Noordhoff Uitgevers bv

Transcriptie

1 a a 8 8. Ageleiden bladzijde 5 Uit de ormule voor de omtrek van een cirkel (omtrek r ) volgt dat een volledige cirkel (60 ) overeenkomt met radialen. Een halve cirkel (80 ) komt dus overeen met radialen. b Graden b Radialen / O / / g h De graiek van g ontstaat uit die van door een vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met actor. De graiek van h ontstaat uit die van door een vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met actor. m k / O / / n De graiek van m ontstaat uit die van k door een verschuiving omhoog. De graiek van n ontstaat uit die van k door een verschuiving naar links. a De graiek van ontstaat uit de graiek van sin door een vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met actor en een verschuiving omhoog. De graiek heet amplitude, evenwichtsstand en periode. b De graiek van g ontstaat uit de graiek van cos door een vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met actor en een vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met actor. De graiek heet amplitude, evenwichtsstand 0 en periode 6. c De graiek van h ontstaat uit de graiek van sin door een vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met actor evenwichtsstand 0 en periode De graiek heet amplitude, 0, 6. 0, Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel

2 d De graiek van k ontstaat uit de graiek van cos door een vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met actor, een vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met actor en een verschuiving 5 omhoog. De graiek heet amplitude, evenwichtsstand 5 en periode. e De graiek van l ontstaat uit de graiek van cos door een vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met actor 5, een vermenigvuldiging ten opzichte van de -as a met actor en een verschuiving naar rechts. De graiek heet amplitude 5, evenwichtsstand 0 en periode. De graiek van m ontstaat uit de graiek van sin door een vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met actor en een verschuiving naar links. De 0, graiek heet amplitude, evenwichtsstand 0 en periode 5. 0, bladzijde 5 ( ) ( ) sin( ) sin Hellingunctie / O / / h b ( ) cos h ( ) h ( ) cos( ) cos c Hellingunctie / O / / h ( ) sin 5a ( ) 5sin b g () t cos c k ( ) + cos+ sin d l ( ) sin cos 6 sincos h Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel 9

3 0 6a k ( ) sin( ) sin b u ( ) cos( ) cos c h ( ) sin( 5) + cos( 5) 5 sin5+ 5 cos 5 d r ( ) cos + sin( ) cos sin e q ( ) cos sin( ) cos+ sin p ( ) sin + ( + ) cos 7a a+ b met a ( ) waarbij ( ) cos en dus a cos. Invullen geet + b en samen met de coördinaten (, 0) levert dit 0 + b en dus b. De vergelijking van de lijn r is. b ( ) oplossen geet cos, waaruit volgt cos en dus o. Het gaat dus om de raaklijnen in de punten (, ) en (, ). Raaklijn : a+ b met a. Invullen geet + b en samen met de coördinaten (, ) levert dit + b en dus b 0, 68. Voor raaklijn geldt dus +068,. Raaklijn : a+ b met a. Invullen geet + b en samen met de coördinaten (, ) levert dit + b en dus b 697,. Voor raaklijn geldt dus 697,. 8a De helling van de lijn in het punt (0, 0) is. De lijn raakt de graiek van in het punt (0, 0), dus moet gelden ( 0). ( ) a cos( b) b ab cos b en dus ( 0) abcos( b 0 ) ab en dus ab. b Als ma 5 moet gelden a 5 en b o a 5 en b Product en quotiënt bladzijde 5 9a Een product van twee actoren is nul als tenminste één van beide actoren nul is. Dus ( ) sin cos 0 als sin 0 o als cos 0. Dus de nulpunten van vallen samen met de nulpunten van zowel sin en cos. b De periode van de graiek van is. c De toppen van de graieken van een sinus- o cosinusunctie liggen op de lijnen en. De toppen van de graiek van liggen op de lijnen en. d Als de sinus een uiterste waarde heet, is de cosinus nul en andersom. De maima van ( ) sincos zullen dus tussen de maima van de sinus- en cosinusunctie liggen. Om de waarde van de etremen te berekenen: ( ) 0 oplossen. ( ) coscos sinsin cos sin cos sin 0 levert cos sin en dus cos sin o cos sin. Hieruit volgt,, en. Invullen geet de etremen ( ), ( ), ( ) en ( ) e ( ) asinb sin Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel

4 0a h ( ) ( ) g ( ) sin( + 05, ) cos h ( ) 0 oplossen geet sin( + 05, ) cos( ) 0 en dus sin( + 05, ) 0 o cos 0. Hieruit volgt + 05, 0,,,, enz. o?,?,?,? enz. en dus 05, ; 05, ; 0, 5; 05, enz. o,,, enz. b De -coördinaten van de toppen bevinden zich precies tussen de -coördinaten van de nulpunten en zijn dus 0, 55,, 06,, 677, 5, 8 enz. c en g hebben beide een maimum van. Dit betekent dat het maimum van h g kan zijn, mits en g voor dezelde -waarden maimaal zijn. Dit is niet het geval dus het maimum van h is kleiner dan. d De periode van h is. e h ( ) d+ asin b ( c) 0, + sin ( + ) Het gevonden unctievoorschrit past inderdaad bij h ( ) ( ) g ( ). a Van en g is de periode, van h en m is de periode. b De graiek van m is ontstaan uit die van h door een verschuiving naar links. 6 c d a / m g h O / / g h m h g en h m zijn sinusoïden, h, m en g h zijn dat niet. g en h m hebben beide amplitude. bladzijde 55 / O / / De unctie is een quotiëntunctie. Voor een quotiënt geldt dat je niet kunt delen door nul. De graiek van heet verticale asmptoten, omdat de noemer van voor verschillende -waarden gelijk aan nul is. b De periode van is. c cos 0 oplossen levert verschillende verticale asmptoten, namelijk,, enz. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel

5 d BC sin α AC BC AC BC tan α cos α AB AC AB AB AC a Met de rekenmachine: Y tan( ) en Y. De optie Calc Intersect levert 8,. b 8, en 58,. c ( )< op de intervallen, 8,,, 5, 8 en,. (cos ) + (sin ) (cos ) (sin ) a ( ) + (cos ) (cos ) (cos ) + sin + (tan ) cos b ( ) tan 0 als sin 0 en dus als 0,,, enz. ( 0) + (tan 0), ( ), ( ) enz. c daalt nergens als overal geldt ( ) > 0. ( ) + (tan ), ( ) is een positie getal plus een kwadraat. Een kwadraat is altijd positie, dus het geheel blijt positie. Conclusie: de graiek van daalt nergens. 5a 8. Kwadraten bladzijde 56 / O / / b is een kwadratische unctie van sin. Een kwadraat is altijd positie o 0 en dus heet geen negatieve unctiewaarden. c ( ) d+ asin b ( c) + sin ( ) d g ( ) d+ acos b ( c) + cos 6a s ( ) sin cos + cos sin sincos sin cos 0 b De helling van de graiek van s is overal 0, dit betekent dat de graiek van s een horizontale lijn is, dus is s een constante unctie. c Hoeken van 0 tot en met 90 komen in radialen overeen met [0, ]. De unctie s heet de hele getallenlijn als domein en dus ook het interval [, ]. Conclusie: ook voor hoeken groter dan 90 geldt sin + cos. 7a g ( ) (sin + cos ), dus de graiek van g valt samen met de lijn. Stel t dan is sin + cos sin t + cos t en dus is h ( ) en valt de graiek van h valt samen met de lijn. De graiek van j valt niet samen met een lijn, want sin en cos hebben een verschillend argument. k ( ) (sin + cos ), dus de graiek van k valt samen met de lijn. b m ( ) ( + cos )( cos ) cos+ cos cos cos sin n ( ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel

6 bladzijde 57 8a De graiek van v heet amplitude, periode en evenwichtsstand 0. b v ( ) acosb cos c v ( ) sin( ) sin d De graiek van v is een sinusoïde met amplitude, dus v ma dat wil zeggen: de maimale waarde van de helling van de graiek van v is. 9a ( ) cos cos 0a a b is het product van twee sinusoïden met dezelde periode en evenwichtsstand 0 en dus zel ook weer een sinusoïde. c ( ) d+ acosb + cos d ( ) d+ asin b ( c) + sin ( ) e s ( ) ( ) + g ( ) cos + sin cos + sin + cos + sin + sin + sin / 5 O / / De unctie is een quotiënt en je kunt niet delen door nul. De graiek van heet daarom verticale asmptoten, omdat de noemer van voor verschillende -waarden gelijk aan nul is. b De graiek van heet periode. sin sin c ( ) (tan ) tan cos cos d ( ) cos sin cos sin cos sin sincos + cossin cos cos b sincos + cossin sin + sin tan+ tan cos cos cos cos Hoe groter a, hoe smaller de graiek. Dus bij a hoort de bovenste graiek, bij a die daaronder, bij a 6 die daaronder en bij a 8 de onderste graiek. / O / / c Het bereik van voor even waarden van a is het interval [ 0, ]. d Het bereik van voor oneven waarden van a is het interval [,. ] Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel

7 8. Sinusoïden optellen bladzijde 58 a De periode van r is 0 5 0,, dus de periode 5 van Bt () bt () + rt () is ook 0,. b Bt () asin b( t c) 6sin 5 ( t + 0, 0656) c B () t 6cos 5( + 0, 0656) 5 0cos 5 ( + 0, 0656) d De graiek van B heet amplitude 0, dus de maimale snelheid van de samengestelde beweging is 0 cm/s. a De twee sinussen waaruit h samengesteld hebben beide periode, dus h heet ook periode. b O 5 6 h h h Voor a heet de graiek van h amplitude. Voor a heet de graiek van h amplitude. Voor a heet de graiek van h amplitude. c Als a is dan is de amplitude is a +. Als a < dan is de amplitude ( a+ ) a. bladzijde 59 / O / / 5/ s s ( ) asin b( c) 68, sin ( 0, 6) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel

8 5 6a b / O / / g s De graiek van de unctie s is wel periodiek maar geen sinusoïde. De graiek van is een sinusoïde omdat de graiek zich gedraagt als een sinus: de graiek heet een periode, een amplitude en een evenwichtsstand. Het is de som van twee sinusoïden met dezelde periode. 6 / O / / 5/ 7/ 6 ( ) acos( c) 5cos( 0, 9) c a en c tan 0, 97 d g ( ) 5sin+ cos acos( c) met a en tan c 5 5 dus c tan 0, 9. Samen geet dit g ( ) cos( 09, ) 7a Bt () sin5t + 5sin 5( t + 0, ) sin 5t + 5sin( 5 t + 05, ) sin5t + 5cos 5t, want er geldt sin( t + 05, ) cos t. b Bt () acos( bt c) met a ,, b 5 en tan c 5 Dus c tan 0, 5. Samen geet dit Bt () 58, cos( 5 t 05, ). 5 8a 8.5 Zweving bladzijde 60 De standaardtoon a heet requentie 0 Hz, dat wil zeggen per seconde zijn er 0 trillingen. De periode die hierbij hoort is en dit levert de unctie () t sin bt met 0 b 880 en dus () t sin 880 t. De eerste boventoon van de a 0 en heet requentie 880Hz. De periode die hierbij hoort is en dit levert de unctie 880 () t sin 760 t. Het samenklinken van de a en de eerste boventoon levert dus de unctie () t () t + () t sin880 t + sin 760 t. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel 5

9 b 9a 6 0,00 O 0,00 0,00 0,006 0,008 0,0 c De periode van de eerste sinus is en de periode van de tweede sinus is 0 De gemeenschappelijke periode is 0. O g Op t beginnen beide graieken tegelijk aan een nieuwe gol. De gemeenschappelijke periode van en g is dus. b De periode van h is. c heet periode en g heet periode. Dus is de gemeenschappelijke periode. bladzijde 6 0 De periode van : p b 6. De periode van g: p 8. Dus de periode van h is. a De periode van : p 0. De periode van : p Dus de periode van is 0. De periode van g : p. De periode van g 05, : p 5. 0, Dus de periode van g is 0. De periode van h : p 8. De periode van h : p. 6 Dus de periode van h is. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel 880.

10 b O O g a De periode van is en de periode van g is. b c a g O / / en g hebben geen gemeenschappelijke periode. en hebben geen gemeenschappelijk veelvoud, dat wil zeggen en g > hebben geen gemeenschappelijke periode en dus is de zweving van s ( ) ( ) + g ( ) niet periodiek. De toon met requentie 60 Hz heet periode 60 en dit levert de unctie () t sin bt met b 0 en dus () t sin 60 t. De andere toon 60 heet een requentie van 55 Hz. De periode die hierbij hoort is 55 en dit levert de unctie () t sin 0 t. Het samenklinken van beide tonen levert dus de unctie () t () t + () t sin0t + sin 0 t. b Het kleinste gemene veelvoud van 60 en 55 is 5, dus de periode van de zweving is 5. O h Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel 7

11 8 8.6 Gemengde opdrachten bladzijde 6 a Graiek hoort bij c 0,. b Als de waarde van c dichter bij 0 komt, wordt de amplitude van de graiek van s groter. De graiek nadert de graiek van k ( ) sin. c Voor c 05, + k met k een geheel getal is de graiek van s geen sinusoïde. Je krijgt dan s ( ) 0 omdat dan ( ) g ( ) voor elke. d Dat is het geval als c + k (k geheel getal) en dus als c 05, + k. e s ( ) asin b( c) 6, sin ( 0, ) De toppen van moeten dan samenvallen met die van g, dus voor c 0, ±, ±,.... 5a De somgraiek van deze twee uncties is wel periodiek maar geen sinusoïde, omdat en niet dezelde periode hebben. b De periode van de somgraiek is. c d O / / s O 5 6 s e s ( ) sin+ sin + sin5+ sin 7+ sin Je krijgt dan een benadering van de blokgraiek waarvan de amplitude nog wat te klein is. Beter wordt het met (sin+ sin + sin5+ sin 7+ sin 9+...) De hiervoor benodigde wiskunde komt op het HBO o WO onder de naam Fourieranalse aan de orde. bladzijde 6 6a ( ) sin (sin ) en dus ( ) (sin ) cos cos sin b a+ b met a ( ) 6. Invullen van ( 6 6, ) in 6 + b geet 6 + b en dus b 6. 6 Dus eact geldt als vergelijking Als benadering geldt 06, + 0, 9. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel

12 c Het domein van is het interval [ 0, ]. De ageleide van bestaat niet als sin 0, dit is het geval voor 0 en. d De graiek van heet voor deze waarden van > een randpunt met een verticale raaklijn. 7a Op de grond geldt 0. Dus 5t + 50tsin 0, dit geet t( 5t + 50sin ) 0, waaruit volgt t 0 o 5t + 50sin 0. Deze laatste vergelijking levert 5t 50 sin en dus t 50 sin 0 5 seconden. 5 Deze waarde voor t invullen levert 50 5 cos 50 5 meter. Conclusie: na 5 seconden heet het voorwerp 5 meter in horizontale richting agelegd. b Op de grond geldt 0. Dus 5t + 50tsin α 0, dit geet t( 5t + 50sin α ) 0, waaruit volgt t 0 o 5t + 50sin α 0. Deze laatste vergelijking levert 5t 50 sin α en dus t 50 sin α 0 sin α. Conclusie: de tijd die verloopt tussen 5 het wegschieten van het voorwerp en het weerkomen is t 0 sin α seconden. c s 50 0 sinα cos α 500 sinαcos α d s ( α) 0 oplossen s 500 cosα cos α+ 500 sinα sin α 500 cos α 500 sin α 500(cos α sin α) 500(cos α sin α) 0 geet cos sin α α 0 en dus cos α sin α. Hieruit volgt cosα sin α o cosα sin α, waaruit volgt α. (Immers 0 α ) Dit geet s ma 50 0 sin( ) cos( ) meter. Test jezel bladzijde 66 T-a De graiek van R heet amplitude, periode en evenwichtsstand. b R () t sint sin t De graiek van R heet amplitude en evenwichtsstand 0, hieruit volgt R ma. T-a p is een product van twee sinusoïden met dezelde periode en evenwichtsstand 0 en is dus zel ook weer een sinusoïde. b p ( ) 0 als ( ) 0 o g ( ) 0 sin 0 als 0, ±, ±,.... Hieruit volgt 0, ±, ±,.... sin( + ) 0 als + 0, ±, ±,... Hieruit volgt 5...,,,,... en dus...,,,, c De -coördinaten van de toppen van p liggen precies tussen de -coördinaten van de nulpunten van p. De -coördinaten van de toppen van p zijn ,,,,,.... De -coördinaten van de toppen zijn om en om 6 en. d Kijk bijvoorbeeld naar de -coördinaten van twee opeenvolgende maima. De periode van p is. e p ( ) d+ asin b ( c) + sin ( ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel 9

13 T-a 0 g / O / / s De graiek van s gaat door de toppen van de graieken van en g omdat als een top heet, heet g een nulpunt en omgekeerd. b h ( ) ( ) + g ( ), hierbij heet ( ) alleen positieve waarden, terwijl de waarden g ( ) h zowel positie als negatie zijn. Samen levert dit voor h ( ) een aantal negatieve waarden. c Omdat sin en cos a a nadert h ( ) (sin ) + (cos ) naar 0 voor die waarden van waarvoor sin ± en cos ±. bladzijde 67 T-a De periode van is > en de periode van g is ook, dus de graiek van s is ook een sinusoïde. b De somgraiek heet dezelde periode als de samenstellende sinusoïden, dus de periode van s is. c s ( ) asin b( c) 66, sin ( + 09, ) T-5a De periode van z is 8. b De periode van is 6. c Als g periode heet, dan heet z periode 6 en dat klopt niet. Als g periode 6 heet, dan heet z periode 6 en dat klopt niet. Als g periode heet, dan heet z periode en ook dat klopt niet. Dus de periode van g kan niet, 6 o zijn. d De periode van g is 9 o 8. e g ( ) asin sin p 9 O / / O / / Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel h

14 T-6a De periode van is en de periode van g is 0. 5 Deze periodes zijn niet gelijk, dus de graiek van s is geen sinusoïde. b Het kleinste gemene veelvoud van en 0 is 0, dus de periode van s is 0. sin 0 T-7 a is ongelijk aan g, want g( ) sin tan tan ( ). 0 cos cos T-8a 0 b ( ) tan sin sin 0 0 cos 0 cos. De graiek van heet asmptoten als de noemer van ( ) gelijk aan nul is. 0 cos 0 als cos 0 en dus als ±, ±, ±,.... Dit geet ±, ±, ±,.... c tan geet tan 0 en dus tan ( 0), 7. Dit geet 07,. 0 De periode van is, dus op het interval [ 0, ] levert de vergelijking twee oplossingen: 07, en 07, +,. d tan 00 geet tan 000 en dus tan 000, 5698 en dus 0 0, 789. Dus is ( )> 00 op het interval 0, 789;. Als je de eerste twee sinusoïden met dezelde periode bij elkaar optelt, is de som hiervan ook een sinusoïde met dezelde periode als de samenstellende sinusoïden. Als je deze sinusoïde en de derde sinusoïde, die beide dezelde periode hebben, bij elkaar optelt heb je opnieuw een sinusoïde. (Mits er niet een constante unctie uitkomt zoals bij ( ) sin+ sin sin ) b De periode van ( ) sin is, terwijl g ( ) sin periode heet. Stel dat er een gemeenschappelijke zweving is. Dan moet er een gemeenschappelijk veelvoud zijn van en. Dus moeten er dan twee gehele getallen k en l zijn waarvoor geldt k l. Uit dit laatste volgt l en daarmee zou een breuk k zijn. En dat is niet waar. Dus kan er geen gemeenschappelijke periode zijn en is de zweving niet periodiek. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo D deel