Verdieping Inverse goniofuncties

Transcriptie

1 8 Verieing Inverse goniofunties lazije 6 en g ( ) a f f ( ) 6 en g ( ) f en g a f sin en g ( ) en g ( ) e f f f ( ) f os ( ) a h g ( )( ) k f 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) a h f h h( ) h( ) ( ) ( ) ( ) f h f De grafieken van f en g zijn elkaars siegeleel in e lijn ( ) ( ) 6 k ( g( ) ) k k( ) 6 ( ) e g k g 6 6 f De grafieken van g en k zijn elkaars siegeleel in e lijn lazije 6 a f : 6 it geeft f : us f ( ) g : e it geeft g : e ln ln ln us g ln h : it geeft h : ( ) us h Noorhoff Uitgevers v Noorhoff Uitgevers v

2 k : ln it geeft k : ln ln Noorhoff Uitgevers v e e e us k ( ) e ( ) ( ) e l : ln e it geeft l : ln e e e f e e ln e ln e us l m : e e it geeft m : e e e ln ( ) us m ln ( ) ln ( ) e e ln e 6a Als je e araool siegelt in krijg je een grafiek waarij elke > twee -waaren heeft en an is het geen funtie De inverse funtie is an g ( ) Dit is een funtie omat ij elke reies één funtiewaare hoort De inverse funtie is an h ( ) Dit is een funtie omat ij elke reies één funtiewaare hoort lazije 6 7a olossingen olossingen Voor komt elke funtiewaare van tot en met reies één keer voor 8a 9a olossingen olossingen olossing [, ] of, [, ] of [, ] lazije 6 [ ] a arsin aros aros arsin( ) 6 e aros 6 f aros( ) 6 e f olossing olossing olossing, of, g aros( ) h aros( ) i artan j aros( ) k arsin( ) l artan( ) Verieing Inverse goniofunties Noorhoff Uitgevers v 9

3 6 Verieing Inverse goniofunties [ ] a omein, en f ( ) arsin omein [, ] en g ( ) aros omein, en h ( ) omein [, ] en f ( ) e omein [, ] en h ( sin ( ln f omein, en l tan e ( ) [ ] a f ( ) arsin, omein:, us D f,, B f, g( ) aros,, omein:,, us D g [, ], B g [, ] h( ) artan, omein: D h R, B h, k( ) arsin( ), omein:, us D k [, ], B k [, ] e l( ) aros( ), omein: f 9, us D l [ 9, ], m( ), omein: < of >, us D artan m,,, B m,, a f tan artan ( ) arsin ( sin ) o interval lazije 66 a os (links en rehts ifferentiëren) sin us sin Uit os sin en os volgt sin us sin aros sin tan (links en rehts ifferentiëren) a f, os us os os os os os sin sin tan os g h artan os tan ' ' ' k ' 6 ( ) sin sin os os B l [, ] Noorhoff Uitgevers v Noorhoff Uitgevers v

4 6a f ' Noorhoff Uitgevers v onstant f f ( ) aros aros, us f g( ) arsin aros g '( ) g( ) is onstant e 7a o interval [ ] g( ) arsin aros 6, us g( ) arsin aros De formule van oraht gelt o interval [, ] f h( ) artan artan met h '( ), us h( ) is onstant h artan artan h( ) artan( ) artan( ) us k o, en k o, lazije 67, 8 9, artan artan art an ( ) artan artan artan 8,,, arsin arsin, arsin a F '( ) arsin arsin,,9,6, O,,6,,,, De ranunten zijn, en,,9, an is ( ) arsin arsin ( ) ( ), Verieing Inverse goniofunties arsin f ( ) e lijn oor e ranunten ( ) arsin arsin G aros Noorhoff Uitgevers v 6

5 6 Verieing Inverse goniofunties,,9,6, O,,6,,,,9, aros aros aros ( ) ( aros ) ( ) a f arsin us f ' Noorhoff Uitgevers v Noorhoff Uitgevers v

6 Verieing Keler lazije 7 a De otentiële energie E GmM r 6, , 8, 9 J 6, 78, De astronaut gaat van hoogte r h naar hoogte r Dus het vershil in otentiële energie E E E GmM GmM GmM GmM r ( r h ) r,, r h GmM ( r h) GmM r GmM h ( r h) r ( r h) r ( r h) r Wanneer e astronaut o e maanoem lant gelt h en r maan, 78 6 m Daarvoor was e astronaut h m, m hoger Omat h, m << r, 78 6 m kun je e enaering ( r h) r r toeassen Het vershil in otentiële energie is us: E GmM h GmM h 6, ,, J 6 ( r h) r r (, 78 ) E E us: e k Noorhoff Uitgevers v 7 v v 87,, 6 v, 7 m/s De astronaut raakt e maanoem met een snelhei van, 7 m/s g 6, 67 7, 6 r (, 78 ) lazije 7,6 m/s a Volgens e wet van ehou van energie gelt E E mv m mv m ra e r a e v e r va e ra v v a e r e ra ( ve va ) r r e a 8 8 (, 6, ), 8 r e 6, 67, 99, 9 r e, 7 m, 8 Noem het moment waaro e afstan, m is moment q Volgens e wet van ehou van energie gelt E E Dit geeft mv m mv m ra q r a q v q va rq ra v v q a r r a q v q (, ) 6, 67, 99, 9 Dus v q, m/s e q a a 6, 67, 99, 6, 8 Noorhoff Uitgevers v 6

7 6 a F m a, N Dus er is een kraht van N noig a m/s De snelhei elke seone us met, meter er seone toe Na seonen heeft e auto us een snelhei van meter er seone De motorkraht lijft onstant Uit F m a volgt at a F / m Een keer zwaarere auto onervint us een keer kleinere versnelling Na seonen zal eze zwaarere auto us een snelhei van meter er seone heen Een n keer zwaarere auto onervint us een n keer kleinere versnelling Na seonen zal eze zwaarere auto us een snelhei van meter er seone n heen Voor gelt: m v, kg m/s Voor gelt: m v n n, kg m/s In eie situaties is het rout m v us onstant lazije 7 a De imuls m v, 9,, kg m/s Om het imulsmoment te erekenen moet je eerst r erekenen Aan e illustratie is te zien at sin( ) r r a Verieing Keler Hieruit volgt at r r sin( ) 8, sin( ), 8 m Dus L r,, 8, kg m /s Neem als unt ijvooreel het linker snijunt tussen e lange as en e ellis, zie e tekening hiernaast Er gelt an: F a en F a Dus F F ( a ) ( a ) a Omat F F onstant lijft als je unt over e ellis zou ewegen gelt us overal o e ellis F F a Zie e tekening hiernaast thagoras geeft: F en F Je weet at F F a In e hiernaast getekene situatie gelt at F en F even lang zijn, us F F a Hieruit volgt F a a F F a a F F Noorhoff Uitgevers v Noorhoff Uitgevers v

8 ( ) F F F F osα Noorhoff Uitgevers v ( ) F F F F osα osα F F F F Aan e tekening in het oek kun je zien at α φ Sustitueer it in ovenstaane formule, je krijgt an: F F os( φ) F F F F Dit kun je hershrijven tot os( φ ) F F Uit sustitutie van e gegeven formule os sin volgt: F F sin φ F F F sin F F F F F φ F F F F F F F F F F F F ( ) F F F F In oraht a is ewezen at F F a Als je it sustitueert in e teller van e formule ie je ij oraht het afgelei krijg je: ( F F ) ( a) sin φ a a a ( ) ( ) F F F F F F F F F F Je kunt F F a hershrijven tot F a F Vul it in in e noemer van ovenstaane reuk Dit geeft: sin φ ( a ) F F ( a ) a ( F ( a F ) ) a F F e In oraht is ewezen at a Als je it in e ij oraht erekene formule sustitueert krijg je: f ( a ) sin φ a F F a F F a F F Sustitueer in e uitrukking van oraht e q a en Dit geeft sin φ sin φ q F F F q F Verieing Keler Noorhoff Uitgevers v 6

9 66 lazije 7 6a Het imulsmoment L r De imuls m v en r r sin φ Dit geeft: L r m v r sin φ De totale energie van e laneet is e onstante E Uit e wet van ehou van energie volgt an at E mv m r E mv m r E v E E v r m m r E v m r Het totale imulsmoment van e laneet L m v r sin φ L e Verieing Keler E Sustitueer in eze formule v, je krijgt an: m r E E m r sin φ L m r sin φ m r m r L us mr m r sin φ sin φ sin φ E L Emr m r L Emr m r mr m r E L L L Door e wetten van ehou van energie en ehou van imulsmoment zijn E en L twee onstanten De massa van e zon M en van een laneet m zijn ook onstant en e gravitatieonstante G is een natuuronstante Het rout van onstanten is nog stees onstant, us als je efinieert EL m en q L m an zijn en q onstanten en kun je e vergelijking ie je ij oraht het afgelei shrijven als: sin φ r qr In oraht he je aangetoon at voor een willekeurig unt o e ellis gelt: sin φ met φ e hoek tussen F en e raaklijn aan e ellis in F q F unt, F e afstan van unt naar het ranunt F en en q twee onstanten In oraht 6a- he je aangetoon at voor een laneet o willekeurig unt van haar aan om e zon gelt: sin φ met φ e hoek tussen veriningslijn r qr r en e snelheisvetor (e raaklijn aan e aan in unt ), r e afstan van unt naar e zon en en q twee onstanten Dus e vergelijking ie e aan van een laneet om e zon eshrijft is gelijk aan e vergelijking ie e ositie van een unt o een ellis eshrijft Hieruit volgt at een laneet in een ellisvormige aan om e zon eweegt, met e zon in één van e ranunten van e ellis Dit is e eerste wet van Keler! Noorhoff Uitgevers v Noorhoff Uitgevers v

10 7a A is een riehoek Voor e oervlakte van een riehoek gelt: oervlak asis hoogte Neem ' als asis, e ijehorene hoogte is an r Dus A Noorhoff Uitgevers v r ' is e ositie van e laneet en ' is e ositie een tijsinterval t later Dus ' is e oor e laneet afgelege afstan in tijsinterval t Dus e snelhei van e laneet v ' t t De oervlakte A ie er tijseenhei t wort eshreven wort gegeven oor A t In oraht a he je aangetoon at A r ' Uit oraht weet je at v ' t Voorgaane samen nemen geeft A r r ' ' r v t t t Het imulsmoment L r m v r r v L m Sustitutie in e vergelijking ie je voor A het afgelei geeft: A r v L t t m Het imulsmoment van laneten is onstant, us L L De oor e voerstraal eshreven oervlakte A er tijseenhei t is us A L L en it is onstant Dus A t m m t is onstant; it is e tweee wet van Keler! Verieing Keler Noorhoff Uitgevers v 67