Noordhoff Uitgevers bv

Transcriptie

1 Voorkennis V-1a De punten op een afstan van 3 m van lijn l liggen op twee lijnen evenwijig aan l. De punten op een afstan van 5 m van punt liggen op een irkel met straal 5 en mielpunt. De vier snijpunten van e irkel met e twee evenwijige lijnen liggen op 3 m afstan van lijn l én op 5 m afstan van punt. a a V-2a/ unten even ver van e lijnen n en m liggen op e lijn preies in het mien tussen e twee lijnen n en m. Zie tekening. l 3 m 3 m n m 135

2 V-3a m 5 m K 6 m L 5 m De riehoek is een gelijkenige riehoek. 4 m Q 7 m V-4 / 1 = = 56 / 1 = = 60 / 2 = 120 (overstaane hoeken) / 1 = = 69 /D 1 = = 95 /D 3 = = 55 V-5a / 2 = / (gelijkenige riehoek) us / 2 = 22. /D 2 = = 136 /D 1 = = 44 Omat / 1 + / + /D 1 = 180 en / 1 = / is / 1 = ( ) : 2 = 68 / = = 90, us is een rehthoekige riehoek. zije = 10 = 4 = = 116 kwaraat R 5 m 5 m

3 V-6a In vierhoek D is /D = = 127. In vierhoek QRS is /Q = = 53. De overeenkomstige hoeken zijn gelijk. Verer is = 1,5 3 QR, = 1,5 3 RS, D = 1,5 3 S en D = 1,5 3 Q, us e overeenkomstige zijen zijn allemaal met fator 1,5 vermenigvulig. Dus zijn e twee vierhoeken gelijkvormig. In riehoek KL is /L = = 80. In riehoek UVW is /V = = 44. De overeenkomstige hoeken zijn gelijk, us zijn e twee riehoeken gelijkvormig. V-7a K 44 7, L V W 3,5 U De fator is 3,5 : 5 = 0,7, us VW = 7,2 3 0,7 = 5,04 en UV = 6 3 0,7 = 4,2 De hoeken H en F zijn gelijk. De iagonalen staan looreht op elkaar en maken us een hoek van 90 met elkaar. EFH is rehthoekig, us aar gelt e stelling van ythagoras. zije HE = 4 EF = 4 HF = kwaraat HF = 32 De zijen zijn an 4 3 1,5 = 6 m en 5 3 1,5 = 7,5 m. I 6 m 6 m L J 7,5 m 7,5 m K 137

4 1a ienparallel San Franiso Los ngeles San Diego N De koers van het vliegtuig snijt e koers van eie shepen oner een hoek van 70. Zie e tekening rehtsoven. et e lijn ie naar het nooren wijst vormen e twee koersen een riehoek met hoeken 40 en 70. De hoek tussen e twee koersen is an = 70. Dat komt omat e twee koersen van e shepen evenwijig zijn. 2a De hoeken 1, 3, 1 en 3 zijn even groot. De hoeken 2, 4, 2 en 4 zijn even groot. De hoeken 1 en 3 zijn even groot. De hoeken 2 en 4 zijn even groot. De hoeken D 1 en D 3 zijn even groot. De hoeken D 2 en D 4 zijn even groot. De lijnen l en m lopen evenwijig, e lijnen p en q niet. 3a E D F De hoeken ij en zijn 117 en = 63. De hoeken ij E en F zijn 74 en = a In elke ruit zijn e hoeken telkens twee aan twee even groot. In e linker plantensteun zijn e hoeken 148 en = 32. In e rehterplantensteun zijn e hoeken 83 en = N

5 5a / 3 = 72 (overstaane hoeken) / 2 = = 108, / 4 = / 2 = 108 / 1 = / 1 = 72 (F-figuur) / 3 = 72 (overstaane hoeken) / 2 = / 2 = 108 (F-figuur), / 4 = / 2 = 108 / 2 + / 1 = = 180 ls / 2 = 50, an is / 1 = = 130 en is / 1 ook 130 (F-figuur). Dus / 2 + / 1 = = 180. ls / 1 = a, an is / 2 = 180 a en is / 1 = a (F-figuur). 6a 7a/ D ligt op het mien van zije, want e riehoeken FD en DE zijn hetzelfe. Dus is D = D. Zo is ook E het mien van zije en F het mien van zije. D F E De paren overeenkomstige zijen zijn en DE, en DF, en en EF. De overeenkomstige zijen lopen evenwijig. 4 m K 9 m 1 1 N 6 m L Lijnstuk N is een mienparallel. Daaroor is /K = /N 1 (F-figuur) en ook / = / 1 (F-figuur). De overeenkomstige hoeken van e riehoeken KL en NL zijn gelijk, us zijn e riehoeken gelijkvormig. Omat N e mienparallel is, is e lengte van N e helft van ie van K. De fator is us 0,5. N = 0,5 3 K = 0,5 3 4 = 2 m NL = 0,5 3 KL = 0,5 3 6 = 3 m L = 0,5 3 L = 0,5 3 9 = 4,5 m 139

6 8a /e f 140 is een gelijkenige riehoek. De mienparallel DE is half zo lang als us DE = 2,5 m. Noem het mien van punt. Dan is rehthoekig en = 2,5 m. zije kwaraat = 2,5 = = 6,5 6, ,25 De lengte van is 36 = 6 m. De oppervlakte van is : 2 = 15 m 2. e De afmetingen zijn met 0,5 vermenigvulig, us moet je e oppervlakte met 0,5 2 = 0,25 vermenigvuligen. 9a 12-2 ielloolijn De afstan van Stromoli tot Napels is ongeveer 250 km. De afstan van Stromoli tot alermo is ongeveer 180 km. eie afstanen zijn ongeveer 290 km. De shepen 1, 3 en 6 liggen even ver van Napels als van alermo. TYRRHEENSE km alermo e De hoek is Napels 5 6 Stromoli essina Sirause DRITISHE ari atanzaro IONISHE Tarente 10a/ De tekening hieroner is op shaal 1 : 2. Q = = 5 m en Q = Q = 5 m Zie e tekening hieroven. De symmetrieassen zijn en Q. Q is symmetrieas van vierhoek Q.

7 11a/ Ja, een gelijkenige riehoek. a R Q 12a/ 0 TYRRHEENSE alermo 100 km Napels a essina DRITISHE IONISHE 0 TYRRHEENSE alermo 100 km Napels essina DRITISHE IONISHE De shepen in het uel geareere geie hieroner evinen zih ihter ij alermo an ij essina of Napels. 0 TYRRHEENSE alermo 100 km Napels essina DRITISHE IONISHE 141

8 142 13a/ De tekening hieroner is op shaal 1 : 2. 14a m unt ligt op mielloolijn van, us afstan = afstan. unt ligt op mielloolijn van us afstan = afstan. afstan = afstan, us punt ligt op e mielloolijn van. 50 R 6 m QR is een stomphoekige riehoek, want /R = = 100. Zie e tekening ij opraht a. Het snijpunt van e rie mielloolijnen ligt uiten e riehoek. e ijvooreel: f 15a 30 Het snijpunt van e rie mielloolijnen ligt op het mien van e shuine zije. ij stomphoekige riehoeken ligt het snijpunt van e mielloolijnen uiten e riehoek. ij rehthoekige riehoeken ligt het snijpunt op e riehoek en wel preies op het mien van e shuine zije. Q

9 16 17a 18a/ 12-3 Hoogtelijn e Q meter a sloot Het is een loolijn. In e tekening is e lengte van het hek 2,2 m, at is in werkelijkhei 2, = 110 m, want e shaal is 1 m : 50 m. De kortste route van naar e sloot over eigen lan is langs e lijn Q. De lengte van Q in e tekening is 4,3 m. De afvoerpijp moet us minstens 4, = 215 m lang woren. e Zie e tekening ij opraht a. f De loolijn heeft in e tekening een lengte van 3,9 m. De afvoerpijp wort in at geval 3, = 195 m lang. 19a ijvooreel: De hoogtelijnen heen één snijpunt. R Omat een mienparallel is, ligt in het mien van DF. Omat een mienparallel is, is evenwijig met DF. De hoogtelijn uit staat looreht op en us ook looreht op DF. Dus is e hoogtelijn uit tevens mielloolijn van DF. unt is het mien van DE en omat e hoogtelijn uit looreht staat op, staat eze hoogtelijn ook looreht op DE. Dus is e hoogtelijn ook mielloolijn. Dezelfe reenering gelt voor e hoogtelijn uit. De mielloolijnen van DEF zijn e hoogtelijnen van. Deze hoogtelijnen snijen elkaar in één punt, us e mielloolijnen ook. 143

10 20a 144 K S 3,5 m 4 m 6 m Het is een stomphoekige riehoek. Zie e tekening ij opraht a. Omat hoek groter is an 90, valt e hoogtelijn uit L uiten e riehoek. e Zie e tekening ij opraht a. De hoogtelijnen snijen elkaar in punt S. f In een rehthoekige riehoek snijen e hoogtelijnen elkaar in het hoekpunt met e rehte hoek. 21a De oppervlakte is : 2 = 12. Neem als asis = 6, an is e hoogte D. Er gelt: oppervlakte is 3 D : 2. Dus 6 3 D : 2 = 12. Dit geeft 6 3 D = 24, us D = 24 : 6 = 4. 22a 40 7 m T H R U S In UR is / = 40, /U = 90, us is /R = = 50. In RTH is /R = 50, /T = 90 en /H = = 40. In UQR is /Q = 60, /U = 90 en /R = = 30. In RSH is /R = 30, /S = 90 en /H = = 60. ij punt H zijn twee hoeken elk 40, twee hoeken elk 60 en twee hoeken us elk 80. (De zes hoeken zijn samen 360.) L 60 Q

11 23a / 24a De punten en Q liggen op een irkel met mielpunt, us ligt op gelijke afstanen van en Q. Dus ligt op e mielloolijn van Q. En omat eze mielloolijn ook looreht op zije KL staat, is eze mielloolijn tevens e hoogtelijn uit. K 12-4 Deellijn Q De afstan van het ship luto tot Uruguay is op e kaart 15 mm en at is in werkelijkhei = mm, us 30 km. De afstan tot rgentinië is op e kaart 8 mm en at is in werkelijkhei = mm, us 16 km. De shepen rgo en Irene liggen even ver van e kust van Uruguay als van rgentinië. rgentinië Uruguay rgo luto Hellas Irene De hoeken zijn even groot en zijn eie 20. L 145

12 146 25a/ De tekening hieroner is op shaal 1 : 2. / 26a 27a/ 5 m R 76 5 m Q Vierhoek QRS is een vlieger. e De lijn S is e symmetrieas van vierhoek QRS. f De symmetrieas vereelt hoek in twee hoeken van a/ 50 eellijn 6 m 9 m S 10 m De rie eellijnen lijken oor één punt te gaan. Zie e tekening in het oek. unt ligt op e eellijn van /, us afstan D = afstan F. unt ligt op e eellijn van /, us afstan D = afstan E. Dus afstan F = afstan E. Dus ligt punt ook op e eellijn van /.

13 29a/ ijvooreel: ijvooreel: R 30a/ / Q Een eellijn moet een hoek mienoor elen en ligt us altij innen e riehoek. Dan is het niet mogelijk at e rie eellijnen elkaar uiten e riehoek snijen. hoort ij hoort ij 12-5 Zwaartelijn hoort ij 31a - Het punt is ineraa het mien van ie zije. Dat gelt ook ij e anere hoekpunten. 32a De tekening hieroner is op shaal 1 : 2. 7 m 9 m 10 m Zie e tekening ij opraht a. De zwaartelijnen snijen elkaar in één punt. Je moet e passerpunt an in het snijpunt van e zwaartelijnen houen. 147

14 33a E O De oppervlakte van is : 2 = 16. Zie e tekening ij opraht a. De oppervlakte van E is : 2 = 8. De oppervlakte van E is : 2 = 8. eie oppervlakten zijn even groot. 34 Het ovenvlak van het stuk kaas heeft e vorm van een riehoek. Je kunt langs e rie zwaartelijnen in ie riehoek het stuk kaas vertiaal in twee gelijke stukken verelen. De viere manier is het stuk kaas horizontaal mienoor snijen. 35a Omat DE evenwijig is met zijn in e riehoeken Z en DEZ e hoeken en E gelijk en ook e hoeken en D (Z-figuren). Verer zijn in eie riehoeken e hoeken ij Z natuurlijk even groot. (overstaane hoeken). Dus zijn e riehoeken gelijkvormig. Omat DE een mienparallel is, is e lengte van DE preies e helft van e lengte van. Je moet us met fator 2 vermenigvuligen. De zijen Z en EZ zijn overeenkomstige zijen en e fator is 2, us Z is 2 keer zo lang als EZ. Op soortgelijke wijze gelt Z : DZ = 2 : 1. 36a 37a Omat EF evenwijig is met zijn in e riehoeken S en EFS e hoeken en E gelijk en ook e hoeken en F (Z-figuren). Verer zijn in eie riehoeken e hoeken ij S natuurlijk gelijk (overstaane hoeken). De riehoeken S en EFS zijn us gelijkvormig. Omat EF = 1 is e fator 2, 2 us is S : ES = 2 : 1. unt Z en punt S zijn hetzelfe punt. Omat e lijnen KQ en zwaartelijnen zijn, zijn e punten en Q e miens van e zijen KL en L. Lijn Q is us een mienparallel en us evenwijig aan zije K. En omat zije K looreht staat op zije KL, staat lijn Q ook looreht op zije KL. Lijn Q snijt zije KL in het mien van e zije en staat looreht op ie zije. S : S = 2 : 1, us S = 2. Dus eerst erekenen. 3 zije K = 12 K = 9 = kwaraat De lengte van is 225 = 15, us S = 15 = De lengte van S = = 5.

15 38a/ 39a Eerst KQ erekenen: zije Q = 6 K = 9 KQ = kwaraat De lengte van KQ = 117. De lengte van KS is ,. De lengte van SQ is ,. K 6 m 80 6 m N L Omat LN = N en KL = K zijn e zijen van KLN even groot als e overeenkomstige zijen van KN. De twee riehoeken zijn us gelijkvormig. aar an zijn e overeenkomstige hoeken ook even groot, us e twee hoeken ij K zijn even groot. Daarom is lijn KN ook een eellijn. Verer zijn e hoeken ij N ook even groot (en samen een gestrekte hoek van 180 ). Dus e hoeken ij N zijn elk 90 en at maakt e lijn KN ook een mielloolijn Gemenge oprahten ijvooreel: De vier eellijnen hieroven snijen elkaar niet in één punt. Van een ruit gaan e vier eellijnen altij oor één punt. (Dus ook van een vierkant gaan e vier eellijnen oor één punt.) 149

16 150 /e ijvooreel e vierhoek hieroner op shaal 1 : 2. f 7 m D 5 m 9 m 7 m In e vierhoek hieroven snijen e eellijnen elkaar in één punt. 40 De vier slingers moeten elk rie meter lang zijn (mienparallel). 3 m 3 m 6 m 3 m 3 m 41a De tekening is op shaal 1 : 2. e l 42a De afstan van het mielpunt tot e zije R is gelijk aan e straal van e irkel. De afstan van het mielpunt tot e zije Q is ook gelijk aan e straal van e irkel. Het mielpunt heeft us gelijke afstanen tot e zijen R en Q en ligt aarom op e eellijn van hoek. Het mielpunt van e irkel ligt ook op e eellijnen van e hoeken Q en R. Het mielpunt van e irkel is us het snijpunt van e eellijnen. R Q

17 43a De afstan van het mielpunt tot punt is gelijk aan e straal van e irkel. De afstan van het mielpunt tot punt is ook gelijk aan e straal. Het mielpunt heeft us gelijke afstanen tot e punten en en ligt aarom op e mielloolijn van. Het mielpunt heeft ook gelijke afstanen tot e punten en en ligt aarom ook op e mieloolijn van. Het mielpunt ligt ook op e mielloolijn van. Zie e tekening ij opraht. e Van ieere riehoek gaan e rie mielloolijnen oor één punt. Het snijpunt van e rie mielloolijnen heeft gelijke afstanen tot elk van e rie hoekpunten. Het sijpunt is us het mielpunt van een irkel ie oor e rie hoekpunten gaat. 44a / = = 40 In LS is / 2 = 40 : 2 = 20, /L 2 = 50 : 2 = 25, us /S 3 = = 135. ls /L = 72, is / = = 18. In LS is an / 2 = 18 : 2 = 9 en /L 2 = 72 : 2 = 36, us /S 3 = = 135. De hoeken L en zijn samen = 90. De hoeken L 2 en 2 zijn samen e helft van 90, us 45. /S 3 = 180 (/L 2 + / 2 ) = = a ijvooreel: D H G E F HG is een mienparallel van D en is aarom evenwijig aan. EF is een mienparallel van en is aarom evenwijig ook aan. HG en EF zijn us ook evenwijig aan elkaar. De mienparallellen HG en EF zijn eie half zo lang als, us gelt HG = EF. Van e vierhoek EFGH zijn twee zijen evenwijig én even lang. Dan is e vierhoek EFGH een parallellogram. 151

18 fi 152 IT ienparallel I-1a De lijnen m en n zijn evenwijig aan elkaar. Omat e lijnen m en n evenwijig zijn, zijn e hoeken 1 en 1 even groot. Je ziet e letter F. I-2a De hoeken 1 en 2 zijn overstaane hoeken. - De lijnen m en n zijn evenwijig aan elkaar. De hoeken 1 en 2 zijn even groot. e Je ziet e letter Z. I-3a In eze stan zijn e hoeken 1, 1 en 2 even groot, evenals e hoeken 2, 2 en 1. De hoeken 1 en 1 zijn nog stees aan elkaar gelijk, evenals e hoeken 2 en 2. De lijnen l en k lopen evenwijig aan elkaar. I-4a et hoek 1 vormt 1 een Z-figuur. et hoek 3 vormt 1 een F-figuur. / 1 = / 1 us / 1 = 59. / 4 = / 3 (Z-figuur) us / 4 = 62. De rie hoeken zijn samen een gestrekte hoek, us 180. De rie hoeken vormen samen een riehoek en zijn us samen 180. e / 1 = 41, / 2 = = 49 / 1 = / 1 = 41, / 2 = = 139, / 3 = / 1 = 41, / 4 = / 2 = 139 / 4 = / 3 = 90, / 1 = / 2 = / 3 = 90 f is een gelijkzijige riehoek. lle hoeken van eze riehoek zijn 60. Immers: / 2 = = 60, / 1 = / 1 = 60 en / 4 = / 3 = 60. I-5a /H 1 wort an groter. /F 2 = 40, want e hoeken H 1 en F 1 vormen een Z-figuur. /F 1 = = 140 De hoeken in e ruit zijn 140, 140, 40 en 40. Vierhoek DEFG is nu een vierkant. I-6a e De riehoeken FD en DE zijn hetzelfe, us DE = F. Zo is ook F = DE. Dus = 2 3 DE. Omat D = D is D het mien van. Er staan vier ezelfe riehoeken in e figuur. De overeenkomstige hoeken van e riehoeken zijn even groot. De overeenkomstige zijen lopen evenwijig aan elkaar. De zijen van DE zijn half zo lang als e overeenkomstige zijen van. De overeenkomstige zijen lijven evenwijig lopen en e overeenkomstige hoeken lijven even groot.

19 I-7a/ 6,5 m 5 m Q 6,5 m De mienparallel Q is half zo lang als KL us Q = 2,5 m. Noem het mien van KL punt R. Dan is KR rehthoekig en KR = 2,5 m. zije KR = 2,5 R = K = 6,5 kwaraat 6, ,25 De lengte van e hoogtelijn is 36 = 6 m. e De oppervlakte van KL is : 2 = 15 m 2. f De afmetingen zijn met 0,5 vermenigvulig, us moet je e oppervlakte met 0,5 2 = 0,25 vermenigvuligen. Test jezelf T-1a/ Om KL te tekenen ereken je eerst /L = = 60. K m L Van e mienparallel evenwijig aan KL kun je e lengte erekenen en ie is 4 m. /e Zie e tekening ij opraht a. 153

20 T-2a/ / /e T-3a/ e O O H hoogtepunt K m De hoogtelijn vanuit K is tevens mielloolijn. Deze hoogtelijn vereelt KL in twee riehoeken ie elk een helft zijn van een gelijkzijige riehoek met zijen van 5 m. De lengte van e hoogtelijn is us 5 : 2 = 2,5 m. zije 2,5 KL = 5 kwaraat 6,25 18, De afstan van K tot het mien van zije L is 18, 75, us L = , 75 8,66. De oppervlakte van KL is , 2, 5: 2= 25, 18, 75 10, 83 m L

21 T-4a T-5a/ T-6a INNEN Er is één punt at even ver van e rie lanen af ligt, want e rie eellijnen snijen elkaar in preies één punt. 4 m E 4 m 5 m S is gelijkenig met =. De zwaartelijn E is an tevens mielloolijn van. zije E = 4 E = = 10 kwaraat De lengte van E is ,. e S is 2 2 van E, us S = ,. 3 3 Z -figuren F -figuren D = 64, us e anere hoeken in het latten werk zijn allemaal 116 en m 5 m 155

22 156 T-7 De visser heeft gelijk, e afstan is 70 mijl. De afstan tot e kust is ongeveer 30 mijl. T-8a Santos TLNTISHE OEN Een gelijkzijige riehoek mijl