Hoofdstuk 3 - Differentiëren

Transcriptie

1 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel Voorkennis: Mahten en differentiëren ladzijde 7 6 V-a ( ) ( ) 8 f d e ( ) g 5 ( ) 6 6 ( 9 ) 9 ( ) ( ) h ( ) 8 ( ) ( ) V-a ( ) ( ) ( ) d ( ) ( )( ) e f g ladzijde 75 V-a Plot de funties en geruik op de TI Cal > maimum en Cal > maimum of op de Casio: G-Solv > MAX en G-Solv > MIN om de toppen te vinden en de oördinaten ervan af te lezen Je vindt voor f een minimum op ( 0,75;,5), voor g een maimum op ( 0,86;,089) en een minimum op (0,86; 0,089) en voor h een maimum op ( 0,7; 0,6) en een minimum op (6,7;,6) De helling enader je door het differentiequotiënt te erekenen over een klein interval De helling voor f wordt dan y f (, 00) f ( ), 000, 00, 00 0, 00 Voor g vind je op deze manier een helling van ongeveer 0 en voor h ongeveer 0 V-a f ( ) 0 7 f '( ) t( ) t'( ) s( ) 8 8 s'( ) 56 d g( t) 5t g'( t) 5 5

2 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel e h( u) ( u )( u ) u u u h'( u) u 6u f j( ) 7 7 ( 7 is een onstante!) j'( ) g p( s) s( s) s( s s) s s s s s s s p'( s) s s s s h t( v) v ( ) v v v t'( v) v i m( r) ( r)( r r ) r r r r r r m'( r) r j z( ) z'( ) V-5a Voor A geldt y f ( ) 0, dus los op Punt A ligt dus op (, 0) Voor B geldt 0 y f ( 0) 0 Punt B ligt dus op ( 0, ) 6 Voor heeft de lijn de y-waarde 0, dus gaat de lijn ook door (, 0) De helling van de lijn is steeds de waarde van de rihtingsoëffiiënt Dat is De grafiek van f heeft in een helling f '( ) Met f '( ) is dat f '( ) ( ) 9 De hellingen zijn dus gelijk De algemene vergelijking van de raaklijn is y a De rihtingsoëffiiënt a van de raaklijn is gelijk aan de helling in punt B( 0, ) van de grafiek van f, ofwel f '( 0) 0 (de helling is 0, dus de raaklijn loopt horizontaal) De lijn gaat door punt B Invullen van de oördinaten van punt B in de vergelijking van de raaklijn geeft 0 0 De vergelijking van de raaklijn is dus y Negatieve en geroken eponenten ladzijde 76 a De helling enader je door het differentiequotiënt te erekenen over een klein interval De helling in (, ) wordt y f (, 00) f ( ), 00 De helling in (; 0,5) wordt y f (, 00) f ( ) 0, 5, 00 De helling in ( 5; 0, 0 ) wordt y f (, 999) f ( 5) 0, 06, 999 ( 5) De afgeleide wordt dan f '( ) f '( ) ; f '( ) 0, 5 ; f '( 5) 6 0, 06 ( 5) a f ( ) f ( ) f '( ) f '( ) 5 f ( ) d f ( ) 8 ( ) f '( ) f '( )

3 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel ladzijde 77 a f ( ) f '( ) 8 8 De helling is 0 als f '( ) 0 Dus los op: Bij hoort de funtiewaarde f ( ) Dus het punt is (, ) De helling in het punt (, ) is f '( ) 8 De raaklijn heeft daarmee als vergelijking y De raaklijn gaat ook door (, ) Invullen van de oördinaten van het punt geeft De vergelijking van de raaklijn wordt daarmee y d De helling van f kan geen worden want 8 voor elke waarde van a De helling enader je door het differentiequotiënt te erekenen over een klein interval De helling in (, ) wordt y De helling in (, ) wordt y De helling in (9, ) wordt y f (, 00) f ( ) 0, 50, 00 f (, 00) f ( ) 0, 5, 00 f ( 9, 00) f ( 9) 0, 7 9, 00 9 De afgeleide wordt dan f '( ) f '( ) 0, 5 ; f '( ) 0, 5 ; f '( 9) ( 0, 667) 9 6 5a f ( ) f '( ) f ( ) f '( ) d f ( ) f '( ) e f ( ) ( ) ( )( ) f ( ) f '( ) f '( ) f f ( ) f '( ) 7

4 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel 6a f '( ) De helling is 0 als f '( ) 0 Oplossen geeft 0 ( ) Daarij hoort de y-waarde f ( ) Het punt is dus (, ) De helling als f '( ) Oplossen geeft Daarij hoort de y-waarde f ( ) Het punt is dus (, ) De raaklijn heeft helling en gaat door die door (, ) De helling invullen in de algemene vergelijking y a geeft de vergelijking y Het punt invullen geeft De vergelijking van de raaklijn wordt hiermee dus y d De helling is f '( 0) kan niet Uit een plot lijkt dat f een vertiale raaklijn heeft in de 0 oorsprong Maima en minima ladzijde 78 7a f '( ) f ( ) 0 0 of Voor en loopt de raaklijn horizontaal De y-oördinaat ij is f ( ) 6 De y-oördinaat ij is f ( ) ( ) 6 d Plot Invoer: Y = X^ X Venster: Xmin = 5 ; Xma = 5 Ymin = 5; Yma = 5 De antwoorden ij en kloppen met de grafiek 8a f '( ) f ( ) of 6 De eate uiterste waarde ij 6 is f ( 6) ( 6) De eate uiterste waarde ij 6 is f ( 6) ( 6)

5 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel ladzijde 79 9a f '( ) 8 6 en g'( ) 8 8 Voor f: f '( ) ( ) of 0 0 of of De ijehorende y-waarden zijn f ( 0) 0, f ( ) 8 8 en f ( ) 8 8 De punten voor f zijn dus (0, 0), (, 8) en (, 8 ) Voor g: g'( ) De ijehorende y-waarde is g( ) 8 6 Het punt voor g is dus (, 6) De uiterste waarden van f zijn de funtiewaarden ij de toppen, dus 8 en 0 De uiterste waarde van g is de funtiewaarde 6 0 De grafiek hieronder heeft een punt waar de raaklijn horizontaal loopt (dus de afgeleide nul is), maar waar geen uiterste waarde estaat Een grafiek die overgaat van stijgend in dalend maar waar de afgeleide niet nul is staat hieronder De afgeleide estaat niet in de oorsprong De afgeleide estaat niet ij de knik a De zinnige waarden die kan heen liggen tussen 0 en Het domein van f is dus het interval[ 0, ] De oppervlakte van de rehthoek is f ( ) AB BC ( 9 ) 8 8 Het maimum is een top dus los op f '( ) De maimale oppervlakte is f ( ) 8 De toppen vind je door op te lossen f '( ) 0 f '( ) 0 of De y-waarden zijn f ( ) en f ( ) ( ) 6 6 De oördinaten van de toppen zijn dus (, ) en (, ) De helling van de lijn is y ( ) De vergelijking van de lijn l wordt alvast y Laat de lijn door ijvooreeld de top op (, ) gaan Invullen geeft De lijn l met vergelijking y gaat dus door de twee toppen 9

6 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel a De afgeleide is f '( ) Er zijn geen etreme waarden als overal geldt f '( ) 0 De afgeleide is een dalparaool De waarde van vershuift de paraool vertiaal Voor 0 ligt de paraool altijd oven de -as en geldt overal f '( ) 0 De funtie f heeft voor 0 dus geen etreme waarden Als de dalparaool onder de -as komt zijn er twee nulpunten en dus twee etreme waarden Voor 0 zijn er dus twee etreme waarden f '( ) heeft voor 0 wel één nulpunt, 0, maar de afgeleide lijft verder groter dan nul, dus is er geen etreem Bovendien staat in de opgave 0 a Plot Invoer: Y = (X^+8) Venster: Xmin = ; Xma = 0 Ymin = ; Yma = 0 Het domein is [, De waarde onder het wortelteken mag niet negatief zijn Plot ijvooreeld het differentiequotiënt als enadering voor de afgeleide en zoek de waarde van X waar de grafiek nul is Geruik voor het differentiequotiënt op de rekenmahine de funtie Y=( ((X+000)^+8) (X^+8))/000 Je vindt ij X=0 de waarde 0, dus de oplossing van f '( ) 0 is 0 Er is geen etreme waarde ij 0 want de grafiek verandert niet van stijgend in dalend of van dalend in stijgend Omdat de funtie ehter een egrensd domein heeft estaat er wel een minimale funtiewaarde Voor heeft f een randminimum 0 Buigpunten ladzijde 80 5a Plot Invoer: Y = 05X^ X^+ Venster: Xmin = 5 ; Xma = 5 Ymin = 5; Yma = 0 De funtie heeft alleen één uiterste waarde ij het minimum 50

7 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel f '( ) 6 f '( ) ( ) 0 0 of 0 0 of Bij 0 hoort geen uiterste waarde want de grafiek vertoont geen overgang van dalend naar stijgend of omgekeerd Bij hoort wel een uiterste waarde Plot Invoer: Y = X^ 6X Venster: Xmin = 5 ; Xma = 5 Ymin = 5; Yma = 0 d Hieroven staat de plot van f ' De uiterste waarde van f ' ereken je op dezelfde manier als je de uiterste waarde van een gewone funtie erekent, dus door de funtie te differentiëren en de nulpunten te epalen Het differentiëren van de afgeleide geeft de funtie d ( d f '( )) 6 De nulpunten zijn de oplossing van 6 0 6( ) of 0 0 of f ' heeft voor 0 een uiterste waarde f '( 0) 0 en voor een uiterste waarde f '( ) 8 Voor de -waarden waar f 'een uiterste waarde heeft verandert de grafiek van f van hol naar ol of omgekeerd ladzijde 8 6a Plot Invoer: Y = X (X) Venster: Xmin = ; Xma = 0 Ymin = 5 ; Yma = 0 f ( ) f '( ) f '( ) 0 0 De etreme waarde is f ( ), ook is er een randmaimum 0 5

8 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel f "( ) Als 0 is 0, dus 0 en f ''( ) 0 Omdat f '' nooit 0 is heeft de grafiek van f ' geen etreme waarden De grafiek van f heeft geen uigpunten 7a f ( ) f '( ) f '( ) 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 of De ijehorende y-waarden zijn f ( 0) 0 en f ( ) De raaklijn loopt horizontaal in de punten (0, 0) en (, ) f "( ) 8 Voor de uigpunten geldt f "( ) 0 Oplossen met de a-formule geeft ( ) ( ; De ijehorende y-waarden zijn f ( ) en f ( ) 6 8 ) De eate oördinaten van de uigpunten zijn dus (, ) en (, ) a f ( ) 5 5 f '( ) 8 f ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 0 of of De etreme waarden van f zijn f ( ) 6 8 en f ( ) Uit een plot lijkt dat voor de grafiek een minimum heeft en voor een maimum Bij 0 evindt zih een uigpunt d De lijn gaat voor door de y-waarde f ( ) De helling in het punt is 5 f '( ) 8 8 De raaklijn heeft alvast de vergelijking y 8 Invullen van de y-waarde voor geeft De vergelijking van de raaklijn is dus y e Als de helling minimaal is heeft f 'een etreme waarde en heeft f " een nulpunt Dus los op: f "( ) ( ) 0 Oplossen met de a-formule geeft ( ) 0 of = 7, of 7 0, Met een plot van f ' vind je dat deze ij, minimaal is 9a 5 f 'heeft in alle drie de gevallen een maimum, dus f heeft een uigpunt Nee, f heeft geen etreem als f 'geen nulpunt heeft Omdat f ' een paraool is heeft f geen etreem als de paraool geen nulpunten heeft In de derde figuur heeft f dus geen etreem f heeft op één plaats een horizontale raaklijn als f 'één nulpunt heeft Dat is het geval als de paraool de -as raakt, dus ij de tweede figuur Er is hier géén etreem want de helling is steeds negatief en de grafiek van f is dus steeds dalend Pas ij een verandering van dalend naar stijgend of omgekeerd is er sprake van een etreem f heeft twee etremen als f 'twee nulpunten heeft Dat is het geval ij de eerste figuur

9 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel In figuur heeft de paraool snijpunten voor en 5 dus heeft de grafiek van f daar etremen De paraool is tussen de snijpunten positief dus is de grafiek van f hiertussen stijgend Bij de top van de paraool op heeft de grafiek van f een uigpunt Een funtie die hierij past is ijvooreeld f ( ) 0 0 (ga na dat deze funtie past ij de getekende paraool van y ( )( 5 ) ) y O In figuur heeft de paraool een nulpunt (maar geen snijpunt!) voor De grafiek van f heeft daar dus een horizontale raaklijn Voor heeft de paraool ook een etreme waarde dus heeft de grafiek van f daar weer een uigpunt De paraool heeft verder alleen negatieve waarden, dus de grafiek van f is steeds dalend en heeft geen etreme waarde Een funtie die hierij past is ijvooreeld f ( ) 0 (ga na dat deze funtie past ij de getekende paraool van y ( )( 5) ) y O In figuur heeft de paraool geen nulpunten maar alleen een etreem ij de top op De grafiek van f heeft daar weer een uigpunt De helling van de raaklijn op het uigpunt is de negatieve waarde waarop de top van de paraool ligt De paraool heeft alleen negatieve waarden, dus de grafiek van f is weer steeds dalend en heeft geen etreme waarde Een funtie die hierij past is ijvooreeld f ( ) 0 (ga na dat deze funtie past ij de getekende paraool van y ( )( 5) ) y O

10 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel 0 Voor de top geldt f '( ) 0 f ( ) waaruit de afgeleide volgt f '( ) Oplossen van f '( ) 0 geeft ( ) 0 0 f ( ) De eate oördinaten van de top zijn dus (, 5) Voor het uigpunt geldt f "( ) 0 f "( ) ( ) ( ) 0 f ( ) ( ) ( ) ( ) De eate oördinaten van het uigpunt zijn dus (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 Kettingfunties ladzijde 8 a De huidoppervlakte O is L 6, dm Het volume V is 0, L 0, 6, 0, 6 dm Het gewiht G is, 06V, 06, 6, 9 kg Uit G, 06V volgt V G, 06 Uit V 0, L volgt L V L V 0, 0, Invullen in O L G geeft O V, 06 0, 0, 80, 06 0, 66 dm a f ( ) en g( ) sin want g( f ( )) sin( ) f ( ) en g( ) want g( f ( )) ( ) f ( ) en g( ) log want g( f ( )) log( ) d f ( ) en g( ) want g( f ( )) 5

11 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel ladzijde 8 sin() a sin dus f ( ) sin os() os os dus f ( ) os 5a k( ) f ( g( )) y ( ) ( ) 6a y ( ) De rihtingsoëffiiënt is en is het produt van de rihtingsoëffiiënten en van de lineaire funties waaruit de kettingfuntie is samengesteld 7a h( ) g( f ( )) ( ) 6 5 k( ) f ( g( )) ( ) 6 f ( g( )) a( m p) am ( ap ) g( f ( )) m( a ) p ma ( m p) In eide gevallen is de rihtingsoëffiiënt het produt van de hellingen a en m dus de uitspraak is juist Als a 0 wordt het produt ook 0 en geldt de ewering ook 8a De rehte lijn is de raaklijn Uit de afgeleide f '( ) volgt de helling f '( ) in het punt (, ) De rehte lijn is de raaklijn Uit de afgeleide g'( ) volgt de helling g'( ) in het punt (, ) De -waarde geeft de y-waarde in f en de -waarde geeft de y-waarde in g, dus de -waarde geeft de y-waarde in h Daarom ligt het punt (, ) op de grafiek van h( ) g( f ( )) d h( ) g( f ( )) e De helling enader je door het differentiequotiënt te erekenen over een klein interval De helling voor h wordt dan y h(, 00) h( ), 0000, 00 0, 00 Het produt van de hellingen voor ij a en is de helling voor de kettingfuntie h want f f '( ) 6, g'( 9) h(, 00) h( ) 9, en h'( ) 6, 00 0, 00 De uitkomst is weer het produt van de hellingen want Kettingregel ladzijde 8 9a f '( ) geeft de helling f '( ) van l in (, ) g'( u) u geeft de helling g'( u) van m in (, ) 55

12 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel De helling enader je door het differentiequotiënt te erekenen over een klein interval De helling voor n wordt y h(, 00) h( ), 0000, 00 0, 00 d De helling van n is het produt van de hellingen van l en m want e Als je ij het produt van opdraht d de hellingen vervangt door de afgeleiden waaruit ze erekend zijn krijg je g'( u) voor en f '( ) voor De helling van n in vervang je door h'( ) zodat volgt h'( ) g'( u) f '( ) f f ( ) u en h'( ) g'( u) f '( ) Dus h'( ) g'( ) f '( ) ( ) 0a h( ) ( )( ) ( )( ) De afgeleide hiervan is h'( ) 6 f '( ) en g'( ) g( f ( )) ( f ( )) ( ) d 6( ) 6( ) 6 Dat is dezelfde funtie als ij a ladzijde 85 a f ( ) g( h( )) met g( ) 5 en h( ) g'( ) 5 dus g'( h( )) 5( ) h'( ) f '( ) g'( h( )) h'( ) 5( ) 0( ) f ( ) g( h( )) met g( ) en h( ) g'( ) dus g'( h( )) ( ) h'( ) 6 f '( ) g'( h( )) h'( ) ( ) ( 6 ) f ( ) g( h( )) met g( ) en h( ) g'( ) dus g'( h( )) ( ) h'( ) d f '( ) g'( h( )) h'( ) ( ) ( ) Van de gegeven y is alleen het eerste deel te shrijven als een kettingfuntie Splits de formule voor y dus in de som van de kettingfuntie g( ) en de funtie h( ) Je kunt voor de afgeleide van y dan g' en h' ij elkaar optellen (somregel voor afgeleiden) De funtie g is op te vatten als een samenstelling van de formules p q en q De afgeleide van g is g'( ) p'( q) q'( ) ( ) ( ) q De afgeleide van h is h'( ) dy De afgeleide van y is dus y' g' h' d 56

13 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel e Splits de formule voor y in de kettingfunties g( ) en h( ) Je kunt voor de afgeleide van y dan g' en h' ij elkaar optellen (somregel voor afgeleiden) De funtie g is op te vatten als een samenstelling van de formules p en q q De funtie h is op te vatten als een samenstelling van de formules r s en s De afgeleide van g is g'( ) p'( q) q'( ) q ( ) ( ) De afgeleide van h is h'( ) r'( s) s'( ) s dy De afgeleide van y is dus y' g' h' d ( ) a Kies g( u) u en u( ) Dan is f '( ) g'( u) u'( ) u ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Plot Invoer: Y = (0,5X X) Venster: Xmin = ; Xma = 7 Ymin = ; Yma = 0 Voor de uiterste waarden geldt f '( ) 0 ( )( ) 0 0 of of a Plot Invoer: Y = 0,(X X ) Y = 0,(X X ) Y = 0,(X X ) Venster: Xmin = 5 ; Xma = 7 Ymin = 0; Yma = 0 Omdat ( )( ) 0 voor en gaat elke grafiek door de punten (, 0) en (, 0) n Uit de kettingregel volgt de afgeleide f '( ), n( ) 0 ( ) In de vermenigvuldiging van funties die hier staat is ( ) 0 voor en dus wordt het produt ook 0 De afgeleide is dus 0 voor en dat is onafhankelijk van n Alle funtie van deze familie heen dus een uiterste waarde voor 57

14 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel Voor ijvooreeld ij n zie je in de plot dat f een uigpunt heeft voor De afgeleide voor n is f '( ) 0, ( ) ( ) Het kwadraat is altijd positief maar is rond negatief Rond het nulpunt heeft f 'dus geen tekenwisseling en verandert f niet van dalend in stijgend Er is ij deze n voor dus geen etreme waarde maar alleen een uigpunt Ga na dat dit geldt voor elke oneven waarde van n a Voor a geldt f ( ) ( ) Met de kettingregel volgt de afgeleide f '( ) ( ) ( ), en de tweede afgeleide volgt met de kettingregel hier weer uit: f "( ) ( ) 6( ) Er is een uigpunt voor f "( ) 0 6( ) 0 De afgeleide f ' is dan ook nul, maar er is hierij dus geen uiterste waarde maar alleen een uigpunt f is overal stijgend als f ' overal positief is Met de kettingregel volgt voor f ( ) ( a ) de afgeleide f '( ) ( a ) a a ( a ) Hierin is het kwadraat ( a ) altijd positief, dus f ' is altijd positief als de a ervoor ook positief is, en dat is het geval als a 0 Voor a 0 is de funtie dus overal stijgend f is overal dalend als f ' overal negatief is Het kwadraat ( a ) in f ' hieroven is altijd positief, dus f ' wordt altijd negatief als de a ervoor negatief is, en dat is het geval als a 0 Voor a 0 is de funtie dus overal dalend 6 Gemengde opdrahten ladzijde 86 5a Het reservoir is een prisma Het grondvlak is een driehoek van meter reed en meter hoog De oppervlakte hiervan is dus m De lengte van het reservoir is meter De inhoud van het reservoir is de inhoud van een prisma, dat is oppervlakte grondvlak lengte = = m = 000 dm h h want het reservoir heeft als verhouding reedte : hoogte = : V( h) hl hh0 0h d liter = dm, dus 0 liter water per seonde wil zeggen dat V met 0 dm per seonde gevuld wordt, dus V( t) 0 t e V( h) V( t) 0h 0t h t h t t t f De snelheid is d h h'( t) t dt t t Na seonde is de snelheid h'( ) 0, 5 dm/s Het reservoir is vol na 000 : 0 = 00 seonde De snelheid is dan h'( 00) 0, 0 0, 50, 0, 05 dm/s 58

15 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel 6a Het aantal liter water W na t seonden is 00 0 t W( t) 00 0t met W in liter (= dm ) en t in seonden t h h t 0 t h( t) 0 t 0 d h( t) ( 0 t) De snelheid is d h h'( t) ( 0 t) dt 0 e t De snelheid na 0 seonden is h'( 0) 0, 065 liter/s dh voor t 50 is h'( ), dt liter/s a Na seonde is de hoogte = 506 meter Na en seonden 5 en 58 meter H( t) 500 6t Op 506 meter is de luhtdruk 0 6 0, 095 0, milliar Op 5 meter is de luhtdruk 0 0, 095 0, 86 milliar Op 58 meter is de luhtdruk 0 8 0, 095 0, 9 milliar d p( H) 0 0, 095( H 500) 0, 095H 55, 5 e p( t) p( H( t)) 0, 095( 500 6t) 55, 5 0, 57t 0 ladzijde 87 8a Bij spiegeling van een punt in de lijn y verwisselen de oördinaten Het punt ( a, ) krijgt dus als spiegeling het punt (, a ) Hiermee vind je de volgende tekening: y f y = O g Spiegeling in de lijn y verwisselt de oördinaten I Voor een punt (, y ) op de grafiek van f geldt y f ( ) Na spiegeling wordt dat het punt ( y, ) op de grafiek van g Maar als ( y, ) op de grafiek van g ligt, dan is g( y) en met y f ( ) volgt g( f ( )) II Voor een punt (, y ) op de grafiek van g geldt y g( ) Na spiegeling wordt dat het punt ( y, ) op de grafiek van f Maar als ( y, ) op de grafiek van f ligt, dan is f ( y) en met y g( ) volgt f ( g( )) Uit I en II volgt de g( f ( )) f ( g( )) g( ) g'( ) De eate helling van de raaklijn l in het punt (, ) is g'( ) d De raaklijn l met helling maakt een hoek van 5 met de -as Dat is 90 met de lijn y dus door een spiegeling in deze lijn verandert de raaklijn niet De raaklijn m van f in (, ) is dus hetzelfde de raaklijn l en de helling lijft 59

16 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel e Uit g( f ( )) volgt f ( ) ( ) f ( ) f ( ) De afgeleide hiervan is met de kettingregel f '( ) ( ) ( ) De helling van p voor a op g is g'( a) a De helling van q voor g( a) op f is f '( g( a)) a ( g( a) ) a a a Het produt van de hellingen is g'( a) f '( g( a)) a a 9a Met de stelling van Pythagoras volgt: l AP BP PT AP ( 00 ) 0 ( 00 ) De minimale waarde ligt ij een etreem, dus ereken voor welke de afgeleide nul is l ( ) 0 l '( ) ( 00) meter l AP BP PT AP ( 00 ) 0 ( 00 ) d 0 De minimale waarde hiervan is: l '( ) ( 600) meter l AP BP PT AP ( 00 ) 0 ( 00 ) De minimale waarde hiervan is l '( ) ( 600) meter Voor het algemene geval geldt: l AP BP PT AP 00 ( ) ( a) ( 00 ) 00 a a l '( ) ( a ) 8 a a 0 a a 6 a a a a De optimale waarde voor is dus a opt e Omdat gegeven is dat 0 00 geldt ook opt 00, dus a 00 a 00 f Noem M het midden van AB In de optimale situatie heeft APM een zijde AM a en MP a opt Omdat AMP 90 is tan APM AM a APM tan 60 MP a APB APM

17 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel ICT Kettingfunties ladzijde 88 I-a Geruik de knop Uitkomst en helling, vul 5 in en lees af V = 950 m Open het nieuwe estand met de volume-hoogte grafiek Geruik de knop Uitkomst en helling, vul V = 950 in (het volume op tijdstip t 5 ) en lees af hoogte H = 5, dm Open het nieuwe estand met de tijd-hoogte grafiek In de tijd-hoogte grafiek hoort ij dag 5 een hoogte 5,05 5, dm Je het dus het punt (5; 5,) van de grafiek gevonden d Bij t ijvooreeld hoort V 00 en ij V 00 hoort H 5, 6 5, 5 e Er zijn drie vershillende assen: tijd, volume en hoogte Alleen grafieken waarvan eide assen gelijk zijn kun je in één assenstelsel tekenen I-a f ( ) 5 ; g( 5) 5, dus k( ) 5 Het domein van k is, ] en [, Voor het interval, is f negatief De wortel van f estaat dus niet en k evenmin k( ) Geruik de formuleknop door deze funtie in VU-Grafiek in te voeren Je ziet dat hij samenvalt met de grafiek van k I-a g( ) ; f ( ) ( ), dus h( ) Het domein van h is[ 0, Voor het interval, 0 estaat de wortel niet en g dus ook niet De funtie h estaat daarom evenmin h( ) ( ) Geruik de formuleknop door deze funtie in VU-Grafiek in te voeren Je ziet dat hij samenvalt met de grafiek van h ladzijde 89 I-a De funties f ( ) sin en g( ) zijn standaardfunties, dus een shets ervan ken je De grafiek van g heeft een vertiale asymptoot voor 0 Overal waar sin( ) 0 heeft de grafiek van h( ) g( f ( )) een vertiale asymptoot Dat geldt voor,,, 0,,, Die vertiale asymptoten shets je alvast De waarde van de sinus varieert tussen en tussen de nulpunten Voor de -waarden die hierij horen heeft g de waarde en Deze punten van h teken je ook in je shets en trekt de lijn van de grafiek van h hierdoor en tussen de asymptoten Ter ontrole teken je de grafiek van h( ) in VU-Grafiek sin De grafiek van f varieert tussen en De grafiek van k heeft deze egrenzing dus ook De grafiek van k heeft meer kenmerken van de sinus zoals de nulpunten tussen de grenswaarden en en het golvend verloop De -waarden voor de sinus worden ij k geleverd door g waar een vertiale asymptoot estaat voor 0 Rond 0 verandert de grafiek van g zeer sterk De sinus zal rond 0 dus zeer sterk golven Hoe verder je van 0 verwijdert des te langzamer verandert g en gaat k steeds minder golven Ter ontrole teken je de grafiek van k( ) sin in VU-Grafiek 6

18 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel I-5a f ( ) sin en g( ) want h( ) g( f ( )) (sin ) sin De grafiek van f is nooit negatief De grafiek van g varieert tussen en met daartussen de nulpunten voor,,, 0,,, Bij deze nulpunten is h dus ook nul en varieert de grafiek van h ertussen naar + f ( ) en g( ) want h( ) g( f ( )) De grafiek van g is een paraool die naar eneden geshoven is en nulpunten heeft voor en Bij deze nulpunten estaat f niet en heeft h een vertiale asymptoot Verder is g symmetrish in de y-as dus is h dat ook Voor 0 heeft h de waarde 0,5 Teken dat punt in je shets en voeg de asymptoten toe Teken de grafiek van h door het punt en tussen de asymptoten I-6a h( ) g( f ( )) ( ) k( ) f ( g( )) ( ) 8 5 De grafieken van h en k zijn weer rehte lijnen De helling van de lijnen is in eide gevallen Dat is de vermenigvuldiging van de hellingen van de lineaire funties waar h en k uit samengesteld zijn: De lijnen zijn dus evenwijdig I-7a Verander a en p met de shuif en je ziet dat voor alle waarden van a en p de kettingfunties h en k rehte lijnen zijn die parallel lijven lopen, dus dezelfde helling heen De waarde van en q laten de kettingfunties iets vershuiven maar heen geen invloed op de helling h( ) g( f ( )) p( a ) q pa p q k( ) f ( g( )) a( p q) ap aq De helling van de kettingfunties h en k is alleen het produt van a en p, dus van de hellingen van de afzonderlijke shakels ICT Kettingregel ladzijde 90 I-8a 6 Seleteer alleen de formule Geruik de knop Uitkomst en helling, vul 5 in en lees af V = 97,5 en de helling = d V 7, 5 dt De waarde etekent dat het volume op dag 5 met 7,5 m toeneemt per dag Open het nieuwe estand met de volume-hoogte grafiek Seleteer alleen de formule Geruik de knop Uitkomst en helling, vul 97,5 in (het volume op tijdstip t 5 ) en lees af H = 5,06 en helling = d H dv, De waarde etekent dat de hoogte ij 97,5 m met 0,006 dm toeneemt per m Shrijf d H als vermenigvuldiging van afgeleiden: d H dh dv dt dt dv dt (vergelijk dit ijvooreeld met het shrijven van a als a a ) Met de waarden voor d H dv, en d V 7, 5 geeft dat dt dh 0, 006 7, 5 0, 5 dt

19 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel d Open het nieuwe estand met de tijd-hoogte grafiek Seleteer alleen de formule Geruik de knop Uitkomst en helling, vul 5 in en lees af H = 5,06 en helling = dh 0, 55 dt De afwijking in eide uitkomsten ontstaat door de wijze waarop VU-grafiek de hellingen enadert Het verand he je al geruikt ij vraag en luidt d H dh dv dt dv dt I-9a Voor p, q 0, 5 en r 0, 75 veranderen de lijnen in raaklijnen pq r want 0, 5 0, 75 h is de kettingfuntie van f en g volgens h( ) g( f ( )) Bij het punt (, 8 ) op h hoort het punt (, 8) op f en ( 8, 8 ) op g De afgeleide van f is f '( ) en de afgeleide van g is g'( ) De helling van f in (, 8) is f '( ) 5 en de helling van g in ( 8, 8) is g'( 8) Als je weer de hellingen met elkaar mag 8 vermenigvuldigen volgens de manier van opdraht is de helling van h gelijk aan f '( ) g'( 8) 5 0, Controle: geruik de knop Lijst van formules en taellen Seleteer alleen formule h d Geruik de knop Uitkomst en helling, vul in en lees af: helling = 0,889 De hellingen van de grafiek van een kettingfuntie vind je door de afgeleiden van de samenstellende funties met elkaar te vermenigvuldigen ladzijde 9 I-0a f ( ) g( h( )) met g( ) 5 en h( ) g'( ) 5 dus g'( h( )) 5( ) h'( ) f '( ) g'( h( )) h'( ) 5( ) 0( ) f ( ) g( h( )) met g( ) en h( ) g'( ) dus g'( h( )) ( ) h'( ) 6 f '( ) g'( h( )) h'( ) ( ) ( 6 ) f ( ) g( h( )) met g( ) en h( ) g'( ) dus g'( h( )) ( ) h'( ) d f '( ) g'( h( )) h'( ) ( ) ( ) Van de gegeven f ( ) is alleen het eerste deel te shrijven als een kettingfuntie Splits de formule voor f ( ) dus in de som van de kettingfuntie g( ) en de funtie h( ) Je kunt voor de afgeleide van f ( ) dan g' en h' ij elkaar optellen (somregel voor afgeleiden) De funtie g is op te vatten als een samenstelling van de formules p q en q 6

20 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel e De afgeleide van g is g'( ) p'( q) q'( ) ( ) ( ) q De afgeleide van h is h'( ) De afgeleide van f ( ) is dus f '( ) g' h' Splits de formule voor f ( ) in de kettingfunties g( ) en h( ) Je kunt voor de afgeleide van f ( ) dan g' en h' ij elkaar optellen (somregel voor afgeleiden) De funtie g is op te vatten als een samenstelling van de formules p en q q De funtie h is op te vatten als een samenstelling van de formules r s en s De afgeleide van g is g'( ) p'( q) q'( ) q ( ) ( ) De afgeleide van h is h'( ) r'( s) s'( ) s De afgeleide van f ( ) is dus f '( ) g' h' ( ) I-a f ( ) en g( ) k'( ) ( ) ( ) De nulpunten volgen uit k'( ) 0 0 De etreme waarde ij van k is k( ) ( ) d f ( ) ( ) is een dalparaool met nulpunten 0 en Tussen de nulpunten heeft een paraool de top, dus een etreme waarde De -waarde tussen 0 en is, dus voor heeft f een etreme waarde De afgeleide van de kettingfuntie is het produt van de afgeleiden van de samenstellende funties Als één van de afgeleiden nul is dan is het produt ook nul Dus als f een etreem voor heeft moet de kettingfuntie daar ook een etreem heen I-a Omdat ( )( ) 0 voor en gaat elke grafiek door de punten (, 0) en (, 0) n Uit de kettingregel volgt de afgeleide f '( ), n( ) 0 ( ) In de n vermenigvuldiging van funties die hier staat is ( ) 0 voor en dus wordt n het produt ook 0 De term ( ) is 0 voor en (zie a) en ook onafhankelijk van n voor gehele waarden groter dan Alle afgeleiden van f n heen dus drie nulpunten voor elke geldige waarde van n Voor ijvooreeld ij n zie je in de plot dat f een uigpunt heeft voor De afgeleide voor n is f '( ) 0, ( ) ( ) Het kwadraat is altijd positief maar is rond negatief Rond het nulpunt heeft f ' dus geen tekenwisseling en verandert f n niet van dalend in stijgend Er is ij deze n voor dus geen etreme waarde maar alleen een uigpunt Ga na dat dit geldt voor elke oneven waarde van n I-a De grafiek gaat steeds door het punt (0, 8) Voor a 0 is de grafiek steeds stijgend Voor a 0 is de grafiek steeds dalend De grafiek ezit voor a 0 steeds een uigpunt 6

21 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel De grafiek gaat steeds door het punt (0, 8) Als 0 is f ( 0) ( a 0 ) 8 en a onafhankelijk van de waarde van a Voor a 0 is de grafiek steeds stijgend De afgeleide van f is volgens de kettingregel f '( ) ( a ) a a ( a ) a Dat is de funtie van een paraool De waarde is steeds positief als a 0 De helling van f is dus steeds positief en f is altijd stijgend d Voor een uigpunt geldt f ''( ) 0 Oplossen geeft f ''( ) a ( a ) a 6a( a ) 0 a 0 a De y-waarde die hierij hoort is f ( ) ( a ) ( ) 0 0 Alle uigpunten liggen dus op de a a -as Test jezelf ladzijde 9 T-a f ( ) f '( ) f ( ) f '( ) f ( ) f '( ) d f ( ) f '( ) e f ( ) ( ) ( )( ) f '( ) f f ( ) f '( ) 65

22 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel T-a De helling is 0 als f '( ) 0 Oplossen geeft: f '( ) 0 ( ) f ( ) De helling is 0 in het punt (, ) 6 8 De helling is als f '( ) Oplossen geeft: f '( ) ( ) f ( ) 0 De helling is in het punt (, 0 ) De raaklijn in (, 0 ) heeft helling dus de vergelijking wordt alvast y Invullen van de oördinaten van het punt geeft 0 De vergelijking van de raaklijn is dus y 6 T-a Voor de nulpunten geldt f ( ) 0 Oplossen geeft ( ) 0 0 of 0 0 of 0 of of Plot Invoer: Y = 05X^ X Venster: Xmin = ; Xma = Ymin = ; Yma = 0 f '( ) ( ) f '( ) 0 ( ) 0 0 of 0 0 of 0 of of De uiterste waarde ij 0 is f ( 0) 0 De uiterste waarde ij is f ( ) De uiterste waarde ij is f ( ) T-a s'( t) 0, 0005t 0, 0t 0, 6 s''( t) 0, 0009t 0, 0 0, 0 s''( t) 0 0, 0009t 0, 0 0 t 7, 78 0, 0009 s( 7, 78) 0, 00057, 78 0, 077, 78 0, 6 7, 78 0, 56 Het uigpunt ligt op (7,78; 0,56) Na 7,78 minuten heeft zij 0,56 km afgelegd en ereikt daar haar grootste snelheid T-5a k( ) g( f ( )) m( ) f ( g( )) k( ) 66

23 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel ladzijde 95 T-6a f '( ) ( ) ( ) ( ) f '( ) 0 ( ) 0 0 of 0 0 of 0 of of f ( 0) 6 ; f ( ) ( ) 0 ; f ( ) ( ) 0 De oördinaten van de punten met helling 0 zijn (0, 6), (, 0) en (, 0 ) T-7a f is samengesteld uit de funties p( ) en q( ) want f ( ) p( q( )) p'( ) en q'( ) Met de kettingregel volgt hiermee f '( ) p'( q( )) q'( ) q( ) a) h is samengesteld uit de funties p( ) en q( ) want h( ) p( q( )) ) p'( ) en q'( ) Met de kettingregel volgt hiermee h'( ) p'( q( )) q'( ) q( ) ( ) T-8a Bij een prijs van,- per doos is de afzet de oplossing van Oplossen geeft q q 500 q dozen De verkoop van 667 dozen van,- per doos levert 667 = 8 50 euro op De kosten zijn K 0, 75( 50 q) 0, 75( ) 66, 75 euro De winst is ,75 = 88,5 euro Uit p q 500 volgt q Invullen in de formule voor K geeft p d K ( p ), ( p ) p, 5 De winst is W ( p ) p q K ( p ) p ( p ) ( p, ) , 5 500p p De winst is maimaal als W '( p) 0 W '( p) p 0 p 0 5, 8 euro p De maimale winst is W( 5, 8) 860 euro T-9a Plot Invoer: Y = 05X+ (9X X ) Venster: Xmin = ; Xma = 0 Ymin = ; Yma = 0 De waarde onder de wortel moet nul of positief zijn Dat is alleen het geval als tussen 0 en 9 ligt Het domein is dus [0, 9] Er is een randpunt voor 0 en 9 De oördinaten hierij zijn (0, 0) en ( 9, ) d f '( ) ( 9 ) ( 9 )

24 Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel e Voor het maimum geldt f '( ) 0 Oplossing: f '( ) kwadrateren dus 9 9 oplossing ontroleren! 9 9 ( 9 ) Met de a-formule volgt , 5 of 5 05, 88 (voldoet niet) 0 0 De eate -oördinaat van het maimum is dus , 5 0, f f ( ) 6 Het punt heeft dus als oördinaten (, 6 ) Met de helling in het punt volgens f '( ) wordt de vergelijking van de raaklijn alvast y Invullen van de oördinaten geeft 6 De vergelijking van de raaklijn is dus y 0, 05t T-0a H'( t) ( 0, 05t 000) ( 0, 05t) 0, 05t 000 De hoogte verandert met een snelheid van H'( 00) 0, m/s na 00 seonden H'( 600) 0, 5 m/s na 600 seonden 0, 05t H'( t) 0, Oplossen met de rekenmahine geeft t 6, seonde 0, 05t 000 De grafiek van H'( t) is steeds stijgend, dus vanaf 6, seonden neemt de snelheid sneller toe dan 0, m/s T-a Plot Invoer: Y = X^(/) Venster: Xmin = 0 ; Xma = 0 Ymin = ; Yma = De oorsprong is een uigpunt De raaklijn loopt daar vertiaal De grafiek verandert van hol in ol of omgekeerd 68