4% en het edrag dat Willem jaarlijks stort is e 1000,-. Doe een simulatie en laat een tael met grootheid kapitaal meelopen. Je krijgt: Na 11 jaar is het kapitaal voor het eerst groter dan e ,-. T-5a Door te simuleren met vershillende opnameedragen kom je erahter dat Joost met een jaarlijkse opname van e 58,- na 10 jaar nog net een edrag van e 3000,- overhoudt. Kt ( 1) = 1, 04Kt () 58 T-6a Hieroven het volledige modeldiagram en de definities van toename_a en toename_b. d e Er is sprake van een staiel evenwiht. De edragen van eide landen gaan naar 1000 eenheden toe. Na een jaar of 10 zijn de uitgaven van de landen nagenoeg gelijk. Het staiele evenwiht ziet er steeds hetzelfde uit, namelijk uitgave van a eenheden voor eide landen. Soms duurt het langer totdat die evenwihtssituatie is ereikt. 104 Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 1 Noordhoff Uitgevers v

14 f Zet stop time in simulation setup op ijvooreeld 500. Je ziet dan dat ook in die situatie op den duur een staiele situatie ontstaat, het duurt alleen een stuk langer. De uitgave van land A gaan naar 3500 en die van land B naar Zie hieronder. g De uitgaven van eide landen lijken onegrensd te groeien. Moderne wiskunde 9e editie vwo D deel 1 Noordhoff Uitgevers v 105