Noordhoff Uitgevers bv

Transcriptie

1 90 6 Differentiëren bladzijde a f ( ) b p ( q) q + 0q dk p, dp a gt () tt ( t ) t 6t, g () t 6t t b k ( u )( u + ) u + u u u, d k u 6 a f( ), f ( ) b g ( ) +, g ( ) h ( ) ( ), h ( ) a A t + t ( ) t + t, d A 7 t t 7 t dt t b P 7Q + Q, dp d 6Q + 9Q 6 + 9Q Q Q R u ( u u ) u u, d R u u bladzijde 9 a u en y u 6, d u en d y 6u d f ( ) 6u 6( ) ( ) b u t en y u 7,, d t en d y 7u 7,,, 7, 7, 7, h () t, 7u, u, ( t), u q + q en y u, d u, q + en d y u, dq P ( q) ( q, + ) u ( q, + )( q, + q) d u en y u, d u en d y u d g ( ) ( ) u 6a f( ) 0 oplossen of 0 s 99, of 99, De snijpunten met de -as zijn (,99; 0) en (,99; 0) b BC p + 0, u Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel

2 f ( p ) l b ( p + ) p p + 6p opp 0 d f ( p ) l + b ( p + ) + p p p omtrek 0 e Rehthoek met grootste oppervlakte: f ( p ) 0 oplossen opp f ( p ) p + 6 opp p p p 6 6 p 6 of p 6 In deze situatie geldt p 6 Rehthoek met grootste omtrek: f ( p ) 0 oplossen omtrek f ( p ) p + omtrek 0 p + 0 p 0 0 p 0 p, 7 Conlusie: de p-waarden zijn vershillend, s de rehthoek met de grootste oppervlakte valt niet samen met de rehthoek met de grootste omtrek 7a Manier : f( ) ( + )( + ) , f ( ) 6 Manier : u + en y u, d u d en d y u, f ( ) u u( + ) 6 Conlusie: beide manieren leiden tot dezelfde uitkomst b Manier : g ( ) ( + )( + )( + ) ( )( + ) ( + + )( + ) g ( ) + 6+ Manier : u + en y u, d u d en d y u g ( ) u ( + ) ( + + 6) + 6+ Conlusie: beide manieren leiden tot dezelfde uitkomst Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel 9

3 9 a At () 00t, A t t () 0 0 t A A t b A () t > 700 oplossen A () t 700 oplossen met behulp van de rekenmahine: Y 0 ( X) en Y 700 plotten met window Xmin 0, Xma 60, Ymin 0 en Yma 000 De opties Cal en Interset leveren dan het tijdstip: t 6 Dus na 6 weken is de snelheid waarmee geloosd wordt groter dan de snelheid waarmee het afval wordt afgebroken 6 De tweede afgeleide bladzijde 0 9a f ( ) + 0 b De grafiek van f daalt als f ( ) < 0 f ( ) 0 oplossen levert: d ( + 0) of + 0 0, waaruit volgt 0 en s f ( ) < 0 als < < 0, s f daalt als < < 0 Als je de grafiek van f bekijkt, zie je dat er in het begin sprake is van toenemende daling, daarna is er sprake van afnemende daling f 6 6 O f Als f ( ) een minimum heeft is f ( ) 0 f ( ) en als en s Dus f ( ) heeft een minimum voor 6 e Als f ( ) een minimum heeft, betekent dit dat de helling van f voor die waarde van het kleinst is f Je kunt de uiterste waarde van f ( ) berekenen door eerst f ( ) 0 op te lossen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel

4 bladzijde 0a De grafiek van f is dalend als f ( ) < 0 f ( ) 6 en vervolgens f ( ) 0 oplossen levert: ( 6)( + ) of + 0 en s 6 of f ( ) < 0 op het interval, 6, s de grafiek van f is dalend op het interval, 6 b De grafiek van f is afnemend dalend als f ( ) < 0 en f ( ) > 0 f ( ) < 0 op het interval, 6 f ( ) 6 en 6 0 als 6 en s als f ( ) > 0 op het interval, De grafiek van f is s afnemend dalend op het interval 6, a g ( ) 6 + ( + )( + ) ( + )( ) b g ( ) 0 oplossen ( + )( ) 0, s + 0 of ( ) 0, waaruit volgt of 0 en s of Voor de uiterste waarden geldt g ( ) 0 Met opdraht b volgen de toppen (, ) en (, ) 6 d g ( ) e g ( ) 0 oplossen f 0 ( ) 0 0 of 0 en s 0 of (0, 0) en (, ) noem je buigpunten a h ( ) + en h ( ) 6+ b Als h een uiterste waarde heeft is h ( ) ( + ) 0 ( 9 + ) 0 0 of of D ( 9) De disriminant is kleiner dan nul, s dat deel van de vergelijking levert geen oplossing De uiterste waarde is h( 0) 0 Als h een buigpunt heeft is h ( ) ( )( ) 0 0 of 0 en s of De buigpunten zijn s (, 9 ) en (, ) d Buigpunt : y a+ b met a h ( ) 6 Invullen van de oördinaten van het buigpunt geeft b en s b 9 Samen geeft dit y 6 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel 9

5 9 Buigpunt : y a+ b met a h ( ) Invullen van de oördinaten van het buigpunt geeft + b en s b 0 Samen geeft dit y a Onjuist, want f ( ) 0 voor Onjuist, zie Juist, f ( ) heeft een minimum voor, dat wil zeggen f ( ) 0 voor en s heeft de grafiek van f een buigpunt bij b Voor heeft f( ) een maimum, want f ( ) verandert daar van positief naar negatief, dat wil zeggen de grafiek van f gaat van stijgend naar dalend Voor heeft f( ) een minimum, want f ( ) verandert daar van negatief naar positief, dat wil zeggen de grafiek van f gaat van dalend naar stijgend Je moet een funtievoorshrift vinden dat na differentiëren f ( ) oplevert Dus f( ) De onstante kun je toevoegen, omdat het differentiëren van een onstante nul oplevert d f( ) + 6+ f () s , hieruit volgt +, s 7 en is f( ) De protregel bladzijde a p ( ) + q ( ) ( + ) en s + q ( ) ( ) + b Voer in je rekenmahine in: Y ( X^ + X) ( X + ) Daarna bereken je met de opties al en dy/d de waarde van g ( 6 ) Er geldt g ( 6) 7, p ( 6) q ( 6) 6 Deze antwoorden zijn niet gelijk aan elkaar a p ( + ) ( p ) ( + ) p p b p ( + ) ( p ) ( + ) p p q ( +) ( q ) ( + ) ( + ) q q d ( p+ q) ( ) (( p+ q)) ( ) ( + + ) ( p+ q) ( p + q ) 6a ( p+ q) ( p+ q)( p+ q) p + pq+ qp+ q p + pq+ q b Linkerterm: (( p+ q)) ( p+ q) ( p + q ) Rehterterm: ( p + pq+ q ) ( p ) + ( pq) + ( q ) p p + ( pq) + q q Gelijkstellen levert ( p+ q) ( p + q ) p p + ( pq) + q q Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel

6 ( p+ q) ( p + q ) p p + ( pq) + q q ( p+ q) ( p + q ) p p + ( pq) + q q p p + p q + q p + q q p p + ( pq) + q q p q + q p ( pq) ( pq) p q + q p bladzijde 7a f ( ) ( 7) + ( + ) b g ( ) 6 ( 6) h ( ) ( ) ( ) ( ) ; h ( ) d j ( ) ( + )( + ) ; j ( ) ( ) ( ) ( ) a f ( ) ( ) + ( + 6) b f( ) ( + 6)( ) + 6 en s f ( ) + + Beide uitkomsten zijn gelijk 9a d Manier : g ( ) ( )( + ) en s b g ( ) ( + ) + ( ) Manier : g ( ) ( )( + ) ( + en s + g ( ) Beide uitkomsten zijn gelijk Met de protregel: f ( ) ( )( ) + ( ) Met haakjes wegwerken: f( ) ( )( ) en s f ( ) Met de protregel: dk ( q q ) + ( q)( q ) qq q q + + q q + q 6q + 7 dq Met haakjes wegwerken: K ( q)( q q ) qq q + q+ q q + q q + 7q en s dk q + q 6q + 7 dq Met de protregel: g ( ) + ( ) ( ) Haakjes wegwerken kan bij deze opdraht niet Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel 9

7 96 0a f ( ) ( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) + + b f ( 6) 6 + 7,, dit klopt met opdraht b a f ( ) ( 6) + ( 6) ( 6) + ( 6) ( 6) ( 6+ ) ( 6) ( 6 6) b f ( ) 0 oplossen ( 6) ( 6 6) 0, s ( 6) 0 of 6 6 0, waaruit volgt 6 0 of 6 6 en s 6 of Dit levert de punten (6, 0) en (, ), s f () is minimum van f( ) f ( ) ( 6) ( 6 6) + ( 6) 6 ( 6) ( 6 6) + 6( 6) ( 6) ( ( 6 6) + 6( 6)) ( 6) ( + 66) ( 6)( 0 60) d f ( ) 0 oplossen ( 6) ( 0 60) 0, s ( 6) 0 of , waaruit volgt 6 0 of 0 60 en s 6 of Dit geeft de buigpunten (6, 0) en (, 0) e f O f Het minimum van de grafiek van f is (, ) Als je de grafiek omhoog shuift, raakt de grafiek de -as, s a En voor a 0 is er ook sprake van raken! a f ( ) ( a) ( + a) + ( a) ( a)( + a) + ( a) a ( a)( ( + a) + ( a)) ( a)( + a+ a) ( a) ( + a) b f ( ) 0 oplossen a ( a)( + a) 0, s a 0 of + a 0, waaruit volgt a of a en s a f ( a ) ( a a ) ( a + a ) 0 geeft de top (a, 0) a f ( a ) ( a a ) ( a + a ) ( a ) a 6 a a a geeft top a 9 7 ( a, a ) 7 f ( ) ( a)( + a) aa a f ( ) 6a a d f ( ) 0 oplossen, dat wil zeggen 6 a 0 oplossen Dit geeft 6 a en s a a f ( a ) ( a a ) ( a a ) ( a ) + a a a 6 a geeft buigpunt a 9 7 ( a, 6 a ) 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel

8 a b 6 De quotiëntregel bladzijde f( ) ; f ( ) 7+ 7 g ( ) ; g ( ) f ( ) ( + ) + ( + ) + ( + ) ( + ) a f( ) p ( )( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) p ( ) p( ) f ( ) p ( ) ( + ) + p( ) ( + ) + ( + ) ( + ) p ( ) p( ) ( + ) p ( ) p) ( ( + ) ( + ) ( + ) b f( ) p ( ) q ( ) + p ( ) p ( ) q ( ) f ( ) p( ) q ( ) p ( ) q ( ) q ( ) q ( ) q ( ) p( ) q ( ) p ( ) q ( ) p( ) ( ) ( ) ( ) q p q q ( ) q ( ) q ( ) bladzijde ( + ) ( ) 6a A ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( q + ) ( q+ ) q q + 6q 6q q 6q 6 b P ( q) + ( q + ) ( q + ) ( q + ) ( ) 0 f ( ) 0 ( ) ( ) ( t + ) ( t + ) t d B () t t + t t t t + ( t + ) ( t + ) ( t + ) p + p 7a Ap ( ) p +, s A ( p) p p 0 p p b A ( p) p p p p ( p ) 07 p p A ( p) ( p ) ( p ) ( p + ) 0 d A ( p) ( p+ ) ( p+ ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel 97

9 a b K A 0 O K De grafiek is stijgend, s de kosten nemen toe als het werktempo toeneemt De funtie K bestaat uit een teller en noemer Als A groter wordt, wordt de teller groter en de noemer kleiner Als geheel wordt de uitkomst van de deling dan groter K 7A A dk ( 00 A) 7 ( 7A+ 7) 00 7A+ 7A+ 7 7 da ( 00 A) ( 00 A) ( 00 A) Als de kosten voor A 70 twee keer zo snel stijgen als voor A moet gelden K ( 70) K ( ) K ( ), 6, 70 en K ( 70), 9, s de kosten stijgen niet twee keer zo snel 9a C () t 0 oplossen 0a ( t + ) t t C () t t + 6t t + ( t + ) ( t + ) ( t + ) t + 0 als t + 0 Dit geeft t, waaruit volgt t en s t ( t + ) of t Conlusie: na twee uur is de onentratie in het bloed maimaal b C ( 0) mg/liter per uur 6 6 C ( ) 0, mg/liter per uur d De onentratie van het geneesmiddel in het bloed nadert na verloop van tijd tot nul e Voer op je rekenmahine in: Y ( X)/( X^ + ) en Y Met Cal en Interset volgt het tijdstip t 7, uur Conlusie: na ongeveer 7, uur moet de tweede injetie worden gegeven 6 Gemengde opdrahten bladzijde 6 f ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 7 + ) ( + ) b g ( ) + + ( + ) ( + ) ( + ) h ( ) ( + + ) ; + + h( ) ( ) ( + ) ( ) d k ( ) ; k ( ) 0 9 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel

10 a Er moet gelden > 0 Uit 0 volgt en s en Het domein van f is het interval [, ] b f O f f( ) ( ) en s f ( ) ( ) + ( ) d Voor de toppen van f geldt f ( ) 0 f ( ) f ( ) 0 als 0 Dit levert en s of Dit geeft de toppen (, ) en (, ) a Om de tijd te berekenen gebruik jet s v De afstand s is de lengte van de auto plus de remweg r, s s + v Invullen levert T + + v v v b Met behulp van een verhoudingstabel: auto T seonden A auto s seonde Per seonde passeren er s A auto s T A ( T) 0 oplossen A T + v v v + v ( + v ) v v A ( T) 6 + v 6v 6 v ( + v ) ( + v ) ( + v ) Dan is A ( T) 0 als 6 v 0 Dit levert v 6, waaruit volgt v en s v of v In deze situatie gaat het om v 66, m/s Dit komt overeen met 0,6 km/uur Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel v 99

11 e 00 Je moet d P dr 0 oplossen R P I R R R R + ( R + ) ( R + ) dp ( R+ ) R ( R + ) ( R + R+ R+ ) R( R + ) dr ( R + ) ( R + ) R + 0R+ 600 R 0R R ( R + ) ( R + ) dp dr 0 als R 0 Dit geeft R 600, waaruit volgt R en s R of R Conlusie: voor R is het vermogen P maimaal bladzijde 7 a y OR+ RB OR RB bepalen met behulp van de gelijkvormigheid van de driehoeken BRQ en QPA Er geldt RB PQ Invullen levert RB en s RB RQ PA Conlusie: y + b S basis hoogte OA OB y ( + ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Je moet d S d 0 oplossen ds ( ) d ( ) ( ) ( ) ds d 0 als 0 Dit levert ( ) 0, waaruit volgt 0 of Er moet gelden, s verder werken met de oplossing Dit geeft y + De oördinaten A(, 0) en B(0, ) horen bij de minimale oppervlakte a b is een lineaire funtie en heeft s geen uiterste waarde l is een kwadratishe funtie en heeft wel een uiterste waarde b l () t 0 oplossen l () t t, t 0 levert t en s t Op tijdstip t heeft l een uiterste waarde, namelijk l( ) O l b ( t t + )( t + ) t + t t t + t + t t + d do 0 oplossen dt do t, t 0 geeft t, hieruit volgt t en s t dt of t In deze situatie gaat het om t Op tijdstip t 0, heeft O een uiterste waarde, namelijk O( 0, ), 0 Nee, de tijdstippen komen niet overeen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel

12 6a De grafiek van C plotten met window Xmin 0, Xma 00, Ymin 0 en Yma Dan is af te lezen dat de hoeveelheid eindprot op den ur mol wordt b 7a dc ( t + ) 66t t + t dt ( t + ) ( t + ) ( t + ) De grafiek van d C plotten met window Xmin 0, Xma 0, Ymin 0 en Yma dt Dan is af te lezen dat de reatiesnelheid op den ur 0 mol/minuut wordt g ( ) 0 oplossen 0 als 0 Dit geeft ± 6+ en s of 0 Snijpunten: ( +, 0) en (, 0) b g ( ) en s g ( ) + + g ( ) 0 oplossen Dus de uiterste waarde is g( ) d g ( ) 0 oplossen g ( ) + s is g ( ) Dus het buigpunt van g is (, ) 9 Test jezelf bladzijde 0 dq T-a p dp b z u u u u ( ) u u en s is d z u u u + u u g () t 7 ( t t ) + ( 7t)( t 9t ) 7t + t + t 7t t + 6t t + 96t 7t d f( ) + ; f ( ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel 0

13 0 T-a f ( ) 0 ; f ( ) b f ( ) 0 oplossen 0 0 ( 0) 0 0 of 0 0, waaruit volgt 0 of waaruit volgt of Voor 0 heeft f geen top (zie grafiek), s de toppen zijn (, + ) en (, ) f ( ) 0 oplossen ( ) 0 s 60 0 of 0, waaruit volgt 0 of of De buigpunten zijn (, ), (0, ) en (, ) d Aflezen uit de grafiek:, en 0, e Buigpunt : y a+ b met a f ( ) Invullen van de oördinaten van het buigpunt geeft + b en s b Samen geeft dit y Buigpunt : y a+ b met a f ( 0) 0 Invullen van de oördinaten van het buigpunt geeft b en s b Samen geeft dit y Buigpunt : y a+ b met a f () Invullen van de oördinaten van het buigpunt geeft + b en s b Samen geeft dit y + T-a P () t tt ( t) + ( t )( t ) t t + t t t + t t + b f( ) ( )( ) ( ) ; f ( ) ( ) K ( a) ( a ) + a 6a 6a a 6a + 6 d Q ( p) ( p ) + ( p) p+ 0 + p p + ( ) ( + ) T-a f ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( + )( ) ( ) b g ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + + )( ) ( + )( + ) h ( ) ( + + ) ( + + ) ( ) ( + + ) ( + + ) d j ( )( ) ( ) + en s j ( ) (mits ) + + T-a f( ) ( + )( + )( + ) ( + + )( + ) f ( ) + + f ( 0) Voor 0 is de helling van de grafiek Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel

14 T-6a b f ( ) oplossen + + b + 0 ( + ) 0 0 of Voor is de helling van de grafiek ook bladzijde De heenweg is stroomopwaarts: de snelheid van Bert is wat betreft rihting tegenovergesteld aan de stroomsnelheid v van de rivier Dit levert samen als snelheid, v Tijd afstand heen snelheid 00, v Tijd afstand terug snelheid 00, + v Tijd totaal T 00 v + 00,, + v T( 0, ) , seonden, 0,, + 0, d dt dv 0 oplossen v T 00 v v 00(, + ) 00(, v) v v,, (, v)(, + v) (, + v)(, v), v, v v v 00, v, v 00(, v ) dt 00 (, v ) v 000v dv (, v ) dt 0 als 000v 0 en s als v 0 m/s dv Conlusie: Bert is het snelst heen en terug bij stilstaand water T-7a f ( ) ( ) ( + ) + ( ) ( ) ( ( + ) + ( )) ( ) ( + + ) ( ) ( 0 + ) b f ( ) 0 oplossen ( ) ( 0+ ) 0, s ( ) 0 of of 0, De uiterste waarden zijn: f ( 0, ), 6 en f () 0 f ( ) ( ) ( 0+ ) + ( ) 0 ( ) (( 0+ ) + 0( )) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) d f ( ) 0 oplossen ( ) ( 0 ) 0, s ( ) 0 of 0 0 of 0, e Er is bij een overgang is van afnemend dalen naar toenemend stijgen en hier hoort een minimum bij en geen buigpunt f Het buigpunt is (0,; 0,79) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel 0

15 0 T-a V I ( R + R ) I ( + ) i u I + b P I R u + + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) P ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) d P ( ) 0 oplossen als , waaruit volgt ( + ) Conlusie: P ma 7, Watt bij R u Ω T-9 f ( ) 0: mogelijk buigpunt voor f ( ) : helling is positief voor, dat wil zeggen de grafiek stijgt voor f ( ) : oördinaten (, ) f ( 0) 0: buigpunt voor 0 f ( 0) 0: helling is nul voor 0 f ( 0) 0: oördinaten (0, 0) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel P 6 O P