Eigenschappen van continue en afleidbare functies

Transcriptie

1 Eigenshappen van ontinue en afleidbare funties Mihel Rolle april 65 - Ambert 8 november 79 - Parijs Augustin Louis Cauhy augustus Parijs mei Seau Joseph-Louis Lagrange 5 januari 76 Turijn 0 april 8 - Parijs Marquis Guillaume François Antoine (onbekend) 66 Parijs februari Parijs

2 ) De middelwaardestellingen a) Stijgen en dalen van een funtie Een funtie f is stijgend in [ ab, ] dom f, [ ab, ]: f ( ) f ( ) Een funtie f is dalend in [ ab, ] dom f, [ ab, ]: < f ( ) > f ( ). < <. Deze (reeds gekende) definities kan je ook hershrijven met behulp van het differentiequotiënt: Een funtie f is stijgend in [ ab] dom f [ ab] f f,,, : > 0 Een funtie f is dalend in [ ab] dom f [ ab] f f,,, : < 0, met., met. Stelling: Als f afleidbaar is in [ ab, ], dan geldt: f is stijgend in [ ab] [ ab] f ( ) Bewijs: Kies, [ ab, ], met 0 f ( ) f ( ) f ( + ) f ( ) f ( + ) f ( ),, : ' 0. =, dan geldt omdat f stijgend is wegens hierboven: 0 > 0 > 0 lim 0 f' 0. Volledig analoog kan je uiteraard ook de volgende stelling bewijzen: Stelling: Als f afleidbaar is in [ ab, ], dan geldt: f is dalend in [ ab] [ ab] f ( ) b) De stelling van Rolle,, : ' 0. Stelling: f is ontinu in [ ab, ], afleidbaar in ] ab, [, en f ( a) = f ( b) ] ab[ f ( ), : ' = 0. Bewijs: De stelling van Weierstrass zegt: een funtie f die ontinu is in [ ab, ] bereikt in [, ] supremum M en een infimum m. Geval : m= M = f ( a) = f ( b) Dit is enkel mogelijk als f onstant is in [ ab, ], zodat ] ab, [: f' ( ) 0 Geval : M > f ( a) = f ( b) =. We bewijzen dat de stelling klopt voor alle waarden ] ab, [ > f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ] b[ f ( ) f ( ) M f ( ) f ( ) ab een waar f het supremum M bereikt., : = 0 0 lim 0 f ( ) f ( ) < f f ] a, [: f ( ) f ( ) = M f ( ) f ( ) 0 0 lim 0 Deze twee limieten zijn de rehter- en linkerafgeleide in, en moeten dus gelijk zijn (omdat f afleidbaar is in ] ab, [. Dus geldt: f ( ) Geval : m< f ( a) = f ( b) f f ' = lim = 0. Merk eerst en vooral op dat gevallen en elkaar niet uitsluiten. Het bewijs van geval verloopt volledig analoog aan geval (met voor de waarde waar f het infimum bereikt). > < Cursus differentiaalrekening - - S. Mettepenningen

3 ) De middelwaardestelling van Lagrange Stelling: f is ontinu in [ ab, ], afleidbaar in ] ab, [ ] ab, [: f' ( ) Bewijs: We passen de stelling van Rolle toe op g( ) f ( ) = f b f a b a ( a ) f ( a ) f b f a = b a (g is het vershil van f en de rehte door de punten A a, f ( a ) en, B b f b ). De drie voorwaarden zijn voldaan, want: g is net als f ontinu in [ ab, ], g is net als f ook afleidbaar in ] ab, [ en g( a) = g( b) = 0. f ( b) f ( a) f ( b) f ( a) Dus ] ab, [: g' ( ) = 0 f' ( ) = 0 f' ( ) =. b a Deze stelling is heel eenvoudig meetkundig te interpreteren: Tussen a en b moet er minstens één bestaan zodat de raaklijn in punt (, ) evenwijdig is aan de koorde [ AB ]. C f aan de grafiek van de funtie In het voorbeeld hiernaast zijn er zo twee -waarden. b a.. ) Het verloop van funties a) Het teken van de eerste afgeleide Stelling: Is f ontinu in [ ab, ] en afleidbaar in ] ab, [, met ] ab[ f ( ) stijgend in [ ab, ]., : ' > 0, dan is f Bewijs: Neem, [ ab, ], met <, dan is f ontinu in [, ] en afleidbaar in ], [ f ( ) f ( ) De middelwaardestelling van Lagrange zegt dan dat: ], [: = f' ( ) > 0 Stelling: Is f ontinu in [ ab, ] en afleidbaar in ] ab, [, met ] ab[ f ( ) in [ ab, ]. Bewijs: Analoog aan de voorgaande stelling. Stelling: Is f ontinu in [ ab, ] en afleidbaar in ], [ ] ab, [: f' ( ) = 0 f is onstant in [, ] ab, dan geldt: ab.., : ' < 0, dan is f dalend Bewijs: : de afgeleide van een onstante funtie is 0, dat hebben we reeds bewezen. : Neem, [ ab, ], met <, dan is f ontinu in [, ] en afleidbaar in ], [ f ( ) f ( ) Lagrange zegt dan dat: ], [: = f' ( ) = 0 f ( ) f ( ) = 0 geldt inderdaad dat f ( ) = f ( ), of anders gezegd dat f dus onstant is in [, ] ab.., en dus Cursus differentiaalrekening - - S. Mettepenningen

4 b) Etrema van een funtie We herhalen eerst de definities van etrema van een funtie (we kunnen nu gebruik maken van basisomgevingen). De funtie f bereikt een relatief minimum in De funtie f bereikt een relatief maimum in { } B dom f : B \ : f > f. B dom f : B \ : f < f. De funtie f bereikt een globaal minimum in dom f: f f. { } De funtie f bereikt een globaal maimum in dom f: f f. Voorbeeld: De funtie f waarvan je de grafiek getekend ziet bereikt een globaal maimum in a, een relatief minimum in b, een relatief maimum in en een globaal minimum in d. Stelling: Is f afleidbaar in en bereikt f een relatief minimum in, dan is f' ( ) = 0. Bewijs: f bereikt een relatief minimum in, dus B dom f : B \{ } : f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) >. f f B\ { } : < < 0 lim 0 < f' ( ) = 0. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) B\ { } : > > 0 lim 0 < De twee limieten zijn niets anders dan de linker- en rehterafgeleide in, maar omdat f afleidbaar is in moeten deze gelijk zijn en dat kan enkel als de afgeleide nul is. Stelling: Is f afleidbaar in en bereikt f een relatief maimum in, dan is f' ( ) = 0. Bewijs: Analoog aan de voorgaande stelling. Deze stelling noemen we een nodige voorwaarde waarbij f een etremum bereikt, maar het is geen voldoende voorwaarde. Zo geldt bijvoorbeeld bij f ( ) sin = dat f ' 0 = 0 terwijl die funtie in 0 geen etremum bereikt. Cursus differentiaalrekening - - S. Mettepenningen

5 De voldoende voorwaarde waaronder f een relatief etremum bereikt wordt gegeven door de volgende stellingen. Stelling: Is f ontinu in en bestaat er een B zodat f afleidbaar is in \{ } < f' < 0 B:, dan bereikt f een relatief minimum in. > f' > 0 Bewijs: Neem B, met <, dan is f ontinu in [ ] en afleidbaar in ] [ De middelwaardestelling van Lagrange zegt dan dat: C ] [ maar omdat 0, B zodat bovendien., f f = f C <, : ' 0 >, moet dus f ( ) f ( ) < 0, waaruit volgt dat f ( ) f ( ) Analoog bewijs je dat ook f ( ) f ( ) B geldt dus B \{ } : f ( ) f ( ) In > als B, met >. >, wat we moesten bewijzen. Stelling: Is f ontinu in en bestaat er een >. B zodat f afleidbaar is in \{ } < f' > 0 B:, dan bereikt f een relatief maimum in. > f' < 0 Bewijs: analoog aan de vorige stelling. B zodat bovendien Merk op dat f' ( ) niet noodzakelijk nul moet zijn bij een etremum. Het is alleen noodzakelijk dat f ontinu is in en dat er zih een tekenwissel voordoet bij de afgeleide f ' in. Dit kan bijvoorbeeld het geval zijn bij knikpunten en is altijd het geval bij keerpunten. In het geval dat de funtie tweemaal afleidbaar is in een etremum, dan kan ook de methode van Leibniz soelaas bieden: Stelling: Is f tweemaal afleidbaar in, met f' ( ) = 0, en is f " ontinu in een basisomgeving B, met B f ( ) : " > 0, dan bereikt f een relatief minimum in. Bewijs: Wegens de vorige stelling volgt uit de gegevens dat f ' stijgend is in B. En omdat bovendien f' ( ) = 0 zal dus f ' ook een tekenwissel hebben in, zodat zowel de nodige als de voldoende voorwaarde voor een relatief minimum voldaan zijn. Stelling: Is f tweemaal afleidbaar in, met f' ( ) = 0, en is f " ontinu in een basisomgeving B, met B f ( ) : " < 0, dan bereikt f een relatief maimum in. Bewijs: Analoog aan de vorige stelling., Toepassing: etremumproblemen Bij heel wat realistishe problemen uit de eate wetenshappen en eonomishe wetenshappen wordt er gevraagd om iets te maimaliseren (inhoud, temperatuur, winst,...). Gaat het hierbij om Cursus differentiaalrekening S. Mettepenningen

6 afleidbare funties dan kunnen we de vorige stellingen gebruiken. We illustreren dit met enkele voorbeelden: Voorbeeld (wiskunde): Hoeveel bedraagt de kortste afstand van het punt P (,) tot de parabool Neem een variabel punt (, ) p y 4 =. 4 d f Q p, dan geldt voor de afstand d : = = + = De afgeleide van deze funtie is f' = 4 4, met als enige nulwaarde =. + De afstand d is dus minimaal in het punt (, ) en hij f'( ) f ( ) D MIN () C bedraagt dan d = (want (Je kan ook de afstand d = ). 4 d = ipv d als formule gebruiken, maar die afleiden is iets lastiger. ) Voorbeeld (fysia): Een symmetrishe dakgoot wordt gevormd door een ijzeren plaat van 4 dm breed te plooien in vier gelijke stukken zoals op de figuur hiernaast. De goot is vanboven open en heeft twee evenwijdige wanden. Hoe groot moet de hellingshoek α genomen worden opdat de inhoud van de goot maimaal zou zijn. Met de onventies op de figuur geldt dat + y = y=. y = + = + =. De dwarsoppervlakte van de goot wordt dan gegeven door S f ( ) Afleiden geeft: + + f' = + + = = 4 f' = 0 + = 0 4 = 4 = 0 = Het tekenverloop in het praktishe domein ] 0,[ wordt dan gegeven door: De oppervlakte bereikt dus haar maimum als f'( ) S A MAX B ) De betekenis van de tweede afgeleide = 4 4. > 0 4 Dan geldt: osα = 44 α 8'5" De eerste afgeleide wordt gebruikt om te bepalen waar een funtie stijgend of dalend is. De tweede afgeleide verstrekt ons informatie in verband met de onveiteit of de kromming van een funtie. Als voor een (tweemaal) afleidbare funtie f in een interval [, ] 4 ab geldt dat f" > 0, dan noemen we de grafiek van de funtie hol (of onaaf) in dat interval. Is f" ( ) < 0 dan noemen we de funtie bol (of onve) in dat interval.. Cursus differentiaalrekening S. Mettepenningen

7 Uit het vorige hoofdstukje volgt dat een funtie hol is in een interval als de eerste afgeleide er stijgend is, en bol als de eerste afgeleide er dalend is. Een punt waar de kromming van de grafiek van een funtie verandert, noemen we een buigpunt van een funtie. Is de funtie tweemaal afleidbaar in een buigpunt dan zal de tweede afgeleide in dat punt een tekenwissel ondergaan. f = Voorbeeld : We bespreken het verloop van De afgeleiden zijn en f' = + 9 (met nulwaarden en ) f" = 6 (met nulwaarde ). Als < is de funtie dus bol (blauw getekend), als > is de funtie hol (groen getekend). Het punt B (,) is een buigpunt. We kunnen de tekenverlopen van de eerste en tweede afgeleide samenbrengen in wat we noemen een samenvattende tabel. Daaruit kunnen we dan heel eenvoudig het verloop van de funtie aflezen. + f'( ) f"( ) f ( ) A MAX (4) B BP () D MIN (0) C De buigraaklijn is de raaklijn in het buigpunt. Hier geldt ' d) Enkele volledige verlopen Volledig verloop van een rationale funtie Voorbeeld: we bespreken het volledige verloop van de funtie f ( ) ) Domein: dom f =R (want de noemer heeft geen nulpunten) ) Continuïteit: f is overal ontinu ) Snijpunten met de assen en tekenverloop: f snijdt de y-as in f snijdt de -as in B(,0) en 4 C,0 4 + f ( ) f =, dus is t y= + 8. = b A 0, 8 (want ( 0) f = ) 8 (want 4 f = = = = ) 4) Symmetrie: f is niet even, noh oneven (want f ( ) f ( ) en f ( ) f ( ) 5) Asymptoten: f heeft een horizontale asymptoot h y Er zijn geen andere asymptoten ) = (want f ( ) lim = ) ± Cursus differentiaalrekening S. Mettepenningen

8 6) Eerste afgeleide: f ( ) ( + 8+ )( 6 ) ( + 8)( 4) + 8 ( + 8+ ) ( + 8+ ) ' = = 5 f' = 0 + 8= 0 = 0 = f'( ) f ( ) MAX MIN 7) Tweede afgeleide: f ( ) " = 5 f" = f = 8 f 0 = 8 Voor het maimum geldt: ( 8) Voor het minimum geldt: ( + 8)( + 8+ ) ( 8) ( 8 ) ( + 8+ ) 4 ( + 4)( 8+ ) ( + 8+ ) ( + 8) f" = 0 + 4= 0 8+ = 0 = 4 = 4 4 = f''( ) f ( ) BP BP BP Voor de buigpunten geldt: 8) Samenvattende tabel: 5 f 4 4 = +, ( 4) 6 5 f 4+ 4 = 6 f = en f'( ) f''( ) f ( ) 9) Beeld: bld f 0) Grafiek: C = BP 5 ( 6 49, ) A MAX ( 49 8 ) B BP () D (dit volgt onmiddellijk uit de tabel) MIN ) C ( 8 ( BP 5 6 ) A Cursus differentiaalrekening S. Mettepenningen

9 Volledig verloop van een irrationale funtie f = Voorbeeld: we bespreken het volledige verloop van de funtie ) Domein: domf =R ) Continuïteit: f is overal ontinu ) Snijpunten met de assen en tekenverloop: f snijdt de y-as in ( 0, ) f snijdt de -as in B(,0) en (,0) C ( + f ( ) f 0 = ) A ( Horner f = 0 = 0 = = ) 4) Symmetrie: f is niet even, noh oneven (want f ( ) f ( ) en f ( ) f ( ) ) 5) Asymptoten: f heeft een shuine asymptoot s y =, want de formules van Cauhy geven: f m= lim = lim = lim ± ± ± ( ) ( ) ( ) + + q= lim ± + + q= lim = 0 want = = ± + + 6) Eerste afgeleide: f' ( ) = = = ( ) ( ) ( gr( T) engr( N) ) f' = 0 = = ( = moeten we shrappen want dan is ook de noemer nul) + Voor het maimum geldt: f'( ) f ( ) MAX MIN ( )( ) f = 0 Voor het minimum geldt: f ( ) = 4 ( ) + + < lim f' ( ) = lim = lim = lim 4 ( ) ց > ( ) ( + ) ( ) ( ) lim f' = lim = lim =+ In (,0) heeft de grafiek van f dus een keerpunt, en in (,0 ) is er een vertiale raaklijn. lim f' ր lim f' =+ = Cursus differentiaalrekening S. Mettepenningen

10 7) Tweede afgeleide: f" = f" ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) = = = f" = 0 + = 0 = ( = moeten we shrappen want dan is ook de noemer nul) + Voor het buigpunt geldt: f''( ) f ( ) MAX BP 8) Samenvattende tabel: + f'( ) f''( ) f = 0 f ( ) C MAX (0) D MIN ) C ( 4 BP (0) A 9) Beeld: bld f =R (dit volgt onmiddellijk uit de tabel) 0) Grafiek: naast tabel. Cursus differentiaalrekening S. Mettepenningen