WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc 1/11

Transcriptie

1 VAK: WISKUNDE - HWTK Set Proeftoets AT WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 0.oc /

2 DIT EERST LEZEN EN VOORZIEN VAN NAAM EN LEERLINGNUMMER! Beschikbare tij: 00 minuten Uw naam:... Klas:... Leerlingnummer: Instructies voor het invullen van het antwoorbla.. Dit open boek tentamen bestaat uit 0 opgaven.. De antwooren schrijft u op e oor e school te verstrekken antwoorformulieren.. Noteer op alle antwoorformulieren uw Naam, e Klas, het Vak, e Perioe en e Set.. Beantwoor e vragen zo volleig mogelijk. Vermel bij rekenopgaven e berekening op e antwoorformulieren.. U mag tijens het tentamen gebruik maken van: - Een tabellenboek, zoner aantekeningen; Toegestane boeken: - Een wiskuneboek naar keuze - Rekenmachine 6. Direct na afloop van het tentamen levert u alle formulieren (vragenformulier, antwoorblaen en klapapier) in bij e ocent(e).. Puntenvereling Cijfer Aantal punten 0 Vastgestel. Veel succes! WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 0.oc /

3 VAK: WISKUNDE - HWTK Set Proeftoets AT - Vraag 0 punten Gegeven is een 0 MW - prouctie-eenhei.via metingen is het verban vastgestel tussen het vermogen P [MW] en het warmteverbruik [kj/(kwh)] en it kan nu woren weergegeven oor miel van een tweeegraas polynoom met formule: WV 0,0 P, P + 8 [ kj /( kwh) ] Gevraag wort oor eze functie te ifferentiëren vast te stellen bij welk vermogen het warmteverbruik het laagst is. : WV ( 0,0 P, P + 8) Bepalen van e afgeleie levert 0,0 P, P P De afgeleie is e richtingscoëfficiënt van e raaklijn aan e grafiek van e functie. Deze raaklijn loopt evenwijig met e - as in het etreme punt, us aar waar e functie zijn minimale waare WV bereikt. Zo gelt 0,0 P, 0 P Het vermogen waarbij het warmteverbruik van e eenhei minimaal is beraagt an, 0,0 P,, zoat P 00, 69 MW 0,06 Beschouw nu ook onerstaane afbeeling waarop het verloop van het warmteverbruik als functie van het oor e eenhei gelevere vermogen is voorgestel. De horizontale, gestippele lijn, is hierbij e beoele raaklijn. WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 0.oc /

4 Vraag. 0 punten Voor een veer gelt at e benoige kracht om e veer in te rukken gelijk is aan het prouct van e inrukking en e stijfheiconstante van e veer. Voor e benoige kracht gelt an F( u) ook onerstaane afbeeling. k u. Hierin is u e grootte van e inrukking. Zie nu Gegeven is at voor e inrukking over een afstan van cm van een bepaale veer een kracht noig is van 0 [N]. Bereken oor integratie hoeveel arbei er verricht moet woren om e veer over nog eens een (etra) afstan van 0,0 in te rukken. (Voor alle uielijkhei, e totale inrukking is aarna cm.) Gegeven is e algemene vergelijking voor e benoige kracht als functie van e mate van inrukking van e veer. F ( u) k u Door e gegevens in te vullen voor e inrukking over e afstan van cm kan e veerconstante woren bepaal. F ( u) k u levert na algebraïsche herschikking [ N] N [ m] m F( u) 0 k 00 u 0,0 De hoeveelhei arbei, gemoei met het (iets) verer inrukken van e veer, bijvoorbeel over een afstan(je) u, beraagt an W F( u) u k u u WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 0.oc /

5 De volleige hoeveelhei arbei wort gevonen oor bovenstaane vergelijking te integreren tussen e begin- en eininrukking van e veer. Zo volgt: { 0,0 0,0 }, [ Nm] 0,0 0,0 0,0 u 00 W W k u u k 0,0 0,0 0,0 Vraag punten Van e meeste stoffen, zoals metalen, is e soortelijke warmte afhankelijk van e temperatuur. Zo is bijvoorbeel e soortelijke warmte [c] van roestvast staal: c( t) u + v t + w t J kg. K, met u 0, v 0, 6 en w 0, 0009 Bepaal nu oor miel van integreren ie hoeveelhei warmte, welke noig is om kilogram roestvast staal van 0 C omgevingstemperatuur op te warmten tot 0 C. Bepaal nu ook e gemiele soortelijke warmte van it staal over het beschouwe opwarmtraject. Om het voorwerp slechts een kleine temperatuurverhoging te geven, is slechts een geringe hoeveelhei warmte, Q, noig. Hiervoor gelt: Q m c t. Merk op at het hierbij van belang is te weten in welk temperatuurgebie eze kleine opwarming ient te woren gerealiseer. Dit omat voor elke waare van e temperatuur e waare van e soortelijke warmte verschillen is; eze is immers afhankelijk van e temperatuur. Er kan nu achtereenvolgens genoteer woren Q 0 ) 0 m c( t t { u + v t + w t } Q m t 0 0 Q m u t + 0 v w t + t 0 0,6 0,0009 0,6 0,0009 Q ,6 0,0009 Q 0 ( 0 0) + ( 0 0 ) + ( 0 0 ) 000 [ J ], [ MJ ] WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 0.oc /

6 De gemiele soortelijke warmte volgt uit e vergelijking Q m c gem t Na algebraïsche herschikking vinen we Q m t J 68, ( ) 0 0 kg. C 000 c gem 0 Vraag punten Bepaal e afgeleie van e volgene functies a. f ( ) b. f ( ) c. f ( ) cos sin. sin f ( ) cos a. Allereerst is het hanig over te gaan op een anere schrijfwijze. Zo gelt ook f ( ) De afgeleie kan eenvouig woren bepaal met e stanaarregel: Zo volgt Zo volgt n n f ( ) n f ( ) b. Allereerst is het hanig over te gaan op een anere schrijfwijze. Zo gelt ook f ( ) De afgeleie kan eenvouig woren bepaal met e stanaarregel n n n Zo volgt f ( ) 8 8 c. Voor e uitwerking van eze opracht wort gebruik gemaakt van e prouctregel en e kettingregel. ( cos sin ) ( cos ) ( sin ) f ( ) sin + cos WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 0.oc 6/

7 ( cos sin ) ( cos ) cos ( sin ) f ( ) sin + cos cos f ( ) cos sin sin + cos cos cos cos sin. Voor e uitwerking van eze vraag beenken we ons at e functie ook geschreven kan woren als sin f ( ) tan. Dit nu is een stanaarafgeleie, welke oplossing cos Voor e volleighei wort eze hieroner uiteraar volleig uitgewerkt. cos heeft. f ( ) sin cos sin cos sin cos cos cos + sin cos + tan cos Vraag 0 punten Gegeven is e functie f ( ) + Bereken e uiterste waaren van eze functie en onerzoek of het maima of minima zijn. Allereerst wort e afgeleie van e gegeven functie bepaal. Hieruit volgen an e plaatsen van e (lokale) etremen. ( + ) f ( ) + Deze afgeleie is te beschouwen als e richtingscoëfficiënt van e raaklijn in elk van e punten (,y) op e grafiek. Daar waar e richtingscoëfficiënt gelijk is aan nul (0), bereikt e functie een lokaal maimum of minimum. We stellen + 0 ( + ) 0waaruit volgt at moet gelen 0 of + 0, us in at geval gelt. WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 0.oc /

8 Resumé: - De functie snijt e y as in het punt ( 0, ) - Er is een etreem in ( 0, ) - Er is een etreem in (, ) De functie betreft een ere graasfunctie en waarvan e tweee afgeleie gelijk is aan f ( ) 6 + Daar waar eze tweee afgeleie gelijk is aan nul (0), bevint zich het buigpunt in e grafiek van e functie. Dit is e plaats waar e functie over gaat van conve naar concaaf. Voor it punt gelt: 6 + 0, waaruit volgt at., De functiewaare in it punt beraagt ( ) Beschouw nu ook onerstaane afbeeling waarop e grafiek van e functie is weergegeven. Hierop is uielijk zichtbaar at het punt (, ) een lokaal maimum en het punt (, ) 0 en lokaal minimum betreft. Voor e volleighei wort nog verwezen naar onerstaane afbeeling waarop naast het verloop van e functie nu ook het verloop van e eerste en tweee afgeleie van e functie zijn weergegeven. WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 0.oc 8/

9 Hierin is e roe lijn e grafiek van e functie, e groene lijn e grafiek van e eerste afgeleien en e gele lijn tenslotte e grafiek van e tweee afgeleie van e functie. Vraag 6. Bereken e oppervlakte van het gebie wat beschreven wort oor e functie en e lijnen en 0 punten f ( ), e - as Allereerst wort met hulp van e gegevens een schets van e situatie bepaal. Die is weergegeven op onerstaane afbeeling. Zo berekenen we ln ln,9 0,9 Vraag. Bereken e volgene limiet, + 6 lim + 0 punten Door e waare in e teller en e noemer in te vullen, ontstaat e term 0 0.We kunnen nu zowel gebruik maken van e methoe van het uitvoeren van een staarteling (we weten immers at beie termen, e teller en e noemer, eelbaar zijn oor e term ( - ), als e methoe van e a b c formule. In beie gevallen kan geschreven woren lim + 6 lim + 0 ( ) ( ) ( ) ( + 0) lim ( ) ( + 0) WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 0.oc 9/

10 Vraag 8 punten Bereken e volgene integralen a. sin cos b. 0, a. Voor e uitwerking van eze integraal gaan we over op een anere integratieconstante. Beschouw hiertoe apart: sin cos Hieruit blijkt at gelt sin cos Dit resultaat wort nu in e oorspronkelijke vorm ingevul sin sin cos sin cos + C sin sin sin cos b. Voor e uitwerking van eze integraal maken we gebruik van e stanaar rekenregel: n n + n+ + C 0 0, 0,+ 0 + C + C + 0, Vraag 9. Bereken e oppervlakte van het gebie wat beschreven wort oor e functie lijnen 0 en. 0 punten f ( ) cos, e Bij het bepalen van e oplossing van it soort vraagstukken verient het aanbeveling allereerst een (eenvouige) schets te maken van het te integreren oppervlak. Beschouw aartoe nu eerst onerstaane afbeeling. Hierop is te zien at het gevraage oppervlak voor e helft boven en voor e helft oner e as ligt. Zou nu e functie, zoner hierbij na te enken, geïntegreer woren tussen e gegeven grenswaaren, zal het antwoor nul (0) beragen. WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 0.oc 0/

11 Daarom wort bereken: cos + Oppervlak totaal cos, maar ook kan natuurlijk Oppervlak totaal 0 0 cos Wij zullen hier kiezen voor e laatste vorm. Oppervlak totaal cos 0 [ sin ] sin sin( 0) [ 0] 0 Vraag 0 punten. Bepaal e afgeleie van e functie f ( ) ln( ) Bij e uitwerking van ergelijke vraagstukken ient men best eerst e te ifferentiëren vorm, zo mogelijk, te vereenvouigen. Zo is f ( ) ln( ) ( ln( ) ) We maken gebruik van e kettingregel, welke zegt f ( ) ( ln( ) ) ( ln( ) ) ln( ) ln( ) ( ln( ) ) ln( ) WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 0.oc /