Hoofdstuk 9 - Overgangsmatrices

Transcriptie

1 lazije 232 1a Er zijn 497 auto s e Eenweg ie via het plein e Gansstraat gaan. De som e eerste kolom geeft het aantal auto s e Eenweg, us 900. De som alle getallen in e matrix is 4000, het aantal auto s at het Vogelplein passeert , 900 E F G E 001, 0, , F 044, 0, , G 055, 0,50 000, e 001, , , 2250 = 1829 auto s verlaten het plein rihting Eenweg 044, , , 2250 = 1736 auto s verlaten het plein rihting Fuutlaan 055, , , 2250 = 1435 auto s verlaten het plein rihting Gansstraat. 2a De onerzoeker moet eze gegevens ij e overhei opvragen. De som e fraties uit P en S is 1. S P S 098, 0, 08 = A P 002, 0, 92 A S P e egin 2004 woonen er mensen in e sta en op het plattelan. 3a In 2002 vieren = 650 personen Sinterklaas. Hier vieren 104 geen Sinterklaas in W N W 084, 0, 20 = M N 016, 0, 80 W M 650 = N 372 in 2003 W M 613 = N 396 in 2004 W M 589 = N 411 in 2005 In 2004 vieren 589 mensen Sinterklaas. In Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 1 Noorhoff Uitgevers v 139

2 4a QT WP QT 050, 0, 25 = M WP 050, 0, 75 Het is een vereenvouiging e werkelijkhei en een wiskunige eshrijving e overgangen. QT M 300 = WP 375 QT M 225 = WP 394 Na één maan tanken 375 mensen ij e Witte Pomp. Na twee maanen zijn at er a In 4 VWO lijft 8% zitten. In 6VWO slaagt 100-7= 93% Als ieman een klas overslaat of teruggeplaatst wort. In e praktijk zal it vrijwel nooit het geval zijn. Er vertrekt nieman en er komt geen nieuwe leerling op shool. lazije 234 6a Van A1 via 1 C kan op 4 6= 24 manieren. Van A1 via 2 kan op 3 3= 9 manieren. Van A1 via 3 kan op 2 2= 4 manieren. Dus A1 C in twee stappen kan op = 37 manieren. Dit kan op = 42 manieren. A1 A2 L K = C ( 37 42) De aantallen tweestapswegen A1 respetievelijk A2 C. 7a A1 A = P C Q C = A1 A2 Q P C = C Er zijn 24 tweestapswegen A1 C1 en 13 A1 C2. Van A2 C1 zijn at er 27 en A2 C2 zijn at er 15. 8a Je kunt T1 via T2 D op 2 3= 6 manieren en via T3 D op 1 1= 1 manier. Totaal us op 7 manieren. Van T1 T1 zijn er = 9 twee stapswegen. Van T1 T2 zijn er 2 1= 2 tweestapswegen. Van T1 T3 zijn er 2 2= 4 tweestapswegen. 140 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 1 Noorhoff Uitgevers v

3 S S = DT1 T2 T3 D T T T Stees het aantal tweestapswegen tussen twee knooppunten. Tel e getallen in elke kolom op. Dan zie je at er uit T2 e meeste tweestapswegen vertrekken, namelijk 25. lazije 235 9a = M = M Het aantal veriningen tussen twee stations met slehts één tussenstop. Je kunt altij een station een volgen station en terug. e In M 4 staat in rij 2 en kolom 5 een 6. Dus zijn er 6 vierstapswegen La Fourhe (5) Villiers (2). f = M+ M 2 Deze matrix geeft het aantal manieren aan om een station een aner station te komen met maximaal 1 tussenstation. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 1 Noorhoff Uitgevers v 141

4 10a P A S P 04, ,, = V A 0 0, 5 0, 6 0 S , 0,9 40 P V = 50 A S 42 in P V = 50 A S 53 in 2002 e V 2 geeft e overgang per 2 jaar weer. V 4 40 P = in A S 71 Het aantal leen neemt stees verer af en us zal e lu woren opgeheven. 11a P A S P 10, ,, = V A 0 0, 5 0, 6 0 S , 0,9 V P = na 12 jaar. 50 A S 132 Uiteinelijk zal e vereling woren: V V P = na 4 jaar. 50 A S P = na 8 jaar. 50 A S 108 P A 60 S Je vint it oor ijvooreel V erekenen. 30 te lazije a 0,90 geeft aan at 90% e gezone leerlingen twee agen later nog gezon is. 0,60 geeft aan at 60% e zieke leerlingen twee agen later gezon is. 0,40 geeft aan at 40% e zieke leerlingen twee agen later nog ziek is. Op 12 januari was het aantal gezone leerlingen 090, , Het aantal zieke leerlingen was = Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 1 Noorhoff Uitgevers v

5 3 V = g 1742 z 288, e aantallen op 16 januari. 09, 06, , 04, g = z 227 Uitshrijven hier geeft oner anere 09, g+ 06, z= 1803 e Het totale aantal leerlingen is g+ z en at is f g+ z= 2030 g = z g , z = z 09, , z= , ( - z) , z= , z 03, z = 24 z= 80 en g = a V - 1 = g 1950 z 80 en it klopt met opraht 12g V ( V ) = V ( V ) = Je rekent 2 agen terug en an weer 2 agen vooruit of anersom. In eie situaties krijg je e situatie 10 januari a S V = 5040 in e eerste week novemer C en S V = 4676 na vijf maanen. C S - 1 V = 7000 in e eerste week septemer. C 2200 S - 1 S V = V want S - 1 S = I (e eenheismatrix) 15a S = 7100 us 4100 ton A, 7100 ton en 8300 ton C C 8300 S = C us 4000 ton uit ron 1, 9000 ton uit ron 2 en 3000 ton uit ron 3. 04, 1+ 0, 2 0, 2+ 0, 4 0, 25 = 054, us wort 54% e aarolie uit ron 1 tot enzine verwerkt. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 1 Noorhoff Uitgevers v 143

6 A C enzine 1 0, 2 0, 25 kerosine 0 0, 8 0, 25 =T smeerolie 0 0, 0 0, , 0, , T S= k026, 0, , = E s 020, 0, , De getallen geven e rie ronnen e vereling over e einprouten weer. Zo wort 38% e aarolie ron 3 verwerkt tot enzine. e E = k s us: ton enzine, ton kerosine en ton smeerolie. lazije a A C 07, 03, 02, 01, 05, 02, = M C 02, 02, 06, M 30 = 24 is e vereling aan het ein e ag. 30 C 30 ag A C Na vier agen veranert e vereling niet meer. lazije a 170 inwoners lijven in A, zoat e overgangskans A A gelijk is aan 170 = 085, 200 A C 085, 0, , 005, 0, , = M C 010, 0,07 084, 144 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 1 Noorhoff Uitgevers v

7 e M M = 342 in jaar C = 268 in jaar C ijvooreel M 300 = 394 = V 500 C 339 en M V = V us is e staiele vereling: 267 in A, 394 in en 339 inwoners in C. Het moel hout geen rekening met ijvooreel immigratie, emigratie, geoorte en sterfte. 18a 0,8 0,2 K L 0,4 0,6 In een staiele situatie moet gelen: 08, K = 06, Lus 8K = 6L. Uit 8K = 6L volgt K = 075, L Omat ook gelt K+ L=1400 vin je 0, 75L+ L= 1400 Dus is L = 1400 = 800 en is K = , Overgangsmatrix = us is na 6 perioen e situatie staiel. 19a K V 2000 = H 1450 Het aantal verhuizingen uit koopwoningen is 01, = 1000 en uit huurwoningen 0, = K 1600 Dan gelt: V 2000 = H 1400 us na 2 jaar kom je = 600 koopwoningen tekort en staan er = 600 huurwoningen leeg. 15% is 1500 en 5% is K V 1500 = H 1000 us een staiele vereling. lazije a Op t = 0 zijn er 2000 nul-jarigen, op t = 1 zijn er 1000 één-jarigen. Dus is e overlevingskans 0,5. Van e 1500 één-jarigen zijn er na één jaar nog 600 in leven, e overlevingskans is 600 = 04, Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 1 Noorhoff Uitgevers v 145

8 e Op t = 0 zijn er 1000 twee-jarigen en op t = 1 zijn er 5000 nul-jarigen, us gemiel zijn er 5 nakomelingen per inset. Op t = 2 zijn er 3000 nul-jarigen, 2500 één-jarigen en 400 twee jarigen. Op t = 3 zijn at er ahtereenvolgens: 2000; 1500 en aantal inseten t in jaren f De vereling herhaalt zih elke rie jaar. 21a 80% uit leeftijsklasse 2 leeft na één jaar nog. Een pijl links gaat over nakomelingen, een pijl rehts gaat over e overlevingskans. Het vruhtaarheisijfer leeftijsklasse 2 is 1, , 12, 04, 2 09, 00, 00, = L 3 00, 08, 00, e L = De getallen zijn e aantallen marmotten in elke leeftijsklasse na één jaar. fgh Tael voor grafiek a (vruhtaarheisijfer 1,2) t aantal Tael voor grafiek (vruhtaarheisijfer 0,79) t aantal Tael voor grafiek (vruhtaarheisijfer 0,5) t aantal aantal a 146 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 1 Noorhoff Uitgevers v t

9 lazije a t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = a Vissen 3 jaar en ouer heen nog 10% kans om één jaar later nog in leven te zijn. Vissen 2 jaar en ouer kunnen gegen woren want eze planten zih niet meer voort. Dat kun je niet zeggen want 10% overleeft stees. Toh is het erg onwaarshijnlijk at een vis 3 jaar over twee jaar nog leeft. De kans aarop is slehts 01, 01, = 001, e 08, 09, 07, 01, = 0, 0504 us ruim 5% f De populatie neemt stees verer toe. Zo zullen er volgens it moel over 20 jaar al 6192 nul-jarigen, 6192 één-jarigen, 3715 twee-jarigen en 3497 rie-jarigen zijn , 881 ; , 065 ; , 890 ; , 906 ; 0, 065 0, 906 0, , P = 0 0, , P = , 560 0, e ereken P uitmaakt an zie je at e klasse zo n 18% het totaal f Ook zie je an at e omg e evolking afneemt. De overgang is stees per 25 jaar us moeten ook e klassen 25 jaar ree zijn. lazije a K1 K2 K3 K4 K5 K K pikt K K K Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 1 Noorhoff Uitgevers v 147

10 Kip 2 pikt 3 anere kippen (som kolom 2) en wort slehts oor één anere kip (som rij 2) gepikt. Kip 2 lijkt e aas te zijn. Kip 1 heeft via Kip 2 en Kip 5 iniret overwiht op Kip 3. Dus op twee manieren. K1 K2 K3 K4 K5 K K P = K K K e f g De getallen geven aan op hoeveel manieren een kip via één anere kip, us iniret, overwiht heeft op een anere kip P + P + P = Ook volgens eze matrix is kip 2 e aas. De pikore lijkt te zijn: Kip 2, Kip 1 en Kip 3, Kip 4 en tenslotte Kip 5 De aas zijn over jezelf is wat onzinnig. Je krijgt an als resultaat e matrix - 17, 15, 13, 08, 10, - 08, 05, 03, 13, 18, - 12, 10, 12, 18, 13, - 05, 1, 8 25, 17, 18, - 5,3 7,8 5,3 4,8 2,6 De pikore veranert niet oor eze aanpak. 25a Van volwassene jong: 3 De overige: 1 j v j 0 3 = L v1 1 L j = v t aantal De groeifatoren zijn ahtereenvolgens: 4; 1,8; 2,7; 2,1; 2,4; 2,2; 2,3; 2,3; 2,3; 2,3 Dus na verloop tij is e groeifator zo n 2,3 per 0,1 jaar. Er zijn ongeveer 6954: , keer zoveel jonge als volwassen muizen. 148 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 1 Noorhoff Uitgevers v

11 lazije a De kans is 70% at het morgen zonnig is als het aag zonnig is. M 2 = 061, 0, , 0, 48 0,61 is e kans at het overmorgen zonnig is als het aag zonnig is. 0,39 is e kans at het overmorgen ewolkt is als het aag zonnig is. 0,52 is e kans at het overmorgen zonnig is als het aag ewolkt is. 0,48 is e kans at het overmorgen ewolkt is als het aag ewolkt is. Uit ijvooreel M ,, 043, 0, 43 volgt at M 1 M 0 = , 043, Dus maakt het niet uit of het aag zonnig of ewolkt is: over 20 agen is e kans at het zonnig is 0,57 en at het ewolkt is 0,43. De verhouing hier is ongeveer 4: 3. e Volgens it moel kun je ongeveer zonnige agen per jaar verwahten. 7 27a De kans is 07, 05, = 035, 0,3 klein normaal 0,7 0,5 0,7 0,5 0,8 groot extra groot 1 klein normaal groot extra groot k 03, n ,, = L g 0 0, 5 0, 8 0 e , k n 1005 L = ein g e k n 1409 e L = ein g e 788 f Hij plant = 1111 nieuwe omen, at kost e 2777,50 Hij kapt en verkoopt = 409 normale omen, = 314 grote omen en = 188 extra grote omen. Dat levert 408 ( 8-1) ( 20-1) ( 50-1) = euro op. De verwahte winst is an , 50 = 15263, 50 euro. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 1 Noorhoff Uitgevers v 149

12 g 1500 k n 1550 L = ein g e 700 Hij plant 1050 nieuwe omen, at kost e 2625,- Hij kapt en verkoopt 550 normale, 400 grote en 100 extra grote omen. De verwahte winst is an = euro. h Hij plant an 1365 nieuwe omen, at kost e 3412,50 Hij kapt en verkoopt 90 normale, 995 grote en 280 extra grote omen. Dat levert = euro op. De winst over twee jaar is an , 50 = , 50 euro. Dit is meer an twee keer zoveel als het antwoor ij g us is per 2 jaar kappen renaeler. lazije 246 T-1a perioe 1 A 06, 02, perioe 2 = M 04, 08, T-2a A 391 M 500 = 734 K L M N K L = D M N Er is 1 tweestapsweg L via M N. Er is 1 tweestapsweg N via K L. K L M N K L = D M N riestapswegen K N namelijk 4 routes KNKN en één route KLMN en 5 riestapswegen M L. e De som e ere rij is 3. Er einigen us 3 riestapswegen in M. De som e ere kolom is 9. Er eginnen us 9 riestapswegen in M. f De som e eerste kolom D 4 is 9. Er zijn us 9 vierstapswegen ie in K eginnen. 150 Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 1 Noorhoff Uitgevers v

13 T-3a S W 940 = E 415 op 22 mei S W 985 = E 381 op 29 mei S 1088 W 460 = E 312 us na 6 weken S W = E 520 op 8 mei. T-4 W S = E 200 us 200 klanten 26 0 S en W 800 = E 200, er treet geen veranering meer op. lazije 247 T-5a Een ier in klasse 1 rengt in één perioe gemiel 0,6 jongen voort. Een ier in klasse 2 rengt gemiel in één perioe 1,2 jongen voort. 80% e ieren in klasse 1 overleeft. 50% e ieren in klasse 2 overleeft L 100 = L 64 = na 2 perioen e T-6a L 134 = na 3 perioen De populatie neemt stees verer toe. 450 t A 210 = t t kg tussenprout 1, 1200 kg tussenprout 2 en 3270 kg tussenprout 3. A g = g g kg gronstof 1, 300 kg gronstof 2 en 375 kg gronstof 3. Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 1 Noorhoff Uitgevers v 151

14 t1 t2 t3 e = A e A 2 g1 g2 g3 e A = e Voor einprout 1 is 31 kg gronstof 1; 8 kg gronstof 2 en 15 kg gronstof 3 noig. Voor einprout 2 is 14 kg gronstof 1; 2 kg gronstof 2 en 8 kg gronstof 3 noig. 500 e A A 270 = 2 1 e Er kunnen einprouten 1 en einprouten 2 woren gemaakt. T-7a eie eshrijven hoe je uit een situatie een volgene situatie, een perioe later, kunt erekenen. Een overgangsmatrix estaat uit kansen om een ategorie een volgene ategorie te komen. Een populatiematrix evat aarnaast ook reproutieijfers per leeftijsklasse. De kolom oner C want uit C vertrekt geen enkele route. Ook zal e kolom oner C in G 4 uitsluiten nullen evatten want er zal uit C geen enkele vierstapsweg kunnen vertrekken. Ergo: in elke maht G zal e kolom oner C uitsluiten nullen evatten. De som e getallen elke kolom is Moerne wiskune 9e eitie vwo A/C eel 1 Noorhoff Uitgevers v