5.1 Punten, lijnen en vlakken [1]

Transcriptie

1 5.1 Punten, lijnen en vlakken [1] Snijdende lijnen hebben een snijpunt. De snijdende lijnen FH en EG liggen in het vlak EFGH. Snijdende lijnen liggen altijd in één vlak. Een vlak is altijd plat en heeft geen randen (en is dus onbegrensd) 1

2 5.1 Punten, lijnen en vlakken [1] Het snijpunt van een tweetal snijdende lijnen kan zich ook buiten het ruimtefiguur bevinden!!! Een lijn heeft namelijk geen begin en geen eind. 2

3 5.1 Punten, lijnen en vlakken [1] Evenwijdige lijnen hebben dezelfde richting. De evenwijdige lijnen AC en EG liggen in het vlak ACGE. Om een vlak aan te geven is het voldoende om drie punten van dat vlak te noemen. Het vlak ACGE kan dus ook AGE, CGE, GEA of EAC genoemd worden. Evenwijdige lijnen liggen altijd in één vlak. 3

4 5.1 Punten, lijnen en vlakken [1] Kruisende lijnen zijn niet evenwijdig en hebben geen snijpunt. Kruisende lijnen liggen NIET in één vlak. 4

5 5.1 Punten, lijnen en vlakken [2] Hierboven zijn een aantal doorsneden getekend van de balk ABCD EFGH. Een doorsnede van een ruimtefiguur is de vlakke figuur die je krijgt als je De ruimtefiguur doorsnijdt. De doorsnede moet zo getekend zijn als de ruimtefiguur in twee stukken uiteen kan vallen. De randen van de doorsnede liggen in de grensvlakken van het ruimtefiguur. 5

6 5.1 Punten, lijnen en vlakken [2] In de balk ABCD EFGH is de doorsnede DMN getekend. Teken door het punt P de doorsnede die evenwijdig is met DMN. Je krijgt evenwijdige snijlijnen bij: Eén doorsnede die twee evenwijdige grensvlakken snijdt. Twee evenwijdige doorsneden die één grensvlak snijden. 6

7 5.1 Punten, lijnen en vlakken [2] In de balk ABCD EFGH is de doorsnede DMN getekend. Teken door het punt P de doorsnede die evenwijdig is met DMN. Stap 1: Teken de snijlijn PQ door P evenwijdig met MN. (De snijlijn PQ ligt in het grensvlak EFGH). 7

8 5.1 Punten, lijnen en vlakken [2] In de balk ABCD EFGH is de doorsnede DMN getekend. Teken door het punt P de doorsnede die evenwijdig is met DMN. Stap 2: Teken de snijlijn PR door P evenwijdig aan de snijlijn DN. (De snijlijn PR ligt in het grensvlak ABFE dat evenwijdig ligt aan het grensvlak DCGH.) 8

9 5.1 Punten, lijnen en vlakken [2] In de balk ABCD EFGH is de doorsnede DMN getekend. Teken door het punt P de doorsnede die evenwijdig is met DMN. Stap 3: Teken de snijlijn QS door Q evenwijdig aan de snijlijn DM. (De snijlijn QS ligt in het grensvlak BCGF dat evenwijdig ligt aan het grensvlak ADHE.) 9

10 5.1 Punten, lijnen en vlakken [2] In de balk ABCD EFGH is de doorsnede DMN getekend. Teken door het punt P de doorsnede die evenwijdig is met DMN. Stap 4: Teken de snijlijn ST door S evenwijdig aan de snijlijn PR. (De snijlijn ST ligt in het grensvlak DCGH dat evenwijdig ligt aan het grensvlak ABFE.) 10

11 5.1 Punten, lijnen en vlakken [2] In de balk ABCD EFGH is de doorsnede DMN getekend. Teken door het punt P de doorsnede die evenwijdig is met DMN. Stap 5: Maak de doorsnede af door de snijlijn RT te tekenen. Deze is evenwijdig aan de snijlijn PQ want beide snijlijnen liggen in evenwijdige grensvlakken. 11

12 5.1 Punten, lijnen en vlakken [3] Voorbeeld 1: Gegeven is de kubus ABCD EFGH. Het punt M is het midden van de ribbe EH. Onderzoek of de lijnen DF en BM snijdend, kruisend of evenwijdig zijn. 12

13 5.1 Punten, lijnen en vlakken [3] Voorbeeld 1: Kies drie van de vier punten D, F, B en M. Het vlak DBF is gelijk aan het diagonaalvlak DBFH. Uit de doorsnede volgt, dat punt M niet in dit vlak ligt. De lijnen DF en BM zijn dus kruisende lijnen. 13

14 5.1 Punten, lijnen en vlakken [3] Voorbeeld 2: Gegeven is de kubus ABCD EFGH. Het punt M is het midden van de ribbe EH. Onderzoek of de lijnen CH en BM snijdend, kruisend of evenwijdig zijn. 14

15 5.1 Punten, lijnen en vlakken [3] Voorbeeld 2: Kies drie van de vier punten B, C, H en M. Het vlak BCH is gelijk aan het Diagonaalvlak BCHE. Uit de doorsnede volgt, dat punt M in dit vlak ligt. De lijnen CH en BM zijn dus snijdende lijnen. 15

16 5.1 Punten, lijnen en vlakken [4] Gegeven is de kubus ABCD EFGH met het midden M van de ribbe GH. Teken de snijlijn k van de vlakken BCM en EGD. 16

17 5.1 Punten, lijnen en vlakken [4] Stap 1: Teken de rand van de doorsnede van het vlak BCM met de kubus rood. 17

18 5.1 Punten, lijnen en vlakken [4] Stap 2: Teken de rand van de doorsnede van het vlak EGD met de kubus groen. 18

19 5.1 Punten, lijnen en vlakken [4] Stap 3: Zoek de twee punten die zowel groen als rood zijn. Dit zijn de snijpunten S en K. 19

20 5.1 Punten, lijnen en vlakken [4] Stap 4: Teken de lijn door de punten K en S. Dit is de snijlijn van de beide vlakken. 20

21 5.1 Punten, lijnen en vlakken [5] Gegeven is het prisma ABC DEF. Het punt P ligt op de ribbe BC. Het punt Q ligt op de ribbe AD. Teken het snijpunt S van de lijn PQ en het vlak ABF. 21

22 5.1 Punten, lijnen en vlakken [5] Stap 1: Teken de doorsnede van het vlak ABF met het prisma in het groen. 22

23 5.1 Punten, lijnen en vlakken [5] Stap 2: Teken een rood hulpvlak waarin de lijn PQ ligt. 23

24 5.1 Punten, lijnen en vlakken [5] Stap 3: Teken met blauw de snijlijn AH van het rode en groene vlak. De beide vlakken hebben snijpunten bij A en H. 24

25 5.1 Punten, lijnen en vlakken [5] Stap 4: Het snijpunt van de blauwe lijn AH met de lijn PQ is het punt S. 25

26 5.2 Coördinaten in de ruimte [1] De balk hiernaast is in een Oxyz-assenstelsel getekend. Dit is een assenstelsel met drie assen. De positieve x-as steekt naar voren uit. De positieve y-as loopt naar rechts. De positieve z-as loopt naar boven. De naam van de balk is OABC DEFG. Het punt A heeft als coördinaten (3, 0, 0). Het punt E heeft als coördinaten (3, 0, 4). Het punt F heeft als coördinaten (3, 5, 4). Voor de ribbe BC geldt in de tekening: 2 vakjes naar rechts en 1 vakje omhoog. 26

27 5.2 Coördinaten in de ruimte [1] Het punt P heeft de coördinaten (3, 3, 4). Het punt Q ligt op het midden van het lijnstuk CP. Bereken de coördinaten van punt Q. x-coördinaat van Q = x Q xc xp y 2 2 y-coördinaat van Q = C p 5 3 y 4 z-coördinaat van Q = C p 0 4 z 2 Q Q z y z 2 2 Q(1½, 4, 2) 27

28 5.2 Coördinaten in de ruimte [2] In het Oxyz-assenstelsel hiernaast is ook een deel van de negatieve x-as getekend. Het punt L heeft de coördinaten (-3, 5, 4) Het horizontale vlak waarin de x-as en de y-as liggen, heet het Oxy-vlak. Het horizontale vlak waarin de x-as en de z-as liggen, heet het Oxz-vlak. Het horizontale vlak waarin de y-as en de z-as liggen, heet het Oyz-vlak. 28

29 5.2 Coördinaten in de ruimte [3] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(3, 0, 0), C(0, 5, 0) en D(0, 0, 4) Het punt M heeft de coördinaten (0, 2, 4). Het punt N ligt op het midden van de ribbe AE. De lijn MN snijdt het vlak ABC in het punt S. Bereken de coördinaten van S. 29

30 5.2 Coördinaten in de ruimte [3] Stap 1: Teken het snijpunt S van de lijn MN met het vlak ABC. Nu ontstaat het hulpvlak AEM. 30

31 5.2 Coördinaten in de ruimte [3] Stap 2: M(0, 2, 4) N(3, 0, 2) x2 M(0, 2, 4) S(6, -2, 0) 31

32 5.2 Coördinaten in de ruimte [4] De zijden AB en DE zijn evenwijdig. Bereken DE. Stap 1: Laat zien dat de twee driehoeken in de figuur gelijkvormig zijn. ABC heeft drie hoeken: A, B en C. DEC heeft drie hoeken: D, E en C. B = E (F-hoeken) A = D (F-hoeken) Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze twee paar gelijke hoeken hebben. Er geldt nu: ABC DEC. [Let op de juiste volgorde van de letters] 32

33 5.2 Coördinaten in de ruimte [4] De zijden AB en DE zijn evenwijdig. Bereken DE. Stap 2: Maak een algemene verhoudingstabel: ABC AB BC AC DEC DE EC DC Stap 3: Maak een verhoudingstabel met de bekende waarden: (3+5) 2 DE

34 5.2 Coördinaten in de ruimte [4] De zijden AB en DE zijn evenwijdig. Bereken DE. Stap 4: Bereken DE: DE

35 5.2 Coördinaten in de ruimte [4] ABC en ADE zijn gelijkvormig. Bereken AD en DE Stap 1: Noteer welke driehoeken gelijkvormig zijn (Dit moet je soms aflezen) ABC ADE Stap 2: Maak een algemene verhoudingstabel. Zet de overeenkomstige zijden onder elkaar: ABC AB BC AC ADE AD DE AE 35

36 5.2 Coördinaten in de ruimte [4] ABC en ADE zijn gelijkvormig. Bereken AD en DE Stap 3: Maak een verhoudingstabel met de bekende waarden: AD DE 2 Stap 4: Bereken de zijden AD en DE; DE 4 2 AD

37 5.2 Coördinaten in de ruimte [4] Gegeven is de kubus OABC DEFG. De lengte van lijnstuk AB is 4. Bereken de coördinaten van het snijpunt S van de lijn CE en het vlak OBG. Stap 1: Teken de kubus OABC DEFG 37

38 5.2 Coördinaten in de ruimte [4] Gegeven is de kubus OABC DEFG. De lengte van lijnstuk AB is 4. Bereken de coördinaten van het snijpunt S van de lijn CE en het vlak OBG. Stap 2: Teken het vlak OBG (blauw) en de lijn CE (groen). Let op: Het vlak OBG is ook een doorsnede van de kubus. 38

39 5.2 Coördinaten in de ruimte [4] Gegeven is de kubus OABC DEFG. De lengte van lijnstuk AB is 4. Bereken de coördinaten van het snijpunt S van de lijn CE en het vlak OBG. Stap 3: Teken een hulpvlak waarin de lijn CE ligt. 39

40 5.2 Coördinaten in de ruimte [4] Gegeven is de kubus OABC DEFG. De lengte van lijnstuk AB is 4. Bereken de coördinaten van het snijpunt S van de lijn CE en het vlak OBG. Stap 4: De vlakken ACGE en OBG hebben de snijpunten M en G. Het tekenen van een lijn door M en G geeft het snijpunt S van de lijn CE en het vlak OBG. 40

41 5.2 Coördinaten in de ruimte [4] Gegeven is de kubus OABC DEFG. De lengte van lijnstuk AB is 4. Bereken de coördinaten van het snijpunt S van de lijn CE en het vlak OBG. Stap 5: Teken het vlak ACGE waarin het snijpunt S ligt. Uit de tekening volgt: CMS is gelijkvormig met EGS. CM : EG = 1 : 2 CS : ES = 1 : 2 en dus CS = 1 3 CE 1 De verplaatsing van C naar S is 3 van de verplaatsing van C naar E. 41

42 5.2 Coördinaten in de ruimte [4] Gegeven is de kubus OABC DEFG. De lengte van lijnstuk AB is 4. Bereken de coördinaten van het snijpunt S van de lijn CE en het vlak OBG. Stap 6: C(0, 4, 0) E(4, 0, 6) x 1 3 C(0, 4, 0) S(, 2 3 )