De stelling van Pythagoras

Transcriptie

1 De stelling van Pythagoras

2 Inhoud Inhoud... 1 Inleiding... 3 De stelling van Pythagoras De stelling van Pythagoras De omgekeerde stelling van Pythagoras Bewijs van de stelling van Pythagoras Bewijs van de omgekeerde stelling van Pythagoras Toepassingen Oefeningen Grafishe voorstelling van de wortel van een natuurlijk getal Oplossingen... 15

3 1 Inleiding De stelling van Pythagoras is een alom ekende en veel geruikte stelling die vele toepassingen kent. Op deze toepassingen komen we verderop terug. Beginnen doen we met een fragment uit Meester, hij egint weer, een feuilleton uit de jaren 80, waarin de stelling aan od kwam. ( De stelling van Pythagoras.1 De stelling van Pythagoras Daarnet hadden we het al even over de stelling van Pythagoras, maar wat houd deze in? De definitie luidt als volgt: In een rehthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de lengten van de rehthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de lengte van de shuine zijde. We kunnen de definitie ook in symolen opshrijven, rekeninghoudend met figuur 1 wordt dit: a + = (1) a Figuur 1: Definitie van de stelling van Pythagoras.. De omgekeerde stelling van Pythagoras De omgekeerde stelling van Pythagoras is eigenlijk een logish gevolg uit de stelling van daarnet. Deze luidt als volgt: Wanneer in een driehoek de som van de kwadraten van de lengte van twee zijden gelijk is aan het kwadraat van de lengte van de derde zijde, dan is deze driehoek rehthoekig

4 .3 Bewijs van de stelling van Pythagoras Nu we weten wat de stelling van Pythagoras inhoudt, moeten we nog ewijzen dat deze stelling weldegelijk klopt. Er estaan hiervoor een heel wat ewijzen waar wij er één van gaan ehandelen. Hiervoor nemen we 4 ongruente driehoeken (figuur ). Deze heen alle vier twee rehthoekszijden, de een met lengte a, de ander met lengte. De shuine zijde heeft een lengte gelijk aan. a a a a Figuur : Vier ongruente driehoeken met rehthoekszijden a en en shuine zijde. Wanneer we de driehoeken wat verdraaien, kunnen we een vierkant leggen zoals in figuur 3: a Figuur 3: Een vierkant met zijde gevormd door de driehoeken uit figuur. In figuur 3 kunnen we drie vershillende figuren herkennen: - een groot vierkant met een oppervlakte gelijk aan - een klein vierkant met een oppervlakte gelijk aan ( ), () a en (3) a - vier driehoeken met elk een oppervlakte gelijk aan. (4) Tevens zien we dat de oppervlakte van het grote vierkant gelijk is aan de oppervlakte van het kleine vierkant samen de oppervlakte van de vier driehoeken. Comineren van vergelijkingen (), (3) en (4) geeft ons dan: a = ( a ) + 4 (5)

5 Dit werken we even verder uit: ( a a + ) + a = (6) = a + a a (7) + = a (8) + Na het uitwerken van het merkwaardig produt en het shrappen van tegengestelde termen, zien we de stelling van Pythagoras vershijnen. Immers, was de hypotenusa van de rehthoekige driehoek en a en de rehthoekszijden..4 Bewijs van de omgekeerde stelling van Pythagoras Net als de stelling van Pythagoras, gaan we ook de omgekeerde stelling ewijzen. Hiervoor eshouwen we een driehoek PQR (figuur 4a). P P Q R S Q R (a) () Figuur 4: (a) Een driehoek PQR. () Aanvulling van figuur (a) met punt S dat veronden is met punten P en Q en zodanig gelegen dat SQ = QR. SQ staat loodreht op PQ. We reiden figuur 4a uit door een punt S te tekenen zodanig dat SQ loodreht staat op PQ en dat SQ = QR. We verinden S met P. Op die manier krijgen we een rehthoekige driehoek (figuur 4). Er geldt dus: PQ = PQ (9) SQ = QR (10) P Q ˆS = 90 (11) Kwadrateren en lid aan lid optellen van vergelijkingen (9) en (10) geeft ons: PQ + SQ = PQ + QR (1)

6 In driehoek PQS geldt de stelling van Pythagoras (zie vergelijking (11)). Dit wil dus zeggen dat de som van de kwadraten van de lengten van de rehthoekszijden gelijk is aan het kwadraat van de lengte van de shuine zijde of PQ + SQ = PS (13) Uit de omgekeerde stelling van Pythagoras (die we aan het ewijzen zijn) volgt dat we deze som ook mogen shrijven voor driehoek PQR. Merk op dat we in driehoek PQR geen geruik maken van de stelling van Pythagoras! PQ + QR = PR (14) Wanneer we vergelijkingen (1), (13) en (14) omineren, vinden we: PS = PR (15) PS = PR (16) We mogen vergelijking (15) shrijven als vergelijking (16) omdat we enkel rekenen met de positieve vierkantswortels. Immers, een lengte kan nooit negatief zijn. Uit vergelijkingen (9), (10) en (16) volgt dat driehoeken PQS en PQR ongruent zijn. Hieruit kunnen we esluiten dat de overeenkomstige hoeken gelijk zijn, of: Uit vergelijkingen (11) en (17) volgt vergelijking (0). PQS ˆ = PQR ˆ (17) SPQ ˆ = RPQ ˆ (18) QSP ˆ = QRP ˆ (19) P Q ˆR = 90 (0) We kunnen dus esluiten dat wanneer in een driehoek de som van de kwadraten van de lengten van de rehthoekszijden gelijk is aan het kwadraat van de lengte van de shuinde zijde, de eshouwde driehoek rehthoekig is. Met andere woorden: ook de omgekeerde stelling van Pythagoras geldt. (i)

7 3 Toepassingen 3.1 Oefeningen 1 Vul onderstaande tael met de lengten van zijden f, g en h verder aan. g h f Figuur 5: Een rehthoekige driehoek met zijden f, g en h. f g h Een man fietst een helling op. Volgens zijn fietsomputertje heeft hij 5 km gefietst, volgens zijn kaart heeft hij zih maar 4,8 km (horizontaal) verplaatst. Hoe groot is het hoogtevershil dat de fietser heeft overwonnen?

8 3 In een voetallu wordt het grasplein heraangelegd. Hierdoor kan Jos een tijdje niet rehtstreeks van de kleedkamer (K) naar de afetaria (C) wandelen, maar moet hij langs een vlagje (V). Hoeveel seonden kost het Jos nu meer om van de kleedkamer naar de afetaria te gaan als je weet dat het veld 100 ij 50 meter groot is en hij een tempo haalt van m/s? K C Figuur 6: Voetalveld met kleedkamer (K), vlagje (V) en afetaria (C). V 4 In het magazijn van een shrijnwerkerij ligt een houten alk (zie figuur 7). Op een hoekpunt van de alk zit een houtworm. Hoeveel millimeter hout moet de worm opeten vooraleer hij in het midden van de alk is? We nemen aan dat hij de kortste weg neemt Figuur 7: Houten alk met de afmetingen in millimeter

9 5 Fientje heeft net een ruit getekend waarvan de zijden gelijk zijn aan 5 m. Hoe lang zijn de diagonalen als je weet dat de lange diagonaal () duel zolang is als de korte (a)? 6 Op een golfterrein staat een paaltje (figuur 8). Bij zonsondergang is de shaduw 4,8 m lang. Nadat het zonliht de top van het paaltje passeert, legt het nog 5 m af vooraleer het op de grond komt. Hoe hoog is het paaltje? Figuur 8: De shaduw van een paaltje

10 7 In een Oostenrijks skidorpje staat een kaellift die estaat uit twee stukken. Tijdens het eerste stuk verplaats je je horizontaal over 90 m, tijdens het tweede stuk is dat 174 m. Welke hoogte overwin je als je weet dat de eerste kael 40 m lang is en de tweede 600 m? Figuur 9: Een stuk van de skilift. 8 Louis heeft een wekkertje. Wanneer het drie uur is, zijn de uiteinden van eide wijzertjes 3 m van elkaar verwijderd. Hoe lang zijn de wijzers als je weet dat de kleine wijzer (a) half zo lang is als de grote wijzer ()? Figuur 10: Wekkertje van Louis

11 9 Kaatje heeft een vlieger gekoht (zie figuur 11). Ze wil hem versieren door er op de rand rode tape op te plakken. Hoeveel entimeter tape heeft ze nodig? Figuur 11: De vlieger van Kaatje met de afmetingen in entimeter. 10 In een fariek worden kartonnen dozen vervaardigd waarvan de lengte l 3 keer zo groot is als de reedte. De dozen worden getransporteerd door een soort van tunnel met een vierkantige doorsnede van 0 m. Hoe groot mogen de dozen zijn opdat ze niet komen vast te zitten in de tunnel? De dikte speelt hier geen rol

12 3. Grafishe voorstelling van de wortel van een natuurlijk getal Het erekenen van de vierkantswortel uit een natuurlijk getal is niet altijd even simpel. Denk ijvooreeld maar aan de vierkantswortel uit. Je zou dan denken dat het dan haast onmogelijk is om zo n vierkantswortel grafish voor te stellen. In dit stukje gaan we zien dat dit eigenlijk toh niet zo moeilijk is en hoe we dit moeten aanpakken. Allereerst kijken we even naar figuur 1. a Figuur 1: Een rehthoekige driehoek met a en als rehthoekszijden en als shuine zijde. Uit vergelijking (1), dus de stelling van Pythagoras, kunnen we afzonderen wat ons vergelijking (1) oplevert. = a + (1) Merk op dat we enkel met de positieve vierkantswortel werken. Immers, stelt de lengte van de shuine zijde voor en die kan uiteraard niet negatief zijn. Wanneer we vergelijking (1) ekijken, zien we dat de vierkantswortel voorstelt van een som van twee kwadraten. Wanneer we dus de vierkantwortel van een natuurlijk getal grafish willen voorstellen, hoeven we dit getal dus enkel te shrijven als een som van twee kwadraten. Als vooreeld gaan we grafish epalen. is te shrijven als de som van twee kwadraten: = () Hierna kunnen we gaan tekenen: 0 1 Figuur 13: Grafishe voorstelling van. In figuur 13 stelt de lauwe lengte voor. Deze afstand werd ook uitgezet op de getallenas

13 Zojuist heen we de vierkantswortel uit een natuurlijk getal voorgesteld. Dat ging est wel vlot. Maar wat doe je wanneer je je natuurlijk getal niet al een som van twee kwadraten geshreven krijgt? Deze situatie ekijken we aan de hand van een vooreeld. Veronderstel dat we 3 grafish willen voorstellen. Eerst moeten we 3 zien te shrijven al de som van twee kwadraten. ( ) = + = + (3) Je ziet dat we in vergelijking (3) heen voorgesteld als het kwadraat van zijn wortel. Dit kan ik doen omdat ik daarnet (zie figuur 13) epaald he. We kunnen 3 nu dus gaan tekenen. 0 1 Figuur 14: Grafishe voorstelling van 3. 3 In figuur 14 stelt de groene lengte 3 voor. Deze afstand werd ook uitgezet op de getallenas. Nu je dit allemaal weet, kun je aan de slag. Proeer 13 eens te tekenen. (Hint: 13 = = 3² + ²)

14 Proeer nu 68 eens te tekenen. Stel tot slot 7 grafish voor

15 4 Oplossingen Oef , , ,5 5. 8,54 Oef. 1,4 km Oef s Oef. 4 57,88 mm Oef. 5 a = 5,4 m = 5 4,47 m Oef. 6 1,4 m Oef. 7 33,76 m Oef. 8 a = 1,34 m =,68 m Oef. 9 60,65 m Oef. 10 l = 18,97 m = 6,3 m Extra: Interatieve voorstelling van de stelling van Pythagoras: Bronnen: Figuur 0: Figuur 6: geraadpleegd op 15 april 010 Figuur 8: Mirosoft Mediagalerie, geraadpleegd op 16 april 010 Figuur 9: Mirosoft Mediagalerie, geraadpleegd op 17 april 010 Figuur 10: Mirosoft Mediagalerie, geraadpleegd op 17 april 010 (i) geraadpleegd op 11 april