Exacte waarden bij sinus en cosinus

Transcriptie

1 Exacte waaren ij sinus en cosinus In enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus exact oplossen. Welke gevallen zijn at? Hieroven zie je grafieken van f(x) = sin x en g(x) = cos x. a Hoe groot is e perioe van eie grafieken? Geef e exacte coörinaten van e snijpunten van e grafieken van f met e x-as op het interval [, ]. c Geef e exacte coörinaten van e toppen van e grafiek van g op het interval [, ]. Hoe groot is f(7)? En hoe groot is g(7)? e Neem over en vul in. sin 0 =... sin =... cos =... cos 9 =... sin =... sin 0 =... cos =... cos =... Hiernaast staat een gelijkzijige riehoek ABC met zijen. Ook is hoogtelijn AD geteken. a Leg uit met e riehoek at cos0 =. Bereken e exacte lengte van CD. c Laat zien at sin 0 =. Welke exacte waare heeft sin 0? En cos 0? In PQR hiernaast is P = 4 en Q = 90. Verer is PQ =. a Leg uit waarom QR =. Bereken e exacte lengte van PR. c Toon met ehulp van eze riehoek aan at sin 4 =. Welke exacte waare heeft cos 4? Voor enkele waaren van x moet je e waare van sin x en cos x exact weten. Je kunt aarij geruik maken van e grafieken van f(x) = sin x en g(x) = cos x en van e ovenstaane riehoeken. In e tael hiernaast vin je over welke waaren het gaat. aantal graen aantal raialen 0 4 sinus 0 cosinus 0

2 4 Geruik e grafieken op e vorige lazije. Geef van e volgene vergelijkingen e exacte oplossingen op het interval [, ]. sin x = a sin x = c cos x = cos x = 0 sin x = e f x = cos g sin x = sin x = h i x = cos Hiernaast staat e grafiek van f(x) = cos x op het interval [, ]. In eze opracht ga je e vergelijking cosx = op het interval [, ] oplossen. a Voor één oplossing gelt x =. Leg at uit. Eén oplossing is x = :=. 8 Welke oplossing volgt an uit e symmetrie in e y-as? c Welke perioe heeft e grafiek van f? Geruik e perioe om e overige vier oplossingen te erekenen. Hoe los je e vergelijking f(x) = p met f een goniometrische functie en p een constante, exact op een gegeven interval op? Geruik e tael met exacte waaren en zonoig e grafiek om één oplossing te vinen. Stel e perioe van e functie vast. Schets e grafiek van f op het gegeven interval en geef e gevonen oplossing in e schets aan. 4 Geruik e perioe en e symmetrie van e grafiek om e overige oplossingen te vinen. Vooreel Los 4+ sinx = op het interval [, ] exact op. Oplossing 4+ sinx = sinx = sin x = Met ehulp van e tael en e grafiek: één oplossing is x = us x = De perioe is : =. Zie e schets hiernaast. 4 De oplossingen zijn: x = of x = 7 of x = of x = of 7 x = of x =

3 Los e volgene vergelijkingen op het gegeven interval exact op. a sinx = op [, ] cos x = op [0, ] 7 Gegeven is e functie f( x) = + sin( x+ ). a Teken e grafiek op het interval [, ]. Welke perioe heeft e grafiek van f? c Bereken met ehulp van e perioe en e horizontale verschuiving ij welke waaren van x e symmetrieassen liggen. Los e vergelijking + sin( x + ) = op [, ] exact op. 8 Hiernaast zie je op het interval [, ] e grafieken van e functies f ( x) = x sinx en g( x) = x a Bereken f ( ) exact. Bereken f ( ) exact. c Om e coörinaten van e snijpunten van eie grafieken te erekenen, moet je e vergelijking x sinx= x oplossen. Deze vergelijking is gelijkwaarig met x = 0 of sin x =. Leg at uit. Los e vergelijking x sinx= x exact op. e Geef e exacte coörinaten van e vijf snijpunten ie hiernaast te zien zijn. 9 Los e volgene vergelijkingen op het gegeven interval exact op. a 4x cosx= x op [0, ] x sinx= x op [, ] c x cosx+ x= 0 op [9, ] 0 De grafiek van functie f ( x) = x sinx uit opracht 8 lijkt een top te heen ij x =. Als e grafiek van f een top heeft ij x =, an moet f () = 0. a Geruik e prouctregel om e afgeleie van f te erekenen. Bereken f () en laat zien at f () > 0. c Ligt e genoeme top links of rechts van x =? Ga na at e exacte waare van e helling van e grafiek van f in het punt (, ) gelijk is aan +. e Bereken e exacte waare van e helling van e grafiek,. van f in het punt ( 4 4 )

4 Antwooren a (,0), (0,0), (, 0),(, 0), (, 0) c (, ), (0, ), (, ), (, ), (, ) f(7) = 0 en g(7) = e 0; ; 0; ; ; 0; ; AD CD = AD ; CD = CD sin A = = =, sin 0 = AD D = 0 = 0 ; sin D = = a cos A = = us cos 0 = c CD cos D = = = a R = P us PQ = QR PR = PQ + QR ; PR = + = ; PR = c RQ sin P = = = = = PR PQ cos P = = = = = PR x= of x = of x = of x = 4a x= x = x = x= c x= of x = of x= of x = x= of x = of x= of x = e x= of x= of x= of x= f x= of x = of x= of x = g x = of x = h x= of x = of x = of x = i x= of x = of x= of x = a = cos x = 8 of of of c De perioe is = x= + = en x= = x = + =, x = = a x = x = x = x = x = 7, x = x =,,,, 7a - De perioe is c x =, x = en x = x =, x =, x = f ( ) = sin = 8a f ( ) = sin = c x sinx x = 0; x(sinx ) = 0 x = 0ofsinx = x =, x = x = 0, x = en x =. e (, ), (, ), (0, 0), (, ) en(, ) 9a x = 0, x =, x =. 4 4 x= x = x= x = x= c x = 9, x= 0, x=,, 0,, 0a f ( x) = sinx+ x cosx f () = sin + 4 cos 0,4 c f () > 0, e grafiek stijgt, e top ligt us rechts van x =. f ( ) = + = + e f = = ( ) + 4

5 Uitwerkingen a (,0), (0,0), (, 0),(, 0) en (, 0) c (, ), (0, ), (, ), (, ) en (, ) f(7) = 0 en g(7) = e sin 0 = 0 sin = cos =0 cos9= sin = sin 0 = 0 cos = cos = a AD = AB = = AD cos A = = us cos 0 = CD = AD ; CD = = ; CD = CD sin us sin 0 AD D = 0 = 0 ; sin D = = c A = = = = CD cos D = = = a R = = 4 us P = R en PQ = QR PR = PQ + QR ; PR = + = ; PR = RQ sin PR c P = = = = = us sin 4 =. PQ cos PR P = = = = = x= of x = of x = of x = 4a x= of x = of x = of x= x= of x = of x= of x = c x= of x = of x= of x = x= of x= of x= of x= e x= of x = of x= of x = f x = of x = g x= of x = of x = of x = h x= of x = of x= of x = i

6 a cos = us x = De y-as is symmetrieas us een anere oplossing is 8 c De perioe is = x = = = ; x = = = x = + = + = ; x = + = + = a x = x = x = 9 sin ; ; De perioe is :=. De e oplossing is us x = = 9 9 Bij e oplossingen mag je een veelvou van optellen of aftrekken. De anere oplossingen zijn: 7 x = + = en x = = x= + = en x = = cos x = ; x = ; x = 4 De perioe is 4. De e oplossing is x = 4 ; x =. x = is e enige oplossing innen het omein. 7a De perioe is c Een symmetrieas van y = sinx ligt ij x = Een symmetrieas van y = sin( x+ ) ligt ij x = + = De anere symmetrieassen zijn x = = en x = + = sin( x+ ) = ; x+ = ; x = De symmetrieas ligt ij x =, e afstan van e e oplossing tot e symmetrieas is = De e oplossing is x = + = De e oplossing is x = + =

7 f ( ) = sin = = 8a f ( ) = sin = = c x sinx x = 0 x(sin x ) = 0 x = 0ofsinx = x = 0ofsinx = ; x = 0 of sin x = x = 0of x = De e oplossing is x = =. Bij e oplossingen x = en x = mag je een veelvou van optellen of aftrekken. De oplossingen zijn x =, x =, x = 0, x = en x =. (, ), (, ), (0, 0), (, ) en(, ) e 9a 4x cosx x = 0 x(4cos x ) = 0 x = 0of cosx = x = 0, x =, x =. 4 4 x sinx x = 0; x (sinx ) = 0 x = 0of sinx = sin x = ; x = ; x = De perioe is, e e oplossing is = Bij e oplossingen x = en x = mag je een veelvou van optellen of aftrekken. Dit geeft innen het omein e oplossingen: x=, x =, x= 0, x =, x= c (cos x x+ ) = 0; x = 0 of cosx = x = 0of x = of x = = Bij e oplossingen x = en x = mag je een veelvou van optellen. Dit geeft innen het omein e oplossingen: x = 9, x = 0, x = 0a f ( x) = sinx+ x cosx f () = sin + 4 cos 0,4 c f () > 0, e grafiek stijgt, e top ligt us rechts van x =. f ( ) = sin + cos f ( ) = + = + e f = ( ) sin cos f ( ) = + =

8 8