Dan mag de afgeleide functie geen (enkelvoudige) nulpunten hebben. Hier is ( ) ( ) = 8+ a. De rico van r is m x

Transcriptie

1 Gegeven is de functie f a a) Voor welke a R heeft f geen etrema? + +, met parameter a R Dan mag de afgeleide functie geen (enkelvoudige) nulpunten hebben Hier is Er zijn dus geen etrema als en slechts als: a 0 a a + b) Voor welke a R staat de raaklijn in loodrecht op de rechte met vergelijking r + y 0? De rico van de raaklijn in is mt 8+ a De rico van r is m r 8+ a t r mt mr a Een draad van m wordt in twee stukken geknipt Met het ene stuk maak je een vierkant en met het andere stuk een gelijkzijdige driehoek Waar moet je de draad doorknippen opdat de som van de oppervlaktes van vierkant en driehoek minimaal zou zijn? Stel dat je doorknipt op m, en met lengte een gelijkzijdige driehoek maakt (met omtrek ) en met lengte een vierkant (met omtrek ) De zijde van de driehoek is en van het vierkant Pythagoras geeft je de hoogte van de driehoek h, zodat S 6 6 en uiteraard S Dan is ' 9+ 9 S S + S + S S' ( ) 0 ( 9+ ) 9 0 0, S'( ) S( ) ց MIN ր Opdat de som van de oppervlakten minimaal zou zijn moet er dus worden doorgeknipt op ongeveer 6, cm en moet met het kleinste stuk het vierkant gevormd worden f + haar minimum bereikt het dubbele + a is van de -waarde waarvoor ze haar maimum bereikt Bepaal a R, als de -waarde waarvoor de functie + a+ a ( + a) ( + a) a De nulpunten hiervan zijn a en a+ a a+ + De functie f bereikt dus een lokaal ( ) f ( ) MAX MIN Het gestelde geldt dus als a+ ( a ) a (het minimum is maimum als a en een lokaal minimum als a+, en het maimum, )

2 Bepaal, 0 ab R zodat de grafiek van f ( ) a ( + b) en f" ( ) a + b Opdat f een buigpunt heeft als f a + b het punt P(,) als buigpunt heeft + a ( + b) b a ( + b) ( + b) moet a a a 8 + b In dat geval geldt: f ( ), ( ) een tekenwissel heeft in b f" 0 a 0 a 0 b ( ) zodat in dit geval (,) en f ( ) ( + b) " 6 een buigpunt is Bepaal in dat geval ook de vergelijking van de buigraaklijn in P Dan is ( ), zodat t y ( ) Gegeven is de functie f ( ) a) Bepaal het domein van deze functie + + b ( + ) + + of eenvoudiger t y dom f dom f R \ 0 b) Bepaal de nulpunten van deze functie Eén nulpunt is alvast duidelijk: ( 0,0 ) Voor het andere nulpunt lossen we de vergelijking op: ( ) {} ( KV ) 0 : Het tweede nulpunt heeft dus als coördinaat (,0) c) De grafiek van deze functie heeft drie verschillende asymptoten Bepaal hun vergelijking VA: v is een verticale asymptoot (pool van de functie) HA: h y is een horizontale asymptoot, want: b ( )( + ), zodat f " wel degelijk

3 SA: s y + is een schuine asymptoot, want: m, en + ( ) q + + ( ) ( ) ( ) ( ( )) 6 Gegeven is de functie f + + a) Deze functie heeft twee verschillende horizontale asymptoten Bepaal hun vergelijking + + ± ± ± + ± + Dus als + is de asymptoot h y, en voor is de asymptoot h y b) Bepaal het verloop van deze functie (stijgen en dalen) met behulp van de eerste afgeleide + ( + ) + ( + ) ( + ) Deze functie heeft duidelijk slechts één nulpunt ( ) en geen polen Het tekenverloop gaat dus: + ( ) f ( ) ր MAX ( ) ց c) Bewijs dat deze functie twee verschillende buigpunten heeft Je hoeft ze niet te berekenen ' ( + ) ( ) ( ) ( ) Deze functie heeft duidelijk twee verschillende nulpunten, want de discriminant van de teller is Er zijn dus inderdaad twee verschillende buigpunten (bij 6± )

4 a 7 Gegeven zijn de functies fa:, met parameter a R + a) Bepaal het domein van deze functies a a dom f a 0 dom f, + b) Bepaal voor welke waarde van de parameter a de grafiek een etremum bereikt voor ' a f a ( ) 6+ a+ a( ) 0 0 a + a Dan is ( ) ( ) + a + a 6 + a+ + + a + a Wat is de ordinaat van dit etremum? f ( ) + 8 Gegeven is grafiek van de functie, zodat f ' voor wel degelijk een tekenwissel heeft f, en haar schuine asymptoot s y a) Bewijs dat ' ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) b) Bespreek in een tabel het volledige verloop (stijgen/dalen, hol/bol) van de functie f 0 + ( ) '( ) f ( ) ( ) + A BP (-) C BP (0) A de grafiek van f heeft als verticale raaklijn in (,0 )

5 9 Een drenkeling (D) bevindt zich op 60 meter van de kust (k) Op 0 meter van het punt K (het punt op de kustlijn dichtst bij D) langs de kustlijn staat een redder (R) De redder kan tegen,6 m/s lopen over het strand en tegen m/s naar de drenkeling toe zwemmen Bepaal algebraïsch het ideale punt waarop de redder moet beginnen zwemmen (dus zodat de tijd die hij nodig heeft om de drenkeling te bereiken minimaal is) Stel je KP dan leid je eenvoudig af dat PR 0 en DP (Pythagoras) De tijd waarin de redder de drenkeling bereikt is dus: t( ) Afleiden geeft: ' t + 600, s + ( t ),6 v > t' ( ) 0, , , + 600,6,76 dus 60, + t'( ) t( ) ց MIN (,08 ) ր Antwoord: De redder zal het snelst bij de drenkeling zijn als hij m loopt (Hij zwemt dan 6m en doet er in totaal iets meer dan seconden over)