Noordhoff Uitgevers bv

Transcriptie

1 V-1a c d e 1 Voorkennis D C B N A K L Vierhoek ABCD is een vierkant. Vierhoek KLMN is een rechthoek en vierhoek PQRS is een parallellogram. De oppervlakte van vierhoek KLMN is = 8 roostervierkantjes. Vierhoek ABCD: De oppervlakte van de rechthoek om vierhoek ABCD is = 16 roostervierkantjes. De oppervlakte van vierhoek ABCD is = 16 6 = 10 roostervierkantjes. Vierhoek PQRS: De oppervlakte van de rechthoek om vierhoek PQRS is = 0 roostervierkantjes. De oppervlakte van vierhoek PQRS is = 10 roostervierkantjes. V-a De rechthoek is 16 dm ij 7 dm, dus de oppervlakte is = 11 dm. De rechthoek is 45 dm ij 11,6 dm, dus de oppervlakte is ,6 = 5 dm. c De rechthoek is 1,8 dm ij 7 dm, dus de oppervlakte is 1,8 3 7 = 19,6 dm. d De rechthoek is 70 dm ij 4 dm, dus de oppervlakte is = 1680 dm. e De rechthoek is 0,41 dm ij 170 dm, dus de oppervlakte is 0, = 69,7 dm. f De rechthoek is 89 dm ij 93 dm, dus de oppervlakte is = 877 dm. g De rechthoek is 63 dm ij 77 dm, dus de oppervlakte is = 4851 dm. h De rechthoek is 55,5 dm ij 1 dm, dus de oppervlakte is 55,5 3 1 = 666 dm. V-3a De oppervlakte van ABC is : = 135 : = 67,5 dm. De oppervlakte van EFG is : = 168 : = 84 dm. c De oppervlakte van KLM is : = 168 : = 84 dm. V-4a AB = 6 AC = 15 BC = BC = 61 KL = 4 ML = KM = 5 ML = 49 = A C 15? K 6 B 5 4 M M? L S P R Q

2 c d PR = RQ = 704 PQ = PR = 196 = 14 VW = 1,6 WX = 7,4 VX =,56 54, ,3 VX = 57, 3 7,57 7,4 704 W V-5a Je ziet aan de hoogte dat de afmetingen met een factor 3 vergroot zijn. De hoogte is = 1 cm, de reedte is = 9 cm. De factor is 3. c De omtrek van de vergroting is 3 keer de omtrek van de pasfoto. d De oppervlakte van de pasfoto is = 1 cm. De oppervlakte van de vergroting is = 108 cm. e De oppervlakte van de vergroting is 9 keer de oppervlakte van de pasfoto. V-6a De oppervlakte van de vergroting is = = 6174 cm. De omtrek is = 378 cm. De oppervlakte van de vergroting is () = 108 = 1 dm. 3 9 De omtrek van de vergroting is 1 48 = 16 dm Driehoeken 1a CD = 5 cm AB = 14 cm c De driehoeken AFC en BCE zijn samen net zo groot als driehoek ABC. d De oppervlakte van ABC is : = 35 cm. e Nee, de lengte van AB en de hoogte CD veranderen niet. a De oppervlakte van ABC is : = 90. De oppervlakte van KLM is : = 63. PS = 15 RS = PR = RS = 64 = 8 c De oppervlakte van PQR is : = 76 R X Q 1,6? V? 30 P 13

3 3a 14 De asis is 4 cm en de hoogte is 3,5 cm. De oppervlakte van dit verkeersord is 4 3 3,5 : = 7 cm. c Nee, het kleine verkeersord past 15 = 5 keer in het echte verkeersord. d Het echte verkeersord heeft oppervlakte = 1575 cm. e Het verkeersord in Madurodam is een vergroting van het echte verkeersord met factor 1 1. De oppervlakte van dit verkeersord is ( ) 1575 = 5, cm = 5 mm a CF = 15 mm De oppervlakte van ABC is : = 300 mm. c De hoogte BE = 30 mm. d De oppervlakte van ABC is : = 300 mm. e Je het op twee verschillende manieren de oppervlakte van dezelfde driehoek erekend. De uitkomsten moeten dus gelijk zijn. 5 De oppervlakte van ABC is : = 54. Om de oppervlakte van KLM te erekenen, moet je eerst de hoogte KN erekenen. 6a LN = 8 KN = KL = KN = 5 = 15 De oppervlakte van KLM is : = 90. De oppervlakte van PQR is : = 35. Om de oppervlakte van VWX te erekenen moet je eerst de hoogte XY erekenen. VY = 9 XY = VX = XY = 175 De oppervlakte van VWX is : = ,6. Omdat punt S op precies het midden ligt van RQ, weet je dat QS = 1 m en kun je met de stelling van Pythagoras de hoogte PS erekenen. Over de ligging van punt T op PQ in de driehoek van Simone weet je nog niets. QS = 1 PS = PQ = PS = 56 = 16 m De oppervlakte van PQR is : = 19 m. c 19 = 0 3 hoogte RT : d 0 3 hoogte RT = 384 hoogte RT = 384 : 0 = 19, m

4 7a QS = 8 RS = QR = 17 De hoogte RS is = 15 dm. De oppervlakte van PQR is : = 90 dm. c Voor de oppervlakte van PQR geldt ook: oppervlakte PQR = asis PR 3 hoogte QT :, dus 90 = 5 3 hoogte QT : 5 3 hoogte QT = 180 hoogte QT = 180 : 5 = 7, dm d Voor de oppervlakte van PQR geldt ook: oppervlakte PQR = asis QR 3 hoogte PU :, dus 90 = 17 3 hoogte PU : 17 3 hoogte PU = 180 hoogte PU = 180 : 17 10,59 dm. 11- Parallellogrammen 8a De oppervlakte van de rechthoek is = 50 cm. - c De rechthoek om het parallellogram heen heeft een oppervlakte = 5 cm. De oppervlakte van het parallellogram is = 40 cm. d Ja, ijvooreeld: 9a - - c De oppervlakte van de rechthoek is = 18 cm. d De oppervlakte is dus ook 18 cm. 10 De oppervlakte van parallellogram ABCD is = 168. Voor de oppervlakte van parallellogram KLMN moet je eerst de hoogte NJ erekenen. KJ = 5 JN = KN = JN = 144 = 1 De oppervlakte van parallellogram KLMN is =

5 16 11a Je moet de oppervlakte met () 1 1 = vermenigvuldigen. 3 9 De oppervlakte van het nieuwe parallellogram is = 10 cm. 9 1a AB = 30 BD = AD = 50 BD = = 40 mm. De oppervlakte van parallelogram ABCD is = 100 mm. c 100 mm = 1 cm d e De schaal is 1 :. De hoogte wordt dan 4 mm. De oppervlakte is hetzelfde geleven en de asis is 50 mm, dus de hoogte moet 100 : 50 = 4 mm zijn. 13 oppervlakte ABCD = = 1 MO = 3 NO = MN = ,5 + 0,5 oppervlakte KLMN = , 5 30,19 Kies punt V op RS zodat QV evenwijdig is aan UT. RV = 8 QV = QR = QV = 5 = 15, dus de hoogte TU = 15. oppervlakte PQRS = = 360 XZ = WZ = 4 WX = oppervlakte VWXY = = a De oppervlakte van parallellogram ABCD is 8 7 = 60. De oppervlakte van parallellogram ABCD kun je ook erekenen met BC als asis en CE als hoogte. Er geldt dan: 1 3 hoogte CE = 60, dus hoogte CE = 60 : 1 = 5.

6 15a 11-3 Omtrek van een cirkel 4 cm De omtrek van de zeshoek is = 4 cm. c omtrek zeshoek = straal cirkel 3 6 d Dat getal zal in ieder geval meer dan 6 moeten zijn. Het lijkt redelijk om een getal tussen de 6 en de 7 in te vullen. e De omtrek van de cirkel is ongeveer 5 cm. 16a De diameter van een munt van euro is dan 3 13 = 6 mm. Dat klopt op de foto. De diameter van een munt van 1 euro is 3 mm en de diameter van een munt van 0 cent is mm. c Het touwtje met een lengte van 7 mm hoort ij de munt van 1 euro. d munt euro 1 euro 0 cent lengte touwtje in mm diameter munt in mm e Bij de munt van euro is het 8 : 6 3,15, ij de munt van 1 euro is het 7 : 3 3,13 en ij de munt van 0 cent is het 69 : 3, straal cirkel in dm 5,05,4 13,5 5 18a c diameter cirkel in dm 10,1 4, omtrek cirkel in dm 31,73 15,08 84,8 31,4 De omtrek van zo n wiel is 70 3 π 19,9 cm oftewel,199 meter. Het wiel draait over 1 km dus 1000 :, keer rond. De omtrek is van een wiel is nu 69,5 3 π 18,3 cm oftwel,183 meter. Het wiel draait over 1 km nu 1000 :, keer rond, dat is 3 keer méér. De omtrek van de wielen van de fiets van Maja is 1000 : 48,07 meter, dus de diameter van de wielen is,07 : π 0,66 meter oftewel 66 cm. De straal is 66 : = 33 cm. 17

7 18 19a diameter cirkel omtrek cirkel 0 3,14 6,8 9,4 1,57 18,85 31, c omtrek diameter Ja dat heeft zin, de diameter van een cirkel hoeft geen geheel getal te zijn. Telkens als de diameter van een cirkel 1 groter wordt, dan wordt de omtrek π groter. 0a De diameter van de grote cirkel is = 130 cm. Langs de grote cirkel is de weg de helft van een cirkel, dus π : 04, cm. De omtrek van de linker halve kleine cirkel is 40 3 π : 6,8 cm. De omtrek van de rechter drie halve kleine cirkels samen is π : 141,4 cm. De totale afstand van de weg langs de kleine cirkels is 6, ,4 = 04, cm. Het maakt niet uit, eide wegen zijn even lang. c De lengte van de linker halve cirkel is 1 π a en de totale lengte van de vier halve cirkels is dan π a+ π + π c+ π d. d De diameter van de halve cirkel van punt A naar punt B is a + + c + d en de lengte van die halve cirkel is dan 1 π ( a+ + c+ d ). e De antwoorden van de opdrachten c en d zijn gelijk. Je ziet dat door de haakjes weg te werken Oppervlakte van een cirkel 1a De tekening hieronder is op schaal 1 :. Aan het gearceerde deel hieroven zie je dat het aantal hele roostervierkantjes innen de cirkel 60 is. De oppervlakte van de cirkel is 78 à 79 cm.

8 a - De lengte van figuur ABCD is iets meer dan 15 cm en de reedte is ijna 5 cm. De oppervlakte is dus ongeveer = 75 cm. c De oppervlakte van de cirkel is ongeveer 75 cm. 3a c d De omtrek van de cirkel is 10 3 π 31,4 cm. AB is langs de oogjes gemeten 31,4 : = 15,7 cm. De lengte van AB langs de oogjes gemeten is de helft van de omtrek van de cirkel. Dat geeft: lengte AB langs de oogjes = π 3 diameter : Omdat diameter : = straal geeft dat: lengte AB langs de oogjes = π 3 straal De oppervlakte van de cirkel is goed te enaderen met de oppervlakte van de rechthoek. De oppervlakte van de rechthoek is AB 3 BC. En omdat BC straal, geldt: oppervlakte cirkel = π 3 straal 3 straal 4a oppervlakte = π cm De straal is 6 : = 13 cm, dus oppervlakte = π cm 5a De straal van het lauwe deel van klok 1 is 60 : = 30 cm. De oppervlakte ervan is π ,4 cm. De oppervlakte van de gele stukken van klok 1 is π cm. Het met een laagje edekken gaat in totaal 0, euro kosten. c De oppervlakte van de kleine cirkel is π 3 1,57 dm. d De oppervlakte van de grote uitenste cirkel is π 3 3 8,7 dm. De oppervlakte van de lauwe rand is 8,7 1,57 = 15,7 dm. 6a De omtrek van de twee halve innencirkels samen is 31, π 00 meter. Eén rondje langs de innenkant van de aan is = 400 meter. De straal van de twee halve uitencirkels is 31, = 41,83 meter. De oppervlakte van de twee halve ochten samen is π 3 41,83 π 3 31, = 314 m. De oppervlakte van de twee rechte stukken samen is = 000 m. Voor de aan is dus = 4314 m kunststof nodig. 7a Vul ij A = π 3 r voor A de waarde 54 in. π 3 r = 54 geeft r = 54 : π 17,19 en daaruit volgt dan r = 17, 19 4,15 dm. π 3 r = 317 geeft r = 317 : π 100,90 en daaruit volgt dan r = 100, 9 10,045 dm, dus de diameter van deze cirkel is ongeveer 0,09 dm. c De diameter van die cirkel is 46 : π 14,64 dm en de straal is dan ongeveer 7,3 dm. De oppervlakte van die cirkel is dus π 3 7,3 168,39 dm. 19

9 130 8 Het lik estaat uit drie delen: de ovenkant, de onderkant en de zijwand. De ovenkant is een cirkel met diameter 9,9 cm, dus met straal 9,9 : = 4,95 cm. De oppervlakte van de ovenkant is A = π 3 4,95 76,98 cm. De onderkant heeft ook oppervlakte 76,98 cm. Als je de zijwand valk maakt is het een rechthoek. De reedte van die rechthoek is 11,6 cm, de lengte is gelijk aan de omtrek van het lik, dus π 3 9,9 31,10 cm. De oppervlakte van de zijwand is 11,6 3 31,10 360,76 cm. Men heeft 3 76, ,76 514,7 cm metaal nodig om dit lik te maken. 9a De oppervlakte is π ,06 cm. De straal wordt dan = 48 en de oppervlakte π ,3. De oppervlakte is dan 738,3 : 01,06 = 36 keer zo groot. c De oppervlakte van de cirkel is A = π r cm. Voor de nieuwe cirkel geldt A = π 3 (3 3 r), oftwel A = π r r. Anders geschreven is dit A = π 3 r 3 r oftwel A = 9 3 π r. En dat is dus 9 keer zo veel als A = π r Gemengde opdrachten 1 30a De oppervlakte van de vergroting van de driehoek is ( 6 ) 1 = 507 cm. De oppervlakte van de driehoek is met 300 : 1 = 5 vermenigvuldigd. De afmetingen van de driehoek zijn dan met 5 = 5 vermenigvuldigd. ABC is dus met factor 5 vergroot. 31a De diameter van de vijver is 350 : π 111,4 m, dus de straal is ongeveer 55,7 m. De oppervlakte is zonder tussentijds af te ronden π 3 55, m. Er worden 9748 : karpers uitgezet. 3a De omtrek is π ,97 cm. Het touw ligt in een cirkel met diameter 1 cm + 00 cm = 1 cm. De omtrek van deze cirkel is π ,9 cm. Er is 694,9 65,97 = 68,31 cm 6,8 m touw extra nodig. c De omtrek van de aarde is π ,44 m. Het touw ligt in een cirkel met diameter = m. De omtrek van deze cirkel is π ,7 m. Er is , ,44 = 6,8 m touw extra nodig. 33a asis AB 3 hoogte BD = oppervlakte ABCD D 15 3 hoogte BD = 75 hoogte BD = 75 : 15 = 5 cm A 15 B AB = 15 BD = 5 AD = De lengte van AD is 50 15,8 cm. Een ruit is een ijzonder parallellogram, namelijk met allemaal even lange n. C

10 c 34a c De oppervlakte van VWXY is 5 cm en de asis is 5 cm. Dan moet de hoogte er loodrecht op ook 5 cm zijn en dat is even lang als de andere van VWXY. Dat kan alleen als VWXY een vierkant is. Als je ABF met factor vermenigvuldigd, krijg je ACG. De oppervlakte van driehoek ACG is dan = 4 keer zo groot als de oppervlakte van driehoek ABF, dus 4 3 0, = 0,8 m. Als je ABF met factor 3 vermenigvuldigd, krijg je ADH. De oppervlakte van ADH is dan 3 = 9 keer zo groot als de oppervlakte van ABF, dus 9 3 0, = 1,8 m. Als je ABF met factor 4 vermenigvuldigd, krijg je AEI. De oppervlakte van AEI is dan 4 = 16 keer zo groot als de oppervlakte van ABF, dus , = 3, m. De oppervlakte van DEIH is dan 3, 1,8 = 1,4 m. De oppervlakte van ijvooreeld AEI is 3, m. De oppervlakte van de vier zijvlakken samen is 4 3 3, = 1,8 m. Freddy heeft drie likken verf nodig, want aan twee likken verf heeft hij niet genoeg. 35a De lengte van het stuk papier is gelijk aan de omtrek van de cilinder. Dus als p = 0, dan is de omtrek gelijk aan 0, dus is de diameter gelijk aan 0 : π 6,37 cm. De omtrek van de cilinder is π 3 3 9,4 cm, dus p 9,4 cm. c De omtrek van de grondcirkel is gelijk aan de lengte van de halve cirkel van het stuk papier waarvan de kegel gemaakt is. De omtrek van een cirkel met straal 9 is π = 18 3 π, dus de lengte van de halve cirkel is 18 3 π : 8,7 cm. De omtrek van de grondcirkel is ongeveer 8,7 cm. d De diameter van de grondcirkel is 8,7 : π = 9, dus de straal is 4,5 cm. e De omtrek van de grondcirkel is de helft van die van een cirkel met straal r, dus de omtrek van de grondcirkel is π 3 r : = π 3 r. De diameter van de grondcirkel is π 3 r : π = r, dus de straal is 1 r. 36 Schaal 1 : 5 etekent dat de hoogte van een geouw in Madurodam in werkelijkheid 5 keer zo groot is, dus je moet met de factor 5 vermenigvuldigen. De oppervlakte van het echte voetalveld is 11,7 3 5 = 731,5 m. c De oppervlakte zou 364 : 5 = 3,784 km zijn. Dat lijkt niet in Madurodam te passen, want dan zou dat al ongeveer km ij km groot zijn. 37a In werkelijkheid is de straal van de aarde = cm ofwel 6400 km. De diameter is = km. De omtrek van de aarde is π km. De oppervlakte van de cirkel is π 3 = 4π 1,57 cm. c De oppervlakte van de vergroting is 16 : 4 = 9 keer zo groot als de oppervlakte van de foto in het oek. De oppervlakte van de cirkel op haar vergroting is dus 9 3 π cm. 131

11 T-1a 13 Test jezelf AD = 10 BD = AB = BD = 55, 91 oppervlakte ABC = ( ) 3 55 : 9,13 EG = 18 FG = EF = FG = 765 oppervlakte DEF = : 373,39 KL = 40 KM = LM = KM = 1536 oppervlakte KLM = : 783,84 Voor de driehoek geldt 8 3 hoogte : = 0 oftewel 4 3 hoogte = 0, dus de hoogte is 5 cm. c Dan moet gelden dat 48 3 hoogte : = 0 oftewel 4 3 hoogte = 0, dus de hoogte wordt 0 5 = cm. 4 6 d Voor die driehoek geldt 8 3 hoogte : = 180 oftewel 4 3 hoogte = 180, dus de hoogte is 45 cm. T-a oppervlakte ABCD = ( ) 3 0 = 500 oppervlakte PQRS = = 51 WZ = 0 XZ = 1 XW = hoogte XZ = 441 = 1 oppervlakte VWXY = = 609

12 T-3a c asis AB 3 hoogte CF = oppervlakte ABCD 5 3 hoogte CF = 500 hoogte CF = 500 : 5 = 0 Je had ook kunnen redeneren dat AD en AB even groot zijn en dat de ijehorende hoogten CE en CF dan ook even groot moeten zijn, dus CF = CE = 0. TP = 4 ST = 3 PS = PS = 1600 = 40 asis PS 3 hoogte RU = oppervlakte PQRS 40 3 hoogte RU = 51 hoogte RU = 51 : 40 = 1,8 De omtrek van de cirkel is 1 3 π 37,7 cm. De diameter is 3 5,3 = 10,6 cm. De omtrek van de cirkel is 10,6 3 π 33,3 cm. De diameter van de cirkel is 4,7 : π 7,86 cm, dus de straal van de cirkel is ongeveer 3,93 cm. T-4a De oppervlakte van figuur 1 is π 85, 6, 98 cm. Figuur is het verschil tussen een cirkel met straal 6 cm en een cirkel met straal 4 cm. De oppervlakte van figuur is π 6 π 4 6, 83 cm. De oppervlakte van figuur 3 ereken je door van de oppervlakte van een vierkant met = 13 cm de oppervlakte van vier kwart cirkels met straal 4 cm af te trekken. De oppervlakte van figuur 3 is ( ) π 4 118, 73 cm. De diameter van de cirkel is 30 π 9,55 cm en de straal 4,77 cm. De oppervlakte is π 3 4,77 71,6 cm. c De diameter van de cirkel is 56 : π 17,83 cm en de straal 8,91 cm. De oppervlakte is π 3 8,91 49,6 cm. T-5a De omtrek van een munt van 50 cent is 4 3 π 75,4 mm. De oppervlakte is π ,4 mm = 4,54 cm. c De diameter van de getekende cirkel is = 7 mm, dus de omtrek van de getekende cirkel is 7 3 π 6, mm. d De oppervlakte van de zeven munten samen is 7 3 π 3 1 = π mm e ( 3166,7 mm ). De oppervlakte van de grote cirkel is π 3 36 = π mm ( 4071,5 mm ). Er wordt dus 1008 π = 1008 = 7 deel van de getekende cirkel door de zeven 196 π munten edekt. De diameter van de grote cirkel is 3 keer die van een munt. De oppervlakte van de grote cirkel is dus 3 keer zo groot als de oppervlakte van één munt. Er passen 7 munten in de grote cirkel met een totale oppervlakte van 7 keer de oppervlakte van één munt. Welke soort munt je ook neemt, de 7 munten edekken altijd 7 deel van de cirkel

13 134 T-6a De lengte van het voetalveld is 9 mm en de reedte is 7 mm. De oppervlakte van het voetalveld op het kaartje is = 63 mm. c Zowel de lengte als de reedte van het echte voetalveld zijn keer zo groot, dus de oppervlakte is = keer zo groot. Guido heeft gelijk. d Op het kaartje zou de omtrek van de middencirkel 57,5 : = 0,00575 meter oftewel 0,575 cm of 5,75 mm moeten zijn. De oppervlakte van de middencirkel zou dan 63 : = 0, m oftewel 0,063 cm of,63 mm moeten zijn.