Hoofdstuk 6 - Oppervlakte en inhoud

Transcriptie

1 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk - Oppervlakte en inhoud ladzijde 0 V-a Er passen vierkanten in de puzzel dus één vierkant neemt -deel in eslag. De oppervlakte van de puzzel is = 44 cm. De diagonaal van het vierkant is de helft van de zijde van de puzzel, dus : = cm. Volgens de stelling van Pythagoras geldt vierkantzijde + vierkantzijde =. Dit oplossen geeft vierkantzijde = vierkantzijde = vierkantzijde= of vierkantzijde = Alleen een positieve lengte heeft etekenis dus de zijde heeft lengte. De oppervlakte van het vierkant is dus = cm. Dat is : 44 = -deel van de puzzeloppervlakte. Alle puzzelstukjes kun je verdelen in kleine driehoeken zoals in de tekening hiernaast staat. Door het aantal kleine driehoeken te tellen dat in elk puzzelstukje past kun je de oppervlakten van de puzzelstukjes met elkaar vergelijken. Je vindt: ) de rode driehoek en de kleine driehoek ij het midden ) het vierkant, het parallellogram en de grotere driehoek rechtsoven ) de grote driehoek links en de grote driehoek onder In de puzzel passen kleine driehoeken en in het vierkant. Zo kun je ook zien dat het vierkant -deel van de puzzeloppervlakte is. c De oppervlakte van een kleine driehoek is -deel van de puzzeloppervlakte van 44 cm. Dat is dus 44 : = 9 cm De oppervlakte van de twee kleine driehoeken is dus 9 cm De oppervlakte van het vierkant is cm (zie vraag a). Dat is dus ook de oppervlakte van het parallellogram en de grotere driehoek rechtsoven (zie vraag ). De oppervlakte van elk van de twee grote driehoeken is 4 de oppervlakte van een kleine driehoek = 4 9 = cm d De kleine driehoeken: Schuine zijde: in een zijde van de puzzel passen twee van zulke schuine zijden (zie de tekening ij vraag ), dus de lengte is : = cm Elke rechte zijde: deze is gelijk aan de zijde van het vierkant. In vraag a is deze uitgerekend en edraagt 44, cm De grotere driehoek rechtsoven: Schuine zijde = rechte zijde van een kleine driehoek =,49 cm Elke rechte zijde = schuine zijde van een kleine driehoek = cm De grote driehoeken: Schuine zijde = zijde puzzel = cm Elke rechte zijde = rechte zijde van een kleine driehoek =,49 cm Het parallellogram: Korte zijde = rechte zijde van een kleine driehoek = 44, cm Lange zijde = schuine zijde van een kleine driehoek = cm 0

2 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde e Rode driehoek: oppervlakte = oppervlakte vierkant = = asis = cm hoogte = cm oppervlakte= asis hoogte = = = 9 cm, klopt Parallollogram: oppervlakte= asis hoogte asis = cm hoogte = zijde puzzel = = cm 4 4 oppervlakte= asis hoogte = = cm = oppervlakterodedriehoek, klopt ladzijde V-a c De diagonalen van een vlieger staan loodrecht op elkaar en één van de diagonalen deelt de andere middendoor. AS = cm, BD = 4 cm en AC = cm Hieruit volgt BS = 4 : = cm, DS = 4 : = cm en CS = AS = = 4 cm De oppervlakte van de vlieger estaat uit de oppervlakte van vier driehoeken: opp vlieger = opp ABS + opp BCS + opp CDS + opp ADS = AS BS + BS CS + CS DS + AS DS = = = cm AS = cm, BD = 4 cm en AC = cm Hieruit volgt BS = 4 : = cm, DS = 4 : = cm en CS = AS = = 5 cm. De oppervlakte van de vlieger estaat uit de oppervlakte van vier driehoeken: opp vlieger = opp ABS + opp BCS + opp CDS + opp ADS = AS BS + BS CS + CS DS + AS DS = = = cm De oppervlakte lijft dus hetzelfde. V-a De oppervlakte van de gehele cirkel is π = π = 9π Het witte deel is = de deel van de cirkel. De oppervlakte van het witte deel is dus 7 9π = 5 π, 5 4 Blijf in je erekening met π werken tot aan het eindantwoord om afrondfouten onderweg te voorkomen. De omtrek van de gehele cirkel is π r = π = π De omtrek van het witte deel is dus 7 π+ = π + 70, c Voor de driehoek in de ovenste helft geldt: asis= straal = De hoek met de middellijn is 0 : = 0, dus hoogte = straal sin0 = sin 0 r oppervlakte = asis hoogte = sin 0, 97 Voor de driehoek in de onderste helft geldt: asis= straal = hoogte = straal = oppervlakte= asis hoogte = = 45,

3 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde V-4a D A C B De ruit kun je verdelen in vier driehoeken met asis= AC : = 0: = 5 en schuine zijde =. Met de stelling van Pythagoras ereken je de hoogte van elke driehoek. Deze is 5 = De oppervlakte van elke driehoek is asis hoogte = 5 =, 5 De oppervlakte van de ruit wordt daarmee 4, 5 = 0, c Met AC = 9 wordt de hoogte 4, 5 = 575, en de oppervlakte van de ruit 4 4, 5 575, 57, Met AC = wordt de hoogte 5, 5 = 5, 75 en de oppervlakte van de ruit 4 5, 5 5, 75, d Nee, naarmate AC groter wordt neemt de oppervlakte juist af. V-5a De punten P, Q, R en M vormen een vierhoek. De lijnen PQ en MR lopen evenwijdig, dus PQRM vormt een trapezium. PQ = MR = QR = + = 7 49, Om PM te erekenen kies je punt K in het midden van PQ. PM is de schuine zijde van de rechthoekige driehoek PKM met PK = en KM = QR,49, zodat PM = +, 49 0, 9 Oppervlakte PQRM = oppervlakte driehoek PKM + oppervlakte rechthoek KQRM = PK KM + KQ QR = = , c De inhoud van de kuus is = 7 Verdeel de kuus in vier gelijke parten: snijd hem horizontaal doormidden door PQ en verticaal door RS. De inhoud van elk part is 7 : 4 = 4 Het vlak PQRS deelt een een van de parten in twee stukken. Eén van deze stukken is het kleine deel dat PQRS van de kuus afsnijdt en het heeft als inhoud 4 : = Het grote deel dat PQRS van de kuus afsnijdt heeft dan als inhoud 7 = 5 V-a Kies punt M in het midden van AB. Met de stelling van Pythagoras volgt MT = AT AM = 4 = 4 cm opp ABT = AB MT = 4 77, cm AC = AB + BC = + =, cm T A, C

4 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde c Dit toon je aan met de omgekeerde stelling van Pythagoras: als de stelling van Pythagoras voor een driehoek klopt dan heeft die driehoek een hoek van 90. De stelling van Pythagoras klopt voor ACT (zie vraag ) dus ATC = 90 d Kies punt L in het midden van AC, dan geldt AL = 5, cm. De hoogte LT van de piramide volgt uit LT = AT AL = ( ) = 5, cm (dit kun je ook afleiden uit de gelijkvormigheid van ALT met ACT ) e Een cirkel die precies in vierkant ABCD past heeft een diameter die gelijk is aan lengte AB, dus cm. De omtrek van de cirkel is π diameter = π 5, cm f Een cirkel die door de punten A, B, C en D gaat heeft straal r = AC : = : 5, cm. De oppervlakte van de cirkel is π r = π ( ) 00, 5 cm ladzijde a Voor de alk geldt inhoud = lengte reedte hoogte = 5, = 00 cm De inhoud zal gelijk lijven want de tweede stapel is opgeouwd uit hetzelfde aantal enveloppen als de eerste en de inhoud van een enkele enveloppe lijft onveranderd. ladzijde a Het grondvlak ABC heeft oppervlakte AB AC AC = BC AB = 5 4 = 9 =, dus oppervlakte G = 4 = Inhoud = G h= AD = = a Kies punt K in het midden van AB, dus AK =. De hoogte van het scheve prisma is DK en AKD is 90, dus DK = AD AK = = 5, 4 Inhoud = G h= 5, 4 4a Het grondvlak is een cirkel met een straal van 0 : = 5 cm, dus de oppervlakte G = π r = π 5 = 5 π Inhoud = G h= 5π 0 = 50π 75cm De middelste maateker heeft een oppervlakte G = π r = π 4 = π Inhoud = G h= π = π 40cm De kleinste maateker heeft een oppervlakte G = π r = π = 9 π Inhoud = G h= 9π = 54π 70cm 5a Rie AE = 4 cm. ES = AE AS AS = AC en AC = AB + BC = = cm, dus AS =, cm Hieruit volgt ES = 4,, cm Inhoud = G h= AB BC ES = 4 4, 45, cm a Diameter grootste schijf = 0 cm Diameter middelste schijf = 0% van de diameter grootste schijf = 0,0 0 = cm Diameter kleinste schijf = 0% van de diameter middelste schijf = 0,0 =, cm

5 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Inhoud grootste schijf = G h= πr h= π 0 4 = 400π 57cm Inhoud middelste schijf = G h= πr h= π 4 = 5π 04cm Inhoud kleinste schijf = G h= πr h= π 4, 4 55cm c De verhouding van de inhoud tussen de grootste en de middelste schijf is % % Dat is een afname van 00% 4% = % De verhouding van de inhoud tussen de middelste en de kleinste schijf is % % Dat is een afname van 00% 4% = % De inhoud neemt met een vast percentage af want eide percentages zijn gelijk. ladzijde 4 7a c d e Piramide H.ABCD heeft grondvlak ABCD en piramide H.BCGF heeft grondvlak BCGF. De piramiden zijn exact hetzelfde want alle heen - een vierkant met rie 4 als grondvlak - een top die op hoogte 4 oven een hoekpunt van het grondvlak ligt. De kuus met inhoud 4 = 4 wordt verdeeld in drie identieke piramiden. De inhoud van één piramide is dus -deel van de inhoud van de kuus en is 4 : = In de formule is G het grondvlak van de piramide, maar het grondvlak is ook een vlak van de kuus, dus met oppervlakte 4 =. In de formule is h de hoogte van de top van de piramide, maar de hoogte is ook een rie van de kuus, dus met lengte 4. Het product G h is de inhoud van de kuus. Hiervan neem je het -deel want er gaan drie identieke piramiden in een kuus. Bij piramide P.ABFE ligt top P in het verlengde van GH. Punt P is dus een verschuiving van punt H over een afstand van 4. De hoogte van P tot het grondvlak lijft door de verschuiving onveranderd op 4. In de formule voor de inhoud verandert h dus niet en de eide piramiden heen eveneens hetzelfde grondvlak. De inhouden van eide piramiden zijn dus ook gelijk. ladzijde 5 a T A 59 C 4 De afstand AC volgt uit + = 59 De vier opstaande rien zijn even lang en heen elk een lengte van + ( 59) =, 5 m

6 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde De oppervlakte van het glas estaat uit de vier vlakken van de piramide. Elk vlak is een gelijkenige driehoek met twee zijden van,5 meter op een asis van meter. De hoogte van een driehoek is, 5 ( ) = 0 De oppervlakte is dus 0 5, 7 m De oppervlakte van het glas is 4 5,7 047 m c Inhoud = G h= = 9504 m 9a Inhoud cilinder = G h= π r h= π 5 = 00π, Inhoud kegel = G h= π r h= π 5 = π 09, 4 De formule voor de inhoud van de kogel is de inhoud van de cilinder, dus de kegel neemt 00% =, % van de inhoud in. 0a Viervlak BGFM is een piramide. Kies ijvooreeld BFM als grondvlak en FG als hoogte. De oppervlakte G van het grondvlak is -deel van het voorvlak ABFE, dus 4 G= AB AE = =, 4 4 Daarmee wordt de inhoud G h= 45, FG = 45, AD = 45, 4= Eerst ereken je de lengte van de zijden van BGM uit FM =, BF = en FG = 4: BM = FM + BF = + = GM = FM + FG = + 4 = 5 = 5 BG = BF + FG = + 4 = 5 = 5 BGM is dus een gelijkenige driehoek. Kies punt K in het midden van BM. De hoogte KG van BGM is GM ( BM) = 5 4 = 0, 5 Hiermee wordt de oppervlakte BGM = BM KG = 0, 5 9, c De piramide opgevat als F.BGM heeft dezelfde inhoud als de piramide opgevat als G.BFM. Daaruit volgt: Inhoud FBGM. = InhoudGBFM. oppervlakte BGM h= (zie vraag a) 9, h = (zie vraag ) 9, h = h = : 9,, a vooraanzicht 40 zijaanzicht 0 ovenaanzicht 0 0 In de figuur hiernaast zie je de afmetingen van het prisma en de piramide. Met de voorste driehoek als grondvlak is de inhoud van de piramide G h= ( 0 0 ) 0 cm De inhoud van het prisma is de helft van het lok met zijden cm, dus = 000 cm De inhoud van het deel is = cm

7 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde c De inhoud van het etonlok is de inhoud van het lok met zijden waar het weggelaten deel vanaf wordt getrokken. Dat geeft = 7 cm ladzijde a r = r MN = 0 5 = 75 oppervlakte = π r = π ( 75) = 75π 5, r = r MN = 0 4 = 4 oppervlakte = π r = π ( 4) = 4π, 9 c Voor elke cilinder geldt h =. De inhoud van de cilinder met straal r is π r h= 5, = 5, De inhoud van de cilinder met straal r is π r h=, 9 =, 9 a nummer van het plakje straal van de uitenste cilinder inhoud van de uitenste cilinder 4,,0 0, 5,9,9 5, 0, 0,, 59,7 straal van de innenste cilinder inhoud van de innenste cilinder,0 0, 5,9,9 5, 0, 0,, 59,7 0 De cilinders die precies in de halve ol passen zijn de plakjes met de straal van de innenste cilinder. De som van de inhouden van de innenste cilinders is dus de gevraagde totale inhoud. Optellen van de laatste rij in de tael geeft hiervoor,0 + 0, ,7 + 0 = 9, c De cilinders waar de halve ol precies in past zijn de plakjes met de straal van de uitenste cilinder. De som van de inhouden van de uitenste cilinders is dus de gevraagde totale inhoud. Optellen van deze rij in de tael geeft hiervoor 4, +, , + 59,7 = 4, d Het gemiddelde is (9, + 4,) : = 09, e De enadering met plakjes voor de halve ol was 09, dus voor de gehele ol 09, = 47,4 De inhoud volgens de formule 4 π r geeft 4 π 0 4, De enadering in plakjes klopt dus goed met de erekende inhoud volgens deze formule. ladzijde a Inhoud = π r = π, 5 cm Oppervlakte = 4π r = 4π 50, 7 cm De diameter van een alletje is r = = 4 cm In de zijde van 0 cm passen 0 : 4 = 5 alletjes. In de zijde van cm passen : 4 = 4 alletjes. In de zijde van 4 cm past 4 : 4 = alletje. In totaal passen er dus 5 4 = 0 alletjes in de doos.

8 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde c De inhoud van de doos is 0 4 = 0 cm De inhoud van de 0 alletjes is 0,5 = 70, cm De alletjes nemen 70, : 0 00% = 5,4% van de doos in. 5 Voor de erekening van de oppervlakte van de aarde he je de straal van de aarde nodig. De evenaar rond de aarde vormt de omtrek van een cirkel. De straal hiervan is de straal van de aarde. Er geldt dus Omtrek aarde = π r aarde = π r aarde r aarde = :( π ) km De oppervlakte van de aarde wordt daarmee 4 π r = 4 π 509, miljoen km Als hiervan 70% edekt is met water lijft er 0% over voor land. Dat is 0,0 509, miljoen km 5, miljoen km a Het onderste deel van de glasak is een cilinder en het ovenste deel een halve ol. 0,7, 0,7 0,7 c De straal van de halve ol is 0,7 m. De inhoud van de halve ol is 4 4 π r = π 0, 7 0, 7 m De straal van de cilinder is 0,7 m en de hoogte is, m. De inhoud van de cilinder ol is πr h= π 07,,, 9 m De inhoud van de glasak is dus 0,7 +,9,4 m d De oppervlakte van de halve ol is 4π r = 4π 07, 0, m De oppervlakte van de cilinder is π r h= π 0,7, 4,4 m Samen is dat,0 + 4,4 = 7,9 m Er is dus 7,9 : 0,75 0,74 liter verf nodig. 7 Voor de erekening moet je de oppervlakte van de ol weten. Hiervoor he je de straal van de ol nodig. Die ereken je uit 4 π r = 500 en geeft r 4 = 500 :( π ) 9, 4 r = 9, 4 4, 9 m De oppervlakte van de ol is 4π r = 4π 49, 04, m. Er is dus ongeveer 04, m isolatiemateriaal nodig. a cm als kuus is een kuus met rien van cm. Een vlak van zo n kuus heeft een oppervlakte van = cm. Er zijn vlakken dus de oppervlakte is = cm 4 De straal van een olvormige druppel volgt uit inhoud = π r = cm, en geeft 4 r = ( :( π)) 0, cm. De oppervlakte is 4π r = 4π 0, 4, cm Dat is 4, =,7 cm minder dan van de kuus, ofwel,7 : 00% = 9,5% 7

9 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde ladzijde 9a De omtrek is π diameter = π 0, 4cm, c,4 De oppervlakte van de cilindermantel is de oppervlakte van de rechthoek, dus,4, 5 cm 0a De oppervlakte van de kegelmantel is de oppervlakte van de halve cirkel met straal 0 cm, dus π r = π 0 cm De omtrek van de grondcirkel is Omtrek oorspronkelijke cirkel = π r = oorspronkelijke cirkel π 0, cm De straal van de grondcirkel vind je dan uit π r =, en geeft r = 0 cm c Uit de tekening hiernaast volgt voor de straal r = 0 5 = 75, cm De omtrek van de grondcirkel is π r = π 75, cm d De omtrek van de oorspronkelijk cirkel is π r = π 0 5, 7 cm De omtrek van de grondcirkel is, cm, dat is, : 5,7 = 0, deel. Dit gedeelte van de omtrek is ook het geruikte gedeelte van de oorspronkelijke cirkel. De oppervlakte van de kegelmantel is dus 0, de oppervlakte van de oorspronkelijke cirkel = 0, π r = 0, π 0 9cm A 0 r T ladzijde 9 a De straal a van de oorspronkelijke cirkel, waarvan de kegelmantel een onderdeel is, ereken je met de formule a= r + h = = 0, cm De omtrek van de grondcirkel is π r = π 5, cm en van de oorspronkelijke cirkel π a = π 7, 7cm De uitslag van de kegelmantel is dus gelijk aan 5, : 7,7 0,7 deel van de gehele cirkel en heeft een middelpuntshoek van 0,7 0 De tekening van de uitslag kun je nu maken. De oppervlakte van de kegelmantel is π r a = π 4 0, cm c 5 is het 5 = 5 -deel van een gehele cirkel. Er geldt 0 Omtrek van de grondcirkel = 5 omtrek van de oorspronkelijke cirkel met straal a = cm, dus 5 π r = π, waaruit de straal van de grondcirkel volgt r = 5 =7,5 cm De oppervlakte G van de grondcirkel is dus π r = π 75, = 5, 5πcm en de hoogte van de kegel h= a r = 7, 5 = 7, 75 cm Hiermee ereken je de inhoud van de kegel: G h= 5, 5π 7, 75 55cm 0, cm

10 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde In enkele oeken staat µ= 0, 0 mm. Dit is onjuist. Juist is µ= 0, 00 mm. Onderstaande antwoorden gaan uit van de juiste waarde van µ. a De totale oppervlakte van een loedcel vormt een gesloten cilinder. De totale oppervlakte estaat dus uit het grondvlak + de cilindermantel. De straal van de cilinder is 7,µ : =,µ =, 0,00 mm = 0,00 mm en de hoogte is,µ = 0,00 mm. Hiermee wordt de totale oppervlakte πr + πr h = π 0, 00 + π 0, 00 0, 00 0,000 mm De totale oppervlakte van vier op elkaar gekleefte schijfjes estaat uit het grondvlak + 4 de cilindermantel, dus πr + 4 πr h = π 0, π 0, 00 0, 00 0, 000 mm c Indien vier loedcellen als losse cellen voorkomen heen ze een totale oppervlakte van 4 0,000 = 0,0005 mm Vier op elkaar gekleefde cellen heen dus maar 0,000 : 0, % 54% oppervlakte hiervan. Dat is = 4% minder oppervlakte. Als alle cellen in groepen van vier aan elkaar kleven wordt er dus 4% minder zuurstof opgenomen. a De inhoud van de kegel is G h= πr h= π 5 = 00πcm De hoogte h van de onder- en ovenkegel in de duele kegel is voor eide : = cm De inhoud van de duele kegel is G h= πr h= π 5 = 00π cm De inhoud van de kegel en de duele kegel zijn dus gelijk. De oppervlakte van de kegelmantel is π r a = π r r + h = π = 5πcm De oppervlakte van de duele kegel is π r a = π r r + h = π = 0 π 7π cm De oppervlakten zijn dus niet gelijk. ladzijde 70 4a De hoogte van 45 cm waarop de doorsnede gemaakt wordt is op 45 : 0 = 0,75 van de hoogte van 0 cm van het lok. De afstand L tot BF is dus ook 0,75 van BC dus 0,75 40 = 0 cm. De afstand N tot HD is dus ook 0,75 van CD dus 0,75 0 =,5 cm. De doorsnede kun je nu kunt tekenen. D,5 N 7,5 M, C K 0 L 0 A 0 B 0 Zijde 0 cm moet lengte 40 worden, dus de zijde moet je met het getal 4 vermenigvuldigen. Voor de andere zijden klopt dat ook. De zijden van piramide G.KLMN zijn een kwart van de zijden van piramide G.ABCD. 9

11 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde c De oppervlakte van ABCD is AB CD = 0 40 = 00 De oppervlakte van KLMN is KL MN = 7,5 0 = 75 d oppervlakte ABCD = oppervlakte KLMN e Inhoud van G.KLMN = G h= 75 5 = 75 Inhoud van G.ABCD = G h= 00 0 = 4000 De verhouding van de inhouden is 75 : 4000 : 75 = : 4 5a De inhouden van de kleine en de grote kuus verhouden zich als : 79. De inhouden van de kleine en de grote kuus verhouden zich ook als : k waarij k de zijde van de grote kuus is. Bij k = 79 is k = 79 = 9, dus de zijde van de kleine kuus moet je met 9 vermenigvuldgen om de zijde van de grote kuus te krijgen. De oppervlakte van de kleine kuus is k kleiner dan de oppervlakte van de grote kuus. Voor de kleine kuus is dus 0, : 9 = 0, : 0, 00 liter verf nodig. Het middelste poppetje is 7 cm hoog, dat is 7 : 5 =,4 de hoogte van het kleinste poppetje. De oppervlakte van het middelste poppetje is dus 44 4, =, 4 cm De inhoud van het middelste poppetje is dus 0 4, = 54, cm Het grootste poppetje is 9 cm hoog, dat is 9 : 5 =, de hoogte van het kleinste poppetje. De oppervlakte van het grootste poppetje is dus 44, = 4, 5 cm De inhoud van het grootste poppetje is dus 0, =, 4 cm ladzijde 7 7a Het ovenste deel zand heeft de halve hoogte van de kegel. Het zand is op te vatten als een verkleining van keer van de kegel. De inhoud van het zand is dus = maal kleiner dan de kegel, ofwel -deel van de kegel. Voor het leeglopen van -deel van de kegel is 5 seconden nodig. Voor het leeglopen van de zandloper moet een hele kegel met zand leeglopen. Dat duurt dus 5 = 0 seconden = minuten. a De oppervlakte van het grondvlak van de piramide is = 44 cm De inhoud van de piramide is G h= 44 = 44 cm Er kan dus 44 cm water in. De hoogte van de piramide is cm. Als de ovenste 7 cm worden weggelaten dan laat je 7 : = 0,5 ofwel 5% weg. Omdat de rien van de piramide recht zijn snijd je hier ook 5% van af. c De hoogte van de piramide in de tweede vaas is cm De piramide in de tweede vaas is op te vatten als een verkleining van : = 4 keer van de piramide in de eerste vaas. De inhoud van de tweede vaas is dus () 4 keer kleiner ofwel 44 : () 4 = 57 cm In de tweede vaas kan dus 57 cm water. 40

12 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde d Inhoud van de eerste vaas = inhoud alk inhoud piramide = G h= 50 = 45 cm = 4,5 dm Het gewicht van de eerste vaas is dus 400 4,5 4 gram Inhoud van de tweede vaas = inhoud alk inhoud piramide = 4 4 ( 0 7) G h= 450 (0,75 075, ) = 94 cm =,94 dm Het gewicht van de tweede vaas is dus 400,94 57 gram 9a c d Het gewicht van de tijger is afhankelijk van de inhoud van de tijger, dus de tijger weegt ongeveer 45, 4 = kg De vacht van de tijger is afhankelijk van de oppervlakte van de tijger, dus de tijger heeft ongeveer 5 4 = 40 dm vacht. De warmteafgifte door de huid moet even groot zijn als de warmteproductie. Een dier met kleinere afmetingen heeft een = 4 kleiner oppervlak en een = kleinere inhoud. De verhouding warmteafgifte : warmteproductie moet gelijk zijn aan de verhouding oppervlakte : inhoud, ofwel : 4 = Een dier met kleinere afmetingen moet dus meer warmte produceren en heeft naar verhouding meer voedsel nodig heeft. Evenzo kun je aantonen dat een dier met k kleinere afmetingen k meer warmte moet produceren en naar verhouding k meer voedsel nodig heeft. De draagkracht is evenredig met de dikte van de poten. Het gewicht van het dier is evenredig met de inhoud. De poten van de tijger moeten een 4 = 4 groter gewicht dragen dan de poten van de kat. De oppervlakte van de tijger is maar 4 = groter dan van de kat en de poten zouden in verhouding ook dikker zijn. Maar dan zouden de poten slechts een zo groot gewicht kunnen dragen en geen 4. De poten van de tijger moeten dus naar verhouding dikker zijn dan de poten van een kat om toch het 4 grotere gewicht te kunnen dragen. 0a Henk is 0 : 90 = groter dan Boy. Het volume van Boy moet met = vermenigvuldigd worden om dat van Henk te krijgen. Henk zou in verhouding = kg moeten zijn. c Een volwassene heeft in het algemeen een andere lichaamsvorm dan een peuter. ladzijde 7 a MC = 9 cm en MD = 9 cm Kies K halverwege CD, dan is KC = MC KM = 9 = 45 7, cm CD = KC =,7,4 cm oppervlakte= asis hoogte = CD KM =,4 = 40, cm c oppervlakte trapezium = oppervlakte AMD + oppervlakte MCD + oppervlakte MBC = oppervlakte AMD = asis hoogte = AM 9 =7 cm oppervlakte MCD = 40, cm oppervlakte MBC = asis hoogte = = MB 9 =7 cm oppervlakte trapezium = , + 7 = 94, cm 4

13 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde a ABCD is een ruit dus AD is evenwijdig aan BC. Verder is gegeven dat DF en BE loodrecht op het grondvlak staan, dus BCE is evenwijdig aan ADF. Alle punten in BCE liggen dus even ver van ADF. Punt B en E liggen eide in BCE en liggen dus ook even ver van ADF. De afstand van E tot ADF is gelijk als de afstand van B tot ADF (zie vraag a) ABD is een gelijkzijdige driehoek. De afstand van B tot ADF is de afstand van B tot AD en is ( : ) = 7 5, c ADF is een rechthoekige driehoek want DF staat loodrecht op het grondvlak. Inhoud = G h= ( AD DF) 7 = ( ) 7 =, d Inhoud = G h= ( AD 7 ) BE = ( 7) =5, e BDFE is te splitsen in een rechthoek met zijden BD en BE en een driehoek met schuine zijde EF. oppervlakte rechthoek = BD BE = = oppervlakte driehoek = ( )=9 oppervlakte BDFE = + 9 = 7 De hoogte van A tot BDFE is hetzelfde als de afstand van B tot AD want ABD is een gelijkzijdige driehoek. Hieruit volgt inhoud ABDFE. = G h = 7 7 4, f Manier : Piramide C.BDFE is het spiegeleeld van piramide A.BDFE en heeft dus dezelfde inhoud. Het lichaam estaat uit de som van eide piramiden, dus heeft als inhoud 4, = 9, Manier : Piramide A.BDFE is te splitsen in de piramiden E.ABD en E.ADF. Het gehele lichaam estaat dus uit (inhoud E.ABD + inhoud E.ADF) = (, + 5,) = 9, a T X E, H F, G 5 A, D B, C 7 In de tekening zie je dat TEF gelijkvormig is met TAB. Er geldt dus EF AB = 5 = x 9 x + Oplossen geeft 5( x+ ) = 9x; 5x+ 0 = 9x; 4x = 0 ; x = 75, cm. De hoogte van de piramide is dus x + = 7, 5+ =, 5 cm 4

14 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Inhoud = G h = 9 9, 5 = 4, 5 cm c De inhoud van de afgeknotte piramide = inhoud piramide T.ABCD inhoud piramide T.EFGH = 4, 5 G h= 4, , 5 = 0 cm d Nee, ij de vorige vraag erekende je dat het 0 cm is. Door de afgeknotte piramide te veranderen in een alk worden stukken zoals A toegevoegd en stukken zoals B weggehaald. Door A 0 om de lijn met de pijltjes te draaien kun je zien dat B iets groter is dan A. Daaruit volgt dat de afgeknotte piramide een iets grotere inhoud heeft dan de alk. A B ladzijde 7 4a Rond M tel je driehoeken in het achtste deel van de kuus. Er zijn in totaal dus = 4 driehoeken. AM vormt de halve diagonaal van een kuus met een rie van 4 cm. De lengte is AF + FE AF = 4 cm FE = FB + BE = =, dus AM = 4 + = 4, 4 cm c Driehoek BFM heeft zijden BF = 4 cm, FM = BM =,4 cm M,4 cm,4 cm F 4 cm B d Construeer M met een passer. De hoogte van de driehoek is 4, ( 4), cm De oppervlakte is 4, = 5, cm Teken AC = cm. Teken punt F in het midden en punt E op de middelloodlijn op een afstand van 5, cm. Het vlak ACHG is op te vatten als twee driehoeken. Driehoek FGH teken je op overeenkomstige wijze. F F 4 cm 4 cm C 5, cm M N G E H 4

15 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde e f g Punt M is het snijpunt van de diagonalen van rechthoek AFEG zodat M op een afstand van AF : = cm van EF ligt. De hoogte van EFM is dus cm met asis EF = 5, cm. De oppervlakte van FMEN is de oppervlakte van EFM, dus 5,, cm Bij elk van de acht hoekpunten van de kuus liggen drie van zulke piramiden, ijvooreeld met top M en als grondvlak een vierkant in het voorvlak, het rechter zijvlak en het ovenvlak. Er zijn dus = 4 van dergelijke piramiden. Punt M ligt in het midden van de kuus waar A, G, E, B en F hoekpunten van vormen. De afstand van M tot de vlakken van dit kuusje is dus 4 : = cm. De oppervlakte van het grondvlak van een enkele piramide uit vraag f is 4 4 = cm. De inhoud van zo n piramide is dus G h= = 0 cm De inhoud van alle piramiden uit vraag f samen is dus 4 0 = 5 cm De inhoud van de kuus waar de Trickstar in past is = 5 cm De inhoud van de Trickstar zelf is dus 5 5 = 5 cm ladzijde 7 T-a c De diameter van de cilinder heeft dezelfde lengte als AB. De straal is dus 4 : = cm en de inhoud G h= πr h= π 0 cm Het onderste deel van AFHD.BQGC is een alk met hoogte 7 cm en het ovenste deel is een prisma. De inhoud van de alk is = cm. Het prisma heeft als grondvlak de driehoek PQG en hoogte EF. De inhoud van het prisma is dus G h= FQ FG EF = 44 = 4 cm De inhoud van AFHD.BQGC is de som van de inhouden, dus + 4 = cm De inhoud van APQB.RHGS is de inhoud van de alk ABCD.EFGH waar je de inhoud van twee prisma s van aftrekt. De inhoud van het ovenste prisma is al erekend ij vraag. Het onderste prisma is even groot. De inhoud van APQB. RHGS wordt dus = cm T-a c 44 Dit is de inhoud van een cilinder met straal 0 : = 5 cm en hoogte 9 cm. De inhoud is πr h= π cm 7, liter ( cm) 0 cm ( cm) ( cm) 0 cm ( cm) cm (,5 cm) Noem de top van de kegel punt T en de noem x de hoogte van T tot het ovenste grondvlak met diameter 0 cm. Dan is x + de afstand van T tot het onderste grondvlak met diameter 0 cm. Op grond van gelijkvormigheid van driehoeken die je in het zijaanzicht kunt tekenen geldt 0 = x. 0 x + Oplossen geeft 0( x+ ) = 0x; 0x = 0x+ 0; 0x = 0; x = cm De hoogte van de hele kegel is dus + = cm en de inhoud is G h= πr h= π 5 = 44, cm De hoogte van de afgesneden top is cm en heeft inhoud G h= πr h= π 0 = 5, cm De inhoud van het middelste deel van de melkus is dus 44, 5, 95 cm

16 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde d De inhoud van de ovenste cilinder is πr h= π 0 9 7cm De totale inhoud van de melkus is de som van de inhouden van de drie delen, dus = 79 cm,4 liter. T-a Om de inhoud van de halve ol te erekenen he je de straal nodig. De straal is gelijk aan de halve diameter van de paal, dus 0 : = 0 cm. De inhoud van de halve ol is 4 4 π r = π 0 094cm Voor de rest van de paal haal je de halve ol eraf. De cilinder die je dan krijgt heeft lengte 40 0 = 0 cm en inhoud πr h= π cm. De totale inhoud van de paal is dus = 745 cm Er gaan = cm in een m, dus de inhoud is 745 : = 0,0745 m. Het gewicht van de paal wordt daarmee 00 0,0745, kg De oppervlakte van de halve ol is 4π r = 4π 0 cm De lengte van de cilinder die nog uitsteekt oven de grond is 40 0 = 0 cm De oppervlakte van de cilinder is πr h= π 0 0 cm De totale oppervlakte is dus + = 79 cm Er gaan = 0000 cm in een m, dus de oppervlakte is 79 : 0000 = 0,79 m Om 5 palen te verven is dus 5 0,79 :,75 liter verf nodig. T-4a Het lichaam ABC.DEF is op te splitsen in een prisma met hoogte en een piramide met hoogte = 4. De oppervlakte van het grondvlak is asis hoogte = 5= 0 De inhoud van het prisma is G h= 0 = 0 De inhoud van de piramide is G h= 0 4= 40 De inhoud van het lichaam ABD.DEF is dus = 00 De kegel heeft hoogte CF = en straal r = AC = De inhoud van de kegel is G h= πr h= π = π 905 c De straal a van de oorspronkelijke cirkel is r + h = + = 0 De oppervlakte van de kegelmantel is π r a = π 0 50 ladzijde 77 T-5a Kies voor deel I ijvooreeld de piramide met als grondvlak de driehoek in het ovenvlak van de kuus. De kuus is halverwege de rien doorgesneden, dus de twee zijden van de driehoek heen lengte : = en de piramide heeft ook hoogte. De oppervlakte van het grondvlak is =. De inhoud van deel I is dus G h= = Deel VI heeft dezelfde afmetingen als deel I en heeft dus ook een inhoud van. Deel I en II samen vormen een vergroting van deel I. Elke zijde is zo groot. De inhoud van de grote piramide is dus = keer groter dan van de kleine piramide die uit deel I estaat. c Inhoud van deel II = inhoud deel I en deel II samen inhoud van deel I = = 5 Deel V heeft dezelfde afmetingen als deel II dus ook een inhoud van 5 Deel III en IV heen dezelfde afmetingen dus ook dezelfde inhoud. 45

17 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Inhoud deel III en deel IV samen = inhoud kuus inhoud van de delen I, II, V en VI samen = ( ) ( ) = 5 Deel III en deel IV heen dus ieder een inhoud van 5 : = 57 T-a De zijde van een weggesneden driehoek is : = cm. De oppervlakte van de vier weggesneden driehoeken is 4 = 7 cm. De oppervlakte van het kuusvlak is = 44 cm. De oppervlakte van het grensvlak is dus 44 7 = 7 cm Elk driehoekig grensvlak is een gelijkzijdige driehoek met zijde + = 7 cm. De hoogte van de driehoek is ( 7) ( 7) = 54 cm. De oppervlakte is dus 7 54, cm c De oppervlakte van de kuo-octaëder estaat uit vierkanten en driehoeken. De oppervlakte is dus cm d Inhoud kuo-octaëder = inhoud kuus inhoud van een piramide op een hoekpunt = G h= ( ) = 440 cm T-7a KB = 05, + = 5, cm KH = 45, + 4 = 5, cm HL = + 0, 5 = 5, cm BL = 4 + 4, 5 = 5, cm Alle zijden heen lengte, 5 cm dus zijn gelijk. ) Verschuif het vlak BKHL 0,5 cm naar eneden zodat K samenvalt met A. Punt L komt nu 4 cm oven C en KL vormt nu de schuine zijde van KCL. KC = AC = + 4 = 5 en KL = KC + CL = =, cm ) BH is de lichaamsdiagonaal van de alk en heeft lengte BD + DH. Met BD = AB + AD = + 4 = 5 wordt dit = 77, cm c De zijden van BKHL heen gelijke lengte dus BKHL is een ruit. Het is geen vierkant want de diagonalen KL en BH zijn niet gelijk. d oppervlakte BKHL = oppervlakte KLH + oppervlakte KLB De diagonalen van een ruit snijden elkaar in het midden, dus de hoogte van KLH is BH = 77. Driehoek KLH en KLB heen gelijke vorm dus ook gelijke oppervlakte. Met KL als asis wordt de oppervlakte van KLH dus 77, cm en de oppervlakte van BKHL is, =, cm e Het middelpunt van de cirkel die door ABCD gaat ligt in het midden van AC. De straal van de cirkel is dus AC = + 4 = 5 = cm. De oppervlakte van de cirkel is πr = π 40, 4 cm en heeft een omtrek van πr = π, 7 cm T-a Een ol met straal r heeft inhoud 4 πr en oppervlakte 4πr Een kuus met rie x heeft inhoud x en oppervlakte x als de inhoud van de ol en de kuus gelijk zijn geldt: 4 πr = x waaruit volgt 4 4 x = ( πr ) = ( π) r, r De rie van de kuus moet dus ongeveer, de straal van de ol zijn om dezelfde inhoud te heen. De oppervlakte van zo n kuus is dan x = (, r) =, r 5, r De oppervlakte van de ol is 4π r 57, r Omdat 5, r groter is dan,57 r heeft de kuus de grootste oppervlakte. 4

18 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde De oppervlakte van de kegelmantel is π r a met a= r + h Als de hoogte verdueld wordt terwijl de straal van de grondcirkel gelijk lijft, verandert h in h terwijl r zo lijft. De waarde van a wordt dan r + ( h) = r + 4h. Dat is niet te schrijven als een constant aantal keren de oorspronkelijk waarde van r + h De oppervlakte neemt dus wel toe maar niet met een constante factor of waarde. 47