Wiskunde Uitwerkingen Leerjaar 1 - Periode 3 Meetkunde 3D Hoofdstuk 4 t/m 7

Transcriptie

1 Wiskunde Uitwerkingen Leerjaar - Periode Meetkunde oofdstuk t/m 7 oofdstuk. a). a). a) opp. = ribbe ribbe = ribbe = 8 cm inh. = ribbe ribbe ribbe = ribbe =.78 cm opp. = = cm inh. = l b h = 00 0 =.000 cm opp. = l b + b h + l h =.090 cm b + b + =.090 b + b + =.090 8b = b = 8 = 8 cm inh. = l b h = 8 =.8 cm. volume = 0 8 =.98.0 mm. a). a) 7. a) lengte =, = 0,78 cm 7 N.. it is een merkwaardige uitkomst. r zit een fout in de opgave. opp. = l b + b h + l h opp. = 0, ,78 7 =.7, cm ribbe =.78 = cm opp. = ribbe = 8 cm ribbe = 7 = cm inh. = ribbe = =.cm 8. schuine zijde = + =,97 cm opp. gearceerdedoorsnede =,97 = 0,cm 9. P = + =,8 cm opp. PQ =,8 =,0 cm

2 0. Q = van de zijde; 0 = 8 cm QG = 0 8 = cm (en P dus ook). Q = + 0 =,cm (en P dus ook). Opp.I = 0 0 = 00,0 Opp.II = 0 = 0,0 Opp.III = 0, Opp.IV = 0 = 0,0 Opp.V = 0 = 0,0 Opp.totaal :., cm Inhoud Mogelijkheid : Inhoud = helft van balk met afm. 0 0; dus 0 0 =.00cm Mogelijkheid : Inhoud prisma = opp.grondvl. hoogte; dus0 0 =.00cm. ereken één voor één de vier zijden van dit vlak, steeds met de stelling van Pythagoras. K We beginnen bij RS. it is de schuine zijde van driehoek RKS. R = GK = 8 en GS = 0. KS = RK = G = 8 RS = + 8 =.8 7,7cm

3 an nu QR. it is de schuine zijde van driehoek QLR. R = L = 8 en Q =. LQ = QR = + 8 =.0 0,cm RL = = 8 Vervolg ens QP. it is de schuine zijde van driehoek PQ. Q =. Q = QP = + =.0 8,cm P = Tenslotte S S. it is de schuine zijde van driehoek S S. GS = 0 S = 8 S = S = S S = 8 + =.88,8cm Teken of schets nu het vlak QRS S P : R 7, S 0,,8 S Q 8, P T Met deze maten kun je nu PT en TS berekenen. Let op! Punt T is NIT hetzelfde als punt! Punt T steekt als het ware uit 'onder ' de kubus. PT = 7, 8, = 9, cm TS = 0,,8 = 7,8 cm Oppervlakte QRS S P = Opp.!QRS T Opp. PS T = 7, 0, 9, 7,8.87,0 cm N.. ls je het héél mooi wilt doen, moet je met de wortels rekenen; dan rond je niets af tussendoor en wordt je antwoord nog nauwkeuriger: Oppervlakte QRS S P = Opp.!QRS T Opp. PS T =.8.0 (.8.0) (.0.88).88, cm

4 !. eze opgave vervalt.. Teken of schets eerst de vlakken van het overgebleven deel : G G I,, III II N N IV M,,, 0, L V VI 0, L, N VII G M M L Opp.I = =,0 Opp.II = opp. = 0, = 7, Opp.III = opp. =,, =,0 Opp.IV = = 0,0 Opp.V = =,0 Opp.VI = opp. =, = 9, Opp.VII = ( opp. ) + ( opp. ) + ( opp. ) = (,) + ( ) + (,) =,0, Opp.totaal : 90,7 cm Inhoud Van de balk wordt een ' piramide' afgesneden. ereken de inhoud van de piramide : inhoud = opp.grondvlak hoogte = opp. hoogte =,, = cm. e oorspronkelijke balk had een inhoud van = 0 cm. e inhoud van het overgebleven deel is dus : 0 = 8 cm.

5 $ $. Oppervlakte Teken of schets eerst de vlakken van het overgebleven deel : 0 G G I 0 IV II III 0 V a= b= VI c= 0 α G We kunnen de oppervlaktes op de gewone manier uitrekenen, maar soms kun je met wat creativiteit andere oplossingen vinden Vorm I t / m V kun je samen zien als één rechthoek van 8 = 7 cm. I III II IV V Nu alleen nog parallellogram G. Misschien weet je nog dat de oppervlakte van een parallellogram basis hoogte is. lleen, we weten hoogte h nog niet. We berekenen h op de volgende manier: erst berekenen we diagonaal G met Pythagoras, daar komt uit. Met de cosinusregel berekenen we hoek α en daarna berekenen we h via de sinus van hoek α : a = b + c b c cosα = ( ) + ( 0) 0 cosα = cosα 8 = 0 cosα 8 cosα = 0,9 α = 7,0 0 h = sinα,8 cm Oppervlakte parallellogram G = basis hoogte$ = 0,8, cm it tellen we op bij de rechthoek van 7 cm. Oppervlakte =,+ 7 = 9, cm

6 $ $ $ $ Inhoud Ook voor de inhoud passen we een slimme truc toe. Stel je voor dat we de overgebleven figuur kopiëren en ondersteboven op het origineel plaatsen. an krijgen we een balk van 7 = cm. et origineel is nu de helft van deze balk, dus = cm.. Oppervlakte Teken of schets eerst de vlakken van het overgebleven deel. eze drie vlakken zitten allemaal twee keer in het trapezium : a=, b= 7 α= 7 β 7,, e rechte vlakken zijn eenvoudig: $ Opp. = +, = 8 cm e vlieger is lastiger. e oppervlakte van een vlieger is: $ iagonaal vinden we via Pythagoras: $ diagonaal = + = 7 We weten dat hoek α =, want diagonaal deelt het oorspronkelijke vierkant exact middendoor. Met de sinusregel kunnen we dan hoek β uitrekenen: a sinα = b sinβ, sin = sin sinβ = 0,98 β = 70, sinβ, n nu kunnen we via de cosinus van hoek β het ontbrekende stukje van diagonaal uitrekenen: cosβ = cos70, = ontbr.stukje ontbr.stukje =, cos70, =,, iagonaal wordt daarmee:$ 7 +,,7 n de oppervlakte van de vlieger dus: $ e totale oppervlakte van het overgebleven deel: $ 8 +, =,7 cm Inhoud e inhoud berekenen we uitgaande van een trapezium, waarvan het grondvlak de vlieger is. Opp. = opp.grondvl hoogte =, = 97, cm diagonaal diagonaal diagonaal diagonaal = 7,7, cm

7 oofdstuk. a). a). a). a) opp.= πr = π = 7.8, cm ( diameter : opp.= π = π 8 = 7.8, cm ) inh.= πr = π = 7.90,8 cm ( diameter : inh.= π = π 8 = 7.90,8 cm ) ( ) = 8, m opp.= πr = π, ( diameter : opp.= π = π = 8, m ) ( ) =, m inh.= πr = π, ( diameter : inh.= π = π =, m ) inh.= πr =.9 cm inh.= r =.9 π =.7,0 r =.7,0 =,0 cm = r = 8,0 cm opp.= πr =.9,0 cm inh.= r =.9,0 π r = 8,8 = 0,9 cm = r =,8 cm = 8,8. evenaar = omtrek = π = 0.000km = =.7, km π opp.= 0% π = 0,0 π.7, ( ) =.788,7 km. a) c) = kogels = mm mm ( ) inhoud doos inhoud kogels = π =..8,9 mm =., cm 7. iameter = 00 =, m opp. = π = π, π ( ) =.0,7 m

8 ! 8. a) 9. a) opp.= π + π h = π 0 inh.= π h = π 0 inh.= π h = π = 70 cm = 70 π = 8,0 cm r = opp.= π + π h = π 8,0 ( ) + π 0,7 =, cm ( ),7 = 997, cm =,0 cm ( ) + π 8,0 = 77, cm 0.. inh.= π h = π, ( ) h = 90 cm h = 90 ( ) π, = 0,0 cm Inhoud cilinders,998 liter =,998 dm =.998 cm = mm Inhoud cilinder = 99.,7 mm Inhoud = π h 99.7,7 = π 9, = 99.7,7 =.7, π 9, =.7, = 8,0 mm... inh.= π = π 0 ( ) = 97,0 m inh.= π h = π 0 ( ) =.78, m aantal ritten=.78, = 9, ritten zeven vrachtwagens rijden ieder zeven keer :7 7 = 9 (eigenlijk moet één vrachtw. nog een achtste keer rijden) e inhoud van de twee halve bollen is samen de inhoud van een hele bol:

9 inhoudbol = π = π 90 = 8.70,07... cm inhoud cilinder = totaleinhoud inhoud bol = ,07... =.8.9,9...cm $ inhoudcilinder = π h.8.9,9...cm = π 90 h h =.8.9,9... π =,0...cm 90 e totale lengte van de gastank wordt dan:,0 + 90, cm inh.bol inh.cilinder = π π h. ( ) π,0 ( ) 9,0 = π, =.8, mm oofdstuk. a) opp. = b h = 9 = cm - hier zijn er van opp.! = l b = 9 = 08 cm opp.! = l b = = cm opp.! = l b = = 80 cm opp. totaal = = 0 cm inh. = opp.grondvl. h = = 8 cm ( ) = cm. a) opp. = b h = - hier zijn er van opp.! = l b = = 7 cm - hier zijn er van, incl. grondvlak. a) opp.! = l b = + = 90,7 cm - hier zijn er van opp. totaal = ,7 =.9, cm inh. = opp.grondvl. h = (+ 7) =.99 cm opp. = = cm = =. cm - hier zijn er van opp. = 8 =. cm opp. = = 88 cm opp. = + = 9,7 cm opp. = = 7 cm - hier zijn er van opp. = + 8 = 70 cm

10 opp. totaal = , =.09,7 cm. a) inh. = opp.grondvl. h = = 7.8 cm opp. trapezium = som evenw. zijden h = - hier zijn er van opp. = 8 = 9 cm - hier is er van opp. = 8 + = 07, cm opp. = 8 = 9 cm - hier is er van ( + ) = cm - hier zijn er van opp. totaal = , + 9 = 9,7 cm inh. = opp.grondvl. h = 8 =.78 cm. a) - inh. = opp.grondvl. h = opp.ruit =.0 cm c) opp.ruit =.0 = 8 cm opp.ruit = d d d = 8 = cm zijde = ( ) + ( ) = 0cm. G = = + = opp. G = b h = =, cm 7. a) opp. veelhoek = n sinα cosα r n = en α = 0 = 7! α =! opp. veelhoek = sin! cos! 0 = 9, cm omtrek. veelhoek = n sin 80 n r = sin! 0 = 7, cm één zijde = 7, =, cm opp. prisma = opp. veelhoek + opp. zijde = 9,+, 0 = 7.780, cm inh. = opp.grondvl. h = 9, 0 = 7. cm 8. opp. zijkant (= grondvlak prisma) = =.7 cm inh. = opp.grondvl. h = 7 0 = cm = 7,0 l

11 9. opp. zijkant (= grondvlak prisma) = = 97 cm inh. = opp.grondvl. h = 97 0 =.90 cm 0. opp. zijkant (= grondvlak prisma) = 0 9,, π ( ) π, ( ) = 0 8,7 0,78,909 = 9, cm inh. = opp.grondvl. h = 9, =.8, cm oofdstuk 7. a) inh. piramide = opp.grondvl. h = 980 cm opp.grondvl. = 980 zijde = 9 = cm = 9cm opp. zijvlak = b h = 7 + =,9 cm opp. piramide = zijvlak + grondvlak =,9+ = 9, cm. a) afst.halverwege tot midden grondvlak : = 7 opp. zijvlak = b h = 7 opp. veelhoek = n sinα cosα r n = en α = 0 = 0! α = 0! opp. veelhoek = sin0! cos0! 7 ( ) + ( ) =,9 cm ( ) = 70, cm opp. piramide = zijvlak + grondvlak =,9+ 70, = 79, cm inh. piramide = opp.grondvl. h = 70, =,80 cm

12 . Teken of schets eerst de vlakken van de afgeknotte piramide : T T G G G T = 8 en grondvlak is ; en G ligt op hoogte ; dan worden G en automatisch. en G zijn allebei de schuine zijde van een driehoek; dus = G =. Opp.G = + = Opp. = hetzelfde = Opp.G = + = 8 Opp. = hetzelfde = 8 Opp. = = Opp.G = = Totale opp.afgekn. piramide = = cm. Teken of schets eerst het blauwe hulpvlak (zie figuur) en één van de zijvlakken + grondvlak + bovenvlak., T G G,,,, S Via het blauwe hulpvlak bereken je de hoogte van de zijvlakken : h = (,) +,cm.,,8... e oppervlakte van een zijvlak wordt dan :, ,8cm Totale opp.afgekn. piramide = 7, ,cm

13 . a) ereken de lengte van. Teken hulpdriehoek Q G PQ = G R = = 8 =, QR = 8, =, = verl.stelling v.pythagoras : = =, R =, = 7, + (,) + (7,),cm Teken vlak G, en bereken daarmee de hoek die G en met elkaar maken. P Q,, R, 7, G β δ α, is gegeven :cm; G enbereken je met destelling van Pythagoras :G = cm en,cm. α in G = tan 9,8 β in =, tan,. δ = 80 9,8, 7,0 c) Is de figuur hiernaast eigenlijk wel een afgeknore piramide? Verklaar je antwoord. ls het een afgeknotte piramide is, moeten de opstaande ribben in één punt samenkomen. ls je doortrekt naar boven, kom je op een hoogte van : 9, cm. 7 ls je doortrekt naar boven, kom je op een hoogte van : 8 = 9, cm. conclusie : de figuur is géén afgeknotte piramide. 9, 9, 7 8

14 . Teken hulpdriehoeken KLM en XLT. eze driehoeken zijn gelijkvormig en hebben daarom dezelfde verhoudingen. oogte KM = 8; hoogte TX =. en verhouding van :,. M eze verhouding zit ook tussen KL en XL. XL = en daarom moet KL gelijk zijn aan, =. an is ook bekend,namelijk : =. einhoud vandebalk is : 8 = cm X K L 7. Schets T en P. Kies zelf een lengte voor de ribben, bijv. cm. T P, P α, 8, ereken P. lsribbe =, dan : P =,. Pisdanhetzelfde,. ereken. lsribbe =, dan : = + 8,. ereken nu met de cosinusregel hoek α. a = b + c bccosα (8,) = (,) + (,),, cosα 7, =,08,08 cosα 8,7 =,08 cosα cosα = 8,7,08 = 0,98... α = cos ( 0,98...) 09, osinusregel e cosinusregel geldt voor iedere willekeurige driehoek. Je kunt er hoeken mee uitrekenen als je de lengte van alle zijden weet. edenk wel dat zijde a tegenover hoek α geplaatst wordt; zijde b tegenover hoek β en zijde c tegenover hoek γ.

15 8. a) schuine zijde = + = =,7 cm straal uitslag =,7 cm, = r = 9, de zijde van een kartonnen vel moet min. 9, cm zijn Opp.vel opp. cirkel sector = 9, =.0,, =.98,7 cm ( ),7 ( ) π, omtrek onderrand = 70 cm dus r = 70 =, cm π schuine zijde =, + 8 =, cm Opp. cirkel sector =, π,, inhoud kegel = 0,l = 00 cm inhoud kegel = π r h = 00 r == 00 =,9 cm π 0 ( ) = 79, cm opp.mantel = π r r + h = π,9,9 ( ) + 0 = 7,0 cm