Hoofdstuk 8 - De afgeleide

Transcriptie

1 Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt,, kg lengte in m gewicht in kg,,, 7, 9,, gewicht in kg lengte in m c m weegt kg dus m weegt, kg,, d, meter, e startgetal, hellingsgetal, V-a y, + Dus (, ) y, + dus (, ) y, + dus (, ) y 9 7 O 7 9 c y y, + De y-coördinaten verschillen dan. d y y dus, + en het verschil in de -coördinaat is dus V-a, +,

2 y , +, y, dus snijpunt (, ) c lijn l : y, + d lijn m: y, +, + startgetal, ladzijde V-a y O m A 7 9 y 9 ( ) 9 ( 9) + 7, +. V-a y + y 7+ c y d y B V-a y dus 7 y 7 y, +, + dus, y, +, c y + + dus y

3 V-7a cm in uur dus cm in uur De kaars was dus cm lang. l t + t + V-a y 9 7 y c Zie opdracht a. y + d y 7 9 V-9a y + y + hellingsgetal lijn l is hellingsgetal lijn m is snijpunt met de y -as: y dus (, ) snijpunt met de -as: y geeft 9 dus (, 9 ) c snijpunt met de y -as: y dus (, ) snijpunt met de -as: y geeft dus (, ) d dus y snijpunt (, ) V-a + 9 dus y + snijpunt (, ) ( y ) sustitueren in y ( ) geeft y (( y ) ) y y y dus ( ) snijpunt (, ) c y ( ) sustitueren in ( y - ) + geeft ( ( ) ) + + dus y ( + ) 7 snijpunt (, 7) d y geeft y ( ) + y geeft y + +, dus y,, snijpunt (,;,)

4 V-a ( ) ( ) + + ( )( ) met y of met y snijpunten (, ) en (, ) f( ) ( ) dus (, ) ligtopdegrafiek van f. c (,) ligtopde lijn y want ( ) ( ) + + ( )( ) Er is slechts één oplossing dus de lijn raakt de grafiek van f.. Toenamediagrammen ladzijde a c d In het e-uur (dus van uur tot uur). In het e -uur (dus van uur tot uur) is de temperatuur, o C afgenomen. In dat uur is er een temperatuurdaling. 7 uur o C uur + o C (toename van o C in het ste -uur) 9 uur + o C (toename van o C in het 9 e -uur)) ladzijde 7 a lengtetoename in cm 7 9 leeftijd in jaren De tael en het toenamediagram aanvullen met de punten: 7 9 Zie opdracht a. c cm

5 a R O p k, O, t,, c h O a d De toename is per defenitie de toename over de voorgaande periode; hier is de stapgrootte dus t () f () f ( ) e voor R: toename p+ (( p ) + ) t t t t voor K: toename,,, ( ),,, voor h: toename a + a ( ( a ) + ( a )) a + 7 a temperatuur in C hoogte in km

6 De langste staaf is o C. c Een toename van o C per km. h km T o C h km T + o C d De temperatuur heeft een maimum daar waar een toename overgaat in een afname; dus ij h km kan een maimum zijn. a cm Je kent de lengte ij de geoorte nog niet. c De toenames worden minder. d Elyse was 9 7 cm lang ij de geoorte. e lengtetoename in cm 7 9 leeftijd in jaren. Gemiddelde verandering ladzijde a Nee, want Annika versnelt niet aan het einde van de race maar aan het egin van de race. De grafiek van Bea ligt aan het egin hoger dan die van Annika. c gemiddelde snelheid is, km per minuut d Bij 9 minuten over km hoort een gemiddelde snelheid van km per minuut. 9 s t 9 7a s( ), s( ), 7 s s( ) s( ) is de afstand die Annika aflegde van t tot t gemiddelde snelheid is s( ) s( ), km per minuut c van t tot t : gemiddelde snelheid s( ) s( ) 79,, 7, km per minuut van t tot t : gemiddelde snelheid s( ) s( ) 9,,, km per minuut d, km per minuut

7 ladzijde 9 a f( ) ( ), f( ) ( ) differentiequotiënt f() f(( ) 7, () 9a op, differentiequotiënt f() f f( ), op (), differentiequotiënt f() f f( ) op () 9, 9 differentiequotiënt f() f f( ), 9 f(), en f( 9) 7, 7,, helling van lijn l differentiequotiënt op [, 9], 9 a f() en f() f() f() differentiequotiënt klopt! Alle intervallen symmetrisch rond ijvooreeld: [, ]; [, ]; [, ] of [ a, +a] met a >. () a op, differentiequotiënt f() f f( ) op (), differentiequotiënt f() f f( ) op (), differentiequotiënt f() f f( ) nee; ofschoon de intervallen groter worden toch worden de differentiequotiënten kleiner. ( op ;, differentiequotiënt f() f, ) f() 7,, op,, ( ;, differentiequotiënt f() f, ) f() 99,, op,, c ;, differentiequotiënt f() f(, ) f ( ), 997, op,, ;, differentiequotiënt f() f(, ) f ( ), 9999,,, Het differentiequotiënt lijkt nul te naderen. De grafiek van f heeft een maimum voor en dus een horizontale raaklijn in (;, ). a maimum A(, ) en minimum B(, ) y helling van de lijn door Aen B, 7 7

8 c y helling van de lijn door O en A, y helling van de lijn door O en B 7, d interval [, ] [,; ] [,99; ] differentiequotiënt,,,,,, [;,] [,99;,], e helling is in (, ); een horizontale raaklijn door het minimum. Hellingen enaderen ladzijde a gemiddelde snelheid is km per minuut of km per uur De helling van de grafiek van Carel is soms groter dan die van de grafiek van s. c Op de intervallen [, ] en [, ] reed Carel sneller dan km per uur. a helling van de raaklijn f f(, ) f( ), lijn l : y + + dus lijn l : y + a Y Y CALC intersect geeft: snijpunt S(, ) hellingsgetal c op [,99; ] f 99, op [;,] f, op [,99;,] f de helling van de grafiek van f in S is gelijk aan de helling van de raaklijn ladzijde Y /( X ) Y ( Y( X) Y( X, ))/, vensterinstelling: min ; ma ; ymin ; yma helling van de grafiek in (7, ) is, 7

9 7a voor (, ) is de helling f () f(, ) f( ), voor (, ) is het hellingsgetal f () f(, 999) f( ), 999 a d O t op de top is de raaklijn horizontaal dus hellingsgetal h h(, ) h( ) t,. Hellingen eact ladzijde 9a interval differentiequotiënt [;,],, [;,],, [;,],, [;,],, Zie de tael ij opdracht a. c Hoe kleiner des te nauwkeuriger is de enadering van het differentiequotiënt. a f( + ) ( + ) 9+ + ( ) f( +) f() 9 differentiequotiënt + + ( ) Als tot nul nadert dan gaat het differentiequotiënt naar. De eacte helling is dus. a f( + ) ( + ) + + f () f( +) f() + ( + ) + c De eacte helling in punt (, ) is dus. d De grafiek van f is een lijn met helling. ladzijde a f () f(, +) f(, ), + ( ), +, Dit nadert naar als naar nadert. 9

10 c f () f( +) f( ) + ( ) + Dit nadert naar als naar nadert; klopt! a Y ( Y( X +, ) Y( X))/, of Y numderiv( Y, XX, ) dy d a Y Y ( Y( X +, ) Y( X))/, calc value geeft Y() geeft f() dus in (, ) is de helling 7 geeft f( ) dus ook in (, )isdehelling 7 c (, ) en (, ) d helling Dus een horizontale raaklijn ij het maimum (,) en ij het minimum (, ).. De afgeleide functie ladzijde a steeds erij als met toeneemt c y d 7 dus, en y,, dus (, ;,) a f () f ( +) f() ( +) + + als tot nadert dan wordt f () oftewel f'( ) f '( ) f'( 7) en f'() 7 f is spiegelsymmetrisch om de lijn ; de raaklijnen aan de grafiek van f zijn dat dan ook. c f '( 9, ), 9, 7a f () + + dus f'( ) f'( ) en f'() c f'( ) 7

11 a f ( + ) ( + ) ( + )( + )( + ) ( + + ( ))( + ) + + ( ) + ( ) f ( +) f() ( + + ( ))( + ) + + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) f () c + + ( ) d als tot nadert dan f () dus f'( ) ladzijde 9a Y X^ Y ( Y( X +, ) Y( X))/, dus f '( ) dus f '( ) dus f '( ) klopt! f() f () c f'( ) 9 a f'( ) g'( ) 9 f '( ) c g'( ) d dus dus of met respectievelijk y en y dus (, ) en (, ) a f'( ) dus f'() g'( ) dus g'() Dus loopt de grafiek van g in (, ) steiler dan de grafiek van f. f '( ) 7, g'( ), 7 c, 79 nderiv(,, ),9 en nderiv(,, ),9 klopt! 7

12 . Differentiëren ladzijde a y 9 7 O vermenigvuldiging met ten opzichte van de -as. c Y X Y (( X +, ) X )/, d g'( ) e g'( ) f g'( ) a Een translatie over +7 ten opzichte van de -as (7 omhoog schuiven). g'( ) f'() immers een verticale translatie (verschuiving) eïnvloed de helling niet. c g'( ) a optellen van de grafieken t dus +, m/s t dus +, m/s c st () t () + pt () d s'( t) '() t + p'( t) ladzijde 7 a f'( ) f'( ) + + c f'( ) 9 d g'(() t, + t, + t e h'( p), p p ds a s'( t) t dt ds s'( t) ( t )' t t dt c s 7 7 t dus s' t t d s t + t + dus s' t + 7

13 7a, en want het hellingsgetal van de lijn is f'( ) c f'( ) ja! a s(, ),,, +, 9, 7 km 9, 7,, kilometer per uur s'( t) t, t + t 9t + s'( ) kilometer per uur s'( ) kilometer per uur c Haar snelheid op t is gelijk aan haar snelheid op t. d Y t 9t + minimum ij t, ; minimale snelheid, km per uur 9a Y, + Y vensterinstelling: min ; ma ; ymin ; yma intersect geeft, of 9, f'( ), f( ), ( ) + dus P(, ) c P ligt op de lijn y + p als + p dus als p controle: Y klopt!.7 Machtsfuncties en raaklijnen ladzijde a f'( ) Y / en Y nderiv( Y,, ) of Y ( Y( X +, ) Y( X))/, klopt! c klopt! d in de uurt van is de helling zeer groot (negatief) a f'( ) Y en Y nderiv( Y,, )of Y ( Y( X +, ) Y( X))/, klopt! a g () g'( ) + g'( ) + + Y + / en Y c In geen enkele punt van de grafiek is de helling gelijk aan. 7

14 a f'( ) 7 f '( ) 7 y dus ladzijde 9 a f(),, dus P(;, ) f'( ), f '( ) y +, + dus, vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f door P : y, f( ), ( ), dus Q( ;, ) f '( ) ( ) y +, + dus, vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f doorq : y, a f'( ) f '( ) y + + dus vergelijking van de raaklijn: y Y en Y intersect geeft: en y 9 dus het punt (, 9) f a f( +, ) f( ), +, y, +, + dus 9, vergelijking van de raaklijn: y, 9, c Y ^ 9en Y, 9, klopt! 7a Y ^ ^ en Y de lijn raakt de grafiek niet Opgelost moet dan worden f'( ) en dit heeft oplossingen. Er zijn dus raaklijnen aan dfe grtafiek van f evenwijdig met y. c f'( ) f '( ) ( ) ( ) y + + dus vergelijking van de raaklijn: y 7

15 a f'( ) dus Een nulpunt van f ' komt overeen met de -coördinaat van een top van de grafiek van f, dit kan een maimum of een minimum zijn. Hier dus een minimum van de grafiek van f.. Gemengde opdrachten ladzijde 9a d() en d(, ),,, gemiddelde snelheid:, m/s, d'( t) tdus d'() m/send'( ) m/s en d'( ) m/send'(, ) 7 m/s c 7 m/s d d(, ), meter, de formule wordt dan d 7t +, 7, 7t,. Dus a 7 en, e d O 7 t a r() 7 en r(), gemiddelde snelheid:, 7, 7 cm/s r'( t) t t r'( ) 7, cm/s c O() (()) r 9, 9 cm d O(, ) ( +, ), 97 cm O(, ) O( ), 99 cm /s, a f() en g() afstand CD CD wordt kleiner ij een verschuiving naar links CD wordt groter ij een verschuiving naar rechts c a'( ) d a'( ) ( ) (vervalt) of 7

16 ladzijde a O () 9 I () lengte reedte hoogte I () ( 9 )( ) I () + domein, c I'( ) + +, of, (vervalt; uitenhet domein) Dus voor, is de inhoud maimaal. a De kosten stijgen zeer sterk naarmate de volledige escherming wordt enadert. Betere escherming geeft minder diefstal maar ondanks alle escherming zal er nog wel wat gestolen worden. c De zeer hoge kosten van ver doorgevoerde escherming staan niet meer in verhouding tot de kleine vermindering van de diefstallen. d Noem T() S () + B () T () + +,, + + T'( ), + T'( ) als e T() en T( ) Het edrijf espaart -9 euro. ICT - Gemiddelde verandering ladzijde I-a De km lange wandeling duurde uur De gemiddelde snelheid was km/uur c tijdsinterval toename tijd toename afstand 7 7 gemiddelde snelheid 7 7 d tijdsinterval -,, - -,, - toename tijd,,,, toename afstand,,7,7, gemiddelde snelheid 9,,7,7, tijdsinterval -,, - -,, - toename tijd,,,, toename afstand,,7,7, gemiddelde snelheid,,7,7 9, e A was keer sneller dan de gemiddelde snelheid A was keer gelijk snel aan zijn gemiddelde snelheid 7

17 I-a maimale hoogte op t h() en h() 7 gemiddelde snelheid: h () h () 7 m/s c h() en h() 7 en h() gemiddelde snelheid op [, ]: h () h () 7 m/s gemiddelde snelheid op [, ]: h () h () 7 m/s gemiddelde snelheid op [, ]: h () h () m/s d gemiddelde snelheid op [, ]: h () h () m/s ladzijde I-a f() 9 en f() differentiequotiënt op[, 9]: f () 9 f () 9 I-a f( ) f( ) f( ) f( ) 9 9 f( ) differentiequotiënt op [, ]: f () f () differentiequotiënt op [, ]: f () f () differentiequotiënt op [, 9]: f () 9 f () 9 differentiequotiënt op [9, ]: f( ) f() Het teken (+ of -) van het differentiequotiënt geeft aan of de grafiek op het interval stijgt (+) of daalt (-). De grootte van het differentiequotiënt geeft de gemiddelde verandering van de functie op het interval. c f() 7, en f(, ),, 9, differentiequotiënt op [, ]: f() f(), differentiequotiënt op [;,]: f(,) f( ) 9,, De lijn geeft het gemiddelde verloop van de grafiek over het interval. 7 77

18 I-a H() en H() en H() 7 en H() differentiequotiënt op [, ]: H () H () 7 differentiequotiënt op [, ]: H () H () differentiequotiënt op [, ]: H () H () De grafiek van H is toenemend stijgend. c H(,), en H(, ), differentiequotiënt op [;,]: H(,) H( ),, differentiequotiënt op [;,]: H(, ) H( ),, d H(, ), en H(, ), differentiequotiënt op [;,]: H(, ) H( ),, differentiequotiënt op [;,]: H(, ) H( ),, Voor steeds kleinere intervallen nadert het differentiequotiënt op, + tot. I-a klopt! f() 9en f(, ), en f(, ), differentiequotiënt op [;,]: f(, ) f( ),, differentiequotiënt op [;,]: f(, ) f( ),, c y 9, 7 d y Test jezelf ladzijde T- t in uren ezoekersaantal ezoekersaantal tijd in uren 7

19 T-a R( ) en R( ) 9 en R( ) toename van de omzet van naar machines is duizend euro toename van de omzet van naar machines is duizend euro op [, ]: R R( ) R( ) duizend euro per machine Q op [, ]: R R( ) R( ) duizend euro per machine Q c R( 7) en R( ) en R( 9) 97 op [, 7]: R R( 7) R( ) 7 duizend euro per machine Q 7 op [, ]: R R( ) R( ) duizend euro per machine Q op [, 9]: R R( 9) R( ) duizend euro per machine Q 9 ( ) T-a f( ) f() ( +) ( +) f( +) f() + ( +) c Als naar nadert dan is de eacte helling. T- Y, X +, Y ( X ) Y nderiv( Y, XX, )óf Y ( Y( X +, ) Y( X)/, Y nderiv( Y, XX, )óf Y ( Y( X +, ) Y( X))/, tale geeft:, ladzijde 7 T-a f'( ) f '( ) f( ) y + + dus, raaklijn door P : y, c f'( ) > < < T-a f'( ), 9 s'( t) t c Hm ( ) m + m m dus H'( m) m + m d h () + dus h'( ) + 79

20 T-7a Nt () t t + t dus N'( t) + t t + t t Au ( ) u 9 + u dus A'( u) u u u u u 7 c g () + dus g'( ) 7 T-a s'( t) t+ dus s'() m/s s'( ) 9 m/sens'() m/s c s'( t) als t s( ) 7, dus, m voor het verkeerslicht T-9a y 9 7 O c De lijn y a is raakt aan de grafiek. Beide moeten door het raakpunt gaan a + In het raakpunt zijn de hellingen gelijk anders is het geen raaklijn a f'( ) d + a en a Los dit stelsel vergelijkingen op door sustitutie: a + a a a a of a T-a f () + cmetc in 7 Er zijn dus vele mogelijkheden. In (,()) afa is de grafiek van f noch stijgend noch dalend. De grafiek van f heeft in (,()) afa een horizontale raaklijn en gaat in (,()) afa over van afnemend stijgend naar toenemend stijgend of van afnemend dalend naar toenemend dalend. y