Hoofdstuk 21 OPPERVLAKTE VWO 4 A: = 10 B: 4 C: 8 D: INTRO

Transcriptie

1 Hoofdstuk OPPERVLAKTE VWO.0 INTRO A: +6=0 B: C: 8 D: 8. DE OPPERVLAKTE VAN EEN PARALLELLOGRAM 5 a Als voorbeeld de oppervlakte van D: De donkerblauwe rechthoek heeft oppervlakte 5 = 0. Daar gaan twee halve rechthoeken vanaf, één met oppervlakte 5 5 en de ander met oppervlakte 5 0. De lichtblauwe rechthoek heeft oppervlakte 7 =. Daar gaan twee halve rechthoeken vanaf, één met oppervlakte 5 7 en de ander met oppervlakte 7 0. De oppervlakte van D is: 0 ( ) 8. Opp. bovenste rij: 0 cm ; 8 cm ; cm Opp. onderste rij: 6 cm ; cm ; 9 cm ; 6 cm x berekenen in een blauwe driehoek: x 5 5 0, de totale breedte is dus = 0 cm. b Oppervlakte = = 700 cm. 6 a Nee b In het begin:,5 5 = 7,5 cm, in het andere geval: 0,5 5 =,5 cm. 7 Alledrie 0 cm, het eerste: A: 6 8 B: C: D: G: 9 E: 9 F: het derde: na de eerste keer na de tweede keer de Wageningse Methode Antwoorden H OPPERVLAKTE VWO

2 8 5 7 cm a a b De oppervlakte is ook 0 AC. Dus 0 AC 96, dus AC=9,6. 9 a b Zie opgave a.. ALLERLEI OPPERVLAKTES b oppervlakte bovenste parallellogram = 5 cm oppervlakte onderste parallellogram = 8 cm 0 9, : =,8 cm of 9, : 6 =, cm. DE OPPERVLAKTE VAN EEN DRIEHOEK a b 0 cm en 5 cm a 6 Verdeel het trapezium in twee driehoeken: de kleine driehoek heeft oppervlakte en de grote 6 9. De oppervlakte van het trapezium is a b c deel van 0 = 5 BC BC AD 50, dus BC AD = 00, dus AD = 00:BC = d ADC=BAC en DBA=CBA e De vergrotingsfactor van groot naar klein is: AB BC 5, dus AD= AC =. 5 9 a Een hellende kant is 0 bij Oppervlakte voorkant: Oppervlakte hellende kant: 7 0 = 0 Totaal: = 90 dm b Inhoud = dm 0 a x y 9 0 b oppervlakte van een parallellogram = 6 cm ; oppervlakte van een driehoek = cm Dus het andere latje is 8 + = 69 cm. b 0 69 = 760 cm c 760 : = 80 cm d : = 000 cm de Wageningse Methode Antwoorden H OPPERVLAKTE VWO

3 Oppervlakte kleine driehoek = cm Oppervlakte grote driehoek = cm Oppervlakte trapezium = = 750 cm a lange diagonaal = 5 b Oppervlakte van een van de driehoeken is: 5 0, dus oppervlakte vlieger = 60. Dus het halve oproduct van de diagonalen is 60, de korte diagonaal = 60: 9. 8 a 9 = 8 h: b : 5: b c b 9 b De breedte is en de hoogte 5. 9 abc h Oppervlakte = 8 8. RECHTHOEKEN MET DEZELFDE OMTREK b c 5 bij 5 m d h+b=50 5 b Ze liggen op één lijn. 6 a BR=RQ=OP en AP=PQ=OR want de driehoeken BRQ en PAQ hebben twee hoeken van 5, dus ze zijn gelijkbenig. b OR+RQ=OR+RB=OB en OP+PQ=OP+PA=OA Dus: OR+RQ+OP+PQ=OA+OB 7 ac d h+b=8 en h = b e b+b=8 b = 8 b = 8 h = 5.5 OPPERVLAKTE EN OMTREK VAN EEN CIRKEL 0 a r en r c = cm 5 5=5 cm m 6,cm a,5,5, dm, dus ongeveer liter b opp. zijkant: cm opp. onderkant: 5 5cm opp. totaal: cm Oppervlakte =,cm Omtrek =,6 cm 5 ( 0,5 0, ) 08,9,57kg b h+b=8 d h=b de Wageningse Methode Antwoorden H OPPERVLAKTE VWO

4 6 De vier oker stukken vormen een cirkel met straal 50. De vier blauwe stukken zijn twee rechthoeken van 50 bij 00 en twee van 50 bij 00. De totale oppervlakte van de atletiekbaan is: m. SUPER OPGAVEN 8 donkere banen: lichte banen:, en 9 a DE 5, oppervlakte = 0 = 0. b oppervlakte parallellogram = 5 BF, dus BF = 0:5 = 6. c Ze hebben beide een rechte hoek en beide hoek A. d De vergrotingsfactor van driehoek ADE naar ABF is AB:AD =, dus BF = DE = 6. 6 a Als je als hoogte h van de twee driehoeken de afstand van de evenwijdige zijden neemt, dan: oppervlakte ABD:oppervlakte BCD = h AB : h CD AB : CD : b Driehoek ASB krijg je uit driehoek CSD door met centrum S met - te vermenigvuldigen. Dus de oppervlakten verhouden zich als :. 7 a Noem de afstand van C tot zijde AB = h. Dan is de oppervlakte van driehoek ADC = h h en van driehoek BDC = 6h h. Dus oppervlakte driehoek ADC = 6 en oppervlakte driehoek BDC=. b oppervlakte driehoek AXC = AX h oppervlakte driehoek BXC = BX h 8 Oppervlakte AXC = 60 0 en oppervlakte BXC = 0. Het snijpunt van MN en CX noemen we S. Dan zijn CAX en CBX uitvergrotingen van CMS en CNS met factor, dus: oppervlakte CMS = oppervlakte CAX=0 en oppervlakte CNS = oppervlakte CBX=5 oppervlakte AXSM = 0 en oppervlakte XBNS = 5. 9 Als je AB als basis neemt, dan hebben de driehoeken ABD en ABC dezelfde hoogte, dus dezelfde oppervlakte. Als je van beide driehoek ABS weglaat, krijg je weer twee figuren met dezelfde oppervlakte. 0 6cm a De oppervlakte van de: linker driehoek is a h en van de rechter b h. b De oppervlakte van het parallellogram is a h en van de driehoek ( ba) h. c ( ba) hah bh ah ah bh ah d In formulevorm zegt Joris: oppervlakte trapezium is: ( a b) h. Als je in deze formule de haakjes wegwerkt krijg je weer: ah bh. Twee keer stelling van Pythagoras: h = x en h = 5 ( x) Dus: x = 5 ( x) 69 x = 5 (96 8x + x ) 69 x = x + x 0 = 8x x = 5, dus h 5 Oppervlakte driehoek = 8 de Wageningse Methode Antwoorden H OPPERVLAKTE VWO

5 9 a a b De rechthoek en het vierkant hebben het grijze deel gemeen. Het restant van de rechthoek ABCD heeft een kleinere oppervlakte dan het restant van het vierkant DEFG, want AE=ED. (driehoek AED is gelijkbenig: graden driehoek) en CE is kleiner dan EF (want EF=CD). 6 h Oppervlakte driehoek = 7 Verdeel het trapezium in twee driehoeken..7 EXTRA OPGAVEN Noem het vierde hoekpunt D en noem AB = x, dan BC=7 x. Oppervlakte ABCD = (7 x) 8, maar ook: oppervlakte ABCD = x 0 Dus: 0x = (7 x)8 0x = 6 8x 8x = 6 x = Dus x = AB = m en BC = 7 = 5 m. Driehoek DCS is gelijkvormig met driehoek BSA, vergrotingsfactor =. Dus SY = SX, dus SX = en SY =. opp. driehoek DCS: opp. driehoek ASB: 6 6 opp. driehoek ACS: opp. driehoek BSC: ( 6) 6 a Als je voor beide parallellogrammen als basis CD neemt, dan hebben ze dezelfde hoogte. b Als je bij beide driehoek GEF weghaalt houdt je twee trapezia met dezelfde oppervlakte over., en 5 samen hebben dezelfde oppervlakte als, en 6 samen. (beide de helft van een rechthoek). Verder hebben 5 en 6 dezelfde oppervlakte evenals en (zelfde argument). De kleine driehoek heeft oppervlakte en de grote heeft oppervlakte 6. De oppervlakte van het trapezium is + = 6. 8 a De vergrotingsfactor is, (vergelijk de zijden van en 6), de hoogte van de grote driehoek is dus keer de hoogte van de kleine. dus: h=h+ b Dus h= h=, dus de kleine driehoek heeft oppervlakte c De oppervlakte van de grote driehoek is 9 keer de oppervlakte van de kleine, dus 8. De oppervlakte van het trapezium is dus 6. 9 Neem aan dat de kleine driehoek hoogte h heeft, dan heeft de grote driehoek hoogte 0 h h, dus h, dus h. De kleine driehoek heeft oppervlakte 9 en de grote x Oppervlakte driehoek = de Wageningse Methode Antwoorden H OPPERVLAKTE VWO 5

6 0 Stelling van Pythagoras in de oker driehoek: h ( ) 8. Een zijkant heeft oppervlakte De oppervlakte van het parallellogram is 5 0=750. Noem de lengte van die zijde x, dan: x 0=750, dus x = 7. 7 Oppervlakte kwartcirkel =. Oppervlakte figuur = 9,7cm. 8 Zie plaatje: Totaal is er dm karton nodig. a De zijde evenwijdig met die van 0 is. De diagonalen in het linker en rechter zijvlak van de balk zijn 9 5. De andere zijden van het trapezium zijn en b Oppervlakte trapezium = De driehoeken en samen zijn 6 van driehoek ABC, dus samen 6. Driehoek is 6 en driehoek is 6. Driehoek en zijn samen. Driehoek is en driehoek is 8. Linksboven: rechtsboven: Linksmidden; 9 rechtsonder: 9 Linksonder: 8 CD=8:= BD 5 9, AD= 9=5 AC 5 driehoeken met gelijke tekens hebben gelijke oppervlakte. 9 De vier rechthoekige stukken hebben oppervlakte 5 8 De vier lichte stukken vormen samen een cirkel met straal, dus oppervlakte =. De oppervlakte van de strook is dus 8+ cm. 0 a Omdat BP = PQ = x, geldt: OP = a x. b Als je in beide vormen de haakjes wegwerkt, krijg je in beide gevallen: ax x. c - ( x a) a is voor elke x groter of gelijk aan a, omdat - ( x a) voor elke x kleiner of gelijk aan 0 is (vanwege het kwadraat). Die minimale waarde a kun je krijgen als ( x a) 0 en dat is als x a. 5 De oppervlakte van het witte vierkant is het halve product van de diagonalen = De oppervlakte van het gekleurde deel is: 6 :98 0,. de Wageningse Methode Antwoorden H OPPERVLAKTE VWO 6