Hoofdstuk 1 - Lijnen en cirkels
|
|
- Regina de Wilde
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Lijn en vlak lazije a Die kun je aflezen van e oëffiiënten van x en y Dus is een normaalvetor 7 x invullen in e vergelijking van l geeft y en aarmee vin je (, ) y invullen in e vergelijking van l geeft x en aarmee vin je (, ) Deel in e vergelijking alle termen oor 8 an volgt x y + (p, ) is het snijpunt met e x-as en (, q) is het snijpunt met e y-as a Kies één van e punten als steunvetor en neem twee keer een vershil van twee vershillene punten als rihtingsvetoren Je krijgt an ijvooreel: 7 y + λ + m z Dit hershrijf je tot y + λ + m z Om het snijpunt met e z-as te vinen neem je x en y Dit geeft + λ + + λ+ m m Dus moet gelen z + λ m Het vershil van eze vergelijkingen geeft + m m Daarna vin je + λ+ λ Met eze waaren van λ en m is z + Dus is (; ; ) het snijpunt met e z-as Stel x en z an is y + λ + + λ+ m m λ m Als je het stelsel vergelijkingen oplost vin je λ en m Zoat y Dus is (,, ) het snijpunt met e y-as Stel y en z an is + λ + + λ m m λ m Als je it laatste stelsel vergelijkingen oplost vin je λ 7, en m, Daarna vin je x + 7, +, Dus is (; ; ) het snijpunt met e x-as x y z + + Herlei e vergelijking van V tot x y+ z oor e vergelijking ij opraht te vermenigvuligen met Een normaalvetor is Noorhoff Uitgevers v
2 a lazije x y + + z x+ y+ z 8 y + λ z Vul e kentallen van e normaal in e vergelijking van V in: ( + λ) + ( + λ) + ( + λ ) 8 En us is λ en is S( +, +, + ) (,, ) a e Stel e lijn heeft rihtingsvetor an moeten e inprouten van eze rihtingsvetor met een normaal van V en met een normaal van het Oxy-vlak gelijk aan zijn a a a+ + en Uit eie volgt a+ a Kies je a an is Dit alles geeft als vetorvoorstelling: y + λ z f De vergelijking van W is te shrijven als x+ y+ z Invullen van e oörinaten van P geeft en us W: x+ y+ z a, a x + λ x + λ y 8 λ y λ + x+ y x + m y + m y m z 7 z 7+ m x + m y m + x+ y 7 U: x+ y 7(U is evenwijig aan e z-as) Invullen van e kentallen in e vergelijking van U geeft: + m+ ( m) Dus ligt elk punt van m in het vlak U Noorhoff Uitgevers v
3 Elimineer nu m uit e uitrukking voor y en z y m z 7+ m + y+ z Dus ligt m ook in het vlak y+ z, een vlak evenwijig aan e x-as e Elke vergelijking van e vorm ax + y + z in e ruimte is e vergelijking van een vlak a De lijn l ligt in eie vlakken en us is l e snijlijn van V en W Ook gelt at vlak V evenwijig is met e z-as en vlak W evenwijig met e x-as Kies ijvooreel x λ an is λ y y + λ Ook is ( + λ) + z z 7 λ λ l: y + λ + λ z 7 λ 7 Afstan tot een lijn of een vlak lazije 7a y 7 + λ Vul e kentallen van e normaal in e vergelijking van l in Dan krijg je 7 ( + λ) + ( + λ) λ en us is S(, ) Omat PS l PS PS 8a De normaal van m oor A is y + λ Snijpunt van eze normaal met m vin je via ( + λ) + ( + λ) λ De afstan is an 8, ( x + λ) + ( y + λ) x + λ+ y + λ x y λ x y λ PQ λ λ x y x y x + y PQ a y + λ z De kentallen van e normaal invullen in e vergelijking van het vlak geeft 7 ( + λ) ( λ) + + λ λ En us is S(,, ) 7 Noorhoff Uitgevers v
4 PS lazije 7 + a ( P, l ) Een normaalvetor van e lijn is en us is een vergelijking van e vorm 8x+ y Invullen van (, ) geeft 8 + Dus m: 8x+ y 8 + ( Q, m ) ( RV, ) a ( OV, ) ( QV, ) + us is ± Uit 8 ± volgt 8 ± zoat of 8 a Q( + λ, + λ, + λ) PQ + λ + λ + λ + λ + λ 7 8+ λ + λ + λ + λ + λ + λ λ 8+ λ Een afstan meet je altij looreht + PR + 8+ en us is ( R, m ) + + e SQ + λ + λ + λ + λ + λ en + λ + λ+ 8+ λ+ λ λ + λ λ λ 8 8 ( S, m ) ( ) + ( ) + ( ) a Aan e rihtingsvetoren zie je at e lijnen niet evenwijig zijn + λ + m Voor een eventueel snijpunt moet gelen: + λ + m λ 8 m Noorhoff Uitgevers v 7
5 e Optellen van e eerste en e laatste vergelijking geeft λ en aarmee vin je in e eerste vergelijking m Deze waaren in e tweee vergelijking invullen geeft een tegenstrijighei en us heeft it stelsel geen oplossing Daarmee heen e lijnen geen snijpunt Dus kruisen eze lijnen PQ + m ( + λ) λ+ m+ + m ( + λ) λ+ m 8 8 m ( λ) λ m λ+ m+ λ+ m 8 ( λ+ m+ ) + ( λ+ m 8) + ( λ m ) () λ m λ+ m+ λ+ m 8 ( λ+ m+ ) + ( λ+ m 8) + ( λ m ) () λ m () λ+ m en ( ) 8λ+ m Dus is λ+ m en λ+ m Het vershil van eze vergelijkingen geeft λ en aarmee vin je m PQ us is e afstan + + Je het e afstan ereken omat PQ looreht op eie lijnen staat en een kortste afstan meet je altij looreht Gelijke afstanen lazije a ( A, P) ( x ) + ( y ) en gegeven is AP us is, na kwarateren, ( x ) + ( y ) ( B, P) ( x ) + ( y ) ( x+ ) + ( y+ ) us ( x+ ) + ( y+ ) Links staat het kwaraat van e afstan van Q tot A en rehts het kwaraat van e afstan van Q tot B ( x ) + ( y ) ( x+ ) + ( y+ ) x x+ + y y+ x + x+ + y + y+ x+ y+ x+ + y+ x 8y x y Dit is e mielloolijn van het lijnstuk AB 7+ a ( Al, ) + en (, ) + 7 Am + x y+ x y+ x+ y x+ y ( P, l) en ( Q, m) + + Dus moet gelen x y+ x+ y x y+ x+ y x y+ x+ y x y+ ± ( x+ y ) x y+ x+ y of x y+ x y+ x+ y of x y 8 Noorhoff Uitgevers v
6 m 8 O 8 e Het zijn e issetries van e hoeken gevorm oor e lijnen l en m lazije 7 7 De stippellijnen zijn e issetries Deze maken onerling stees een hoek ter grootte van rie stipjes Zes stipjes vormen een gestrekte hoek van 8 en us vormen rie stippen een hoek van 8a C 8 7 A B O 7 8 Noorhoff Uitgevers v
7 AC : y x+ x y+ AB : y x+ x 7y+ 7 Voor een punt Pxy (, ) op e issetrie moet gelen: x y+ x 7 y + x y+ x 7y+ x y+ x 7y+ Dus gelt: x y+ x 7y+ of x y+ x+ 7y Dit herlei je tot y x+ of y x+ Alleen y x+ voloet Bissetrie van hoek B: AB : x 7y+ BC : y 7x 7x y Voor een punt ( x, y ) op e issetrie moet gelen: x 7y+ 7x y x 7y+ 7x y Dus is x 7y+ 7x y of x 7y+ 7x+ y+ Dit is te herleien tot y x+ of y x Alleen y x+ voloet Bissetrie van hoek C: BC :7x y en AC : x y+ Voor een punt ( x, y ) op e issetrie moet gelen: 7x y x y+ 7x y x y+ Dus is 7x y x y+ of 7x y x+ y Dit kun je herleien tot y x+ of y x Alleen y x Bereken eerst het snijpunt van y x+ en y x Daarvoor gelt: x x+ x 8 en us is x en is y Daarna ontroleer je of het snijpunt (, ) op e lijn y x+ ligt Invullen geeft + en it klopt x+ y z 8 x y z a x+ y z 8 x y z x+ y z 8 x y z of x+ y z 8 x+ y+ z+ Dit herlei je tot x+ y+ z of x z a ( x ) + ( y ) + ( z ) ( x ) + ( y ) + ( z ) ( x ) + ( y+ ) + ( z ) ( x ) + ( y ) + ( z ) x x+ + y + 8y+ + z z+ x x+ + y y++ z z+ x+ + 8y+ z+ x+ y+ z + x+ y 8z x+ y z Een normaalvetor is us a Stel a is een normaalvetor van het vlak OAB Noorhoff Uitgevers v
8 Dan moet eze looreht staan op en op a Dus moet gelen: a+ + Optellen geeft a+ Kies ijvooreel a an is Invullen van a en geeft Een vergelijking van OAB is x y+ z Dit vlak heeft als normaal en gaat oor (,, ), het mien van OA Dit geeft als vergelijking van het mielloovlak: x y z, us x y z 7 Dit vlak heeft als normaal en gaat oor (,, ), het mien van OB Dus voloet e vergelijking aan x+ y+ z + + x+ y+ z 7 Dit geeft x+ y+ z De snijlijn van x+ y+ z en x y z 7 is e oplossing van x+ y+ z x+ y+ z 7 of x y z 7 x y z 7 Optellen geeft x+ y 87 Kies x 7 an is y en is z Dus is (7,,) een punt van s Kies je x an is y en is z Dus is (,, ) een punt van s 7 Een vetorvoorstelling van s is: y + λ z e OP AP want P ligt in het mielloovlak van OA Ook is OP BP want P ligt in het mielloovlak van OB Dus gelt OP AP BP Looreht lazije 8 a a en p q Als je l en m eie raait over an vallen e rihtingen samen met ie van e normaalvetoren ap + q a l: y x y, x, m: y x+ 7 y, x+, Er gelt,, Noorhoff Uitgevers v
9 a ax + y + y ax us m a p px + qy + r qy px r us m q a Omat e lijnen looreht zijn gelt: p ap q q + Dus gelt ap q Dit geruik je ij het volgene m m a p ap q q q q ; x+ y + x+ y 7 Rihtingsoëffiiënt van l: 7, Rihtingsoëffiiënt van k: y + λ 7 ; x+ y + 7 x+ y lazije a a + Draai eie vlakken om e snijlijn p Als je let op e eerste rihtingsvetor an zal een normaalvetor zijn p 7 Uit volgt 7p p en us is een normaalvetor Een vergelijking van V is an x y+ z + x y+ z 7 a Dan moet us a + 8 a 7a Snijpunten van PBQ met e assen zijn: (,, ), (,, ) en (,, ) 8a Vergelijking PBQ: x y + + z x+ y+ z OM en it laatste is een normaal van PBQ AP 7 en BP 7 7 Omat 7 staan e vetoren looreht op elkaar x x AP y y + en BP x x y y Noorhoff Uitgevers v
10 x y x x x + y ( )( ) + ( y + )( y ) Dit laatste kun je herleien (laat e inies weg) tot ( x 7) + ( y ) M( ( + ), ( + )) ( 7, ) De punten P liggen op e irkel ( x 7) + ( y ), us op e irkel met mielpunt (7, ) is M en straal x x OP y en AP y Er gelt an y y x( x ) + y + Haakjes wegwerken geeft x x+ y + (een iliner) Cirkel en ol lazije a 8 + ( OQ, ) x + y x + y x + y a ( ) + ( ) + ( x ) + ( y ) ( x ) + ( y+ ) a ( P, M) ( x ) + ( y ) + ( z ) ( x ) + ( y + ) + ( z ) Liggen op afstan van punt M a ( AB, ) ( ) + ( ) + ; ( x ) + ( y+ ) Invullen van e oörinaten van C in e vergelijking van e irkel geeft ( ) + ( + ) en it laatste klopt Dus ligt C op eze irkel Het mien van AC is het punt (, ) De afstan van it punt tot C is + De vergelijking van e irkel is an ( x ) + y Rest nog te ontroleren of punt B op eze irkel ligt Invullen geeft ( ) + ( ) en it klopt Dus is ( x ) + y e omgeshreven irkel van riehoek ABC a De straal is ( O, M ) ( ) + + Mielpuntsvergelijking van e ol: ( x+ ) + ( y ) + ( z ) Dan heeft V vergelijking z Als V raakt aan e ol an moet e afstan van het mielpunt tot V gelijk zijn aan e straal Dus gelt + + Dus is ± en aarmee zijn e vergelijkingen z + en z lazije a ( x+ ) + ( y ) x + x+ + y y+ x + x+ y y+ Noorhoff Uitgevers v
11 a De waaren van e oörinaten van het mielpunt: a en x 8x+ + y + y+ x 8x+ y + y+ ( x ) + ( y+ ) + + ( x ) + ( y+ ) (, ) en r 7a x + y x+ y x x+ y + y ( x ) + ( y+ ) + + ( x ) + ( y + ) Mielpunt (, ) en r x + y + z x+ y+ z x x+ y + y+ z + z ( x ) + ( y+ ) + ( z + ) ( x ) + ( y+ ) + ( z + ) Mielpunt (,, ) en r x + 7x+ y y ( x+ ) + ( y ) Mielpunt (, ) en r 8, 7, x x+ y + y+ z + z ( x ) + ( y+ ) + ( z + ) Mielpunt (,, ) en r 8a x + ( x+ ) x + x x + x x x x Dit laatste kun je ontinen: ( x )( x+ ) x of x, it zijn e x-oörinaten van e snijpunten x invullen in e vergelijking van e lijn geeft y + 8 en aarmee he je het snijpunt (, 8) gevonen x invullen in e vergelijking van e lijn geeft y en us is ook (, ) een snijpunt Vergelijkingen in GeoGera lazije a - Een rehte lijn want je krijgt stees punten ie op gelijke afstan van A en B liggen Je krijgt e mielloolijn van het lijnstuk AB ( x ) + ( y 7) ( x 7) + ( y ) ( x+ ) + ( y 7) ( x 7) + ( y ) x + x+ + y y+ x x+ + y y+ x+ y x y+ 8x y x y - Noorhoff Uitgevers v
12 a, Ja, het snijpunt van e issetries is het mielpunt van e ingeshreven irkel van e riehoek lazije a Teken met GeoGera e riehoek en e mielloolijnen an kun je e volgene vergelijkingen van e mielloolijnen aflezen in het algera venster: x+ y ; x y ; x y - - ( x ) + ( y ) us mielpunt (, ) en straal 77, e Nee, MP MQ MR gelt nog stees maar PR is nu miellijn, us r PR a - Liggen op een irkel(oog) De punten S liggen op e irkel waarvan PQ een miellijn is (omat e hoek ij S stees is) Het mien van PQ is (, ) en e afstan van it punt tot P of Q is 7 Dus is e mielpuntsvergelijking ( x ) + ( y ) 7 + ( P, a ) 7, + a - Aflezen uit het algeravenster geeft: y x; x y ; x+ y 8 De hoogtelijn uit B heeft vergelijking x+ y y x+ en eze staat looreht y x De hoogtelijn uit A heeft vergelijking x+ y y x+ en eze staat looreht op x+ y 8 De hoogtelijn uit C heeft vergelijking x+ y y x+ en eze staat looreht x y Ja, e hoogtelijnen in elke riehoek gaan oor één punt e Driehoek ABC is an een rehthoekige riehoek met B 7 Gemenge oprahten lazije a x x+ y + 8y it geeft ( x ) + ( y+ ) + Mielpunt (, ) en straal Staan looreht op e raaklijn Noorhoff Uitgevers v
13 De lijn oor M en looreht lijn m heeft vergelijking x+ y Invullen van e oörinaten van M geeft x+ y Je vint R als snijpunt van eze lijn met e irkel ( x ) + ( x+ ) x x+ + x x+ 7 x x x of x Dus is R (, ) en is R (, 8) De ijehorene raaklijnen zijn x y en x y Met ehulp van een tekening kun je inzien at e afstan van het mielpunt tot een ergelijke lijn m preies moet zijn Geruik aarvoor at e helft van lijnstuk AB lengte heeft en at e straal is Dan gelt: p p us is p of p + a x x+ y 8y+ z z+ ( x ) + ( y ) + ( z 8) + Dus mielpunt (,, 8) en straal V : x y+ z + 8 ( MV, ) ( MV, ) ( + ) + ± Deze vlakken raken aan e ol p p Stel q is een normaalvetor Dan moet gelen q p en r r p q q+ r r Kies q an is r Daarmee is een normaalvetor e Voor e vergelijking van W gelt y z k + 8 k Uit ( MW, ) volgt en us moet 8 k k k 7 of k 7a AF ( 8 ) + ( ) 8+ + ( Al,) + Noorhoff Uitgevers v
14 x + y + x + y + PF ( x ) + ( y ) en ( Pl,) + Gelijkstellen, kwarateren en e inies weglaten geeft e vergelijking ( x ) + ( y ) ( x+ y+ ) Dit kun je herleien via ( x ) + ( y ) ( x+ y+ z) tot x x+ + y y+ x + xy+ y + x+ y+ tot x + y 8x 8y xy Een paraool ie sheef in het assenstelsel ligt lazije 8a Als een ol raakt aan twee vlakken an is e afstan van het mielpunt van e ol tot elk van ie vlakken even groot Dus ligt het mielpunt in een issetrievlak Stel het punt Pxy (,, z) ligt in een issetrievlak OAB: z en ABC x y : + + z Dit laatste kun je hershrijven als x+ y+ z z x+ y+ z ( POAB, ) ( PABC, ) Dan is: z x+ y+ z x+ y+ ( ± ) z Alleen x+ y+ ( + ) z OAB: z en OBC: x heen x z als issetrievlak OAC: y en OBC: x heen x y als issetrievlak Uit e vorige opraht volgt at M(, r r, r) Ook moet M in het issetrievlak van opraht liggen Invullen van e oörinaten van M in e vergelijking van it vlak geeft r+ r+ ( + ) r r, + M,, (, ;, ;, ) e r, + f ( x ) + ( y ) + ( z ) ( ) a Zie opraht 8 N( λ, λ, λ) Als twee ollen met gelijke straal elkaar raken is e afstan tussen e eie mielpunten twee keer e straal ( λ λ) + ( λ λ) + ( λ λ) λ Kwarateren geeft ( λ) + ( λ) + ( λ) λ en it herlei je tot ( λ) λ e ( 8λ+ λ ) λ 8λ 8λ + λ λ+ 8 λ 8λ+ λ 8 ± 8 8 ± 8 ± 7 λ, 8 of λ, f Alleen λ 7 voloet want voor e anere waare ligt M uiten e kuus M(,, ) en N( +, +, + ) Noorhoff Uitgevers v 7
15 8 Test jezelf lazije 8 T-a V is evenwijig met e y-as, us evat V een lijn oor B evenwijig met e y-as en eze snijt e x-as in (,, ) V x y z : + λ + m Een normaalvetor van V is us is een vergelijking van e vorm x z + Invullen van (,, ) geeft an en us V: x z + x y z + γ T-a OF x y z : λ 8 en AG x y z : + 8 m Snijen geeft het stelsel 8 8 λ m λ m λ m Invullen van λ m in e eerste vergelijking geeft m m m en us ook λ Snijpunt M(,, ) Teken in het vlakeel ACGE e lijn AG en verin e miens OB en DF van e zijen AC en GE met elkaar Het snijpunt is an punt M In eze figuur is e afstan van M tot e lijn oor O,B en E gelijk aan e afstan van M tot e lijn oor O,B en G Op ezelfe manier kun je in e oorsnee OBFD inzien at e afstan van M tot e vlakken OEG en BEG gelijk zijn Het vlak OBE heeft rihtingsvetoren en 8 Een normaalvetor is en aarmee vin je e vergelijking x y z vlak (, ) M OBE + + Het vlak OEG heeft rihtingsvetoren en 8 Een normaalvetor is en aarmee vin je e vergelijking x y z + Noorhoff Uitgevers v
16 + ( M, vlak OEG ) + + Kortom: e afstanen van M tot elk van e zijvlakken is stees hetzelfe T- A B C O O a OA : y x x y en AB : y ( x ) x+ y Dan moet gelen x y x+ y + + x y x+ y x y± ( x+ y ) x y x+ y of x y x y+ x y of x+ y Het gaat om een alene lijn, us x+ y y x+ OB : y 7, x snijen met x+ y geeft 7, x en us x En an is y Dus is C(, ) 8 e OC ( ) + en BC ( ) + () OA + en AB ( ) + () Hiermee moet je nagaan of OC : CB OA : AB waar is Omat : en : klopt e ewering T-a x x+ y + y+ z + z ( x ) + ( y+ ) + ( z + ) Dus is M(,, ) en is e straal ( MP, ) ( ) + ( ) + ( ) < e ol ( x ) + ( y+ ) + ( z + ) us ligt P innen lazije T-a x x + AP y 7 BP y ( x )( x+ ) + ( y 7)( y ) + ( z 8)( z ) z 8 z Het resultaat van opraht a uitwerken en herleien geeft: Noorhoff Uitgevers v
17 ( x )( x+ ) + ( y 7)( y ) + ( z 8)( z ) x + x + y 8y+ 7+ z z+ 8 ( x+ ) + ( y ) + ( z 7) ( x+ ) + ( y ) + ( z 7) Dus liggen alle punten P op e ol met mielpunt (,, 7) en straal T-a De afstan van het mielpunt van e ol tot twee punten van e ol is stees hetzelfe, e straal Dus moet het mielpunt van een ol in het mielloovlak van elke koore liggen OC is an een normaal van het mielloovlak en it vlak gaat oor het mien (,, ) van lijnstuk OC Dit geeft x y us x y Op ezelfe manier als ij opraht a vin je voor het mielloovlak van OB e vergelijking x+ y en it is hetzelfe als x+ y Het mielloovlak van lijnstuk AB heeft normaal en gaat oor (,, ) Dit geeft e vergelijking x+ y z Het mielpunt van een ol ligt in het mielloovlak van elke koore De oörinaten van het mielpunt moeten voloen aan: x y x+ y x+ y z Optellen van e eerste twee vergelijkingen geeft x 8 x Dit invullen geeft y en z Dus :( x ) + ( y ) + ( z ) 8 T-7a OA : y x x y en OB : y x x y Voor punten op e issetrie gelt x y x y + + x y x y x y x y x y x y of x y x + y y x of y + x + Alleen e stijgene lijn y + x voloet + Een vergelijking van e lijn AB is y x+ Deze snijen met e issetrie geeft + x x + + ( + ) x ( + )( x+ ) ( + ) x x+ x + ( + ) x + ( + ) x + x + + Noorhoff Uitgevers v
18 en y Het snijpunt is us , + (, ;, ) + + T-8a Het vlak BCT is evenwijig aan e x-as en snijt e anere assen in (,, ) en (,, ) Dus is een vergelijking y + z y+ z + λ λ ( P, vlak BCT ) + + Dan is λ λ λ λ Omat e piramie regelmatig is moet het mielpunt voloen aan e vergelijking van opraht De mogelijkheen zijn: λ λ (it geeft een negatieve oplossing ie niet voloet) en λ λ λ Dus is (,, ) het mielpunt van e ol Raken aan het gronvlak in (,, ) geeft at e straal is De mielpuntsvergelijking van e ol is: x + y + ( z ) e BQ ( ) + ( ) + ( m) + m f QT m en us moet + m m + m m+ m En us is m m g De straal van e ol is QT 8 De mielpuntsvergelijking van e ol is x + y + ( z ) ( 8 ) Noorhoff Uitgevers v
Noordhoff Uitgevers bv
Verieping - Hoek afstan erek met vetor lazije a + + 9 ; a 7 7 z 9 O O (rihtingsvetor z-as) staat looreht op het vlak oor -as O -as us staat O looreht op e lijn oor O ie in at vlak ligt 7 a Omat het mielste
Nadere informatieHoofdstuk 3 - Hoeken en afstanden
Hoofstuk - Hoek fstn Blije 8 ; 8 8 os os us gelt os os os os os 8 os 8 os os os os 9 AB AC AB AC os 8 CA CD CA CD os 9 AD DE AD DE os AC DE AC DE os 8 e AD DC AD DE os 9 f BF AE BF AE os Blije os os Dus
Nadere informatieHoofdstuk 2 - Afstanden
Hoofstuk - fstanen. e afstan vanuit een punt lazije a riehoek R is een rehthoekige riehoek met R 5 en R, us gelt R + R 5 + 9 9 59, en R liggen eien in het vlakeel. R an is R R + 5 + 8 89. r gelt at R met
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
8 Blije 8 ; 8 8 os os us gelt os os os os os 8 os 8 os os os os 9 AB AC AB AC os 8 CA CD CA CD os 9 AD DE AD DE os AC DE AC DE os 8 e AD DC AD DE os 9 f BF AE BF AE os Blije os os Dus is os os us is 8
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-1a / V-2a e Voorkennis Zie e figuur hieroner. Zie e figuur hieroner. De lijn n en het punt P kunnen ook aan e anere kant van lijn l liggen. Zie e figuur hieroner. P Zie e figuur hieroven. In vierhoek
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
lazije 48 a x+ y= x+ y p(x+ y ) x y= x y+ qx ( y + Optellen van e vergelijkingen geeft an p( x+ y ) + q( x y+ ). 4 4 O 4 4 Kies q =. Dit geeft e vergelijking x+ y ( x y+ ). x+ y x+ 9y. Herleien geeft y
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-1a De punten op een afstan van 3 m van lijn l liggen op twee lijnen evenwijig aan l. De punten op een afstan van 5 m van punt liggen op een irkel met straal 5 en mielpunt. De vier snijpunten
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-1a / 52 V-2a e Voorkennis Zie e figuur hieroner. Zie e figuur hieroner. De lijn n en het punt P kunnen ook aan e anere kant van lijn l liggen. Zie e figuur hieroner. P m l Zie e figuur hieroven. In vierhoek
Nadere informatieDe breedte van de rechthoek is gelijk aan de omtrek van die grote cirkel.
Verieping - De ol 1a De reete van e rehthoek is preies gelijk aan e lengte van e roe irkel op e ol. De omtrek van ie irkel is 2 π 20 125,7 m. De hoogte van e rehthoek is gelijk aan e halve omtrek van e
Nadere informatieWiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 4 les 1
Wiskune D Online uitwerking 4 VWO blok 4 les aragraaf. Opgave a et e stelling van thagoras volgt at (, ) ( ) + ( ) ( 3 ) + ( ) + 3 3 b De roosterpunten met afstan 3 tot liggen op e cirkel met als mielpunt
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Verbanden herkennen
V-a V-a Hoofstuk - Veranen herkennen Hoofstuk - Veranen herkennen Voorkennis O A B De grafiek ij tael A is een rehte lijn, want telkens als in e tael met toeneemt neemt met toe. Het startgetal is en het
Nadere informatieHoofdstuk 1 Grafieken en vergelijkingen
Opstap Veranen O- Grafiek A hoort ij kaars. Grafiek B hoort ij kaars. Grafiek C hoort ij kaars. O-a O-a u in uren Bij u, is l 7 want, 7. Zie opraht O-. Na vier uur ranen zijn e kaarsen even lang. Bij eie
Nadere informatieBlok 4 - Keuzemenu. Verdieping - Driehoeksmetingen. 1092,33 3, meter = 4,118 km De afstand is ongeveer 4,1 km.
1a a 3a Verieping - Driehoeksmetingen 109,33 3,77 4118 meter = 4,118 km De afstan is ongeveer 4,1 km. 45 L 4,1 km Z Zoetermeer Voorshoten is 68 mm Leien Voorshoten is 94 mm In e tekening is 1 km geteken
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Hoofstuk De afgeleie lazije 9 V-a, 8, 8 8 kg lengte in m gewiht in kg,8,, 7, 8 9,,8 gewiht 8 8 lengte m weegt 8 kg us m weegt 8 : 8, kg. e, 8,, m 8,,8 is het startgetal en,8 is het hellingsgetal. V-a (,);(,);
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-1a 20 e f Voorkennis De autosnelweg loopt van noor naar zui. De Sloterplas loopt van nooroost naar zuiwest. Osorp ligt vanaf station msteram Lelylaan gezien in het westen. Het Sloterpark ligt vanaf station
Nadere informatieHoofdstuk 4 De afgeleide
Hoofstuk De afgeleie lazije 9 V-a 8 8 8 kg lengte in m gewiht in kg 8 7 8 9 8 gewiht 8 8 lengte m weegt 8 kg us m weegt 8 : 8 kg. e 8 m 8 8 is het startgetal en 8 is het hellingsgetal. V-a ();(); ();(
Nadere informatieHoofdstuk 4 De afgeleide
Havo B eel Uitwerkingen Moerne wiskune Hoofstuk De afgeleie lazije 9 V-a 8 8 8 kg Lengte in m Gewiht in kg 8 7 8 9 8 gewiht 8 8 lengte m weegt 8 kg us m weegt 8 : 8 kg. e 8 m 8 8 is het startgetal en 8
Nadere informatieBlok 3 - Vaardigheden
Blok - Vaarigheen lazije 6 a Je moet e vergelijking ( )( ) oplossen. Je ziet nu meteen wat e oplossingen zijn. ( )( ) of of Je moet nu e vergelijking ( )( ) oplossen. e De methoe van onereel gelt alleen
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Vectoren
Hoofstuk - Vetoren Blaije a Driehoek EHA is een rehthoekige riehoek. Hoekpunt D De punten B, F en G ehoren ook tot vlak EHA. Een rehthoek. e De hoekpunten A, B, F en E ehoren tot het vlak DCGH. f Hoekpunt
Nadere informatieHoofdstuk 6 - Differentiëren
Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune Hoofstuk - Differentiëren Blazije a Het water steeg het harst op e tijstippen waarij e grafiek het steilst loopt. Dat is om ongeveer 7 uur s ohtens en om 7 uur s
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Vectoren
Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune Hoofstuk - Vetoren Blaije a Driehoek EHA is een rehthoekige riehoek. Hoekpunt D De punten B F en G ehoren ook tot vlak EHA. Een rehthoek. e De hoekpunten A B F en
Nadere informatieBlok 2 - Vaardigheden
Blok - Vaarigheen lazije a Het startgetal is en het hellingsgetal is De formule ie ij e lijn ast is y x De lijn k heeft het zelfe hellingsgetal als e lijn l, us De formule is y x+ 7 e Het hellingsgetal
Nadere informatieExacte waarden bij sinus en cosinus
Exacte waaren ij sinus en cosinus In enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus exact oplossen. Welke gevallen zijn at? Hieroven zie je grafieken van f(x) = sin x en g(x) = cos x. a Hoe
Nadere informatieHoofdstuk 11 Verbanden
Opstap Remweg O- De rie remwegen zullen vershillen zijn. Algemeen gelt at ij e hoogste snelhei e langste remweg hoort. O- De remparahute geeft nog meer remkraht. O- De remweg wort langer op een sleht of
Nadere informatiej (11,51) k (11,-41) l (11,-1011)
H0 COÖRDINATEN 0.1 INTRO 1 a A3, C1, C3 b 3 A3, C1 a d6 of h10 0. DE WERELD IN KAART 3 B 4 a d Zie assenstelsel opgave 6. e b Zie bovenstaande wereldbol. Zie bovenstaande wereldbol. d 90 NB 5 a 7 b b Zie
Nadere informatieHoofdstuk 6 Goniometrie
Opstap Tangens O-1a EF!1044 32,3 m zije kwaraat zije kwaraat KL 30 m 900 ST 20 m 400 LM 15 m 225 TW? 225 KM? 1125 SW 25 m 625 KM!1125 33,5 m TW!225 15 m O-2a Driehoek PQR is een rehthoekige riehoek omat
Nadere informatieH15 GELIJKVORMIGHEID VWO
Hoofstuk 5 Gelijkvormighei VWO 5 Vergroten en verkleinen a 5 a 9 riehoekjes, zie plaatje: a 0,5:,9, en :, ij 9 inh 7 0,5,57 m ij 7 5 5,9 5,95 m 6,9 0,7 m 9 e 6 a a Die van ij Die van 0 ij 0, ie van 8 ij
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
er s v Voorkennis e f V-2a e autosnelweg loopt van noor naar zui. e Sloterplas loopt van nooroost naar zuiwest. Osorp ligt vanaf station msteram Lelylaan gezien in het westen. Het Sloterpark ligt vanaf
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a 4 Hoofstuk - Ruimtefiguren Voorkennis De verpakking heeft rie vershillene vormen. De ovenkant en e onerkant heen ezelfe vorm. Hetzelfe gelt voor e voorkant en e ahterkant en voor e twee zijkanten.
Nadere informatieVerdieping Inverse goniofuncties
8 Verieing Inverse goniofunties lazije 6 en g ( ) a f f ( ) 6 en g ( ) f en g a f sin en g ( ) en g ( ) e f f f ( ) f os ( ) a h g ( )( ) k f 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) a h f h h( ) h( ) ( ) ( ) ( )
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
4 Voorkennis V-1 a De oörinaten zijn A( 2, 1), B(2, 3) en C(5, 4 Qw ). V-2 a Per stap van 1 naar rehts gaat e lijn Qw omhoog. Vanuit C ga je 7 stappen naar rehts en us 7 Qw = 3 Qw omhoog. Omat 4 Qw + 3
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Van lijn k is het hellingsgetal en het startgetal en e formule is = +. Van lijn l is het hellingsgetal en het startgetal en e formule is = +. Van lijn m is het hellingsgetal en het startgetal
Nadere informatieOpgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde
Oppervlkte vn riehoeken Verkennen Opgve 1 Je ziet hier twee riehoeken op een m-rooster. Beie riehoeken zijn omgeven oor eenzelfe rehthoek. nme: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg Hoeveel
Nadere informatieBlok 3 - Vaardigheden
Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Blok 3 - Vaarigheen lazije 19 1a 1, 3 3000 = 8900 = 8310, 0, 07 000000 = 8000 = 810, 300 1700 = 6870000 = 6910, 8 0, 000 0, 007 = 0, 000001 = 1, 10 6 e 6344, 1 781, 98
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
lazije a - De inhou van e afgeknotte piramie is 70,% van e inhou van e hele piramie. De inhou van e hele piramie is : I 0 m Inhou afgeknotte piramie: I afgeknot 0, 70 0, 7 m a - - h ELM EJK ELM h h h ELM
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
B-a 38 Extra oefening - Basis aantal auto s in miljoenen 0 00 90 80 70 0 50 0 30 0 0 0 30 0 50 0 70 80 90 00 0 0 tij in jaren In 975 waren er ongeveer 3, miljoen auto s. Als je e grafiek oortrekt, an krijg
Nadere informatiea 90 b 30 c 10 d 6 a,b
Hoofstuk 8 HOEKEN 8.0 INTRO a 5 De grote riehoek heeft even grote hoeken als een kleine riehoek:, en. Halverwege komen e hoeken met nummers, en samen. a 90 0 0 6 a, Dezelfe antwooren als ij en. a Die vormen
Nadere informatieHoofdstuk 12B - Breuken en functies
Hoofstuk B - Breuken en funties Voorkennis V-a g V-a h 0 0 i 9 j 0 0 0 9 0 9 e k 0 f l 9 9 Elk stukje wort : 0 0, meter. a 0 0 0 00 L 0, 0, 0,0 0,0 0,0 De lengte van elk stukje wort an twee keer zo klein.
Nadere informatieHoofdstuk 8 HOEKEN. 4 a 90 b 45 c 22,5. 5 a 90 1 a
Hoofstuk 8 HOEKEN 8.0 INTRO 4 a 90 45 22,5 5 a 90 1 a De grote riehoek heeft even grote hoeken als een kleine riehoek: 1, 2 en 3. Halverwege komen e hoeken met nummers 1, 2 en 3 samen. 30 10 a 7 a 0, 120,
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken Voorkennis V-a Van lijn k is het hellingsgetal en het startgetal en e formule is = +. Van lijn l is het hellingsgetal en het startgetal en e
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Matrices
5. Matries lazije a Per week gaan er + 7+ 6 = 5 auto s weg uit Amsteram. Na vier weken is e voorraa us nog 300 4 5 = 00 auto s. Per week gaan er 0+ 8+ 4 = auto s weg uit Rotteram. Na vier weken is e voorraa
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
0 Voorkennis: Differentiëren en rekenregels lazije 0 V-a h ( ) 0 f () t 6 t + t 0 t + t n () t t t 7 t 6t e k ( p) p p + 0 0p 7 p g ( ) + 08 V-a f( ) ( + ) 6 f ( ) 6 h ( ) ( + 9) 8 gt () tt ( + t ) t +
Nadere informatieHoofdstuk 4 - Integreren
Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel Voorkennis: Oppervlakten lazije 98 V-a BC Oppervlakte ABC Driehoek ABC is gelijkvormig met riehoek ADB us AC AB waaruit volgt at BC BD us BD BD c
Nadere informatieHoofdstuk 2 - Veranderingen
lazije 6 V-1a 1 m, want ij een massa van kg lees je in e grafiek e lengte van 1 m af. Veer B is stugger, want in e grafiek kan je aflezen at wanneer je aan eie veren evenveel gewiht hangt, veer B korter
Nadere informatieInhoud. 2 Ruimtemeetkunde Lichamen Aanzichten Doorsneden Inhoud en oppervlakte Totaalbeeld 35
Wiskune voor 3 havo eel 2, Antwoorenoek Versie 2013 Samensteller 2013 Het auteursreht op it lesmateriaal erust ij Stihting Math4All. Math4All is erhalve e rehtheene zoals eoel in e hieroner vermele reative
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-II
Reistij figuur 1 rivier Een boot vaart op een rivier van naar en terug. De afstan tussen en is 10 km. De boot vaart altij met een snelhei van 20 km/u ten opzichte van het water. De rivier stroomt in e
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
B-a B-a Extra oefening - Basis Met een volle tank kunnen ze 8 6 = 768 km rijen. Het aantal liters keer 6 is gelijk aan het aantal kilometers. 785 : 6 = 7, liter enzine. 7, : 8 =,66, us ze heen minstens
Nadere informatieVoorkennistoets wiskunde voor economie. is te herleiden tot b 12 c 3 4 d 4 3
Opgven Voorkennistoets wiskune voor eonomie Opgven A.. De uitrukking 7 ( ) is te herleien tot ( ) ( ) 6 ntwoor A.. ereken 4. 7 ( ) 6 9 ( ) 7 46 66 48 8 98984 76 ntwoor A.. ereken, 4,7.,489,8766,78,969
Nadere informatiede Wageningse Methode Antwoorden H26 RECHTE LIJNEN HAVO 1
H6 RECHTE LIJNEN HAVO 6.0 INTRO a km kost,0: =,0 b rankje kost : =,0, us e entree is,0,0 = 0,-. Nee, als je bij e onerste lijn naar rechts gaat ga je omhoog, us als je naar rechts zou gaan, zou je omhoog
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
B-a e B-a Blok - Vaarigheen Blok - Vaarigheen Extra oefening Basis Vanaf ongeveer 9 jaar lijft e grafiek onstant. Karel was ongeveer kg zwaar toen hij jaar ou was. Karel was 5 jaar ou toen hij 55 kg woog.
Nadere informatie8 a. x K (in euro s) x K (in euro s)
Hoofstuk 6 RECHTE LIJNEN 6.0 INTRO b, =, km c k = l a km kost,0: =,0 b rankje kost : =,0, us e entree is,0,0 = 0,-. Nee, als je bij e onerste lijn 8 naar rechts gaat ga je omhoog, us als je naar rechts
Nadere informatieOAB. A 0,2q gaat. x q m q mx. l x y b x b y. c x c y. c x y c c. x b y b bx 2. x c y c cx. a y q en b x q m.
Voor een driehoek ABC zijn de punten A en B vast en is C een veranderlijk punt Bepaal de meetkundige plaats van het punt C zodat het produt van de zijden AC en BC gelijk is aan het kwadraat van het zwaartelijnstuk
Nadere informatieOefeningenexamen Projectieve Meetkunde: oplossingen
Oefeningenexamen Projectieve Meetkune: oplossingen 2e bachelor Wiskune acaemiejaar 2011-2012 1 Eerste zittij Oefening 1.1. Een {, m}-boog in PG(2, q) is een verzameling van m 1 punten zoat ieere rechte
Nadere informatieInhoud. 1 Algebra Rekenen met variabelen Breuken Haakjes Machten Wortels Totaalbeeld 15
Wiskune voor 3 havo eel 1, Antwoorenoek Versie 2013 Samensteller 2013 Het auteursreht op it lesmateriaal erust ij Stihting Math4All. Math4All is erhalve e rehtheene zoals eoel in e hieroner vermele reative
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Blok - Vaarigheen lazije 0 a g h, p, p i p 0 p e q q q q q f 0 a a 0a a t t t t t t a Per weken is e groeifator,, 9 Een kwartaal heeft : weken. De groeifator per kwartaal is us, 990,. Een ag is -week,
Nadere informatie9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Meer variabelen
Hoofstuk - Meer variaelen lazije V-a Omat het water met onstante snelhei uit e ak stroomt en e ak ilinervormig is, is e afname van e hoogte van e waterstan per tijseenhei onstant. De hoogte van e waterstan
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Extra oefening Basis B-a + = = + + = = = e + = = = f = B-a > > > > B-a + : = + = + = = + = + = 0 e ( + ) = = 0 (0 + ) : = : = = 0 f + ( ) = + = = B-a Uit eze klas heeft = = eel van e leerlingen geen zwemiploma.
Nadere informatieVaardigheden - Blok 4
Vaarigheen - Blok lazije + a p p p is nie juis wel gel p p p p 8 ( r ) r r ; e ewering is juis 9 + ( ) ( ) ; e ewering is juis mis 0 9 + 8 ( a a ) a is nie juis wel juis is ( a a ) ( a ) ( a ) a a + (
Nadere informatieHoofdstuk 4 Machtsverbanden
Opstap Kwaratishe verbanen O-1a De oppervlakte van e voorkant is 4 4 16 m 2. b Alle zijvlakken van e kubus zijn vierkanten met lengte r m en breete r m. De oppervlakte van elk zijvlak is us r r r 2 m 2.
Nadere informatieHoofdstuk 2 - Periodieke bewegingen
Hoofdstuk - Periodieke ewegingen Voorkennis: Sinusoïden ladzijde 6 ( ) en D (,) V-a A,, B,, C, Via Interset vind je de snijpunten van = sin x en = x, 6 x, 5 of x, 67 Bij een vershuiving van eenheden naar
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Kansen en statistiek
Hoofstuk 5 - Kansen en statistiek lazije 110 1a Niet ieereen heeft ezelfe kans om in eze steekproef te komen. Het zijn klanten van eze ene winkel. Het zijn alleen vrouwen. Het zijn klanten ie allemaal
Nadere informatieInhoud. 1 Algebra Rekenen met variabelen Breuken Haakjes Machten Wortels Totaalbeeld 16
Wiskune voor 3 vwo eel 1, Antwoorenoek Versie 2013 Samensteller 2013 Het auteursreht op it lesmateriaal erust ij Stihting Math4All. Math4All is erhalve e rehtheene zoals eoel in e hieroner vermele reative
Nadere informatieHoofdstuk 7 Exponentiële formules
Opstap Mahten en proenten O-1a 7 4 2401 ( 12) 5 248 832 8 4 4096 10 6 1 000 000 e 1 9 1 f 11 3 1331 g 3 5 243 h ( 3) 5 243 O-2a 620 000 6,2 10 5 43 000 000 4,3 10 7 0,000 12 1,2 10 4 8 000 000 000 8 10
Nadere informatie6 Ligging. Verkennen. Uitleg
6 Ligging Verkennen Ligging Inleiding Verkennen Door in de applet het assenstelsel te draaien kun je nagaan of twee lijnen een snijpunt hebben. Je kunt ook andere lijnen proberen door de punten A, B, C
Nadere informatieDE STELLING VAN NAPOLEON
www.raves.nl ton@raves.nl DE STELLING VAN NAPOLEON LUIDT: Als men aan de drie zijden van een willekeurige driehoek ABC gelijkzijdige driehoeken legt dan vormen de zwaartepunten van die drie gelijkzijdige
Nadere informatieVoorbeeldoplossing toets: Analytische meetkunde loodrechte stand
Voorbeeldoplossing toets: Analytishe meetkunde loodrehte stand met A,, B,7 en C, Bepaal de Gegeven is een driehoek ABC oördinaat van het snijpunt van de zwaartelijn uit A met de hoogtelijn uit C M, BC
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
B-1a 32 B-2a Extra oefening - Basis Met een volle tank kunnen ze 48 16 = 768 km rijen. Het aantal liters keer 16 is gelijk aan het aantal kilometers. 2785 : 16 = 174,1 liter enzine. 174,1 : 48 = 3,626,
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Vlak en kegel bladzijde a Als P ( x,, ) de projectie van P op het Ox-vlak is, dan is driehoek OP P een gelijkbenige rechthoekige driehoek met OP P = Dan is OP = x + en is PP = z Met de stelling van Pthagoras
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Bij e roe pijl hoort e aftrekking,,.,,,, V-a,, 7,,, 7, e,,,,7,, f,,, V-a Bij e roe pijlen hoort e erekening,,,,.,,,,,,,,,,, 7,,,,, V-a In eze erekening moet je eerst met, vermenigvuligen
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Definities en stellingen
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 V-a 50 60 = 80 50 60 = 70 d Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één punt:
Nadere informatiex y C. von Schwartzenberg 1/22 = + = Zie de lijnen in de figuur hiernaast. Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast. 2b
G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a k: = x gaat door (0, ) ( 0 = ) en (, ) ( = ) l : x = 6 gaat door (0, ) (0 = 6) en (, 0) ( 0 = 6) Zie de lijnen in de figuur hiernaast b = x x = of x = of x = 6 of
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a V-a Hoofstuk - Getallen Voorkennis In het ontrekene stuk van e vlaai passen stukken. De hele vlaai eston uit stukken. Twee van e vijf stukken zijn verkoht, us eel van e vlaai is verkoht. Van e reuk
Nadere informatieOpgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.
3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord
Nadere informatie5 Lijnen en vlakken. Verkennen. Uitleg
5 Lijnen en vlakken Verkennen Lijnen en vlakken Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Je ziet hoe een vlak kan worden beschreven met behulp van een vergelijking in x, en z. In de applet kun je de drie
Nadere informatieWiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 7 les 2
Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO lok 7 les Paragraaf Loodrechte stand en inproduct Opgave De lijnen HM En BD snijden elkaart, want ze liggen eide in het vlak door de punten H, D, B en M Ze snijden elkaar
Nadere informatieHoofdstuk 1 Grafieken en vergelijkingen
Hoofstuk 1 Grafieken en vergelijkingen Opstap Formule, grafiek en vergelijking O-1a Om uur staat het water 6 6 mm hoog in e regenmeter. aantal uren h... h 6 hoogte water aantal uren v :... v 6 hoogte water
Nadere informatieStevin havo deel 1 Uitwerkingen hoofdstuk 1 Bewegen (oktober 2014) Pagina 1 van 13 0,515 38,4
Stevin havo eel 1 Uitwerkingen hoofstuk 1 Bewegen (oktoer 2014) Pagina 1 van 1 Opgaven 1.1 Meten van tijen en afstanen 0 a y = 45 7,5 = 7,5 =,4 10 2,4 10 2 6, π z = = 0,515.. = 0,515 0,515 8,4 e f g Geruik
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
a lazije 58 Het vooreel va e grote horizotale eehei is at je gemakkelijk kut iterpolere. Als je wilt wete hoe groot e eekte oppervlakte a 5 age ku je met e optie trae gemakkelijk eve kijke. De grafiek
Nadere informatieGebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.
Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking
Nadere informatieHoofdstuk 9 - Overgangsmatrices
lazije 232 1a Er zijn 497 auto s e Eenweg ie via het plein e Gansstraat gaan. De som e eerste kolom geeft het aantal auto s e Eenweg, us 900. De som alle getallen in e matrix is 4000, het aantal auto s
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Blok - Keuzemenu Projet Het inaire stelsel a Er staat at gelijk is aan en at is weer gelijk aan 0, us 0 is gelijk aan. Een rekenmahine geeft 0 =. Er gelt 0 = 00 + 0 0 + + en at heeft Chantal met ehulp
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a V-a Hoofstuk - Getallen Voorkennis In het ontrekene stuk van e vlaai passen stukken. De hele vlaai eston uit stukken. Twee van e vijf stukken zijn verkoht, us eel van e vlaai is verkoht. Van e reuk
Nadere informatieStevin vwo Antwoorden Speciale relativiteitstheorie Pagina 1 van 10 0; 0,99; 1; 1
Stevin vwo Antwooren Speiale relativiteitstheorie Pagina 1 van 10 Opgaven 1 Het is maar hoe je het ekijkt 1 a Een inertiaalsysteem is een omgeving waarin e eerste wet van Newton gelt. a C γ 1 β γ β 0;
Nadere informatieExponenten en Gemengde opgaven logaritmen
08 Exponenten en Gemengde opgaven logaritmen Lijnen en cirkels bladzijde a k p // l p, dus p + p p p + (p + )(p + ) (p )(p ) p + 6p + p 6p + 8 p p b k p l p, dus rc kp rc lp p + p p p + p p p + p p p p
Nadere informatie3 Hoeken en afstanden
Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3. Cirkels en hun middelpunt 3. Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst
Nadere informatie10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan
Nadere informatieDe oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.
Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule
Nadere informatieOpgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5
2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook
Nadere informatieStevin havo Antwoorden hoofdstuk 1 Bewegen ( ) Pagina 1 van 15
Stevin havo Antwooren hoofstuk 1 Bewegen (016-06-07) Pagina 1 van 15 Als je een aner antwoor vint, zijn er minstens twee mogelijkheen: óf it antwoor is fout, óf jouw antwoor is fout. Als je er (vrijwel)
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen Voorkennis: hoeken en irkels ladzijde 56 V-a = = = 68 ; dus = S = 80 = = SE us SE = S = 56 ES = 80 56 = 0 us SE = 78 V- + α = 60 Ook geldt + + + = 60 us α= + + V-a = 80
Nadere informatie8 a 250; 200; 150 b 100 cm c De hoek is kleiner dan 90. d De afstand is meer dan 100 cm. 9 a ½ 5 12 = 169 b 13, want = 169
H7 PYTHGORS 7.0 INTRO rehthoekszijden van 3 en 4 m is. us alle vier de zijden zijn even lang. a 7. REHTHOEKIGE RIEHOEKEN a 80 5 = 0000 m 5000 m 3 : ½ 6 4 = m : 8 m : 6 m : 9 m E: 5 m F: 7½ m 4 600 ½ 0
Nadere informatieHoofdstuk 6 - Cirkeleigenschappen
Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: hoeken en irkels ladzijde 56 V-a 68 ; dus S 80 SE. us SE S 56 ES 80 56 0. us SE 78. V- 60. Ook geldt 60. us. V-a 80 Er geldt:
Nadere informatie1.3 De produktregel. Laat zien dat bijvoorbeeld [ x x. ] niet gelijk is aan 2x
.3 De prouktregel Eerer heb je geleer at je e som van twee (of meer) functies kunt ifferentiëren, oor termsgewijs te ifferentiëren. Bijvoorbeel: 3 [ x + x ] = x + 3 x.7 Een ergelijke mooie regel gelt niet
Nadere informatieOEFENTOETS VWO B DEEL 3
OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 MEETKUNDE MET VECTOREN OPGAVE Gegeven zijn de vectoren a, b en c die vanuit O de hoekpunten van driehoek ABC aanwijzen. Het punt P is het midden van AB, het punt Q is
Nadere informatie7 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen
7 Totaalbeeld Samenvatten Je hebt nu het onderwerp "Vectormeetkunde" doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet
Nadere informatie6.1 Rechthoekige driehoeken [1]
6.1 Rechthoekige driehoeken [1] In het plaatje hiernaast is een rechthoekige driehoek getekend. Aan elke zijde van deze driehoek ligt een vierkant. Het gele vierkant heeft een oppervlakte van 9 hokjes;
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
a c a c 3a c Verieping - Erfelijkhei lazije 98 Van e personen zijn er kleurenlin. Dus P(kleurenlin) = 0, 05 Van e personen zijn er man. Dus P(man) = = 05, Van e mannen zijn er kleurenlin. Dus P(kleurenlin
Nadere informatieRekenen met letters- Uitwerkingen
Rekenen met letters- Uitwerkingen Onder voorbehoud van rekenfouten RGO-Middelharnis 1 1 c RGO-wiskunde 1 2 Inhoudsopgave 1 Korter schrijven............................ 3 2 Opgaven................................
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Blok - Vwo VWO Reht, sherp of stomp? a AB 7 AC BC 8 6 6 Nee, de optelling van de kwadraten klopt niet, want 6 6 en geen 6. Nee, nabc is geen rehthoekige driehoek, want de optelling van de kwadraten klopt
Nadere informatie