Noordhoff Uitgevers bv

Transcriptie

1 V-1a / V-2a e Voorkennis Zie e figuur hieroner. Zie e figuur hieroner. De lijn n en het punt P kunnen ook aan e anere kant van lijn l liggen. Zie e figuur hieroner. P Zie e figuur hieroven. In vierhoek D zijn e vier hoeken reht en alle zijen even lang. De zijen zijn ongeveer 4,1 m lang. Zie e figuur hieroven, e iagonalen zijn en D. De iagonalen zijn ongeveer 5,8 m lang. V-3a Lijn k loopt evenwijig aan lijn l. Lijn t staat looreht op lijn l. De afstan van lijn l tot lijn k is ongeveer 9 mm. De afstan van punt P tot lijn k is ongeveer 16 mm. e De afstan van punt P tot lijn l is ongeveer = 25 mm. m l n D 45

2 V-4a/ O 46 M 4 m m 3 m N 3 m Dat is het punt (8, 5). Teken een irkel met straal 3 m met mielpunt N. De snijpunten van eze irkel met e al getekene irkel liggen op een afstan van 4 m van M en van 3 m van N. e De oörinaten zijn ongeveer (5,2; 8,9). a V-5a/ l Q P De punten op 3 m van lijn l én op 3 m van punt P zijn e snijpunten van e irkel met e lijnen ie je ij opraht a het geteken. In e tekening hieroven zijn at e punten Q en R. V-6a De hoeken en zijn sherp, e hoeken en D zijn stomp. = 100, = 24, = 85 en D = 144 R a

3 V V-8a Deze zes hoeken zijn samen 360. De zes hoeken ij punt M zijn allemaal even groot, us M 1 = 360 : 6 = 60. M 1 en M 2 zijn samen = a 9-1 Symmetrie 234 De linkerhelft van e vliner is het spiegeleel van e rehterhelft. Hij zet het spiegeltje op e lijn ie e kop met e onerkant van het lijfje verint. Nee, er zijn nog kleine vershillen. ijvooreel e sprieten van e vliner staan niet symmetrish. Ook e ahtergron is niet symmetrish. 2a - De stippellijn komt op e vouwlijn van het hartje. Melissa heeft gelijk. Zie e figuur hieroner

4 48 3a 4a De figuren 1, 3, 4 en 5 zijn spiegelsymmetrish a Nee, er zijn geen symmetrieassen. - Ja, als je het zó raait at oner- en ovenkant verwissel zijn. 6a De figuren 2, 3, 4 en 5 zijn raaisymmetrish. Figuur 2 is raaisymmetrish over een hoek van 180. Figuur 3 is raaisymmetrish over een hoek van 60, 120, 180, 240 en 300. Figuur 4 is raaisymmetrish over een hoek van 180. Figuur 5 is raaisymmetrish over een hoek van 72, 144, 216 en 288, want 360 : 5 = 72. 7a 8 In figuur 1 herken je zes keer hetzelfe figuurtje in e vorm van een la. ls je e hele figuur over 360 : 6 = 60 raait, komt elk la op het volgene la te liggen. De figuur is raaisymmetrish over 60, maar an ook over 120, 180, 240 en 300. In figuur 2 zie je 12 hoekpunten op e irkel liggen. Elke keer als ij het raaien van e figuur zo n hoekpunt weer op een volgene hoekpunt tereht komt, past e hele figuur weer op zihzelf. Figuur 2 is us raaisymmetrish over 360 : 12 = 30, maar an ook over 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300 en 330. Nee, figuur 1 is niet spiegelsymmetrish. Figuur 2 heeft 12 symmetrieassen, namelijk e zes lijnen oor twee tegenoverliggene hoekpunten en e zes lijnen ie aar preies tussenin liggen.

5 9a 10a 11a 9-2 Driehoeken F E L D J K M O Driehoek JKL heeft rie symmetrieassen. In een spiegelsymmetrishe riehoek zijn ten minste twee zijen even lang. In riehoek DEF zijn e hoeken 79, 79 en 22, In riehoek JKL zijn e hoeken alle rie 60. In riehoek MNO zijn e hoeken 27, 27 en 126 (afgeron). In een spiegelsymmetrishe riehoek zijn stees minstens twee hoeken even groot. e De riehoek met rie symmetrieassen heeft rie gelijke zijen en rie even grote hoeken. De asishoeken en zijn eie 45. Nee, at kan niet. In een gelijkzijige riehoek zijn alle hoeken 60, en kan er us niet één 90 zijn O De zijen en zijn even lang. Hoek is e tophoek. Zie e figuur hieroven. e De hoeken zijn = 63,5, = 53 en = 63,5. f De rie hoeken van riehoek zijn samen 180. N 49

6 12a - - e 50 Samen vormen e rie hoeken een gestrekte hoek, us samen zijn ze 180. De rie hoeken van riehoek KLM zijn samen 180, us M = = K + L + M = 180 K = 180 us K = = = = 180 us = = 40 D + E + F = E + 35 = 180 us E = = 97 P + Q + R = 180 P = 180 us P = = a Omat het een gelijkenige riehoek is, is e anere asishoek ook 51. De tophoek is = 78. Voor e twee asishoeken samen lijft over = 116. Omat e eie asishoeken even groot zijn, is elke asishoek 116 : 2 = 58. Omat elke van e asishoeken twee keer zo groot is als e tophoek, is e tophoek éénvijfe eel van 180 en e asishoeken elk tweevijfe eel. Dus e tophoek is 180 : 5 = 36 en e asishoeken zijn elk 2 36 = 72. In een gelijkzijige riehoek zijn e rie hoeken altij even groot. Ook is in elke riehoek e som van e rie hoeken 180. Dus e hoeken van een gelijkzijige riehoek zijn altij 180 : 3 = Vierhoeken 15a - De vierhoek heeft één symmetrieas. - De vierhoek heeft twee symmetrieassen 16a 70 Nee, e vierhoek heeft geen symmetrieas, e figuur is niet spiegelsymmetrish. De vierhoek past na een halve raai, us een raai over 180, weer op zihzelf. Ja, e tegenover elkaar liggene zijen zijn evenwijig. Nee, e iagonalen zijn niet even lang.

7 17a D N M K L Vierhoek D is een vlieger, want er is één symmetrieas. Vierhoek KLMN is een ruit, want er zijn twee symmetrieassen. D N M K L Een ruit is een raaisymmetrishe vierhoek, us een ruit is ook een parallellogram. e Van vierhoek D is = 44, = 113, = 90 en D = 113. Van vierhoek KLMN is K = 67, L = 113, M = 67 en N = 113. f De vier hoeken van vierhoek D zijn samen = 360. g De vier hoeken van vierhoek KLMN zijn samen = a Ze zijn samen 180. Ook samen 180. Die zijn samen = In figuur 1 is e hoek met het vraagteken = 60. In figuur 2 is e hoek met het vraagteken = 115. In figuur 3 is e hoek met het vraagteken = a De hoeken en D zijn tegenoverliggene hoeken en us zijn ze even groot. Dus is = D = = = = 110 Omat e hoeken en even groot zijn is = 110 : 2 = 55 en ook = 55. De hoeken K en M zijn tegenoverliggene hoeken en us zijn ze even groot. Dus is M = 113. Omat K + L + M + N = 360, is N = = 90. Omat P rie keer zo groot is als Q, is ook R rie keer zo groot als S. Je moet an 360 elen oor = 8. Dan is Q = 360 : 8 = 45 en P = 3 45 = 135. De hoeken zijn us 45, 135, 45 en

8 21a/ D E 52 e f De vijfhoek is met e twee iagonalen vereel in rie riehoeken. Per riehoek is e som van e rie hoeken 180. Dus e som van e hoeken van e vijfhoek is = 540. Een zeshoek kun je met rie iagonalen in vier riehoeken verelen. De som van e hoeken van e zeshoek is us = 720. In een veertienhoek kun je vanuit één hoekpunt 11 iagonalen tekenen. De veertienhoek is an in 12 riehoeken vereel. De som van e hoeken van e veertienhoek is an = Een n-hoek kun je met iagonalen uit één hoekpunt verelen in n 2 riehoeken. De som van e hoeken in graen ereken je oor het aantal riehoeken te vermenigvuligen met 180. De formule is us s = (n 2) 180, met s e som van e hoeken in graen. 9-4 Hoeken erekenen 22a De hoek met het ronje is = 120. De hoek met het kruisje is nu = 45. Zoner e 20 zijn e hoeken samen = 160. De hoek met het kruisje is an 160 : 2 = 80 en e hoek met het ronje is = a De vier hoeken zijn samen = 180, us 1 = = = 180, us 3 = = 115. De hoeken 2 en 4 zijn overstaane hoeken en us even groot. Dus is 2 = = = 56 1 = = 60 2 = 120, want het is e overstaane hoek van e gegeven hoek van = = 69 D 1 = = 95 D 3 = = 55 25a Een volle hoek is 360, us e zes gelijke hoeken zijn elk 360 : 6 = 60. De hoeken zijn an 360 : 5 = 72. Een gestrekte hoek is 180, us eze is an in 180 : 15 = 12 hoeken van 15 vereel. 26a S 1 = 90 (PQ staat looreht op TS) S 5 + S 2 + S 1 = 180, us S 2 = = 50. S 3 = 40 (hoek S 3 en hoek S 5 zijn overstaane hoeken.) S 3 + S 4 = 180, us S 4 = = 140.

9 Hoek K 2 is éénere eel van e gestrekte hoek, us K 2 = 180 : 3 = 60. Hoek K 1 is tweeere eel van e gestrekte hoek, us K 1 = 2 60 = 120. Hoek K 2 is ééntiene eel van e gestrekte hoek, us K 2 = 180 : 10 = 18. Hoek K 1 is negentiene eel van e gestrekte hoek, us K 1 = 9 18 = 162. De hoeken S1 en S3 zijn overstaane hoeken en us even groot. Dan is S 1 = 80. S 3 + S 4 = 180, us is S 4 = = 100. Driehoek S is gelijkenig, us zijn e asishoeken 1 en 1 even groot. De tophoek S 3 = 80, us 1 = ( ) : 2 = 50. Verer is = 90, us 2 = = a Hoek 2 is = 126. De hoeken 3 en 1 zijn overstaane hoeken en us even groot. Hoek 3 is ook 54. De hoeken 2 en 4 zijn overstaane hoeken en us even groot. Hoek 4 is ook 126. De hoeken 2 en 7 zitten in een vierhoek waarvan e twee anere hoeken elk 90 zijn. Omat e hoeken in een vierhoek samen 360 zijn, zijn ook e hoeken 2 en 7 samen 180. Hoek 7 = = 54. De hoeken 5 en 7 zijn overstaane hoeken en us even groot. Hoek 5 is ook 54. Hoek 6 is = 126. De hoeken 6 en 8 zijn overstaane hoeken en us even groot. Hoek 8 is ook 126. De gevraage hoek ligt samen met hoek 3 en een rehte hoek in een riehoek. Dus e gevraage hoek is = 36. De hoeken 1, 3, 5 en 7 woren allemaal = 57. De hoeken 2, 4, 6 en 8 woren allemaal = 123. De hoeken 1, 3, 5 en 7 woren allemaal 54 : 2 = 27. De hoeken 2, 4, 6 en 8 woren allemaal = a Omat vierhoek DE een parallellogram is zijn e zijen D en E evenwijig. Daaroor zijn 1 en even groot. Verer zijn in een parallellogram e tegenoverliggene hoeken even groot, us zijn en E 2 even groot. De hoeken en E 2 zijn even groot als E 1 = 180 us is 1 = = = 180, us is 2 = = 121. = 1, us = a 9-5 Figuren onstrueren m + + = 180, us = = 75. Ook ij meten is = 75, ja us. 53

10 30a 54 31a e ls je eerst e asis KL tekent, moet je vervolgens weten hoe shuin je e zijen KM en LM moet tekenen. Je het us nog e grootte van hoek K of hoek L noig. Omat e riehoek gelijkenig is zijn e asishoeken K en L even groot. Samen zijn ze = 140, us K = 140 : 2 = 70 en L = 70. K 70 M 40 5 m Een shets kan er zo uitzien: 70 Er is geen enkele hoek gegeven. 7 m 9 m L De afstan van punt naar punt moet 7 m zijn en alle punten op een afstan van 7 m van punt liggen op een irkel met straal 7 m en mielpunt. Het snijpunt ligt op eie irkels en heeft us een afstan van 7 m tot punt én een afstan van 5 m tot punt. 5 m

11 32a 33a 34a 6 m 5 m 8 m 5 m 5 m 8 m Nee, at kan niet. Omat 3 m + 5 m = 8 m, wort het een platte riehoek. Nee, at kan niet. ls je e onerste zije 8 m tekent, moeten e twee anere zijen samen meer an 8 m lang zijn om een snijpunt te krijgen. ij opraht 32 zijn telkens twee zijen samen langer an e ere zije. De vlieger estaat uit twee riehoeken. Voor e onstrutie van elke riehoek geruik je e methoe met e passer zoals in opraht 32. De vlieger van Karin is e figuur hier linksoner. K N 4 m 5 m 7 m 4 m 5 m L De lijn KM is e symmetrieas. De vlieger van hrista is e figuur hier rehtsoven. In e figuur rehtsoven is e lijn LN e symmetrieas. K M N 4 m 4 m 7 m 5 m 5 m L M 55

12 35a 56 Zie e linkerfiguur hieroner. 6 m 6 m 6 m De riehoek is een gelijkzijige riehoek. De hoeken van eze riehoek zijn even groot en us elk 180 : 3 = 60. Zie e figuur rehtsoven. 36a De tekening is op shaal 1 : 2. 37a 5 m 5 m 8 m 5 m 5 m Een vierhoek met vier gelijke zijen is een ruit. De anere iagonaal is 6 m lang. 9-6 Gemenge oprahten De letters F, G, J, L, N, P, Q, R, S en Z heen geen symmetrieas. De letters H, I, O en X heen twee symmetrieassen. aantal symmetrieassen letters F, G, J, L, N, P, Q, R, S, en Z,,, D, E, K, M, T, U, V, W,en Y H, I, O en X - - meer an 4 - De letters H, I, N, O, S, X en Z zijn raaisymmetrish.

13 38a 39a Door twee hokjes in te kleuren krijg je een spiegelsymmetrishe figuur. Zie e figuur hier links oner. 1 1 De linkerfiguur hieroven heeft één symmetrieas. Zie e rehterfiguur hieroven. De figuur hier linksoner is raaisymmetrish, maar niet spiegelsymmetrish. 2 3 e De linkerfiguur hieroven is raaisymmetrish over 180. f Zie e rehterfiguur hieroven. Deze figuur heeft nu vier symmetrieassen. Omat vierhoek DE een ruit is, zijn alle zijen van eze vierhoek even lang. Dus in riehoek DE zijn e zijen E en DE even lang. Driehoek DE is us een gelijkenige riehoek. In riehoek DE is 1 + D 1 + E = 180. Dus e hoeken 1 en D 1 zijn samen = 53. Omat riehoek DE gelijkenig is, zijn e asishoeken 1 en D even groot. Dus is 1 = 53 : 2 = 26,5. In e ruit DE zijn e tegenoverliggene hoeken even groot, us is 1 = E en us 1 = 127. En omat hoek een gestrekte hoek is, is 2 = = 53. In e ruit DE eelt e iagonaal D e hoeken en D mienoor. Dus is 2 = 1. De hele hoek is an 2 26,5 = 53. innen e ruit DE zijn e hoeken en D tegenoverliggen, us even groot. Dus is D 1 + D 2 = 53. Verer gelt in riehoek D at D 3 = 180. Dus is D 3 = = 37. De hele hoek D is an D 1 + D 2 + D 3 = =

14 Zie e figuur hieroven. De riehoek is gelijkenig, want e zijen en zijn even lang. In eze riehoek is e asishoek gelijk aan = 74. De asishoek is ook 74. = = Voor een rehthoek gelt: 1 De overstaane zijen zijn even lang en evenwijig. 2 Vier rehte hoeken. 3 De iagonalen zijn even lang en elen elkaar mienoor. 4 Twee symmetrieassen. 5 Draaisymmetrish over 180. Voor een ruit gelt: 1 lle zijen zijn even lang. De overstaane zijen zijn evenwijig. 2 De tegenoverliggene hoeken zijn even groot. 3 De iagonalen staan looreht op elkaar en elen elkaar mienoor. 4 Twee symmetrieassen. 5 Draaisymmetrish over 180. Voor een parallellogram gelt: 1 De overstaane zijen zijn even lang en evenwijig. 2 De tegenoverliggene hoeken zijn even groot. 3 De iagonalen elen elkaar mienoor. 4 Geen symmetrieassen. 5 Draaisymmetrish over 180. Voor een vlieger gelt: 1 De zijen zijn twee aan twee even lang. 2 Twee overstaane hoeken zijn even groot. 3 De iagonalen staan looreht op elkaar. Eén iagonaal eelt e anere mienoor. 4 Eén symmetrieas. 5 Niet raaisymmetrish. 42a Er is één hoek van 90, want e riehoek is rehthoekig. De ere hoek is = 63. Twee sherpe en twee stompe hoeken zijn samen 360. Eén sherpe en één stompe hoek zijn samen 180. Eén sherpe en één stompe zijn gelijk aan vier sherpe hoeken. Elke sherpe hoek is 180 : 4 = 45. Elke stompe hoek is = 135. Eén stompe en één sherpe hoek zijn samen 180. ls het vershil 18 is, an moet e stompe hoek = 99 zijn. De sherpe hoek is 90 9 = 81. De twee overgeleven hoeken zijn samen = 220. De grootste is vier maal e kleinste, us samen zijn ze vijf maal zo groot als e kleinste. De kleinste hoek is us 220 : 5 = 44 en e grootste is 4 44 = 176.

15 43a e I-1a I-2a I-3a Je krijgt 4 riehoeken. De hoeken van elke riehoek zijn samen 180. De hoeken van e zeshoek samen zijn gelijk aan alle hoeken van e 4 riehoeken ij elkaar, us = 720. Elke hoek van e regelmatige zeshoek is us 720 : 6 = 120. Een ahthoek kan woren vereel in zes riehoeken. De hoeken van e ahthoek zijn us samen = Elke hoek van een regelmatige ahthoek is 1080 : 8 = 135. Een tienhoek kan woren vereel in aht riehoeken. De hoeken van e tienhoek zijn us samen = Elke hoek van een regelmatige tienhoek is 1440 : 10 = 144. IT Symmetrie De linkerhelft van e vliner is het spiegeleel van e rehterhelft. Hij zet het spiegeltje op e lijn ie e kop met e onerkant van het lijfje verint. Nee, er zijn nog kleine vershillen. ijvooreel e sprieten van e vliner staan niet symmetrish. Ook e ahtergron is niet symmetrish. Melissa heeft gelijk. Zie e figuur hieroner. 59

16 60 I-4a Het spiegeleel staat met e pijl naar links geriht. De figuur veranert nu niet. ij horizontaal spiegelen veranert figuur niet, ij vertiaal spiegelen wel. Figuur heeft aarom één symmetrieas. Figuur veranert niet ij zowel horizontaal spiegelen als vertiaal spiegelen. Figuur heeft aarom twee symmetrieassen. - I-5a In welke lijn je ook spiegelt, figuur D veranert altij. Figuur D heeft us geen symmetrieassen. - Nee, e pijl staat an naar links. Figuur past wel na een halve raai op zihzelf, maar niet na een kwart raai. e Figuur E past na éénahtste raai weer op zihzelf, en ook na een kwart raai, na rieahtste raai, na een halve raai, na vijfahtste raai, na riekwart raai en na zevenahtste raai. I-6a Nee, e figuur is niet spiegelsymmetrish. - Nee at lukt niet. Nee, e figuur is ook niet raaisymmetrish. e - T-1a Test jezelf Figuur 1 heeft 1 symmetrieas. Figuur 2 heeft 6 symmetrieassen. Figuur 3 heeft 1 symmetrieas. Figuur 4 heeft 5 symmetrieassen. Figuur 5 heeft 3 symmetrieassen. Figuur 2, 4 en 5 zijn raaisymmetrish. Figuur 2 is raaisymmetrish over 60, 120, 180, 240 en 300. Figuur 4 is raaisymmetrish over 72, 144, 216 en 288. Figuur 5 is raaisymmetrish over 120 en 240. T-2a K + L + M = 180 L = = = 180 = = 55 De rie hoeken samen zijn 180. Eén van e hoeken is 90, een anere 28. De ere hoek is us = 62. De twee anere hoeken zijn us 90 en 62. De twee asishoeken zijn samen = 106. De twee asishoeken zijn even groot, us elk 106 : 2 = 53.

17 T-3 In vierhoek PQRS gelt P + Q + R + S = 360 P = = 101. In vierhoek DEFG gelt D + E + F + G = 360 en G = 90. F = = 55. Vierhoek KLMN is een vlieger, us e hoeken L en N zijn even groot. Verer gelt: K + L + M + N = 360, us L + N = = 206. L = 206 : 2 = 103 en N = 206 : 2 =103. T-4a Hoek is een gestrekte hoek us = = 90, us 2 = = = 180, us 2 = = = 90, en omat e hoeken 2 en 5 overstaane hoeken zijn is 5 = 43. Omat 3 = 90 zijn e hoeken 4 en 5 samen ook 90. Dus is 4 = = 47. T-5 3 m 5 m 7 m T-6 Figuur 1 hoort ij een ruit, want e iagonalen staan looreht op elkaar én snijen elkaar mienoor. Figuur 2 hoort ij een rehthoek, want e iagonalen zijn even lang én snijen elkaar mienoor. Figuur 3 hoort ij een vlieger, want e iagonalen staan looreht op elkaar. Figuur 4 hoort ij een vierkant, want e iagonalen zijn even lang, staan looreht op elkaar én snijen elkaar mienoor. T-7a vlieger ruit parallellogram De hoeken P en R zijn tegenoverliggen en us even groot. Dus is R = 34. Verer is P + Q + R + S = 360, us zijn e hoeken Q en S samen = 292. De hoeken Q en S zijn tegenoverliggen en us even groot. Dus is Q = 292 : 2 = 146 en S =

18 62 e Er zijn rie mogelijkheen. Telkens gelt D = De hoeken en zijn tegenoverliggen en us even groot. In at geval is = 50 en D = = 175. Je kunt e hoeken en D ook verwisselen. 2 De hoeken en D zijn tegenoverliggen en us even groot. In at geval is D = 85 en = = 140. Je kunt e hoeken en D ook verwisselen. 3 De hoeken en D zijn tegenoverliggen en us even groot. Ze zijn an samen = 225. Dus is = 225 : 2 = 112,5 en is ook D = 112,5. T-8a M = M, e riehoek is us gelijkenig. Zo ook e riehoeken M en DEM. Hoek M is een volle hoek, us 360. M 1 = 360 : 5 = 72. In riehoek M zijn e asishoeken en even groot. Verer is + + M 1 = = = 108. Dus is in riehoek M = 108 : 2 = 54. De hele hoek is an 2 54 = 108. Elke hoek van e vijfhoek is 108. Driehoek DE is gelijkenig. Driehoek D is ook gelijkenig. e In riehoek DE gelt 1 + D 1 + E = 180. Omat E = 108, gelt 1 + D 1 = = 72. De asishoeken 1 en D 1 zijn even groot, us is 1 = 72 : 2 = 36 en ook D 1 = = = 72. D 3 = 36 (ezelfe situatie als D 1 ) en us is D 2 = = 36. T-9a DE is een ruit, want e vier zijen zijn even lang. Omat E = E zijn e asishoeken en 1 even groot. Dus is = 60. Hoek is een gestrekte hoek, us 2 = = 120. De hoeken 2 en D zijn tegenoverliggene hoeken en us even groot. Dus D = 120. Omat D + E 2 = 360 is + E 2 = = 120. De hoeken en E 2 zijn even groot, us is = 120 : 2 = 60 en is ook E 1 = 60. Driehoek E is gelijkzijig, want e rie hoeken zijn alle rie even groot, namelijk 60.