Inhoud. 2 Ruimtemeetkunde Lichamen Aanzichten Doorsneden Inhoud en oppervlakte Totaalbeeld 35

Transcriptie

1 Wiskune voor 3 havo eel 2, Antwoorenoek Versie 2013 Samensteller

2 2013 Het auteursreht op it lesmateriaal erust ij Stihting Math4All. Math4All is erhalve e rehtheene zoals eoel in e hieroner vermele reative ommons lientie. Het lesmateriaal is met zorg samengestel en getest. Stihting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkhei voor onjuistheen en/of onvolleigheen in e moule. Ook aanvaaren ze geen enkele aansprakelijkhei voor enige shae, voortkomen uit (het geruik van) it lesmateriaal Voor eze moule gelt een Creative Commons Naamsvermeling-Niet-ommerieel 3.0 Neerlan Lientie. (zie Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van en is speiaal ontwikkel voor het vak wiskune in het voortgezet onerwijs. Het lesmateriaal op e wesite is afgestem op kernoelen wiskune, tussenoelen wiskune en eintermen voor e vakken wiskune A, B en C. Dit lesmateriaal is meiumneutraal ontwikkel en op iverse manieren te ekijken en te geruiken. Voor informatie en vragen kunt u ontat opnemen via info@math4all.nl. Ook houen we ons altij aanevolen voor suggesties, vereteringen en/of aanvullingen.

3 Inhou 1 Kwaratishe veranen Kwaratishe funties Nulpunten en top Kwaratishe vergelijkingen Hanig oplossen Totaaleel 15 2 Ruimtemeetkune Lihamen Aanzihten Doorsneen Inhou en oppervlakte Totaaleel 35 3 Exponentiële veranen Groeiatoren Exponentiële groei Exponentiële funties Totaaleel 46 4 Statistiek Steekproeven Frequenties en klassen Centrum en spreiing Kansen Wegen en omen Totaaleel 59 5 Funties Wat is een funtie? Domein en ereik Transformatie van stanaarfunties Funties vergelijken Families van funties Totaaleel 77

4 1Kwaratishe veranen 1.1 Kwaratishe funties 1 Maak een tael en eventueel een grafiek. En misshien weet je nog wel hoe je uit zo n formule het hoogste punt afleest. De al komt hoogstens 1,5 m oven e gron. 2 a Omat e maht van e onafhankelijk variaele een kwaraat is (en er geen anere mahten voorkomen). En er is sprake van een funtie omat e formule e vorm h =... heeft. Je vint an h = 1,01. De toenames woren telkens 0,08 kleiner. Dus ie rij met veraneringen van e toenames is stees 0,08. Eigen antwoor. 3 a Neem u = 0 en vul it in e formule in. Je vint h = 65. PAGINA 2 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

5 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN Doen, e veranering van e afnames moet stees hetzelfe getal opleveren, namelijk 0,2. Na 140 m is e hoogte van het punt op e kael weer gelijk aan ie ij e linker toren. Dus e torens staan 140 m uit elkaar. Het punt (70,16), us e kael zit an 16 m oven het wegek. 4 a Omat het kwaraat niet met een negatief getal wort vermenigvulig. In e applet moet je u = 1 kiezen, us een positief getal voor u nemen. Dan weet je welke u -waaren je moet kiezen in e tael. Zie tael. u u Zie e tael. u u afname veranering e Ja, ie is stees 2. 5 a Een ergparaool met top T( 1, 4) en symmetrieas u = 1. Er is een maximum van 4 voor u = 1. Een alparaool met top T(4,1) en symmetrieas u = 4. Er is een minimum van 1 voor u = 4. Een ergparaool met top T( 3, 2) en symmetrieas u = 3. Er is een maximum van 2 voor u = 3. 6 a u = (2u 4) = (2(u 2)) = 4(u 2) Het is een alparaool met top T(2,2) en symmetrieas u = 2. Er is een minimum van 2 voor u = 2. 7 a Doen. (u 1) 2 3 = 0 geeft (u 1) 2 = 3 en us u 1 = ± 3 zoat u = 1 ± 3. De snijpunten zijn (1 3, 0) en (1 + 3, 0). De symmetrieas is u = 1. Beie punten liggen aar 3 van af. ( 0,73; 0) en (2,73; 0). 8 a Voor het snijpunt met e u -as gelt u = 0 en at levert op u = 284. Het snijpunt met e u -as is us (0, 284). Voor e snijpunten met e u -as gelt u = 0 en us 4(u 8,5) = 0. Deze vergelijking los je op oor terugrekenen: (u 8,5) 2 = 1,25 geeft u = 8,5 + 1,25 u = 8,5 1,25. De ijehorene snijpunten zijn (8,5 + 1,25; 0) en (8,5 1,25; 0). 9 a Omat van een kwaratishe funtie e symmetrieas altij vertiaal is en e raaklijn in e top alleen maar geen anere punten met e paraool gemeen heeft als hij looreht op ie symmetrieas staat. Dat kan alleen als u = 2. De lijn u = 5. Het is een alparaool en ie ligt oven e raaklijn oor e top en kan aarom niet oor e u -as gaan. Een snijpunt met e u -as is er ij een kwaratishe funtie altij. Hier is het (0,14). STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 3

6 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN 10 a u = 1 De lijn u = 3. De waare van u epaalt alleen of er sprake is van een alparaool of een ergparaool en hoe steil e grafiek loopt. De top van e paraool wort oor u niet eïvloe. 11 a Een ergparaool omat het kwaraat met 0,5, us een negatief getal wort vermenigvulig. De top is T(6,10). Er is een maximum van 10 voor u = 6. Zie tael. Teken een ijpassene grafiek. u u Ja, alle toenames veraneren met ezelfe waare 4. u u toename veranering a Een alparaool met top T( 5,7). Er is een minimum van 7 voor u = 5. Een ergparaool met top T(12,45). Er is een maximum van 45 voor u = 12. Een alparaool met top T( 2, 3). Er is een minimum van 3 voor u = 2. Een ergparaool met top T(2,5,5). Er is een maximum van 5,5 voor u = a u = 0 geeft u = 13. Het gevraage punt is us (0, 13). u = 2(u 3) = 0 geeft u = u = Shrijf nog wel even e juiste oörinaten op! De gevraage afstan is a Op e u -as gelt u = 0,5(u 10) = 0 en us (u 10) 2 = 80. Dit geeft u = u = De snijpunten met e horizontale as zijn us ( < m : mn >< m : mo >, < m : mo > 0 < m : mn >) en (10 80 < m : mn >< m : mo >, < m : mo > 0 < m : mn >). Op e u -as gelt u = 0 en us u = 10 zoat het snijpunt met e vertiale as (0, 10) is. De lijn moet an oor e top (10,40) van e paraool gaan. Dat is zo als u = 40. De lijn moet an lager liggen an e top (10,40) van e paraool. Dat is zo als u < 40. De lijn moet an hoger liggen an e top (10,40) van e paraool. Dat is zo als u > a Dat kun je zien aan het getal 4 (nogal steile ergparaool), maar ook aan e top (2,5; 85) van e aan (nogal iht ij e toren, maar wel 15 m hoger an het afshietpunt). 85 m. Los op: 4(u 2,5) = 0. Je vint u = 2,5 + 22,25 7,2 m. 16 a De top kun je uit e formule aflezen: (0,10). Het rehter ophangpunt zit ij u = 50. Als je it invult in e formule krijg je ineraa u = ,9 m. PAGINA 4 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

7 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN 1.2 Nulpunten en top 1 AB + BC + CD = 100 geeft u + BC + u = 100 en us BC = 100 2u. En us is A = AB BC = u (100 2u ) = 100u 2u 2. Om e grootste waare van A te epalen, maak je een grafiek van A. Eerst maak je een tael, neem voor u getallen als 10, 20, 30,..., a De vergelijking u (100 2u ) = 0 estaat uit twee fatoren ie vermenigvuligt 0 opleveren. Daarom kun je e vergelijking meteen splitsen in u = u = 0. Zie tael. Maak er een grafiek ij. u u De symmetrieas is u = 25. Het getal 25 is het gemiele van e u -waaren van e nulpunten. Vul u = 25 in e formule in en je krijgt A = De maximale oppervlakte van het lanje is us 1250 m 2. 3 a 0, 5 (u 2) (u 6) = 0 geeft (u 2) (u 6) = 0 en us u = 2 u = 6. De nulpunten zijn (2, 0) en (6, 0). Deze lijn ligt mien tussen eie nulpunten in. Het gemiele van 2 en 6 is 4. u = 4 invullen geeft u = 2. De top is (4, 2). Hij gaat oor e nulpunten en e top. Voor e volleighei kun je nog enkele anere u -waaren invullen om een nette grafiek te krijgen. 4 a Ontinen geeft: u = (u 2)(u 3). (u 2)(u 3) = 0 geeft u = 2 u = 3. De nulpunten zijn (2,0) en (3,0). u = 2,5. 5 a Doen. u = 2,5 invullen geeft u = 0,25. De top is (2,5; 0,25). Hij gaat oor e nulpunten en e top. Voor e volleighei kun je nog enkele anere u -waaren invullen om een nette grafiek te krijgen. T(0,5; 1,25) 6 a Nulpunten: (2,0) en (5,0). Symmetrieas: u = 3,5. Top: T(3,5, 2,25). Nulpunten: (0,0) en (5,0). Symmetrieas: u = 2,5. Top: T(2,5,12,5). Controleer je antwooren met e applet. Werk eventueel met ieman samen. 7 a u = 3u u = 3(u u + 40) = 3(u + 4)(u + 10) De nulputen zijn ( 4,0) en ( 10,0). De symmetrieas is u = 7, us e top van e ijehorene paraool is ( 7, 27) STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 5

8 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN Er is sprake van een alparaool, us van een minimum van 27 voor u = 7. 8 a Omat an aan eie zijen van het isgelijkteken het getal 1 staat. Door aan eie zijen 1 op te tellen verwijnen eze getallen eie en lijft er een uitrukking over ie gemakkelijk te ontinen is oor 2u uiten haakjes te halen. u = = 1,5 Dat kan op it moment alleen oor inklemmen. Je weet waar eie nulpunten ongeveer moeten zitten. Daar maak je an een nauwkeurige tael. 9 a 1,5u 2 + 3u 4,5 = 4,5 geeft 1,5u 2 + 3u = 0 en us 1,5u (u + 2) = 0, zoat u = 0 u = 2. Je vint (0; 4,5) en ( 2; 4,5). T( 1, 6) en it komt overeen met e applet. Controleer je antwooren met ehulp van e applet. (Zorg er us wel voor at je paraool in eel is!) 10 a 0,5u u = 0,5u (u 100) = 0 geeft u = 0 u = 100. De nulpunten zijn (0,0) en (100,0). T(50,1250) en it komt overeen met e applet. Met e gevonen top en nulpunten is e shets eenvouig te maken. 11 a Vul u = 0 in e formule in. Je vint h = 0,42. De al wort op 42 m hoogte geraakt. De nulpunten zijn ( 2,0) en (21,0). De al komt na 21 m weer op e gron. De nulpunten zijn ( 2,0) en (21,0). De symmetrieas is aarom u = 9,5. De top van e paraool is (9,5; 1,3225) 12 a Nulpunten: (0,0) en (30,0). Symmetrieas: u = 15. Top: T(15, 450). Dalparaool, us is er een minimum van 450 voor u = 15. Top: T(2,5; 1). Dalparaool, us is er een minimum van 1 voor u = 2,5. Nulpunten: (u 2.5) 2 1 = 0 geeft u = 2,5 u = 3,5. Dus (2,5; 0) en (3,5; 0). Nulpunten: (4,0) en ( 1,0). Symmetrieas: u = 1,5. Top: T(1,5; 3,125). Bergparaool, us is er een maximum van 3,125 voor u = 1,5. Top: T(3,1). Dalparaool, us is er een minimum van 1 voor u = 3. Nulpunten: (u 3) = 0 heeft geen oplossing. Dus er zijn geen nulpunten. e De formule kan woren geshreven als u = (u 4) 2 7,5 Top: T(4; 7,5). Dalparaool, us is er een minimum van 7,5 voor u = 4. Nulpunten: (u 4) = 0 geeft u = 4 7,5 u = 4 + 7,5. De nulpunten zijn us (4 7,5; 0) en (4 + 7,5; 0). f Top: T( 1,0). Bergparaool, us is er een maximum van 0 voor u = 1. Nulpunt is ( 1,0) want it is een alaparaool met zijn top op e u -as. 13 a 0,5u 2 u 4 = 0 geeft u 2 2u 8 = (u 4)(u + 2) = 0 en us u = 4 u = 2 De nulpunten zijn (4,0) en ( 2,0). De top is (1; 4,5). Je het al rie punten van e grafiek. Bereken er nog een paar en maak an je grafiek. 14 a 0,5u 2 u + 1 = 1 geeft u 2 2u = 0 en us u = 0 u = 2 De punten zijn (0,1) en (2,1). PAGINA 6 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

9 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN De symmetrieas is u = 1. De top is (1; 0,5). Je het e top. Bereken nog een paar punten, maak een tael en maak an je grafiek. 15 a Oplossen: u 2 + 8u + 2 = 2 geeft u = 0 u = 8. Top: T( 4, 14). Oplossen: u 2 2u + 10 = 10 geeft u = 0 u = 2. Top: T(1,9). Oplossen: 2u u 8 = 8 geeft u = 0 u = 5. Top: T( 2,5; 20,5). Nulpunten: ( 3,0) en (8; 0). Symmetrieas: u = 2,5. Top: T(2,5; 121). e Oplossen: 0,5u 2 + u = 0 geeft u = 0 u = 2. Top: T( 1; 0,5). f Oplossen: u 2 + 6u 4 = 4 geeft u = 0 u = 6. Top: T(3,5). 16 a In e tael kun je zien, at elke keer als e prijs met 5 toeneemt, het aantal verkohte koppen soep met 10 toeneemt (us eigenlijk afneemt). De rihtingsoëffiiënt van e lijn ie je oor e punten in e tael kunt tekenen is aarom 10 /5 = 2. De formule wort aarmee u = 2u +u en het invullen van één van e punten in e tael geeft u = 340. En aarmee vin je e formule ie is gegeven. Bereken stees u u en ga na at e uitkomst aarvan groter wort als u kleiner wort. Nee, op zeker moment wort zijn prijs per kop zo laag, at hij nauwelijks inkomsten overhout. R = 2u u als je e haakjes uitwerkt. Deze formule past ij een ergparaool, us er is een maximum. e De nulpunten van R vin je uit R = u (340 2u ) = 0 en at levert op u = 0 u = 170. f De symmetrieas van e ergparaool ie ij eze formule past is u = 85. De maximale oprengst vin je us ij u = 85 en ie is 14450, us 144,50. Voor een zo groot mogelijke oprengst moet hij 0,85 per kop vragen. Nee, want je moet ook rekening houen met e kosten voor het maken van e erwtensoep. Zie volgene opgave. 17 a Bij winst hou je ook rekening met e gemaakte kosten en ij oprengst let je alleen op e inkomsten als gevolg van van e verkoop. De winst per kop soep is u 50 ent en het aantal verkohte koppen soep is 340 2u. Om e winst uit te rekenen moet je eze twee uitrukkingen vermenigvuligen. (u 50)(340 2u ) = 0 geeft u 50 = u = 0 en us u = 50 u = 170. Bij eze prijzen is e winst op e verkoop van e koppen soep 0, us an wort er geen winst gemaakt en ook geen verlies geleen. De symmetrieas van e ergparaool ie ij e formule voor e winst past is u = 110. De maximale winst vin je us ij u = 110 en ie is 7200, us 72,00. Voor een zo groot mogelijke winst moet hij 1,10 per kop vragen. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 7

10 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN 1.3 Kwaratishe vergelijkingen 1 u 2 + 6u + 8 = (u + 2)(u + 4) = 0 geeft u = 2 u = 4. 2 Dat kun je (waarshijnlijk) niet. In eze paragraaf ga je leren hoe it kan: je leert e a-formule te geruiken. 3 a Doen. Ja, ze komen overeen. u 1,586 u 4,414 Lees af: u = 1, u = 6 en u = 8. Oplossing: u = 6± e = 6± 4 2. Dit kun je herleien tot u = 6±2 2 en at etekent u = 2 u = 4. Nu zie je at eie oplossingen overeen komen. Omat als u = 0 het kwaraat wegvalt en er us geen kwaratishe vergelijking, maar een lineaire vergelijking overlijft. f Je shrijft e vergelijking eerst als 2u 2 6u + 4 = 0. Lees af: u = 2, u = 6 en u = 4. Oplossing: u = 6± ( 6) = 6± 4 4. Omat nu e wortel uitkomt vin je u = = 2 u = = 1. 4 a Lees af: u = 1, u = 12 en u = 4. Oplossing: u = 12± = 12± Dit kun je herleien tot u = 12± = 12±8 2 2 = 6 ± 4 2. Lees af: u = 2, u = 5 en u = 10. Oplossing: u = 5± = 5± Dit hoef je niet verer te herleien, want e wortel is niet te vereenvouigen. Shrijf e vergelijking eerst als u 2 5u 7 = 0. Lees af: u = 1, u = 5 en u = 7. Oplossing: u = 5± ( 5) = 5± Dit hoef je niet verer te herleien, want e wortel is niet te vereenvouigen. Shrijf e vergelijking eerst als 9u u 17 = 0. Lees af: u = 9, u = 10 en u = 17. Oplossing: u = 10± = 10± Dit hoef je niet verer te herleien. e Je shrijft e vergelijking eerst als 2u 2 12u + 16 = 0. (Eventueel eel je ook nog eie zijen oor 2.) Lees af: u = 2, u = 12 en u = 16. Oplossing: u = 12± ( 12) = 12± 4 4. Omat nu e wortel uitkomt vin je u = = 3,5 u = = 2,5. f Lees af: u = 3, u = 8 en u = 3. Oplossing: u = 8± = 8± Omat nu e wortel uitkomt vin je u = = a Lees af: u = 2, u = 6 en u = 1. En us is D = u 2 4u u = ( 6) = 44. De oplossing is u = 6± u = = 3. PAGINA 8 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

11 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN De oplossing is u 3,2 u 0,2. Lees af: u = 2, u = 6 en u = 4,5. En us is D = ( 6) ,5 = 0. De uitrukking oner e wortel valt aarom weg. De oplossing is u = 6± 0 4 = 1,5. e Lees af: u = 2, u = 6 en u = 6. En us is D = ( 6) = 12. De isriminant is negatief en e wortel uit een negatief getal heeft geen reële uitkomst. 6 a Lees af: u = 2, u = 5 en u = 20. En us is D = = 185. De oplossing is u = 5± Shrijf e vergelijking als 3u 2 9u + 11 = 0. Lees af: u = 3, u = 9 en u = 11. En us is D = ( 9) = 51 < 0. Geen reële oplossing. Shrijf e vergelijking als 3u 2 4u + 1 = 0. Lees af: u = 3, u = 4 en u = 1. En us is D = ( 4) = 4 > 0. De oplossing is u = 4± 4 4 en at geeft u = 1,5 u = 0,5. Lees af: u = 4, u = 20 en u = 25. En us is D = ( 20) = 0. De oplossing is u = 20 8 = 2,5. 7 a Omat je e vergelijking in e vorm u u 2 + u u + u = 0 moet rengen om e a-formule te kunnen toepassen. Doen. Het kwaraat van 5 is 5 5 = 25 en niet 5 2 = 5 5. u = ,30 u = ,70 8 a e f 9 a Als je e haakjes uitwerkt lijkt er een kwaratishe vergelijking te ontstaan. Maar nee, want aan eie zijen van het isgelijkteken kun je an u 2 aftrekken en an lijft er geen kwaraat meer over. u 2 + 8u + 16 = 4 + u 2 wort 8u + 12 = 0. Op 0 herleien was ahteraf niet hanig. Deze vergelijking los je op met e alansmethoe. Nu krijg je 8u = 12 en us u = 12 /8 = 1,5. 10 Oefen jezelf met AlgeraKIT. Daarin kun je ook e antwooren ekijken en uitleg uitklappen. 11 a u 2 + 6u + 5 = (u + 5)(u + 1) = 0 levert e juiste u -waaren op. Je kunt in e figuur zien at er twee snijpunten zijn. Bijvooreel oor invullen in u 2 = 2u 4. Bij u = 5 krijg je an u = = 14 en ij u = 1 krijg je an u = = 6. Nee, eie formules moeten ezelfe ijehorene u -waaren opleveren. 12 a Eerst u 2 + 3u + 1 = u 2 op 0 herleien tot u 2 + 4u + 3 = 0. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 9

12 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN Oplossen met e a-formule (of e som-en-prout-methoe) geeft u = 3 u = 1. De snijpunten zijn ( 3,1) en ( 1, 1). Eerst u 2 u 6 = 2u + 4 op 0 herleien tot u 2 3u 10 = 0. Oplossen met e a-formule (of e som-en-prout-methoe) geeft u = 2 u = 5. De snijpunten zijn ( 2,0) en (5,14). Je moet nu u 2 = 2 oplossen. Zo n eenvouige vergelijking oe je niet met e a-formule. Je vint u = ± 2. De snijpunten zijn ( 2, 2) en ( 2, 2). 13 a (u + 1) 2 = 4 u 2 Eerst u 2 + 2u + 1 = 4 u 2 op 0 herleien tot 2u 2 + 2u 3 = 0. De isriminant is D = = 28 en at is een positief getal maar geen kwaraat. Met e a-formule vin je u = 2± 28 4, us u 1,823 u 0,823. De snijpunten zijn (op twee eimalen nauwkeurig) ( 1,82; 0,68) en (0,82; 3,32). 14 a Oplossing: u = 5± 21 2 Oplossing: u = 3± 25 4 us u = 2 u = 0,5. Eerst op 0 herleien: 5u 2 7u 1 = 0. Oplossing: u = 7± Eerst haakjes uitwerken en op 0 herleien: 2u 2 + 3u 3 = 0. Oplossing: u = 3± e Eerst haakjes uitwerken en op 0 herleien: 2u 2 = 0. Oplossing: u = 0. f Nu kun je meteen splitsen: u = 0 2u + 3 = 0. Oplossing: u = 0 u = 1,5. g Eerst haakjes uitwerken en op 0 herleien: u 2 2u 17 = 0. Oplossing: u = 2± 72 2 = 1 ± 3 2. h Nu kun je meteen splitsen: u + 3 = 0 u 5 = 0. i Oplossing: u = 3 u = 5. Nu kun je meteen worteltrekken: 2u + 5 = ± 5. Oplossing: u = 5± a D = = 33, us twee oplossingen. Eerst op 0 herleien: 5u 2 u 1 = 0. D = ( 1) = 21, us twee oplossingen. Eerst op 0 herleien: 2u 2 + 6u 18 = 0. e D = = 108, us geen reële oplossingen. Hier kun je meteen worteltrekken: 1 2u = ± 12. Er zijn us twee oplossingen. Als je it shrijft als (u 1) 2 = 4 zie je meteen at er geen reële oplossingen zijn: een kwaraat kan niet negatief zijn. 16 a Er zijn twee snijpunten met gehele oörinaten. Dus is D > 0 en een kwaraat. e f Er zijn twee snijpunten, maar niet met gehele oörinaten. Dus is D > 0, maar geen kwaraat. Er zijn geen snijpunten. Dus is D < 0 en us geen kwaraat. Er zijn twee nulpunten met gehele oörinaten. Dus is D > 0 en een kwaraat. Er zijn geen nulpunten. Dus is D < 0 en us geen kwaraat. Er is één snijpunt met gehele oörinaten. Dus is D = 0 en at is een kwaraat. PAGINA 10 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

13 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN 17 a 2u 2 + 8u = 2u 36 geeft u 2 3u 18 = 0 en us u = 3 u = 6. De snijpunten zijn ( 3,42) en (6, 24). (u 10) 2 50 = 10 5u geeft u 2 15u + 40 = 0 en us u = 15± De snijpunten zijn (3,5; 7,3) en (11,5; 47,7). 18 a In ie vorm kun je meteen e top van e ijehorene paraool aflezen. Bovenien kun je e nulpunten exat erekenen oor terugrekenen. Dat kun je oen met een figuur zoals ie in?toepassen?, of oor aan e rehterkant e haakjes weer uit te werken. u = u 2 + 8u + 2 = (u + 4) = (u + 4) 2 14 en e top is us ( 4, 14). u = u 2 + 6u 12 = (u + 3) = (u + 3) 2 21 e u = u 2 4u + 9 = (u 2) = (u 2) f u = u 2 + 5u = (u + 2,5) 2 6,25 19 a Je krijgt na kwaraat afsplitsen (u + 3) 2 8 = 0. Terugrekenen levert op u = 3 ± 8. Kwaraat afsplitsen: (u + 4) 2 31 = 0. Oplossing: u = 4 ± 31. Kwaraat afsplitsen: (u 4) 2 14 = 0. Oplossing: u = 4 ± 14. Eerst eie zijen elen oor 2. Dan kwaraat afsplitsen: (u 2) 2 3 = 0. Oplossing: u = 2 ± Nu moet je heel nauwkeurig werken en met reuken en wortels rekenen. Eerst eel je oor 3 en splits je een kwaraat af. Dit geeft (u ) = 0. Dan worteltrekken en naar e oplossing toewerken: u = 7 6 ± Een pittig klusje... De omplete uitwerking vin je in e?theorie?, oner Bewijs. 1.4 Hanig oplossen 1 Manier I, e a-formule geruiken: Eerst op 0 herleien: 2u u + 10 = 0. Oplossing: u = 10± 64 4 en us u = 2 u = 3. Manier II, een kwaraat afsplitsen: Eerst op 0 herleien en elen oor 2: u 2 + 6u + 5 = 0. Dit geeft (u + 3) 2 = 4 en us u + 3 = ±2 zoat u = 2 u = 3. Manier III, ontinen in fatoren: Eerst op 0 herleien en elen oor 2: u 2 + 6u + 5 = 0. Dit geeft (u + 2)(u + 3) = 0 en us u = 2 u = 3. Eigenlijk zou manier III het snelst moeten gaan... 2 De a-formule geruiken, of een kwaraat afsplitsen is nu eslist niet hanig. Ontinen in fatoren is het hanigst. Eerst elen oor 2: u 2 + 6u = 0. Dit geeft u (u + 6) = 0 en us u = 0 u = 6. 3 a Vergelijk je antwooren met ie van?opgave? en?opgave?. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 11

14 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN Dit wort een rieterm. Ja, als je na het op 0 herleien ook nog met 2 vermenigvuligt (of oor 0,5 eelt) aan eie zijen. Je krijgt an u 2 8u + 12 = (u 2)(u 6) = 0. Dit geeft u = 2 u = 6. Op 0 herleien en met 2 vermenigvuligen (of oor 0,5 elen) geeft u 2 8u + 10 = 0. e Dit kun je niet met gehele getallen in fatoren ontinen en us neem je e a-formule (of kwaraat afsplitsen): u = 8± 24 2 = 2 ± 6. Het wort een tweeterm en an he je e a-formule niet noig, ontinen gaat gemakkelijk. f Je shrijft e vergelijking eerst als u 2 18u = u (u 18) = 0. Oplossing: u = 0 u = a Met 10 vermenigvuligen, haakjes uitwerken en op 0 herleien geeft u 2 2u 10 = 0. Ontinen lukt niet us pas je e a-formule toe: u = 2± 44 2 = 1 ± 11. Met 10 vermenigvuligen en worteltrekken geeft u 2 = ± 20 en us u = 2 ± 20. Meteen splitsen geeft 0,1u = 0 u 2 = 0 en us u = 0 u = 2. Met 10 vermenigvuligen, haakjes uitwerken en op 0 herleien geeft u 2 u 20 = 0. Dit kun je ontinen: (u 5)(u + 4) = 0 en us krijg je u = 5 u = 4. 5 a Splitsen geeft u 2 = 0 u + 3 = 0 en us u = 2 u = 3. Haakjes uitwerken en op 0 herleien: u 2 + u 12 = 0. Dit kun je ontinen tot (u + 4)(u 3) = 0 zoat u = 4 u = 3 Haakjes uitwerken en op 0 herleien: u 2 + u 13 = 0. Dit kun je niet ontinen en us geruik je e a-formule: u = 1± a De variaele komt maar op één plaats voor. Je kunt us terugrekenen. Eerst eie zijen +1 geeft (2u 7) 2 = 10. Worteltrekken levert op 2u 7 = ± 10 zoat u = 7± a Delen oor 3 en op 0 herleien: u 2 + 2u 3 = 0. Ontinen geeft (u + 3)(u 1) = 0 zoat u = 3 u = 1. Delen oor 15 en op 0 herleien: u 2 u 2 = 0. Ontinen geeft (u 2)(u + 1) = 0 zoat u = 2 u = 1. Delen oor 0,5: u 2 = 64 en us u = ±8. Delen oor 0,25 en op 0 herleien: u 2 12u = 0. Ontinen geeft u (u 12) = 0 en us u = 0 u = 12. e Beie zijen +8 geeft (u 4) 2 = 13. Worteltrekken: u 4 = ± 13 en us u = 4 ± 13. f Op 0 herleien: 6u 2 4u 1 = 0. De a-formule toepassen: u = 4± = 2± g Haakjes uitwerken: u 2 4 = 1. Dit geeft (terugrekenen): u 2 = 5 en us u = ± 5. h Op 0 herleien: u 2 2u + 1 = 0. Ontinen: (u 1) 2 = 0 geeft u = 1. 8 a Haakjes uitwerken, op 0 herleien en elen oor 3 geeft u 2 8u + 7 = 0. Ontinen in fatoren geeft u = 1 u = 7. Worteltrekken geeft u + 2 = 5 2u u + 2 = (5 2u ). En it levert op u = 3 2u u + 2 = 5 + 2u en us 3u = 3 u = 7 zoat u = 1 u = 7. 9 a Worteltrekken geeft u + 1 = ±(2u + 4). Deze twee vergelijkingen los je met e alansmethoe op: u = 3 u = 5 3. PAGINA 12 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

15 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN Worteltrekken geeft u 2 = ±( u + 3). Deze twee vergelijkingen los je met e alansmethoe op. De éne vergelijking heeft geen oplossing en e anere geeft u = 2,5. Worteltrekken: 2u 2 = ±6. Dus krijg je u = 4 u = 2. Worteltrekken geeft 5 + 3,5u = ±u. Deze twee vergelijkingen los je met e alansmethoe op: u = 2 u = a Haakjes uitwerken en op 0 herleien geeft 2u 2 + 5u 12 = 0. Met e a-formule vin je u = 5± en levert ezelfe u -waaren op als in het vooreel. Omat je an oor 0 zou kunnen elen en at mag niet. Je moet er aarom rekening mee houen at u + 4 = 0 er ook voor zorgt at aan eie zijen van het isgelijkteken ezelfe uitkomst (namelijk 0) ontstaat. Zora er ij een vergelijking aan eie zijen ezelfe fator voorkomt. 11 a De vergelijking is te shrijven als 5u (u 3) = 6(u 3). Je kunt hem us splitsen in 5u = 6 u 3 = 0. Oplossing: u = 6 5 u = 3. Deze vergelijking kun je iret splitsen: u + 1 = 5 u = 0. Oplossing: u = 4 u = 0. Deze vergelijking kun je iret splitsen: u = 6 u = 0 en klaar... Deze vergelijking kun je iret splitsen: 4u + 1 = u 2u 5 = 0. Oplossing: u = 1 3 u = 2,5. 12 a u = 0 u = 1 Beie zijen +1 en worteltrekken. Oplossing: u = 0 u = 2. Je krijgt u 2 = 2. e f g Oplossing: u = ± 2. Ontinen in fatoren: u uiten haakjes halen. Oplossing: u = 0 u = 1. Op 0 herleien en e a-formule toepassen. De isriminant is negatief, us geen reële oplossingen. Op 0 herleien en e a-formule toepassen. Oplossing: u = 2± 44 2 = 1 ± 11. Ontinen in fatoren. Oplossing: u = 1. h Haakjes uitwerken geeft u 2 = 18. Oplossing: u = ± 18. i Haakjes uitwerken en op 0 herleien: u 2 + u 26 = 0. Oplossing: u = 1± j Diret splitsen: 2 u = 3 u = 0. Oplossing: u = 1 u = a Haakjes uitwerken en op 0 herleien geeft 2u 2 5u = 0. Ontinen: u (2u 5) = 0. Oplossing: u = 0 u = 2,5 Diret splitsen: 2u 3 = 0 u 1 = 0. Oplossing: u = 1,5 u = 1. Herleien tot (u 3) 2 = 5. Als je proeert te worteltrekken an zie je at er geen reële oplossingen zijn. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 13

16 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN Herleien tot (u + 1) 2 = 9 4 en an worteltrekken geeft u + 1 = 3 2 u + 1 = 3 2. e f Oplossing: u = 1 2 u = 5 2. Haakjes uitwerken, op 0 herleien en e a-formule toepassen. Oplossing: u = 3± Meteen worteltrekken: u 2 = 4 3u u 2 = 4 + 3u. Oplossing: u = 1,5 u = 1. g Herleien tot 2(u 1) 2 = 0. Oplossing: u = 1. h Diret splitsen geeft u 1 = 0 3u = u + 1. Oplossing: u = 1 u = 0,5. i Haakjes uitwerken en op 0 herleien: u 2 7u + 11 = 0. j Oplossing: u = 7± 5 2. Met 2 vermenigvuligen en op 0 herleien geeft u 2 8u 20 = 0. Dan ontinen in fatoren. Oplossing: u = 10 u = Van e lijn AB is e rihtingsoëffiiënt = 0,6. Bij e lijn AB hoort e formule u = 0,6u + 6. Voor e snijpunten van lijn en paraool gelt: 0,25(u 2) = 0,6u + 6. Haakjes uitwerken en op 0 herleien geeft 0,25u 2 1,6u = 0. Dit kun je oor ontinen in fatoren oplossen: u = 0 u = 6,4. Conlusie: punt C heeft e oörinaten (6,4; 9,84). 15 a Je moet aarvoor oplossen 6u u 246 > 0. De waaren voor u moeten op twee eimalen nauwkeurig woren afgeron omat het om honertallen Blu-Ray spelers gaat. 6u u 246 = 0 geeft met e a-formule u = 100± Afgeron op rie eimalen levert it u 13,604 u 3,062 op. Er wort winst gemaakt als 3,07 u 13,60. Dus ij een verkoop vanaf 307 tot en met 1360 spelers per week. Het gaat hier om e top van e ij e gegeven formule horene ergparaool. Die top ligt op e symmetrieas, en us op e lijn ie looreht op e u -as staat en ie as mien tussen e twee nulpunten snijt. Dat is e lijn u 8,333. De maximale winst wort gemaakt ij een wekelijkse verkoop van ongeveer 833 Blu-Ray spelers en e maximale winst eraagt ,60. (Denk om e uizentallen!) 16 a Dat wort in?vooreel? toegepast. Eigenlijk oe je ij eze strategie it: A B = A C geeft A B A C = 0 en us A (B C) = 0 zoat A = 0 B = C. Beie zijen van e vergelijking A B = C D vermenigvuligen met B D. Eerst kruiselings vermenigvuligen en an op 0 herleien, ontinen in fatoren en splitsen. 17 a Splitsen: u = 0 u 2 = 4. Oplossing: u = 0 u = ±2. Splitsen: u 2 = 0 3(u 5) = 1. Oplossing: u = 0 u = Splitsen: u 1 = 0 4(u 1) 2 = 1. Vervolgens in e rehter vergelijking worteltrekken. Oplossing: u = 1 u = 1,5 u = 0,5. Worteltrekken: u = ±2 geeft u 2 = 1 u 2 = 3. Oplossing: u = ± 3. PAGINA 14 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

17 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN e Worteltrekken: 2u + u 2 4 = u + 1 2u + u 2 4 = u 1 geeft u 2 + u 5 = 0 u 2 + 3u 3 = 0. Oplossing: u = 1± 21 2 u = 3± a Kruiselings vermenigvuligen en haakjes uitwerken geeft 2u 2 + 5u + 3 = u 2 + 5u + 6. Herleien tot: u 2 = 3. Oplossing: u = ± 3. (Controleer wel even at voor eze u -waaren zowel u als 2u ) Kruiselings vermenigvuligen en haakjes uitwerken geeft 4u 2 2u = u u 3. Op 0 herleien en ontinen geeft u (5u 3) = 0. Oplossing: u = 0 u = 3 5. (Controleer wel even at voor eze u -waaren zowel 2u 1 0 als 1 u 0.) Splitsen: 2u 1 = 0 3u = u + 2. Oplossing: u = 0,5 u = 1. (Controleer wel even at voor eze u -waaren zowel 3u 0 als u ) Je ziet meteen: u 2 = 5. Oplossing: u = 7. (Controleer wel even at voor eze u -waare 2u 0.) e Links en rehts vermenigvuligen met 2u (als u 0) geeft 1 u = 2u 4. f Oplossing: u = 5 3. (Ga na, at u = 0 geen oplossing kan zijn.) Je oefent met AlgeraKIT. 1.5 Totaaleel 1 a u = 0 geeft h = 1, 75, us op 1,75 m hoogte. De top van eze paraool is (150,4). Je moet aarvoor oplossen 0,0001(u 150) = 0. Dat geeft (terugrekenen) (u 150) 2 = en us u 150 = ± = ±200. Van eie u -waaren kan alleen e positieve waare e gevraage afstan zijn. Dus komt eze kogel na 350 m op e gron. 2 a Haakjes uitwerken. Een minimum van 0,5 voor u = 3. Je moet aarvoor e fator 1 2 uiten haakjes halen en aarna ontinen in fatoren. Die kun je uit e formule ij zo aflezen: (2,0) en (4,0). 3 De funtie heeft nulpunten ( 2,0) en (5,0) en snijt e u -as in (0,3). De top ligt op e symmetrieas, us op u = 1,5. Deze waare invullen levert op u = 3,675 us e top is (1,5; 3,675) Je tekent nu e paraool na nog een paar extra punten uit te rekenen. 4 a Geruik e a-formule met u = 1, u = 3 en u = 5. Oplossing: u = 3± 29 2 Nu kun je ontinen in fatoren: (u + 4)(u 1) = 0. Oplossing: u = 4 u = 1. Op 0 herleien en elen oor 2 geeft u 2 2u 24 = 0. Ontinen in fatoren: (u 6)(u + 4) = 0. Oplossing: u = 6 u = 4. Met 2 vermenigvuligen en ontinen: u (u + 10) = 0. Oplossing: u = 0 u = 5. e Geruik na op 0 herleien e a-formule met u = 3, u = 3 en u = 2. Oplossing: u = 3± 27 6 en us u = u = STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 15

18 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN f Haakjes uitwerken en op 0 herleien geeft 3u = 2. Oplossing: u = a Worteltrekken: 2u 6 = ± 11. Oplossing: u = 6± Rehterzije ontinen: u (u 2) = 5(u 2). Splitsen: u = 5 u 2 = 0. Oplossing: u = 5 u = 2. Haakjes uitwerken en op 0 herleien: 2u 2 11u = 0. Ontinen in fatoren: u (2u 11) = 0. Oplossing: u = 0 u = 5,5. Meteen splitsen: u 3 = 0 2u 5 = 0. Oplossing: u = 3 u = 2,5. e Worteltrekken: u 2 3 = ±(2u + 1). Beie vergelijkingen op 0 herleien: u 2 2u 4 = 0 u 2 + 2u 2 = 0. Bij eie vergelijkingen pas je nu e a-formule toe. Oplossing: u = 2± 20 2 u = 2± 12 2 en us u = 1 ± 5 u = 1 ± 3. f Haakjes uitwerken en op 0 herleien geeft u 3 3u 2 4u = 0. Ontinen: u (u 2 3u 4) = u (u 4)(u + 1) = 0. Oplossing: u = 0 u = 4 u = 1. 6 a De vergelijking 4u = 0,5u 2 + 6u kun je shrijven als 0,5u 2 + 2u = 0 en ie vergelijking heeft twee oplossingen. 0,5u 2 + 2u = 0 geeft u = 0 u = 4. De snijpunten zijn (0,0) en (4,16). Je moet aarvoor 0,5u 2 + 2u 2 = 0 oplossen. De oplossing hiervan is u = 2. Het enige snijpunt is us ( 2,10). 7 a In e formule is e top (81,33). Dus zit e top 33 m oven het wegek. 162 m. Vul u = 0 in e formule in en je vint u 22,1. De paraool zit ongeveer 22,1 m oner het wegek aan e torens vast. u = 0 oplossen oor terugrekenen geeft u 81 ± 3928,6. De gevraage afstan is ongeveer ,6 125,4. 8 a Je moet oplossen: 2u 2 8u + 12 = 0. Dit kan oor geruik te maken van e a-formule, of oor ontinen in fatoren. Nulpunten: ( 2 ± 10 < m : mn >< m : mo >, < m : mo > 0 < m : mn >). 2u 2 8u + 12 = 2u + 12 geeft 2u u = 0 en us 2u (u + 5) = 0. De snijpunten zijn ( 5,2) en (0,12). 9 a Op 0 herleien en ontinen: (u + 4)(u 1) = 0. Oplossing: u = 4 u = 1. Eerst op 0 herleien en an e a-formule. Oplossing: u = 15± Dus u 9,41 u 1,91. Delen oor 3 en worteltrekken. Oplossing: u = ±4. Haakjes uitwerken en op 0 herleien: 2u 2 10u = 0. PAGINA 16 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

19 Ontinen: 2u (u 5) = 0. Oplossing: u = 0 u = 5. e Oplossing: u = 2 u = 3. f Haakjes uitwerken en op 0 herleien: 2u 2 8u 24 = 0. Delen oor 2 en ontinen: (u 6)(u + 2) = 0. Oplossing: u = 2 u = 6. g Worteltrekken: u 2 = 9 u 2 = 9. Worteltrekken: u = ±3 en e tweee vergelijking heeft geen reële oplossingen. Oplossing: u = ±3. h Ontinen: 3u 6 (u 2 + 3) = 0. Oplossing: u = 0. i Ontinen: u (u 2)(u 3) = 0. Oplossing: u = 0 u = 2 u = 3. j Terugrekenen: (3 u ) 2 = 16 en 3 u = ±4. Oplossing: u = 1 u = 7. k Op 0 herleien en e a-formule. Oplossing: u = 1± Dus u 1,77 u 2,27. l Op 0 herleien en ontinen: (u 2 9)(u 2 + 1) = 0. Oplossing: u = ±3. 10 Breete u meter, geeft lengte 2u m. Oppervlakte zoner oswal: 2u 2 m 2. Oppervlakte met oswal: (u + 10)(2u + 5). Nu moet 2 2u 2 = (u + 10)(2u + 5). Haakjes uitwerken en op 0 herleien geeft 2u 2 25u 50 = 0. De a-formule geeft u = 25± De reete van het lan zoner oswal is ongeveer 14,3 m en e lengte is ongeveer 28,5 m. 11 Je kunt it proleem oplossen oor gewoon een tael van e oprengst te maken, want het gaat om gehele personen. Als je met een formule wilt werken, an noem je (ijvooreel) het aantal extra eelnemers u. De oprengst voor het reisureau is an TO = (40 + u )(600 10u ) = u 10u 2. Dit is een kwaratish veran waarij een grafiek hoort met top (10,27500). De maximale oprengst voor het reisureau is 27500,= en at is meer an e 24000,= ie ze zoner extra passagiers verienen. Zelfs ij 14 extra passagiers springen ze er goe uit. 12 a Omat e u -waare van e punten P en Q varieert tussen 5 en 0. En voor zowel u = 5 als u = 0 vallen P en Q samen. P(u < m : mn >< m : mo >, < m : mo > 2 < m : mn > u + 12) en Q(u < m : mn >< m : mo >, < m : mo > 2 < m : mn > u 2 8u + 12). Om eze lengte te erekenen moet je e u -oörinaat van P aftrekken van e u -oörinaat van Q. De top van eze ergparaool is ( 2,5; 12,5). Dus het maximum is 12,5. 13 a Omat je e oprengst krijgt oor e verkohte hoeveelhei te vermenigvuligen met e prijs per eenhei prout. TO = u u = u (500 2u ) TW = u Doen.

20 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE u = = 127,50 geeft een maximale winst van 28012,50. PAGINA 18 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

21 2Ruimtemeetkune 2.1 Lihamen 1 AC = = 116 vanwege e stelling van Pythagoras in ΔABC. En an is u u u ( CAG) = 5 116, zoat CAG 24,9. 2 a 12 hoekpunten, 18 rien en 8 grensvlakken. In elk van e opstaane zijvlakken zijn 2 zijvlaksiagonalen. In het onervlak zitten 6 iagonalen. In totaal us = 24 zijvlaksiagonalen. Een lihaamsiagonaal loopt vanuit een hoekpunt van ABCDEF naar een hoekpunt van GHIJKL. Uit elk hoekpunt van ABCDEF kun je er 4 trekken, maar an krijg je ze allemaal uel. Er zijn us = 12 lihaamsiagonalen. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 19

22 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE Teken een irkel met straal 4 en pas aarop zes punten af ie 4 m van elkaar af liggen. Je krijgt an e regelmatige zeshoek ABCDEF. Zo n regelmatige zeshoek estaat uit zes gelijkzijige riehoeken met zijen van 4 m. Elke gelijkzijige riehoek kun je verelen in twee ongruente riehoeken met zijen van 4, 2 en 2 3 m. Daaruit volgen e lengtes van e lihaamsiagonalen. Dit iagonaalvlak is een rehthoek van 8 m ij 6 m. Omat u u u ( EBK) = 6 8 = 0,75 is EBK 37. e Dit iagonaalvlak is een rehthoek van 4 3 m ij 6 m. Omat u u u ( FBL) = is FBL a Omat elke verining tussen twee hoekpunten in een grensvlak ligt. 3 2 = 6 Doen. Je kunt e lengte van AM en BM opmeten in een vierkant van 6 m ij 6 m, of eze lengte erekenen. Je vint AM = BM = = 45 = 3 5. Maak in ΔABM een rehte hoek oor hoogte MN te tekenen. Dan is u u u ( NMB) = 3 en us NMB ,6. En us is AMB a Alleen 6 zijvlaksiagonalen in het gronvlak. En aarij horen ook 6 iagonaalvlakken. Maak in ΔBTE een rehte hoek oor hoogte TS te tekenen. Dan is u u u ( BTS) = 6 24 = 0,25 en us BTS 14,5. En us is BTE 29. Maak in ΔBTF een rehte hoek oor hoogte TP te tekenen. Dan is u u u ( BTP) = en us BTP 12,5. En us is BTF a ABCD is een rehthoek van 8 ij 6 m. Dus is riehoek ABC een rehthoekige riehoek waarin je e stelling van Pythagoras kunt oen: AC = = 10. Teken eventueel rehthoek ACGE. AG = = 125 en CN = = 50 m. ΔACN ΔGMN omat ANC = GNM (overstaane hoeken) en CAN = MGN (Z-hoeken). Dus heen eie riehoeken gelijke hoeken en zijn ze gelijkvormig. Omat AC : GM = 2 : 1 en ΔACN ΔGMN zijn e zijen van ΔACN 2 keer zo groot at ie van ΔGMN. En us is CN = 2 3 CM = ,71. 6 a Werk ijvooreel in iagonaalvlak ACGE, een rehthoek met zijen van AC = = 4 2 en CG = 4 m. Daarin is lihaamsiagonaal AG = (4 2) = 4 3. Alle anere lihaamsiagonalen zijn even lang. Teken eventueel iagonaalvlak ABGH, een rehthoek met zijen van AB = 4 en BG = 4 2 m. Hierin vin je e rehthoekige riehoek AHM met rehthoekszijen HM = 2 en AH = 4 2 m. Dus is AM = (4 2) 2 = 36 = 6 m. 7 a Ja, een piramie met als gronvlak een riehoek. Dat noem je wel een viervlak. Zoek maar eens op internet hoe een viervlak er uit ziet als je je it niet goe kunt voorstellen. 16 hoekpunten, 24 rien en 10 grensvlakken. Ja, ga maar na ij. Bol, kegel en iliner. PAGINA 20 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

23 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE 8 a De piramie is regelmatig, us alle opstaane riehoeken zijn ongruent. De hoogtes NT en MT in ergelijke riehoeken zijn aarom gelijk. Omat van NTS e overstaane en e aanliggene rehthoekszijen eken zijn. Je kunt ehter ook eenvouig NT erekenen en an kun je ook met sinus of osinus werken. Omat AC = = 6 2 is AS = 3 2. En an is u u u ( ATS) = zoat ATS 27,9 en ATC a AP = = 17. Omat e riehoeken ASB en PSH gelijkvormig zijn (waarom?) en e verhouing van hun overeenkomstige zijen 1 : 4 is, is AS = In rehthoek ABGH is u u u ( ABH) = en us ABH 54,7. Verer is u u u ( BAP) = en us BAP 80,0. Dit etekent ASB ,0 54, Bereken eerst e omtrek van e gronirkel P = 2π 4 = 8π 25,13 m. Maak an e figuur zoals ie in het vooreel, maar nu orret op shaal. 11 Als een rehthoek met een lengte ie net zo groot is als e omtrek van e gronirkel en een reete van 8 m. Daar zitten an twee irkels met een straal van 4 m aan vast, eentje aan e ovenkant en eentje aan e onerkant. 12 Teken e kuus. HBD ligt in iagonaalvlak DBFH, een rehthoek van 4,5 2 ij 4,5. Dus is u u u ( HBD) = 4,5 4,5 2 zoat HBD 35. ΔACF is gelijkzijig, us ACF = a Teken e piramie. In het gronvlak is AC = = 10. Als S het snijpunt is van AC en BD, an is ST e hoogte van e piramie. Met e stelling van Pythagoras vin je ST = = 75 = 5 3. Omat u u u ( ATS) = 5 10 = 0,5 is ATS = 30 en us ATC = 60. BAT ligt in e gelijkenige riehoek ABT. Dus u u u ( BAT) = 2 10 = 0,2 zoat BAT 78,5. 14 a Teken e alk. Antwoor Antwoor 15 a Een regelmatig ahtzijig prisma. De ahthoek estaat uit aht gelijkenige riehoeken met een tophoek van 360 /8 = 45. De hoeken van e ahthoek woren gevorm oor twee asishoeken en zijn aarom 135. Zie figuur. AP = 7,8 u u u (67,5) 7,21. Dus AC 14,41. En aaroor is AM 2 + MC 2 = 2AM 2 14,41 2 en us AM 103,86 10,19. Het langste staafje op e oem heeft een lengte van 2 AM 20,38 20,4 m. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 21

24 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE Ongeveer 20, ,3 2 20,6 m. 16 a = = a Zie figuur. De piramie is niet regelmatig, want het gronvlak is geen vierkant. EP = = 41 en us is AE = = 50. Zo lang zijn alle opstaane rien. Neem aan, at M het mien van BC is, an is MF = = 34. Dus is u u u ( MBF) = 34 4 zoat MBF 56. De gevraage hoeken zijn aarom 56, 56 en 68. u u u ( PAE) = 41 3 zoat PAE 58. De gevraage hoeken zijn aarom 58, 58, 122 en Aanzihten 1 Dit is een halve alk ABCD.EF met als gronvlak rehthoek ABCD met AB = 10 en BC = 6 m. Zie verer e figuur. Je moet wel AE erekenen met e stelling van Pythagoras: AE = = ,7 m. PAGINA 22 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

25 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE 2 a 8 m, namelijk e lengte van (ijvooreel) CF. (Denk aan het voorgaane onereel, of kijk nog even terug als je niet meer weet waarom CF = 8 m.) 4 3 m, namelijk e lengte van (ijvooreel) BD. (Denk aan het voorgaane onereel, of kijk nog even terug als je niet meer weet waarom BD = 3 3 m.) Alleen in het vooraanziht. Zie figuur. e Zie figuur. 3 a Neem aan, at S het mien is van e irkel oor e hoekpunten van het gronvlak. Dan kun je in ΔAST e stelling van Pythagoras toepassen. ST = = ,3 m. Zie figuur. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 23

26 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE Zie figuur. e Alleen e rien AT en DT in het vooraanziht. Zie figuur. PAGINA 24 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

27 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE 4 a Om een regelmatig riezijig prisma. De hoogte van het vooraanziht is hetzelfe als e hoogte van het zijaanziht. In het vooraanziht kun je ie hoogte uitrekenen: = 27 = 3 3. Zie figuur. 5 a Doen. Lees in het vooreel na hoe het vooraanziht wort geteken. Zie figuur. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 25

28 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE M is het mien van AD. Geruik e stelling van Pythagoras in ΔAME. De gevraage hoogte wort = ,65 m. u u u ( AEM) = 3 4 = 0,75 zoat AEM 48,6 en AED Doen. Het ovenaanziht is een vierkant van 4 ij 4 m met aarin e twee iagonalen geteken als aanziht van e vier rien van e piramie. Voor het vooraanziht en het zijaanziht moet je (ijvooreel) eerst e hoogte TS van e piramie erekenen waarin S het snijpunt van AC en BD is. Ga na at TS = 2 2. Zet e letters op e juiste plek ij e aanzihten. Laat je antwoor even ontroleren. 7 a Het aantal kuusjes in het vooraanziht van een alk epaalt e oppervlakte van het rehthoekige voorvlak. En hetzelfe voor het zijvlak. Nee. Er is an geen aanziht met een oppervlakte van 8 kuusjes. 8 Maak weer een tael zoals in?vooreel?. De enige mogelijkhei is = 210 kuusjes. 9 De reete is altij 432 /72 = 6 uitkomt. Het zijaanziht kan estaan uit 1 6 = 6, 2 6 = 12, 3 6 = 18, 4 6 = 24, 6 6 = 36, 8 6 = 48, 9 6 = 54, 12 6 = 72, 18 6 = 108, 24 6 = 144, 36 6 = 216, of 62 6 = 432 kuusjes. 10 De mogelijkheen zijn: = 132, = 264, = 1452 en = 2904 kuusjes. 11 a Een gelijkenige riehoek met een asis van 8 m en een hoogte van 6 m. Dat kan niet aners omat het lihaam een veelvlak is en er us geen geogen grensvlakken zijn. PAGINA 26 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

29 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE Dat staat in het vooreel. Merk nog op at je ie hoogte in het zijaanziht kunt zien! Het is e linker van e twee gelijke enen van het zijaanziht. Als je aar an een hoogtelijn vanuit T in tekent, an kun je e hoogte van ΔABT erekenen met e stelling van Pythagoras. De totale oppervlakte is = ,40 m Dit is een regelmatig riezijig prisma. Alle rie e opstaane grensvlakken zijn vierkanten met een oppervlakte van 4 4 = 16 m 2. De twee gelijkzijige riehoeken heen een oppervlakte van = 4 3 m2. De totale oppervlakte is us m a Zie figuur. Bereken eerst MT = = 4. Eerst ereken je MB = = 3 3. En an is BT = (3 3) = 43 m. u u u ( MTB) = 5 43 geeft MTB Het ovenaanziht is een vierkant ABED met zijen van 4 m. Lijnstuk FC verint e miens van DE en AB. Omat AC = BC = = 20 = 2 5 is e totale oppervlakte = a Teken eerst een vierkant van 5 ij 5 m. Verin an e miens van e onerste en e ovenste zije en laat eze lijn aan eie zijen 2,5 m uitsteken. Je krijgt an eze figuur. Maak een shets van e figuur met e letters op e juiste plek. Neem aan at P het mien van AB is en at Q op EF ligt met EQ = 25 m. Je weet an at PQ = 100 m, e hoogte van het eel. Verer is BQ = = Daaruit volgt at BE = = ,1 m. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 27

30 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE Het gronvlak hoeft niet, aar staat het eel op. Het gaat aarom om e trapeziums BCEF en DAEF en e gelijkenige riehoeken ABE en CDF. Beie gelijkenige riehoeken heen een asis van 50 m en een hoogte van PE = = Hun oppervlakte is De oppervlakte van één van eie trapeziums is 1 2 ( ) = De totale oppervlakte is aarom m Maak een tael met alle mogelijkheen. Je vint minimaal 120 kuusjes en maximaal 960 kuusjes. 17 a Teken eerst een vierkant van 5 ij 5 m. Verin an e miens van e onerste en e ovenste zije en laat eze lijn aan eie zijen 2,5 m uitsteken. Je krijgt an eze figuur. Maak een shets van e figuur met e letters op e juiste plek. Neem aan at P het mien van AB is en at Q op EF ligt met EQ = 25 m. Je weet an at PQ = 100 m, e hoogte van het eel. Verer is BQ = = Daaruit volgt at BE = = ,1 m. 18 a Antwoor Antwoor Antwoor Antwoor 19 a Antwoor Antwoor Antwoor 2.3 Doorsneen 1 a De figuren I en IV zijn fout. De punten van eze vierhoeken op e rien van e kuus liggen niet in een plat vlak maar op een geogen oppervlak. Pak er eventueel een raamoel van een kuus ij en maak aarin e figuren oor touwtjes te spannen. Alleen als het mogelijk is om alle touwtjes preies ahter elkaar te zien als je e kuus in een geshikte stan hout, liggen ze allemaal in één plat vlak. Dat kan op vershillene manieren. Die oorsnee is een rehthoek van 2 m ij = 5 m. 2 a Dan ligt iagonaalvlak ACGE reht voor je en at is een rehthoek van 50 = 5 2 ij 5. In e figuur zie je nu e punten A, P, G en Q op één lijn liggen. Nee, at is onmogelijk. Ze zijn allemaal zijen van een rehthoekige riehoek van 5 ij 2,5 m waarvan e langste rehthoekszije horizontaal (evenwijig met het gronvlak van e kuus) is. En aarom zijn ze ook even lang. PAGINA 28 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

31 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE e Begin met iagonaal PQ. Deze iagonaal heeft een lengte van 50 m. Daarna irkel je vanuit punt P e zijen PA en PG om en vanuit punt Q irkel je QA en QG om. Nu kun je e ruit afmaken. Dat kan in e ruit ie je zojuist ij het geteken, of in het iagonaalvlak ACGE. In eie gevallen he je e stelling van Pythagoras noig: AG = 75 = a Ze zijn niet evenwijig. Verer liggen ze in vlakken ie evenwijig zijn, us kunnen ze elkaar ook niet snijen (al lijkt at misshien als je e lijnstukken AH en PG langer maakt wel zo te zijn). Ze zijn kruisen. Want ze liggen in twee vershillene evenwijige vlakken en lopen niet evenwijig. De lijnen zijn snijen want ze liggen eie in het voorvlak van e kuus. 4 a Er zijn punten uiten eze riehoek ie zowel op het vlak oor ie rie punten als innen of op e kuus liggen. Omat lijnstuk KL evenwijig moet zijn met rie CG. De oorsnee is een rehthoek met lengte KC en reete CG. De lengte van KC ereken je met e stelling van Pythagoras: KC = = 45 m. 5 a Doen, geruik e stelling van Pythagoras. e Beie riehoeken heen een rehte hoek en e zijen van e éne riehoek zijn evenwijig met e overeenkomstige zijen van e anere riehoek. Dat etekent at BPQ = CDG en BQP = CGD. Het zijn us twee riehoeken met gelijke hoeken. Doen, geruik e stelling van Pythagoras en eventueel e gelijkvormighei. Doen, geruik e stelling van Pythagoras in ΔPCG. Teken eerst ΔDGP (aarvan weet je alle zijen) en zet aar ΔPGQ op. 6 a Nee, want ijvooreel MK en HN zijn niet evenwijig. Ja, van eze riehoek liggen alle zijen op e grensvlakken van e alk. Nee, van eze riehoek liggen maar twee zijen op e grensvlakken van e alk, e anere zije niet. Er zijn us nog punten van het vlak oor K, M en N ie innen of op e alk en uiten e gegeven riehoek liggen. MB = ,5 2 = 42,25 = 6,5 en BN = ,5 2 = 22,25 4,7. Verer is iagonaal MN = = 52 7,2. Nu kun je eerst ΔMBN tekenen. Maar omat MH = BN en HN = MB kun je ΔMHN aar tegenaan tekenen. 7 a Evenwijige lijnen. e f Kruisene lijnen. Kruisene lijnen. Snijene lijnen. Snijene lijnen. Kruisene lijnen. 8 a De lijnstukken KL en MN liggen op evenwijige lijnen en e anere twee zijen van e vierhoek snijen eze eie lijnen. MN = 8 en KL = 4 m (vanwege e gelijkvormighei van e riehoeken KBL en ABC). Verer is NK = LM = = 4 2. KLMN is een gelijkenig trapezium. In e figuur zie je hoe je het nu kunt tekenen. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 29

32 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE In e figuur ij zie je at u u u ( NML) = zoat NML 69. De vierhoek heeft us twee hoeken van ongeveer 69 en twee van ongeveer a Omat e overstaane zijen van e zeshoek evenwijig zijn. Begin met een irkel met een straal ie gelijk is aan e zijen van e regelmatige zeshoek. Omat een regelmatige zeshoek uit zes gelijkzijige riehoeken estaat, hoef je eze irkel alleen maar in zes gelijke punten te verelen. Neem aarvoor een punt op e ran. Pas met e straal van e irkel tussen e passerpunten twee anere hoekpunten van e zeshoek op e ran van e irkel af. Ga zo oor tot je zeshoek af is. Doen, het lukt ijvooreel als e vijfhoek oor U, P en G gaat. Hij moet an ook hoekpunten op BF en DH heen. Die moeten iets lager liggen an e punten T en Q. De oorsneen AQGT en ACGE zijn vooreelen van vierhoeken. De oorsneen DBG en SRC zijn vooreelen van riehoeken. 10 a Omat e overstaane zijen van e vierhoek evenwijig moeten zijn. Dus ijvooreel moet KL HM en at kan alleen als punt L weer 2 m lager ligt an punt K. Alle zijen van e vierhoek zijn = 68 m lang. Diagonaal KM is 8 2 m lang. Nu kun je e figuur tekenen. 11 Alleen in e rehter figuur is aarvan sprake. De lijnen BQ en GH in e linkerfiguur zijn kruisene lijnen, us kunnen ie lijnen nooit in één vlak liggen. In e rehter figuur zijn e lijnen CH en PQ evenwijig (vanwege e gelijkvormighei van e riehoeken APQ en DCH, waaroor e hoeken van eie riehoeken gelijk zijn). 12 a Kruisen, eze lijnen liggen niet in één vlak. e Snijen, eze lijnen liggen in vlak PCGR. Kruisen, eze lijnen liggen niet in één vlak. Evenwijig en eze lijnen liggen in vlak PCGR. Snijen, eze lijnen liggen in vlak ABCD. 13 a ΔBCT is een gelijkenige riehoek met hoogte TM = = 128 = 8 2. Als N het mien is van MC, an is ΔBNP rehthoekig met rehthoekszijen BN = 6 en NP = 4 2 (geruik e gelijkvormighei van e riehoeken NCP en MCP). En us is BP = (4 2) 2 = 68. Vierhoek ABPQ is een symmetrish trapezium met AB = 8 m, PQ = 4 m en BP = AQ = 68 m. PAGINA 30 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

33 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE In e figuur ij zie je at u u u ( BAQ) = 2 68 zoat BAQ 69. De vierhoek heeft us twee hoeken van ongeveer 76 en twee van ongeveer a Antwoor Antwoor 15 a Zie figuur ij. Zie figuur. Begin met e riehoekige vloer. Daartoe eel je het lijnstuk vanaf het mien M van e mielste vloer naar e top G in twee gelijke elen. Een horizontale lijn oor it punt in iagonaalvlak ABGH snijt rie GH en at is een hoekpunt van eze vloer. Nu trek je een lijnstuk evenwijig aan HF tot rie STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 31

34 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE FG en vanuit het punt op ie rie een lijnstuk evenwijig aan FC tot rie GC en tenslotte weer terug naar het punt op rie GH. Let op het stippelen. 16 a De hoogte tussen eze twee veriepingen is eenviere eel van e totale hoogte van e kuus. Die is us 10 m. Als ie rien een lengte van u m heen, an is AG = u 3 = 10. Dus e rielengte is u = ,77 m. Omat ABGH een rehthoekig iagonaalvlak van e kuus is, is u u u ( HAG) = 10 3 /10 = 1 3, zoat HAG 35, Inhou en oppervlakte 1 Zie e tael hieroner. formule etekenis 1 0,5 asis hoogte a oppervlakte riehoek 2 lengte reete hoogte inhou alk 3 gronvlak hoogte inhou prisma 4 2π straal omtrek irkel 5 lengte reete e oppervlakte rehthoek gronvlak hoogte f inhou piramie 7 asis hoogte g oppervlakte parallellogram 8 π straal 2 h oppervlakte irkel 2 a Balk: G = 4 3 = 12 en h = 6 geeft V = 12 6 = 72. Prisma: G = = 6 en h = 6 geeft V = 6 6 = = 108. Bereken eerst AC = = 5. De oppervlakte is an = 84. Alle elen van e uitslag woren zowel in e lengterihting als in e reeterihting 3 keer zo groot. De oppervlakte ontstaat oor lengte en reete te vermenigvuligen, us ie wort an 3 3 = 9 keer zo groot. 3 a Doen. En voor e inhou wort (net als e lengte en e reete) ook e hoogte 3 keer zo groot. De inhou wort aarom = 27 keer zo groot. Van piramie ACD.H is G = 1 2 AD DC = = 6 en h = 6. Dus G h = 36. Van piramie CGH.E is G = 1 2 HG CG = = 12 en h = 3. Dus G h = 36. Van piramie AHE.C is G = 1 2 EH AE = = 9 en h = 4. Dus G h = 36. In het prisma met hetzelfe gronvlak als eze piramie en ezelfe hoogte passen rie piramies ie ezelfe inhou als piramie V = 1 3 G h heen. Van elk van hen is e inhou us V = 1 3 G h. En us is V(ACD.H) = = 12. PAGINA 32 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

35 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE 4 a Omat een iliner lijkt op een prisma. Elke oorsnee looreht op e as is hetzelfe. Dus ook ij een iliner krijg je het volume oor het aantal eenheiskuussen op het gronvlak te vermenigvuligen met het aantal lagen, e hoogte van e iliner. G = π 2 2 = 4π en h = 5 geeft V = 4π 5 = 20π m 2. Omat een kegel lijkt op een piramie. Een piramie waarvan het gronvlak een veelhoek is met oneinig veel hoekpunten. G = π 2 2 = 4π en h = 5 geeft V = 1 3 4π 5 = 20 3 π m2. 5 a De inhou van e iliner wort V = π = 1280π. En ineraa is 1280π = 8 160π. Een uitslag van een iliner estaat uit twee irkels, e gronirkel en e ovenirkel, met aartussen een rehthoek. Die rehthoek heeft als lengte e omtrek van zo n irkel en als reete e hoogte van e iliner. Met e omtrekformule voor e irkel reken je e lengte van ie rehthoek uit. De oppervlakte is lengte reete. De oppervlakte van gronirkel en ovenirkel ereken je met e oppervlakte formule van een irkel. Tenslotte tel je e oppervlakte van e rehthoek en e twee irkels ij elkaar op. De oppervlakte van e iliner wort A = π π 8 2 = 448π. En ineraa is 448π = 4 112π. 6 Eerste manier: e oppervlakte is A = π π 6 2 = 228π, us e hoeveelhei metaal is H = 0,1 228π = 22,8π 71,628 m 3. Tweee manier: e hoeveelhei metaal is H = π 6,1 2 16,1 π = 23,081π 72,511 m 3. In feite is e eerste manier onnauwkeurig, omat er geen rekening is gehouen met e iets reere gronirkel (e straal is eigenlijk 6,1 m) en met e hoeveelhei metaal ie noig is om van e rehthoek een rone uis te maken. 7 Noem e straal van e iliner u en e hoogte h. Voor e oppervlakte van het vooraanziht gelt 2u h = 75. Voor e oppervlakte van het ovenaanziht gelt πu 2 = 60. Uit πu 2 60 = 60 volgt u = π 4,37. En us is 8,74 h = 75 zoat h 8,6 m. 8 Noem e straal van e iliner u en e hoogte h, eie in m. Er gelt h = 2u. Voor een literlik gelt G h = πu 2 h = Dus πu 2 2u = 1000 ofwel u 3 = π en u = π 5,4 m. 9 a Eerst vereel je e vijfhoek in een vierkant en twee rehthoekige riehoeken. Het vierkant heeft zijen van 6 m en us is aarvan e oppervlakte 6 2 = 36 m 2. De twee rehthoekige riehoeken heen rehthoekszijen van 3 m en = 7 m. Samen vormen ze een riehoek met een asis van 6 m en een hoogte van 7 m en us een oppervlakte van Doen, geruik e formule in het vooreel. A = = m2. 10 Bereken eerst e hoogte van eze piramie: h = 6 2 (2 2) 2 = 28. De inhou is an V = = 3 28 m3. Bereken vervolgens e hoogtes van e vier gelijke opstaane grensvlakken: h = = 32. De totale oppervlakte is an A = = m2. 11 Noem e lengte van een rie u. De hoogte van een opstaan grensvlak is an u 2 ( 1 2 u )2 = 3 4 u 2 = 1 2 u 3. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 33

36 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE De oppervlakte is u u 1 2 u 3 = u 2 + u 2 3 = Dit etekent u 2 (1 + 3) = 1000 en us u 2 = 1000 zoat u 19,1 m a V = 1 3 π = π De inhou wort an ( 1 2 )3 = keer zo groot, us 24 π. Bereken eventueel van eie kegels e inhou en vergelijk ie inhouen. De kegel met e grootste straal heeft een grotere inhou. Dat hangt er van af of u > u of u < u. Als u > u an heeft e kegel met straal u een grotere inhou, want 1 3 π u 2 u = 1 3 πu u u is in it geval meer an 1 3 π u 2 u = 1 3 πu u u. Als u < u an heeft e kegel met straal u een kleinere inhou, want 1 3 π u 2 u = 1 3 πu u u is in it geval miner an 1 3 π u 2 u = 1 3 πu u u. 13 Voor het etonlok zoner gat is = m 3 eton noig. Het gat heeft een volume van 1 3 π 7, m 3. Voor het etonlok met gat is m 3 eton noig. 14 a V = π m 3. Op ware grootte krijg je een rehthoek van 2π 8 = 16π ij 14 met aarij twee irkels met straal 8 m. Op shaal 1 : 4 wort it een rehthoek van 4π 12,6 ij 3,5 m met twee irkels met een straal van 2 m. De inhou wort π (2u ) h = π 4u h = 2πu 2 h us twee keer zo groot. π u 2 2u = 2500 geeft u 3 = π en us u = π 7,4 m. 15 a De afmetingen van het eksel zijn 1 3 eel van ie van e hele spaarpot. De volumevergrotingsfator is aarom ( 1 3 )3 = 1 27, us het volume van e eksel is 1 27 eel van at van e gehele piramie en at is ,037 eel, us 3,7%. De spaarpot estaat uit een gronvlak van 18 m ij 18 m, vier opstaane riehoekige zijvlakken met een asis van 18 m en een hoogte van = 657 m en twee sheiingsvlakjes van 6 ij 6 m. De enoige hoeveelhei karton is aarom m 2 karton (exlusief plakranjes). 16 a Omat het hier zes gelijkzijige riehoeken etreft ie hoeken van 60 heen, is e kleinste raaihoek ook 60. Het gaat om e inhou van een regelmatig riezijig prisma met als gronvlak een gelijkzijige riehoek met een asis van 10 m en een hoogte van = 5 3 m en een eigen hoogte van 2 m. Daarvan moet e inhou van een iliner met een straal van 1,9 m en een hoogte van 1,2 m woren afgetrokken. Er is us π 1,92 1,2 73 m 3 kunststof voor noig. 17 a Het gronvlak estaat uit aht gelijkenige riehoeken met een asis van 7,8 m en een tophoek van 360 /8 = 45. Voor e hoogte h van zo n riehoek gelt: u u u (22,5) = 7,8 7,8 h en us h = u u u (22.5) 18,83. De oppervlakte van het gronvlak is aarmee ongeveer ,8 587,5 m2. Het volume is ongeveer 587,5 3, m 3. Van het gronvlak (en us ook van het ovenvlak) is e oppervlakte al ereken ij a. Alle anere grensvlakken zijn rehthoeken van 7,8 m ij 3,3 m. De oppervlakte is us m 2. PAGINA 34 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

37 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE 18 a π π = π m π 1.53 = 360π m Het volume van het mieneel oner het ak is at van een prisma met als gronvlak een opstaane riehoek met een hoogte van 5 m en een asis van 8 m. De hoogte van het prisma is 6 m (e nok van het ak). Het volume van e twee uiteinen van het ak is at van een piramie met een hoogte van 5 m en als gronvlak een rehthoek van 6 m ij 8 m. De inhou is aarom = 200 m3. 20 Het ak estaat uit twee riehoeken met een asis van 8 m en een hoogte van = 34 en twee trapezia met een hoogte van = 41. De oppervlakte is aarom (12 + 6) 41 = m Totaaleel 1 AM en HB liggen in iagonaalvlak ABGH en at gelt us ook voor e punten M en N. Dit iagonaalvlak is een rehthoek met zijen AB = 12 en BG = = 10. (Misshien hanig om ie even op ware grootte te tekenen.) De riehoeken ANH en MNB zijn gelijkvormig (want ANH = MNB (overstaane hoeken) en AHN = MBN (Z-hoeken)). Omat alle zijen van ΔANH twee keer zo groot zijn an ie van ΔMNB is AN = 2 3 AM. Nu is AM = = 13 en at etekent AN = = Verer is u u u ( ABH) = zoat ABH 39,8. Ook is u u u ( BAM) = 5 12 zoat BAM 22,6. En aarom is ANB ,8 22, Elk van e vier opstaane zijvlakken is een gelijkenige riehoek met een asis van 5 m en een hoogte van = 125 = 5 5 m. Voor elke asishoek α gelt aarom u u u (α) = 5 5 2,5, zoat α 77,4. Elk opstaan zijvlak heeft aarom twee hoeken van 77,4 en een tophoek van 25,6. 3 Zie figuur. Geruik je passer voor e lijnstukken van 4,5 m. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 35

38 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE 4 Zie figuur. Het etreft hier een piramie met een vierkant gronvlak ABCD en een top T ie reht oven punt D ligt. 5 Er is geen vlak te vinen waar eie lijnen in liggen en ze lopen niet evenwijig. (En in een parallelprojetie zijn evenwijige lijnen ook evenwijig geteken.) 6 De lijnen EN en MC zijn evenwijig, evenals e lijnen EM en CN. Nu is EN = MC = = 6 2 en EM = NC = = 10 is vierhoek EMCN een parallellogram. Om e vierhoek op ware grootte te kunnen tekenen moet je nog een iagonaal uitrekenen, ijvooreel MN = = 10. Nu kun je met e passer het parallellogram tekenen, egin met e iagonaal en irkel e zijen om. 7 Van e piramie is e hoogte = 2 2. De inhou is us ,1 m 3 Van e kegel is e inhou 1 3 π m 3. De kegel heeft het grootste volume. 8 Noem e hoogte h, an is 2π 1 4 h h + 2π ( 1 4 h)2 = 628. Deze vergelijking geeft h 17,9 m. 9 Een regelmatige zeshoek estaat uit zes gelijkzijige riehoeken. Als e zijen van ie zeshoek 120 m zijn is van elk van ie riehoeken e asis 120 m en e hoogte 60 3 m. De oppervlakte van zo n zeshoek is an = Als e zijen van ie zeshoek 80 m zijn is van elk van ie riehoeken e asis 80 m en e hoogte 40 3 m. De oppervlakte van zo n zeshoek is an = De oomank heeft us een oppervlakte van m = 9 ogen. 11 a De uitslag estaat uit vier gelijkenige riehoeken met enen van 9,8 m en een asis van 6 m. Elk van e vier gelijkenige riehoeken heeft een asis van 6 m en een hoogte van 9, ,33 m. De oppervlakte van e uitslag is us , m2. u u u ( 1 2 AFC) = us AFC a Omat ze eie in e oorsnee ACQP van een vlak met e alk liggen. Immers PQ AC. De lijnen PG en AC zijn niet evenwijig, us eze punten liggen niet in één vlak. Deze vierhoek is een trapezium met AC = 10 2, PQ = 5 2 en AP = CQ = = 13. De hoogte van it trapezium is 13 2 (2,5 2) 2 = 155,5. De oppervlakte van ACQP is aarom 1 2 ( ) 155,5 = 7,5 311 m a π m π ( π 702 ) m De volumevergrotingsfator is 1 /5 = 0,2. PAGINA 36 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

39 Als e lengtevergrotingsfator u is, an is e volumevergrotingsfator u 3. Dus is u 3 = 0,2 en u = 3 0,2 0,58. De letters op het kleine lik zijn aarom ongeveer 8 0,58 4,6 m hoog. 15 a Ongeveer 6600 /12 = 550 agen. Begin ij het egin van e tunnel. Na 50 m en je 1 ranlusser gepasseer, na 100 m en je 2 ranlussers gepasseer, na 150 m en je 3 ranlussers gepasseer, na 200 m en je 4 ranlussers gepasseer,..., na 6550 m en je 6550 /50 = 131 ranlussers gepasseer. En als je e tunnel an uitloopt komt er geen ranlusser meer ij. Er hangen us 131 ranlussers. Noem ie hoek α, an is u u u (α) = en us is α 2,6. De totale inhou van e tunneluis is π m 3 en voor ie hoeveelhei zan zijn 16 a Doen van ie vrahtwagens gevul. De oorspronkelijke irkel ha een omtrek van 2π 5 = 10π m. Na het wegknippen van e setor met een setorhoek van 90 is aar het 270 /360 = 3 4 e kegel is π = 7,5π. De straal van e kegel is aarom 3,75 m. eel van over, us e omtrek van e gronirkel van De straal van e oorspronkelijke irkel is e lengte van een lijnstuk vanuit e top van e kegel naar e gronirkel. Het 270 /360 = 3 4 eel van e oppervlakte van e oorspronkelijke irkel, us 3 4 π 52 = 75 4 π. De oppervlakte wort π 52 = 25 3 π. De omtrek van e gronirkel van e kegel wort π 5 = 10 3 π en us wort e straal van e kegel 5 3 m. De hoogte wort 5 2 ( 5 3 )2 = e De oorspronkelijke irkel heeft een omtrek van 2πR en een oppervlakte van πr 2. Je knipt er een setor uit, e overlijvene setor heeft een hoek α. Dan is e omtrek van e gronirkel α α van e kegel 360 2πR en e straal van e gronirkel u = 360 R. De oppervlakte van e kegelmantel is α 360 πr2 = π α 360 R2 = π ( α 360 R) R = πu R. f Er gelt u = 4 en R = = 41. De kegelmantel heeft aarom een oppervlakte van πu R = π 4 41 = 4π 41. De gronirkel telt ook mee, ie heeft een oppervlakte van π 4 2 = 16π. De totale oppervlakte is aarom 16π + 4π a Noem e hoogte van e kegel met punt h, an is e hoogte van e kegelvormige punt 8 10 h. (Dit kan ook met gelijkvormighei in een warsoorsnee van e kegel met hoogte h.) Dit etekent at 2 10 h = 12 en us h = 60 m. De inhou van het ekertje is aarmee 1 3 π π = 244π 767 m 3. Eht wel een eker us... De kegelmantel met punt is een stuk van een irkel met straal R = = 3625 en e oppervlakte aarvan is πu R = π ,7 m 2. De kegelmantel van e punt zelf is een stuk van een irkel met straal R = = 2320 en e oppervlakte aarvan is πu R = π ,3 m 2. De mantel van e eker is aarom ongeveer 340,4 m 2. Daarij komt nog e oem van e eker met een oppervlakte van π ,3 m 2. De totale oppervlakte is us ongeveer 391 m 2.

40 3Exponentiële veranen 3.1 Groeiatoren 1 a Na één ag nog 1,865 ar en na twee agen nog 1,655. Je vermenigvuligt stees met 0,887. Maak een tael tot je op een getal uitkomt at lager is an e helft van 2, a 12% erij etekent at elke 100% overgaat in 112%. Dat etekent vermenigvuligen met 1,12. In 2015, want het jaar aarop komen er meer an 1250 leerlingen, namelijk ongeveer Met 8%. Die ligt tussen 0 en 1. 3 a 85% ,85 = 425 mg. PAGINA 38 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

41 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > EXPONENTIËLE VERBANDEN 0,85 Maak een tael. Na 10 uur is e stof uitgewerkt. 4 a In prinipe kun je van elk getal uitgaan, maar 100 rekent met perentages het gemakkelijkst. 1,35 0,65 1,001 e 0,999 f 2,5 g Dat kan niet, al voor at e maan om is is eze hoeveelhei op. 5 a Bij e afname van 17% per maan en ij e groeifator van 0,76. Omat er an van een afname van meer an 100% sprake is in ie perioe. En at kan niet, an is al eerer alles op. 50%. 85%, us elk uur een afname van 85%. e f 0% per jaar, e hoeveelhei lijft gelijk. 100% per jaar, e hoeveelhei veruelt elk jaar. 6 a Toename van 10,5% per week. Afname van 0,2% per week. Toename van 300% per week. Afname van 90% per week. 7 a Er gaat elk half uur 9% af van zijn aloholpromillage. En er lijft us 91% over. De groeifator per uur is 0,91 2 0,83. Als je e groeifator per kwartier even u noemt, an moet u 2 0,91. En us is u = 0,91 0,95. 8 Maak een tael. Je moet 14 keer met 0,95 vermenigvuligen voorat je oner e 0,5 promille zit. Dus at uurt zeven uur. 9 a Elke 24 uur veruelt e oppervlakte. Er wort alleen gevraag op welk moment een epaal eel van e vijver wort eekt. 75 m 2. 0,15 m 2. e 0,00015 m 2 en at is ongeveer 0,15 m 2. f u = ,03 10 a 0,5 3 = 0,125 Noem ie groeifator u. Je moet an oplossen u 8 = 0,5. Je vint u = 8 0,5 0, a Een toename van 21% per uur. e Een toename van 92,4% per uur. Een afname van 1% per uur. Een toename van 150% per uur. Een toename van 9900% per uur. 12 a Groeifator 0,86 per uur. Groeifator 1,3476 per ag. Groeifator 2,04 per jaar. Groeifator 0 per uur. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 39

42 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > EXPONENTIËLE VERBANDEN 13 a 0,887 0, ,432 Maak een tael. Voor het eerst op e 26ste ag. 14 a Met groeifator a 0,68. Met 100% per jaar. 39,2 2 4 = 627,2 mln. Noem ie groeifator u, an is u 2 = 0,68. En us is u = 0, 68 0,82. Dat is een afname van ongeveer 18% per zes uur. Noem ie groeifator u, an is u 12 = 0,68 en u = 12 0,68 0,97. Dat is een afname van ongeveer 3% e f per uur. Nog 0,92 ml vlak voor e injetie en us 2,92 ml vlak erna. Na 30 uur: 2,92 0,82 2,39 ml. Aan het eine van e tweee ag (us na 48 uur) heeft e patiënt nog 2,92 0,68 2 1,35 ml pijnstiller in zijn lihaam. Na een ere injetie wort it 3,35 ml. Na 60 uur heeft hij 3,35 0,68 2,28 ml pijnstiller in zijn lihaam. Doen, je krijgt een grafiek met vertiale sprongen. Geruik e gegevens uit eze opgave. 16 a Als je e opeenvolgene aantal vossen stees op elkaar eelt, vin je telkens ongeveer 0,87. De konijnen vermineren us elk jaar ongeveer 13% in aantal. Maak e tael verer af. Vanaf 2020 komt het aantal konijnen vlak ij e 175, us an moet het aantal vossen wel woren verklein. 17 a 1 1, Werk met een inklemtael of met een tweeëenertigstemahtswortel. Je vint ongeveer 1,28% per jaar. Tussen 1959 en 1974 was e groei ongeveer 1,94% per jaar. Daarna was e groei van 1974 tot 1987 ongeveer 1,73% per jaar, van 1987 tot 1999 ongeveer 1,53% per jaar en van 1999 tot 2011 ongeveer 1,29% per jaar. De werelevolking zal an nog een tij lijven stijgen, maar wel met een stees kleiner perentage. 3.2 Exponentiële groei 1 a Maak een tael. In 2021 is het aantal inwoners veruel. A = 9,5 1,045 u Een grafiek ie loopt vanaf (0; 9,5) en an stees iets steiler omhoog gaat. 2 a A = u = B = ,05 u , a Maak eerst taellen. Neem voor u e waaren 0, 5, 10, 15 en 20. Maak je tael nauwkeuriger. In 2027 zijn er in lan B voor het eerst meer leen, namelijk ongeveer terwijl er in lan A an leen zijn. 4 a , , ,361 en at is een groeiperentage van ongeveer 36,1% per jaar. Z = ,361 u PAGINA 40 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

43 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > EXPONENTIËLE VERBANDEN Je vint nu ongeveer 6138 zeehonen. Het vershil komt oor e afroningen. 5 a Doen, er zijn twee snijpunten. Maak een inklemtael in twee eimalen. Je vint (8,9; 9,3). Dit lukt alleen als e groeifator groter wort. Vanaf een groeifator van ongeveer 1,17. Doen, ook nu zijn er twee snijpunten. e Maak een inklemtael in twee eimalen. Je vint (5,8; 1,1). 6 a Tael: e Tij u Aantal vlg Simonsz Aantal vlg Jansma N = u N = ,03 u Op en uur zal e formule van mw. Jansma e meeste inwoners opleveren. Bij haar formule komt er jaarlijks een stees groter aantal ij. Verueling ij Simonsz: u = geeft met e alansmethoe u 26,7 jaar. Verueling ij Jansma: u = geeft met inklemmen u 23,4 jaar. Volgens e formule van mw. Jansma is het aantal inwoners het eerst veruel. 7 a Je trekt telkens e aantallen inwoners van twee opeenvolgene jaren van elkaar af. Daar komt stees ongeveer 1500 uit. De getallen vershillen wel wat van jaar tot jaar, maar gemiel klopt it wel ongeveer. In een grafiek ziet het er ook reelijk uit als een rehte lijn. De eginhoeveelhei is op u = 0 en er komen jaarlijks ongeveer 1500 inwoners ij. Je eelt telkens e aantallen inwoners van twee opeenvolgene jaren op elkaar. Daar komt stees ongeveer 1,025 uit. De getallen kunnen wel wat van jaar tot jaar vershillen, maar gemiel klopt it wel ongeveer. In een grafiek zie je e stees sterkere stijging. De eginhoeveelhei is op u = 0 en er is een groeifator per jaar van ongeveer 1,025. e Maak e taellen verer af. 8 a Na het eerste uur is nog 51 /60 = 0,85 eel over, na het tweee uur nog 43 /51 0,84 en na het ere uur ook nog 37 /43 = 0,86. Gemiel is er een groeifator van 0,85. G = 60 0,85 u Maak een tael. Na 15 uur is it het geval. 9 a u = ,95 Uit 1200 = u 0,95 3 volgt u Uit 800 = u 0,95 11 volgt u Het vershil zit hem in e afroning van e groeifator. 10 a Per 11 3 = 8 tijseenheen is er een afname van = 400. Per tijseenhei us een afname van 50. Bij eze lineaire funtie past een formule van e vorm N = 50u + u. Nog even u = 3 en N = 1200 invullen en je krijgt e formule N = 50u Lineaire funtie: N = = 350. Exponentiële funtie: N = , Uit 50u = 0 volgt u = 27. Het exponentiële groeimoel geeft an N 350. Eigenlijk raakt e hoeveelhei N nooit op, elke keer is er nog 95% van e vorige hoeveelhei over. Maar op zeker moment zal e hoeveelhei zo klein zijn at hij niet meer waarneemaar of meetaar is. 11 a H = 160 1,15 u en op u = 10 gelt H 647. H = u en op u = 10 gelt H 310. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 41

44 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > EXPONENTIËLE VERBANDEN H = 160 0,85 u en op u = 10 gelt H 31. H = u en op u = 10 gelt H 10. e De groeifator per ag ereken je uit u 7 = 1,15. Je vint u 1,02. De formule is an H = 160 1,02 u en op u = 10 gelt H 195. f De groeifator per ag ereken je uit u 7 = 0,85. Je vint u 0,977. De formule is an H = 160 0,977 u en op u = 10 gelt H a Deze meewerker gaat uit van lineaire groei. Als je egint met inwoners in 2008 en je telt aar elk volgen jaar 2300 inwoners ij, an krijg je voor 2009 preies , voor en voor inwoners. En at zou alleen aan e afroningen kunnen liggen. I = 2300u e / ,015, / ,015 en / ,015. Er is us een groeifator van 1,015 per jaar. I = ,015 u Bij e exponentiële groei wort e jaarlijkse stijging van het aantal inwoners stees groter, us woren op en uur e evolkingsaantallen erg groot. Bij lineaire groei is e stijging jaarlijks gelijk. f Lineaire groei: I = = Exponentiële groei: I = , Per meter wort 32,7% tegengehouen en us ringt er 67,3% oor. De groeifator waar je mee rekent is us 0,673. Neem 100 als eginhoeveelhei en los op: u = 1 Maak een tael en je merkt at je tot iets miner an 12 m iepte nog meer an 1% lauw liht het. 14 a Lineaire funtie: u = u + 3. Exponentiële funtie: u = 3 ( 4 3 )u. Lineaire funtie: u = u + 3. Exponentiële funtie: u = 3 ( 2 3 )u. Lineaire funtie: u = 23,9u + 102,2. Exponentiële funtie: u 124 1,10 u. Lineaire funtie: u = 23,9u + 436,8. Exponentiële funtie: u 470 0,91 u. 15 Lineaire funtie: N = 75u Exponentiële funtie: u 500 0,79 u. 16 a Dat zijn ruim 2, transistoren. En at lijkt wel reelijk te kloppen met e figuur Dat zijn ijna transistoren. En ook at lijkt wel reelijk te kloppen met e figuur. Je zou zelfs kunnen zeggen at e Pentium 4 zijn tij vooruit was. R = ,414 u R = , , e Maak een tael ij e formule ie je het gemaakt. Je vint at it omstreeks 2030 het geval zou moeten zijn. 17 a Neem ijvooreel u in maanen met u = 0 in april Dan zien e gegevens etreffene het aantal Faeookgeruikers N er zo uit: PAGINA 42 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

45 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > EXPONENTIËLE VERBANDEN u N Als er sprake is van exponentiële groei an zou voor e groeifator u per maan in e eerste 15 maanen gelen: u 15 = = 2,5. En at geeft u 1,063. Voor maan 43 krijg je an 200 1, miljoen geruikers en at is ij lange na niet gehaal. Omat je an vrij snel aanloopt tegen e grootte van het aantal mensen op Aare. Nu neemt at ook wel toe, maar lang niet zo snel als het aantal Faeookgeruikers in het egin van e werelwije introutie van Faeook. 3.3 Exponentiële funties 1 a De uitkomst, e u -waare veruelt an. De uitkomst, e u -waare halveert an. 2 0 = 1, want 2 1 = 2 en als u met 1 afneemt moet je halveren, us 2 0 = = = = = = 1 2. e Nee, naar links moet je elke gehele stap halveren en us lijf je oven 0. 2 a Het wort het spiegeleel van e grafiek ij e vorige opgave met alle uitkomsten negatief. Je spiegelt e grafiek van e vorige opgave us in e u -as. Zie tael: u u Bij eze funtie kun je geen grafiek tekenen, want je kunt e punten niet op een zinvolle manier verinen. Er lijken afwisselen positieve en negatieve uitkomsten te zijn, maar at is alleen ij gehele getallen. Hoe het aar tussenin zit is onuielijk. Je rekenmahine zal ( 2) 0,5 ook niet kunnen erekenen. 3 a Als u met 1 veruelt e uitkomst en als u met 1 afneemt halveert e uitkomst. Zie e tael. u u 0,375 0,75 1, De rekenmahine geeft ij u = 0,5 e uitkomst u 8,485. En us vin je verer ahtereenvolgens ongeveer 16,970, 33,940, 4,243 en 1,121. Eigen antwooren. e De lijn u = 0. 4 a Die liggen preies 3 eenheen hoger. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 43

46 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > EXPONENTIËLE VERBANDEN De lijn u = 3. Eigen antwooren. Als u = 6. 5 a Als u met 1 halveert e uitkomst en als u met 1 afneemt veruelt e uitkomst. Zie e tael. u u ,5 0,75 0,375 De rekenmahine geeft ij u = 0,5 e uitkomst u 4,243. En us vin je verer ahtereenvolgens ongeveer 8,486, 16,972, 1,121 en 0,561. Eigen antwooren. e De lijn u = 0. f De lijn u = 5. 6 a Zie tael. Hij is in twee eimalen nauwkeurig. u u 1,98 2,96 4,44 6, ,5 33,75 50,63 Doen. Zie figuur. 10 1,5 u 20 = 20 volgt 10 1,5 u = 40 en us 1,5 u = 4. Door inklemmen vin je u = 3, De oplossing lees je uit e figuur af: u 3, Op twee eimalen nauwkeurig etekent it u 3,41 of (wat hetzelfe is op twee eimalen nauwkeurig) u < 3,42. 7 Je egint met een tael ij u = 20 0,8 u te maken vanuit e eginhoeveelhei. u u 48,83 39,06 31, ,8 10,24 8,19 PAGINA 44 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

47 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > EXPONENTIËLE VERBANDEN Van alle uitkomsten trek je nog 5 af en je kunt e grafiek tekenen. 20 0,8 u + 5 = 10 geeft 0,8 u = 0,25, zoat u = De oplossing van e ongelijkhei wort u Omat e asymptoot u = 10 is, gelt in e gegeven formule u = 10. De formule komt er nu zo uit te zien: u = u u u A(0,40) invullen geeft: u u = 40 en us u = 30. B(4,25) invullen geeft: 30 u = 25 en us u 4 = 0,5 zoat u = 4 0,5 0,84. De gevraage formule wort u = 30 0,84 u Omat e asymptoot u = 3 is, gelt in e gegeven formule u = 3. De formule komt er nu zo uit te zien: u = u u u 3. O(0,0) invullen geeft: u u 0 3 = 0 en us u = 3. A(4,6) invullen geeft: 3 u 4 3 = 6 en us u 4 = 3 zoat u = 4 3 1,32. De gevraage formule wort u = 3 1,32 u a Zie tael. u u 142,22 106, ,75 25,31 Je moet alle uitkomsten in e tael nog met 12 verhogen. De punten uit eze nieuwe tael zet je in een assenstelsel. De lijn u = ,75 u + 12 = 15 geeft u 10,41. De oplossing van e ongelijkhei lees je uit e grafiek af: u > 10,4 (of u 10,5). 11 a De lijn P = 1. Deze asymptoot etekent at e ruk in e an nooit preies gelijk wort aan e ruk van e uitenluht, hij lijft er altij net iets oven. Omat niet eken is hoeveel ruk er in e an zit voor het oppompen. 32 agen na het oppompen, eigenlijk in e loop van ag 31 na het oppompen. 12 Je vint ongeveer u = 5 0,775 u Je vint ongeveer u 1 = 6 0,64 u en u 2 = 1 1,71 u a De omgevingstemperatuur is 20 C en het temperatuursvershil is us T 20. Volgens e tekst neemt at temperatuursvershil met een vast perentage af. Er is aarom sprake van een vaste groeifator en us van exponentiële groei van it temperatuursvershil. u is e groeifator per minuut van het temperatuursvershil, us u 15 = 1 3. Daaruit volgt u = ,93 T = 60 0,93 u + 20 Maak een tael. Je vint at it op u = 33 voor het eerst het geval is. 15 De formule is ongeveer T = ,93 u. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 45

48 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > EXPONENTIËLE VERBANDEN 3.4 Totaaleel 1 a 1,05 De groeifator per ag is 1,05 24 = 3,23, us het groeiperentage per ag is a 0,84 4 1,05 1,0123, us 1,23% per kwartier. Maak een inklemtael om 1,05 u = 2 op te lossen. Je vint u 14,2 uur. 12 0,84 0,986, us 1,7% per maan. Maak een inklemtael om 0,84 u = 0,5 op te lossen. Je vint u 3,98 jaar, us ongeveer 4 jaar. 3 a Z = u Ongeveer 6,5% per jaar, want alle elingen van twee opeenvolgene aantallen komen ongeveer uit op 1,065. Z = 310 1,065 u Lineaire groei: u = 500 geeft u = 9,5, us in Exponentiële groei: 310 1,065 u = 500 geeft met een tael u 7,6, us in u = 4 0,5 0,84 en (na één van eie punten in e formule invullen nu u eken is) u Maak zelf uitgereie uitwerkingen! u 1 5 0,63 u en u 1 5 0,63 u 2. 6 a , a 9 uur. De groeifator per jaar is 1,025. Als e ank jaarlijks rente ijshrijft wort telkens het erag afgeron op enten. Daaroor kunnen kleine vershillen ontstaan in het salo na 5 jaar. 12 1,025 1,00206, us ongeveer 0,2% per maan. 3 0,5 0,794, us een afname van 20,6% per uur. Maak een inklemtael om ,794 u = 50 op te lossen. Je vint ongeveer u 13 uur. 8 a N u Ga na: , N = ,0136 u Lineaire groei: u = geeft u = 8,32, us in Exponentiële groei: ,0136 u = geeft met een tael u 8,1, us ook in Bepaal eerst e groeifator per jaar van het aantal inwoners van Afrika. Ongelijkhei: 8721,027 u > 10 a 20 C ,015 u. Grafish oplossen geeft: u 127. Dus it zal in 2127 geeuren. 6 C. Doen, maak eerst een tael. Maak een tael. Je vint at it aan het egin van e 12e minuut voor het eerst het geval is. 11 u = 10 en u 0, a De groeifator per jaar is 1,03. De groeifator per maan is 12 1,03 = 1, Denk om het tussentijs afronen op enten nauwkeurig. Je het na een jaar een spaartegoe van 1024,26 en at zou 1030,00 moeten zijn. Het vershil lijkt gering, maar eenk at het vaak om grotere eragen gaat. PAGINA 46 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

49 Je het na een jaar een spaartegoe van 1030,42 en at zou 1030,00 moeten zijn. Dus jij wort lij! Je het na een jaar een spaartegoe van 1029,18 en at zou 1030,00 moeten zijn. 13 Maak een tael. Je krijgt een spaartegoe van 1333,17. (Denk weer om tussentijs afronen op enten nauwkeurig.)

50 4Statistiek 4.1 Steekproeven 1 a De theatereigenaar of een onerzoeksureau in opraht van theatereigenaren. Nee, niet voor allemaal, er zullen ezoekers zijn ie geen rankje willen rinken. Ja, er zijn grote theaters met voorstellingen ie uur zijn, maar er zijn ook kleine, meer alternatieve theaters, hier zullen over het algemeen anere mensen komen. 2 Je kunt ij vershillene theaters in het lan ij vershillene voorstellingen aan e ezoekers vragen hoe ze e avon eleef heen en ook vragen naar e wahttijen in e pauze en ij e gareroe. Maar welke theaters neem je an? En welk soort voorstellingen, of maakt at niet uit? En stel je je vragen voor e voorstelling of na afloop? En wat vraag je preies? En hoeveel mensen evraag je? 3 a Omat je je mening niet zoner meer mag aseren op geruhten, uitspraken van iniviuen. PAGINA 48 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

51 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > STATISTIEK Alle theaterezoekers uit zijn regio. Maar misshien ook nog wel mensen uit zijn regio ie nu geen theaterezoeker zijn, maar at misshien wel kunnen woren als je het theaterezoek aangenaam voor ze maakt. Die vraag is niet eenvouig te eantwooren. Je zou kunnen eginnen met het evragen van mensen ie zijn theater ezoeken, ijvooreel een maan lang elke voorstelling 20 willekeurige ezoekers. Maar misshien weet je nog wel wat eters te verzinnen. 4 Bijvooreel zou je willen weten: > in welke leeftijsategorie e ezoeker zit; > het geslaht; > of het een regelmatige ezoeker is; > of het wahten op een rankje als vervelen wort gezien; > of het een goe iee is om het rankje ij e prijs van het kaartje in te stoppen zoat het van tevoren kan woren klaargezet. Maar je kunt vast nog wel meer verzinnen. 5 a De 1600 leerlingen. Minimaal ongeveer 100, hier is geen vaste formule voor, je moet een reelijke hoeveelhei heen. Dit is niet representatief voor e hele shool. Als je ijvooreel een 6 vwo klas vraagt krijg je heel anere antwooren an een 2 havo klas. Je kunt ijvooreel uit elke jaarlaag (ijvooreel 2 havo, 4 vwo,...) 10 leerlingen vragen. Die zou je willekeurig moeten kiezen, oor tijens e pauze oor e shool te lopen en willekeurig leerlingen aan te spreken. Hier zijn veel goe antwooren mogelijk, je kunt ijvooreel ook van elke jaarlaag éé mentor vragen om e vragenlijst aan 10 willekeurige leerlingen in zijn/haar klas te geven. 6 a Alle konijnen op Texel. Je kunt ijvooreel op vershillene plekken op Texel konijnen proeren te vangen en eze onerzoeken. Wanneer lijkt at er ijna geen enkel konijn ziek is an zal het wel meevallen. (Biologen heen hier een ijzonere systematiek voor, maar aar hoor je later welliht meer over.) 7 a De populatie zijn mannen oven e 30 jaar uit Neerlan. Nee, e steekproef is niet representatief. Lezers van De Volkskrant is een hele speifieke oelgroep, zeker niet een gemiele oorsnee van e Neerlanse evolking. Eigen antwoor. Sommige vragen zijn wel erg sleht. Op e vraag Vint u zihzelf gezon? krijg je natuurlijk geen ojetieve antwooren en ieereen heeft een aner eel van wat gezon is. Net als e vraag Rookt u?. Dan moet je toh wel vragen naar e hoeveelhei. En zo he je zelf vast ook wel ommentaar. Goee vragen stellen is niet zo gemakkelijk... 8 a Eigen antwoor. Doen, eigen antwoor. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 49

52 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > STATISTIEK 4.2 Frequenties en klassen 1 a = / = 39,3 %. Zie e tael. Relatieve frequenties zijn haniger als je frequenties wilt vergelijken. Hier ijvooreel als je e gegeven frequentievereling wilt vergelijken met ie van een anere maan. Het aantal ezoekers zal an waarshijnlijk niet hetzelfe zijn en vergelijken van asolute frequenties is an onhanig. leeftij aantal rel.freq. in % , , , , ,2 totaal a Elk leeftij is een klasse van personen ie zih in een epaal levensjaar evinen, ijvooreel e klasse 14 stelt ieereen voor ie ouer is an 13, maar jonger an Het eel 13-jarigen is zowel asoluut als relatief toegenomen. De relatieve frequenties zijn ongeveer 0,17 (ofwel 17%) en ongeveer 0,25 (ofwel 25%). 3 De klassen zijn nu niet gelijk en je kunt ze aarom moeilijk met elkaar vergelijken. 4 a Zie e tael hieroner. Zie e tael hieroner. PAGINA 50 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

53 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > STATISTIEK 5 a Sorteer het exel-estan via Gegevens/Sorteren/KolomD. Zoek jouw geoortejaar en tel het aantal keren at it voorkomt. Van het geoortejaar 1968 staan er 56 nummers in e Top2000 van 2012, at is 2,8%. Sorteer het exel-estan via Gegevens/Sorteren/KolomD. En vul an e tael in. eennium frequentie Je hoeft het niet met hem eens te zijn, e Top2000 wort samengestel oor luisteraars van Raio2, at is een eperkte oelgroep, ie voor een groot eel jong was in e jaren , aaroor is hun muzieksmaak eïnvloe. 6 a De klassen: tot , , , , en oven e Er wort in eze grafiek geen vergelijking gemaakt tussen e ategorieën onerling, maar tussen e vershillene jaren in één ategorie. Het grootste vershil is at er miner mensen in e lage inkomens vallen ten opzihte van het jaar 2000, maar at er heel veel mensen meer in e hogere inkomens komen na a Maak even grote klassen. Zie e tael hieroner. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 51

54 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > STATISTIEK Nee, er zijn 20 ijfers oner e voloene, at is est veel van e 48 ijfers (ija 42%). Let op: als je ij a een anere klassenineling het gemaakt, an is vraag miner makkelijk te eantwooren in termen van voloene/onvoloene. Je moet us goe naenken over e klassenineling. 8 Werk met Exel, ekijk eventueel het pratium. Hier zie je het histogram met e lengtes van e meisjes. Let op: Oner e staven zet je e klassenmiens! 9 a 82% komt overeen met 74 kg. Dus elke kg is ,108%. Reken elk perentage om naar een hoek in graen. Beenk at 100% overeen komt met a = uren. Zie figuur. Denk om het plaatsen van e klassenmiens. PAGINA 52 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

55 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > STATISTIEK = uren. Doen, nu kun je e Beaufortnummers ij e klassen plaatsen. 11 a Zet eerst e jongens en e meisjes apart oor op ie kolom te sorteren. Maak an een klassenineling en een frequentietael. Je zet eerst e 11-jarigen en e 12-jarigen apart. Maak an een klassenineling en een frequentietael. 12 a Vergelijk je resultaten met ie van e anere leerlingen. Vergelijk je resultaten met ie van e anere leerlingen. Bekijk eventueel het Pratium. Vergelijk je resultaten met ie van e anere leerlingen. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 53

56 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > STATISTIEK 13 a De lengtes zijn vrijwel allemaal vershillen, us zoner klasseninelingen krijg je onoverzihtelijke frequentietaellen en iagrammen. Je geruikt relatieve frequenties omat e aantallen vershillen. Zorg er voor at e staven tegen elkaar zitten. Vergelijk je resultaten met ie van e anere leerlingen. Zijn e jongens over het algemeen langer an e meisjes? 4.3 Centrum en spreiing 1 a Beie gemielen zijn 6,4. Sven is veel onstanter, Thijmen wisselt erg in zijn resultaten. Je zou us kunnen zeggen at Sven het eter geaan heeft. Maar voor een paar repetities soort Thijmen erg hoog, je kunt us ook zeggen at Thijmen het eter heeft geaan. 2 a Sven: 6,4. Thijmen: 3,5. Sven: 6,4. Thijmen: 6,3. Omat er weinig ijfers zijn zegt e mous niks nuttigs, at aar ijvooreel ij Thijmen een 3,5 uitkomt ligt puur aan het feit at hij ij toeval twee keer at resultaat heeft ehaal. En eigenlijk gelt voor e meiaan hetzelfe, at getal is alleen een mooie opstap voor het maken van een oxplot. 3 a Sven: 6,5 6,3 = 0,2. Thijmen: 9,3 3,5 = 5,8. Sven: 6,4. Thijmen: 6,3. Omat er weinig ijfers zijn zegt e mous niks nuttigs, at aar ijvooreel ij Thijmen een 3,5 uitkomt ligt puur aan het feit at hij ij toeval twee keer at resultaat heeft ehaal. En eigenlijk gelt voor e meiaan hetzelfe, at getal is alleen een mooie opstap voor het maken van een oxplot. 4 a Zie tael. klasse klassenmien Sven Thijmen 2,5 < 3, ,5 < 4, ,5 < 5, ,5 < 6, ,5 < 7, ,5 < 8, ,5 < 9, PAGINA 54 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

57 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > STATISTIEK Werk met e klassenmiens. De afwijking met het werkelijke gemiele ontstaat oorat je nu met afgerone ijfers werkt. Sven: ongeveer 6,3. Thijmen: ongeveer 6,6. Bij Sven is at een 6 ij Thijmen een uitshieter 9. Bij Sven is at een spreiingsreete van 7,5 5,5 = 2 ij Thijmen van 9,5 3,5 = 6. 5 a Zie het vooreel. Een frequentietael van e ijfers op één eimaal is zinloos omat ze voor het grootste eel ezelfe frequentie 1 heen. Van e gehele ijfers is at 6,74 en van e ijfers op één eimaal is at 6,70. Bij e gehele ijfers zijn er uielijke vershillen in e frequenties en zit er een patroon in, ij e ijfers op één eimaal niet. Het moale ijfer is een 6. De meiaan is 7, e kwartielen zijn Q 1 = 6 en Q 3 = 8 en maximum en minimum zijn 4 en 9. Maak het oxplot van e ijfers op één eimaal in Exel. 6 a Elk ijfer is afgeron op een geheel ijfer. Het gaat us om klassen als 5,5 < 6,5, et. Het gaat nu om klassen als 5,35 < 5,45, et. 7 a Kennelijk zijn at er in 2011 miner an 500 geweest. Met name ij e laatste klasse zullen er veel meer mensen in e uurt van e zitten an in e uurt van e Het eerste kwartiel is e waare ij nummer Deze zit in e klasse < en is aarin e 690e waare. Dus is het eerste kwartiel euro. Het ere kwartiel is op ezelfe manier ongeveer euro. Daarmee kun je e kwartielsafstan erekenen: = Omat het minimum 5000 en het maximum is, kun je nu het oxplot eenvouig tekenen. Het eerste kwart loopt van 5000 tot euro en is aarmee veel korter an het viere kwart at loopt van tot euro. De kwarten woren van links naar rehts stees langer. 8 a keer. De gegevens zijn kwalitatief (wooren) en niet kwantitatief (ijfers) en an heen meiaan en mous geen etekenis. 9 a ( ) /36245 = 18,7. 18 jaar shoolverlaters, e mielste is nummer 18123, ie zit in e groep 19-jarigen (want van jaar zijn er 17332). De meiaan is us 19 jaar. De gemiele leeftij waarop leerlingen stoppen met hun opleiing is est hoog. 10 a Zie tael spreiingsreete = 9 jaar = 9 jaar eerste kwartiel 17 (e 13170e) 18 (e 9061e) tweee kwartiel 19 (e 39509e) 20 (e 27184e) kwartielafstan 2 jaar 2 jaar STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 55

58 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > STATISTIEK De spreiingsmaten ij eze gegevens zijn even groot. Toh zijn er uielijk vershillen, e leeftij waarop e leerlingen vroegtijig e shool verlaten wort stees hoger. Dit komt tot uitrukking in e entrummaten. 11 a Zet eerst e jongens en e meisjes apart oor op ie kolom te sorteren. Maak an een klassenineling en een frequentietael. Je zet eerst e 11-jarigen en e 12-jarigen apart. Maak an een klassenineling en een frequentietael. 12 a Vergelijk je resultaten met ie van e anere leerlingen. Vergelijk je resultaten met ie van e anere leerlingen. Bekijk eventueel het Pratium. Vergelijk je resultaten met ie van e anere leerlingen. 13 a Zorg er voor at e staven tegen elkaar zitten. Vergelijk je resultaten met ie van e anere leerlingen. Zijn e jongens over het algemeen langer an e meisjes? 14 a Eigen antwoor. Eigen antwoor. Eigen antwoor. 4.4 Kansen 1 a Die kans is 6 uit 31, us Die kans is 0 uit 31, us 0. Die kans is 5 uit 31, us a Die kans is 9 uit 31, us Die kans is 26 uit 31, us Die kans is 24 uit 29, us 24 29, at is ongeveer 82,8%. 3 a Eigen antwoor. e Waarshijnlijk niet. Je veronerstelt at alle vlakjes even waarshijnlijk oven komen te liggen. Wat uit jouw frequentietael volgt hangt van ie tael af, het zal ook nog vershillen van e relatieve frequentie in taellen van aneren. Maar ie kans zou in werkelijkhei 1 6 moeten zijn. Wat uit jouw frequentietael volgt hangt van ie tael af, het zal ook nog vershillen van e relatieve frequentie in taellen van aneren. Maar ie kans zou in werkelijkhei 2 6 = 1 3 moeten zijn. 4 a 39% of 0,39 of 39 op e = 67% = 72%. Kennelijk is ie kans 0. e Kennelijk is ie kans 100% ofwel 1. 5 a Even sorteren op kolom C (artiest) en je ziet at er 49 nummers van The Beatles in e Top 2000 van 2012 stonen. Die kans is us = 0,0245 en at is ongeveer 2,5%. Even sorteren op kolom D (jaar) en je ziet at er 468 nummers van The Beatles in e Top 2000 van 2012 stonen. Die kans is us = 0,234 en at is ongeveer 23,4%. Even sorteren op kolom C (artiest) en je ziet at er 8 nummers van Queen uit e genoeme jaren in e Top 2000 van 2012 stonen. Die kans is us ,017 en at is ongeveer 1,7%. PAGINA 56 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

59 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > STATISTIEK 6 a Die kans is ,101 en at is ongeveer 10,1%. Die kans is Die kans is a Eigen antwoor. Zie tael. 15 0,088 voor e meisjes en 116 0,129 voor e jongens. 0,536 en at is ongeveer 53,6%. e 8 a 9 a 10 a 3 36 = = = = 8%. 8 8,5 94%. 8, ,25%. 11 a Je gaat er van uit at elk vlakje evenveel kans heeft om oner te komen. De relatieve frequentie zal an 1 4 eragen. Dus ie kans is % % a 16 = 0,0625, us 6,25% = 0,3125, us 31,25%. Omat alle puntenaantallen ezelfe kans heen om te woren geraai, moet je gewoon het gemiele uitrekenen van alle puntenaantallen. Dat gemiele is ( ) /16 = 10, a Eigen antwoor. Eigen antwoor. Eigen antwoor. Geeurt het ongeveer even vaak wel als niet? 14 a Experimenteren, statistieken ijhouen. Reeneren, e kans is 0,5 Reeneren, e kans is 1 op e Dat is eht heel klein... Misshien zou je op gron van statistieken iets zinnigs zeggen, maar it is waarshijnlijk een onvoorspelare zaak. 15 a Een kansspel. Of er per gelstuk kop of munt oven komt is alleen van het toeval afhankelijk. Dit is geen kansspel, e slimhei van e spelers speelt een grote rol. Dat is een kansspel, alleen het toeval epaalt welke kaarten ieman krijgt. Hierij lijkt e kennis van e speler over e krahtsverhouingen van e teams een rol te spelen. Toh is at maar e vraag, onverwahte uitslagen zijn er genoeg. De voetaltoto valt oner e wet op e STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 57

60 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > STATISTIEK kansspelen. 4.5 Wegen en omen 1 a 24 menu s = 48 menu s mogelijkheen. 3 a Omat ij elke keuze voor het voorgereht weer 4 keuzes voor het hoofgereht horen. En ij elk van ie 2 4 = 12 mogelijkheen horen er weer 3 voor het nagereht. Je krijgt an een wegeniagram met mogelijkheen. Dat zijn er in totaal = 18. Je krijgt an een oomiagram met mogelijkheen. Dat zijn er in totaal = 8. 4 a Maak een wegeniagram met mogelijkheen. Dat zijn er in totaal = In 3 gevallen. De kans aarop is us e Nu zijn er in totaal (twee zessen en een vier, maar ook één zes en twee vijven) 6 mogelijkheen. De kans aarop is us = a Het aantal mogelijkheen wort elke stap eentje miner. Je krijgt an wegeniagram Er zijn us = mogelijkheen. Er zijn = 24 mogelijkheen, us ie kans is Er zijn nu 12 mogelijkheen, us ie kans is a = Die kans is 1000 = 0, Die kans is , a 8 = 0, = 0, a Omat an ook automatish het ere kaartje goe hangt. Ga ook na, at it in je oomiagram niet voor komt Maak een ijpassen oomiagram. 9 a Maak een oomiagram met in e eerste stap e vijf vershillene ploegen en in e tweee stap ij elke ploeg e vier anere ploegen. Er zijn 20 westrijen = 0,1 10 a Maak eerst oomiagram met in e eerste stap e vijf vershillene ploegen en in e tweee stap ij elke ploeg e vier anere ploegen. Zorg er alleen wel voor at als je A tegen B al het, at je an B tegen A an overslaat. Er zijn 10 westrijen = 0,1 PAGINA 58 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

61 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > STATISTIEK 11 a Maak een wegeniagram met mogelijkheen. Het zijn er Er zijn = 720 ijferominaties met vershillene ijfers. Die kans is = 0, = 0,01 12 a Er zijn = 306 westrijen a Er zijn = 360 ominaties = a Er zijn = 16 mogelijkheen = 0, = a = 0,0625 euro. Dus zal het asino gemiel per spelletje winst maken. 0, = 62,50 euro. 4.6 Totaaleel 1 a De steekproef is niet representatief omat jullie alleen over jongeren uit jullie eigen omgeving evragen. De steekproef is niet representatief omat je nu alleen winkelen puliek tegen evraagt. De steekproef is niet representatief omat je nu alleen winkelen puliek tegen evraagt. 2 a Zie taellen. Doen. Vergelijken kun je alleen relatieve frequenties. Een onlusie trekken is nauwelijks mogelijk. Doen. 3 a Zie figuur. Zie figuur. De spreiingsreete is het vershil van maximum en minimum, e kwartielafstan is het vershil van Q 3 en Q 1. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 59

62 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > STATISTIEK Maak een nette figuur. Conlusies zijn niet te trekken, e oxplots overlappen elkaar nogal. Dat van e meisjes lijkt iets meer naar oven, us naar langere tijen te nijgen. 4 a Maximum, minimum, kwartielen en meiaan zitten niet op gehele waaren (en niet preies op halven). Voor wiskune, een 9,1. De spreiing in ijfers is ij wiskune groter. Dat gelt zowel voor e spreiingsreete als voor e kwartielafstan. Dat perentage is kleiner, ij wiskune zit 50% van e ijfers tussen e 6,6 en e 9,1. 5 a 136 agen waarin in totaal = 5608 eieren weren geraapt a Het wegeniagram krijgt wegen. Het aantal mogelijke oes is aarom = Er zijn nu nog = 336 oes mogelijk, us e kans is Maak een overziht van alle 36 mogelijkheen. Er zijn = 10 gevallen waarin je meer an 8 ogen het. Die kans is us a Bijvooreel: Hoeveel proent van e jongens en hoeveel proent van e meisjes tussen 14 en 16 jaar spelen minstens één kwartier per ag een spelletje op hun smartphone? Je wilt ongeveer evenveel jongens als meisjes vragen van e juiste leeftijsategorie, je wilt zowel jongeren met als jongeren zoner smartphone (of estaan ie niet meer?) evragen, je wilt jongens/meisjes van vershillene opleiingsniveau s evragen, et. Beenk zelf nog meer... Op vershillene sholen van iverse typen in een pauze een groot aantal willekeurige jongens en meisjes uit e gewenste populatie evragen. 9 a Zie antwoor ij. De variatiereetes zijn: 4,0 ij ak en 2,7 ij gs. De kwartielafstanen zijn: 1,3 ij ak en 1,1 ij gs. Zie figuur. Je kunt oxplots maken zowel van ruwe ata als van e afgerone ijfers, maar e oxplots van e ruwe ata geven een nauwkeuriger eel van e spreiing van e ijfers. PAGINA 60 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

63 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > STATISTIEK De spreiing van e ak-ijfers is veel groter an ie van e gs-ijfers. Verer kun je toh wel zeggen at e ijfers ij gs in het algemeen wat lager zijn an ij ak: e meiaan ij gs is maar weinig meer an het eerste kwartiel ij ak. 10 a Zie figuur ij. Je geruikt een klassenineling met klassen als 4,5 < 6,5. Zie figuur. Je werkt met eze klassenineling omat je an een uielijker patroon in e frequenties herkent. Bij ak is een uielijk grotere spreiing in e ijfers. Bij gs zijn erg veel zessen en zevens, maar weinig hoge ijfers, maar ook geen onvoloenes. 11 a 43 C in feruari. e 12 a Het is zomer in e maanen e/jan/fe. In e oxplot van ie maan zie je at it een kwart van e agen etreft. Het zijn us 7 agen (als het geen shrikkeljaar was). Nee, want e minimumtemperaturen per ag zullen lager liggen en kunnen us ook oner e 0 C uitkomen. Juni of juli zou je alleei als e kouste maan kunnen etitelen, en zelfs augustus zou nog wel kunnen. In juli zitten een paar uitshieters naar eneen, maar e oxplots overlappen elkaar voor een groot eel en an is het trekken van een hare onlusie erg lastig. Bovenien gaat het hier alleen om e maximumtemperaturen op een ag. Hoe het zit met e minimumtemperaturen is nog maar e vraag STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 61

64 a Zie figuur = a = 216 (maak eventueel een wegeniagram) (rie keer) en (rie keer). Dus van 6 uitkomsten (rie keer) en (rie keer). Dus ook 6 uitkomsten. De som van e ogen kan 3, 4,..., 18 zijn. 3 en 18 komen even vaak voor (1 keer), net zoals 4 en 17 (3 keer) en 5 en 16, enz. In het mien zitten e ogensommen ie het vaakst voorkomen, at zijn 10 en a Eigen antwoor. Eigen antwoor. Eigen antwoor. Eigen antwoor.

65 5Funties 5.1 Wat is een funtie? 1 a Omat D = 20 gelt D 2 = 400 en us P = 0,0013 u = 0,520 u 3. u = 10 invullen geeft P = 520 kw/uur. Er is maar één antwoor op eze vraag mogelijk. 400 = u 3 geeft u 3 769,2 en us u 3 769,2 9,2 m/s. Er is maar één antwoor op eze vraag mogelijk. 2 a P(15) = 1755 en at is het vermogen van zo n winmolen ij een winsnelhei van 15 m/s. Deze haakjes heen niet ezelfe etekenis als e haakjes ie je geruikt om e rekenvolgore mee aan te geven. Er staat us niet P (15), maar hier wort eoel e waare van P als u = 15. Het is verwarren at aarij ezelfe haakjes woren geruikt, maar helaas is at iets waar je mee STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 63

66 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > FUNCTIES zult moeten leren leven: niet alle haakjes etekenen hetzelfe, ij oörinaten woren ezelfe haakjes nog weer voor wat aners geruikt. P(20) = 4160 Deze grafiek is gemaakt met GeoGera. Je voert an in: Funtie[0.052x^3,0,30]. e Er zijn geen twee punten op e grafiek te vinen ie reht oven elkaar liggen, us ezelfe u -waare heen. 3 a Je krijgt u 2 = 4 1 = 4 en hierij horen twee u -waaren: u = 2 en u = 2. Het kan wel, maar je krijgt an niet één formule, maar twee: u = u u = u. Deze grafiek is gemaakt met GeoGera. Je voert an in: yê2=4x. Er zijn ijna altij twee punten op e grafiek te vinen ie reht oven elkaar liggen, us ezelfe u -waare heen. 4 a f(1) = = 1 4 = 3 f(3) = = = 15 Aan e rehterkant van het isgelijkteken kun je ontinen: het KGV uiten haakjes halen. Dus u 3 4u = u (u 2 4). Links van het isgelijkteken geven e haakjes aan at u e onafhankelijk variaele is. Rehts van het isgelijkteken geven e haakjes e rekenvolgore aan. 5 a f(u ) = 1 2 u 2 4 en g(u ) = 3 2,5u. f(3) = = 0,5 en g(3) = 3 2,5 3 = 4, u 2 4 = 4 geeft u 2 = 16 en us u = ±4. Je vint e punten (4,4) en ( 4,4) Met eze vergelijking ereken je e u -waaren van e snijpunten van eie grafieken. PAGINA 64 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013