G&R havo B deel 3 10 Aanzichten en doorsneden C. von Schwartzenberg 1/16. 1a Het bovenaanzicht van het voorwerp is een cirkel. 3

Transcriptie

1 & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg / a et van het voorwerp is een cirkel. b Je moet tegen het (rechter of linker) zijaanzicht aankijken. rechterzijaanzicht I (opg. ) vooraanzicht a I, vooraanzicht (opg. ),, I, J, I, rechterzijaanzicht (opg. ), b J,, J, vooraanzicht, I,,,, I, rechterzijaanzicht,

2 & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg / rechterzijaanzicht vooraanzicht a,,,,,,,, b c, vooraanzicht, ijkrichting evenwijdig met in het vlak van de tekening. et de stelling van ythagoras: = + = = + = 8. = 8, (m). In het aanzicht (schaal : 00) wordt de lengte van (ongeveer),7 cm. en zie je (op juiste schaal getekend) in het zijaanzicht van vraag a. = = (m) en = = (m). zie je (op juiste schaal getekend) in het vooraanzicht van vraag a. (trek in het achtervlak een lijn door ) b = et dakdeel is een trapezium. = + = + = 0 (m). Opp. ( ) = ( a + b) h, rechterzijaanzicht, = ( + ) 0 = 0, (m ). h = 0, a =

3 & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg / 7a 7b ijkrichting evenwijdig met. an en in het vlak van de tekening. (zie het aanzicht hieronder),,, 0 0 7c ijkrichting evenwijdig met. an diagonaal in het vlak van de tekening. et de stelling van ythagoras: = = 800, (cm). In de tekenig met schaal :0 krijgt een lengte van, cm. ( zie de het aanzicht hieronder) 800 7d In het bovenvlak (zie het ) is = = 800 (cm). oem het punt waar de buis van het punt op de gornd rust. = = = 700 (cm). ( ) In het bovenvlak zijn er buizen van 80 (cm). Verder zijn er nog = buizen van 700 (cm). e totale lengte van de buizen is = 0 cm. 0 buis naar de grond 8a = = (cm). ( is diagonaal in vierkant ) us = = 8 (cm). (hiernaast het van de kubus op de foto) 8b ieronder een aanzicht in de kijkrichting evenwijdig met zijvlakdiagonaal , 700, ,

4 & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg / oets voorkennis X: elijkvormige driehoeken op blz. en aan het einde van deze uitwerking a (gelijkvormig met). (snavelfiguur) = =... =... aak nu een verhoudingstabel (zie hiernaast). = 7 = =... (let op de volgorde van de letters) = = b. (zandloperfiguur) = 7 =... =... aak een verhoudingstabel (zie hiernaast). (let op de volgorde van de letters) = =... = = 7 =. c. ( = en = = 0 hh) =... =... = aak een verhoudingstabel (zie hiernaast). = = = (let op de volgorde van de letters) = = yth. in : = + = =.. a b e diagonalen in het grondvlak van de balk zijn. us de zijden in het grondvlak zijn + = 8. I (balk) = 8 8 = 8 = 8. 0a Zie de aanzichten rechts hiernaast. 0b in het vooraanzicht is een verkleining van met factor. (snavelfiguur) 8 us = = r = 8 grondcirkel. I (cilinder) = πr h = π = 7 π. 8 a r bol = + + =. r bol = + + = =. r = + + = = bol 8 =. b Zie het vooraanzicht hieronder. vooraanzicht,, a vooraanzicht et vooraanzicht naast b. ( op het volgend blad) = + = =. (hh), want = en = = 0. aak de verhoudingstabel. (plaats de zijden juist) r = ( r) r = r 8r = r = =. 8 = = = π 7 8 b I (bol) πr π ( ) =... = r = r = = =,, = π = π. r = r r r e dwarsdoorsneden hebben de vorm van een driehoek of een zeshoek.,, vooraanzicht

5 & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg / a b c r =, d e f g h i (opg. ) a riehoeken, vierhoeken en zeshoeken. b riehoeken, vierhoeken en zeshoeken. c riehoeken en vierhoeken. a b I J e doorsnede is vierhoek I. e doorsnede is vijfhoek J. J 7 I 8 I J e doorsnede is vijfhoek IJ. e doorsnede is zeshoek IJ. oets voorkennis X: ekenen met wortels op blz. en aan het einde van deze uitwerking = = = = a 0. c. 0 b =. d ( ) = = =. U a = + =. c x = x. oorsnede b + 8 = + =. d x = x. is UV. V

6 & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg / 0 ab a b a b c a b past precies drie keer in doorsnede. (zie een schets van doorsnede hiernaast) us O ( ) =. (zie ook voorbeeld op blz. 0) Zie doorsnede VW in balk hiernaast. past W precies vier keer in doorsnede VW. (zie de schets hiernaast) us O ( VW ) =. V =. ( is de -- driehoek) =. ( is de -- driehoek) =. ( is de -- driehoek) = is gelijkbenig. yhagoras in : (zie een schets hiernaast) h = ( ) = = = 0, =. us O ( ) = b h = =. In de gevraagde doorsnede past precies twee keer. us O ( ) = O ( ) = =. = h = + = + = 0 =. O ( ) = b h = =. O ( ) = 7 O ( ) = 7 = 7. (zie de schets hiernaast) 7 In : =. (een vergroting van de -- driehoek) is een rechthoek met O ( ) = =. In : =. ( is de -- driehoek) O (doorsnede door evenwijdig met ) = =. W V h

7 & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg 7/ r zijn verschillende manieren mogelijk. (zie heorie blz. of het voorbeeld op blz. ) e inhoud van de vaas is ongeveer 7 liter. tapeling van cilinders, elk met hoogte van cm. Opmeten van de diameters geeft ; ;, en, cm de stralen (omdat op schaal : ) zijn ; ;, en, cm. I (vaas) π + π + π, + π, cm. 7 I ( ) ( ) π ( ) ( ) ( ) π ( ) + π (, ) 70 cm. ( + ) (( ) ( ) + π ( ) ) (,8 0,7 +,8 ) ((, ) ( 0, ) + π (, ) ) ( ) (koffiefilterhouder) 0,, 0, +,, + + 8a lleen zijde (van doorsnede ) in het voorvlak is op ware grootte getekend. 8b = = + =. a b eken (eventueel) het voor-, achter-, bovenrechter- of linkerzijaanzicht voor de maten. ieronder de doorsnede opn ware grootte. c O (doorsnede) = = 8, =, (cm ). (de omtrek is = + cm) 0a e doorsnede door, en is. 0b h ( ) =. ( is de -- driehoek) =. ( is de -- driehoek) =. ( is de -- driehoek) = = is gelijkbenig. ieronder op ware grootte. = = = 7. us O ( ) = b h = 7 =. 0c e doorsnede door, en is. =. (ythagoras in ) =. ( is de -- driehoek) = 0 =. (ythagoras in ) ieronder op ware grootte. h 0 0

8 & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg 8/ ab In het hieronder is op ware grootte de doorsnede op hoogte cm getekend. at is vijfhoek. evens is er op ware grootte de doorsnede op hoogte getekend. Zie vijfhoek UVWXY. (teken eventueel ook andere aanzichten om daaruit gegevens te halen) Y X W O ( ) = =, =, (cm ). O ( UVWXY ) =, =, = 7, 87 (cm ). 8 U V c e doorsnede door, en op ware grootte is driehoek Z hierboven. (de lengtes van en Z kunnen ook met de passer uit het gehaald worden) O ( Z ) = Z = 8 =, (cm ). Z a ' = + ( = ) en = ( ') +, = + +,, 7 (m). b is een gelijkbenige driehoek met basis = = ' = 0 (m) en hoogte ' =, (m). O ( ) = 0, =, (m ). h =, cm iernaast staat op schaal : 00 getekend. (dus b = cm en h =, cm) c is een gelijkbenige driehoek met basis = = 8 (m) en (het midden van noemen we ) hoogte = +, = 0, (m). us O ( ) = 8 0, 0, (m ). iernaast is getekend op schaal : 00. ( b = cm en h,0 cm) h, 0 cm a oorsneden in de ruimtelijke figuur. (voor h =, h = en h = ) h = h = b doorsnede (op ware grootte) doorsnede (op ware grootte) op hoogte h = 0 op hoogte h = (dit is vierkant ) h = h = h = 0

9 & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg / b vervolg h = (op ware grootte) h = (op ware grootte) h = (op ware grootte) a I = I ( ) I ( ) I ( ) = = 0 (cm ). b I = I ( ) I ( ) I ( ) = I ( ) I ( ) = 8 = 8 (cm ). c O (grondvlak) = O ( ) O ( ) = O ( ) O ( ) = = = 7 (cm ). O ( ) = O ( ) O ( ) = 7 7 = 7 7 = 7 (cm ). O ( ) = = (cm ). us O (lichaam) = (cm ). a O ( ) = = (cm ). b O (balk) = O ( ) + O ( ) + O ( ) = + + = + + = (cm ). c I (balk) = = (cm ). d e afmetingen van balk II zijn = 0 bij = 0 bij = (cm). (voorvlak balk II) = = = 00 (cm ). e O ( ) ( ) f e oppervlakte van het voorvlak wordt met = k vermenigvuldigd. O (balk II) = + + = + + = = k O (balk I). g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I (balk II) = = = I (balk I) = k I (balk I). h ( ) ( ) ( ) = 0. us = 0 = 0 en = 0 8,. 7 O (basketbal) O (tennisbal) k k k ( ) I (basketbal) 8, I (tennisbal). 8 afmetingen(grote ballon) = afmetingen (kleine ballon). us k = k = = 8. I (grote ballon) = 8 I (kleine ballon) = 8 = (liter). e inhoud van de ballon moet met = liter toenemen.

10 & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg 0/ =. us = = en =,. I (grote oliebol) I (kleine oliebol) k k k ( ) arm moet de bollen, keer zo lang bakken. 0a = en = afmetingen(grote piramide) = afmetingen (piramide boven kubus). us k = k = = 7. I (grote piramide) = 7 I (piramide boven kubus). Van de grote piramide zit deel buiten en deel in de kubus b I (kleine piramide) = I (grote piramide). us k = en k =. h(kleine piramide) = h(grote piramide) h(kleine piramide) = ( + h(kleine piramide) ) h(kleine piramide) = + h(kleine piramide) h(kleine piramide) h(kleine piramide) = h(kleine piramide) = h = (kleine piramide), (cm). 0c deel in de kubus deel erbuiten. I (kleine piramide) = I (grote piramide) k =. h(kleine piramide) = h(grote piramide) h(kleine piramide) = ( + h(kleine piramide) ) h(kleine piramide) h(kleine piramide) = h = (kleine piramide) 0, (cm). 7% buiten de kubus % erbinnen. I (kleine piramide) = 0, I (grote piramide) k = 0,. h(kleine piramide) = 0, h(grote piramide) 0 = 0, h(grote piramide) h(grote piramide) = 0,. 0, 80% binnen de kubus 0% erbuiten. I (kleine kegel) = 0, 0 I (grote kegel) k = 0,. h(kleine kegel) = 0, h(grote kegel) h(grote kegel) = 0, h(grote kegel) h(grote kegel) =,. 0, a e bovenkanten van de vier poten dragen in totaal = 7 (eenheidskubussen). eze staan op eenheidsvierkanten het gewicht per vierkante eenheid is 7 =,. b e bovenkanten van de vier poten dragen in totaal + = (of 7 = 7 8 = ). eze staan op = eenheidsvierkanten het gewicht per vierkante eenheid is = 8,. c Wat opvalt, is dat het gewicht per eenheidsvierkant verdubbeld is. a e romp is een balk van bij bij. us de romp heeft grensvlakken van bij en grensvklakken van bij. e oppervlakte van de romp is + = = 0 (eenheidsvierkanten). b "oppervlakte romp :inhoud romp" is 0 = 0 = = = = :. c d "oppervlakte romp : inhoud romp" bij = (vergrotingsfactor) k wordt 0 = 0 = = = :. rote dieren hebben naar verhouding minder oppervlakte dan inhoud grote dieren houden meer warmte vast. a et gewicht van de hond is = = kg. kop hals romp poten e oppervlakte van de (onderkant van de) poten die rusten op de grond is = dm. et gewicht dat de poten gemiddeld per dm moeten dragen, is = 8, kg. b e oppervlakte van de hond is (ook tussen de poten) = = 8 dm. kop hals romp poten "oppervlakte :inhoud" is 8 : = :7 = = : of : c k = k = en k =. us moeten de poten per dm = keer zoveel dragen. d "oppervlakte :inhoud" (bij k = ) wordt (8 ) : ( ) = 8 : ( ) = : (7 ) = : 8 = = :. 8 8 e "oppervlakte :inhoud" (bij k = 0) wordt (8 0 ) : ( 0 ) = 8 : ( 0) = : (7 0) = :70 = = :

11 & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg / a iagnostische toets,, vooraanzicht,, b in het vlak van de tekening. (bij de kijkrichting evenwijdig met ) =. ( is vergroting van -- driehoek) rechterzijaanzicht, 8 x x x x x x x vooraanzicht = zijaanzicht a Zie het voor-, zij- en hiernaast. tel de ribbe van de kubus x. e twee gearceerde driehoeken (in vooraanzicht) zijn gelijkvormig. x x = ( x ) (8 x ) x = x x + x 7x = x =. 7 b I (kubus) ( ), = = 8 7. x x x x V U a Zie doorsnede W hiernaast. b Zie doorsnede UV hiernaast. W

12 a & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg / In is = 0 en in is = 0. (beide driehoeken zijn vergrotingen van de -- driehoek) = ( is de -- driehoek), = ( is de -- driehoek) en = ( is een vergroting van de -- driehoek). h us is een gelijkbenige driehoek met h = ( ) = = = 0, en O ( ) = 0, =. b Zie doorsnede hiernaast. c = =. = = =. = ( ) + = + =. J Omtrek = + +, 0. d Zie doorsnede J hiernaast. Omtrek = π 0 + π π π 0 + π (cm ). it is ongeveer liter. a eken eerst het vooraanzicht (zie hieronder). e doorsnede op hoogte is een rechthoek van bij, dus met oppervlakte (cm )., b =, + =, (ythagoras in ), = (diagonaal van een vierkant van bij ) en =, = 7, (yth. in met = )., op hoogte cm, 7, vooraanzicht, doorsnede op h = 7a I (grote kogel) = I (kogeltje) k = k = d (grote kogel) = k d (kogeltje) = (mm). (grote kogel) = (kogeltje). Oppervlakte van grote kogel is = keer zo groot. 7b O k O k ( ) k = 000 k = 000 k = us n = 0. 7c ( ) 8 I (kleine kegel) = 0, I (grote kegel) k = 0,. a k = 0 = 0,7. 0 h(kleine kegel) = 0, h(grote kegel) e kleine olifant weegt 00 0,7 0 kg. h(grote kegel) 0 = 0, h(grote kegel) b e oppervlakte van de oren van de grote olifant is h(grote kegel) 0, h(grote kegel) = 0 ( h(grote kegel) ( 0, ) = 0 ) = keer zo groot als bij de kleine olifant. 0,7 h(grote kegel) = 0, (cm). c e oppervlakte van de oren van de grote olifant is 0, ( ) = = 7 keer zo groot. 0,7

13 & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg / emengde opgaven 0. anzichten en doorsneden a e doorsnede is vierhoek (zie hieronder). a e doorsnede is vijfhoek (zie hieronder). b e doorsnede is vijfhoek UVW (zie hieronder). b e doorsnede is vijfhoek UV (zie hieronder). U V V U W oem de hoogte van de balk h. r moet gelden: = d = r = 0. (lijnstuk tussen twee uiterste punten van de balk is een diameter van de bol) = + = + + = + + h = 0 (kwadrateren) + + h = 00 h = 00 = h = ( = = ). a,, U,, en zijn halve zijvlaksdiagonalen van kubus. e zijvlaksdiagonalen van de kubus zijn. us = = U = = = =. e afstand van (midden in het bovenvlak) naar (midden in het linkerzijvlak) is = =. (waarbij het midden is van en van ). venzo is U = = = U = =. us alle () ribben van lichaam zijn even lang. b et aanzicht in de richting van hiernaast. (diagonaalvlak in het vlak van de tekening) c = = = = (zie a). us is een ruit. = = 0 ( is gelijkzijdig). iernaast vierhoek op ware grootte. d Vierhoek is geen vierkant, dus lichaam is geen kubus. (of diagonaalvlak, zie b, is geen rechthoek is geen kubus), U,,,,, a 8% buiten de cilinder % erbinnen. I (kleine kegel) = 0, I (kegel) k = 0,. h(kleine kegel) = 0, h(kegel) = 0, h(kegel) topkegel h(kegel) =. kegel h = 0, 0, r r = :, (cm). 0, I, J I J h r 0,, J I,,,,,,, vooraanzicht,, rechterzijaanzicht,

14 & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg / b I J = 0 (m) wordt (op schaal) in het aanzicht (cm). us ( = 0 m) wordt dit aanzicht (cm) en IJ ( = m) wordt in het aanzicht (cm). c x 0, = 0 = 0 = 0 = (m). x = = = 8 = (m) = + = 7 (m). Omtrek(doorsnede op h = ) = ( + ) = = 8 (m).,,, 7a Zie het van het volledige onderstel op schaal :0 hiernaast. 7b oem het midden van het grondvlak = =. = + = = 88., = + = 0 + = 7. e totale lengte is (cm). 7c = (zie 7b) en = = = 0 (cm). (zandloperfiguur) met verhouding : = : 0. us = = 0 = 0 88, (cm).,, 8a 8b oem het midden van. In : sin = sin α = =.,8 us α = sin en (,8 ) (,8 ) = α = sin 77. eken eerst figuur. (op de juiste schaal). egin met = (cm) en maak m.b.v. hokjes in je schrift een meetlatje om, (cm) en, (cm) met de passer op te pakken. as vanuit (en vanuit ), ( cm) af. Verleng en en maak = =, (cm). aak vanuit met de passer boog en verleng deze boog na punt een heel stuk verder. as vanuit boog naar de andere kant af. Zo krijg je het punt waar komt na openvouwen. eken het opengevouwen lijnstuk en bepaal waar het punt komt na openvouwen. e grijze kleur geeft de opengevouwen filter weer.,,,, 0,, 8c yth. in : = = 0,, (cm). us middellijn = +,0 (cm). 8d Op 0% hoogte alleen een recht lijnstuk en geen cirkel, op 00% hoogte geen recht lijnstuk en alleen een cirkel. Op eenderde deel van de hoogte is = = = (cm) en = = = (cm). e dwarsdoorsnede bestaat uit rechthoek en een cirkel met diameter d =. e oppervlakte van de dwarsdoorsnede is + π ( ) (cm ).

15 & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg / a irkelboogjes met middelpunt en straal ( = ) en cirkelboogjes met middelpunten en en straal ( = = ). Zie de uitslag hieronder. b, O,,,,,,,,,,, c O (doorsnede) = x = x x = = x x x =. h = = 8 (cm)., x x h ' 0a ebruik figuur.0 in het boek. ' is de loodrechte projectie van op. In ': tan ' = ' = 0 =. ' 0 = ' = tan. 0b ( ) 0 0 0c = 0 (cm). r blijft over 00 ( 0 + 0) 8 (cm). 0d e lengte van het lint over trapezium is 00 0 = 8. ( = 00 0 = 0) e lengte van het lint over driehoek is 0. e totale lengte van het lint op hoogte 0 cm is (cm). r blijft (afgerond) cm over. 00 0e h trapezium = = 000. (de hoogte van trapezium is de lengte van in het vooraanzicht) e oppervlakte van één trapezium is: (00 + 0) 000. O (rood) = (00 + 0) 000 (cm).

16 & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg /. (zandloperfiguur) = = =... (let op de volgorde van de letters) = =... = =... =.. (snavelfiguur) = =... =... (let op de volgorde van de letters) = = = = =..... =... =... = 8 ( = en = = 0 hh) = = = = 8 = 0 en yth. in : = + = =. = 8 = = = 7. Voorkennis elijkvormige driehoeken (bladzijden en ). ( het midden van ) ( = en = = 0 hh) = =. =... =... = = =... = Voorkennis ekenen met wortels (bladzijden en ) a =. f = = = = b x x 7 = x. g = = = c =. x x x h ( ) = = = 0 d = = e = = 7.. x x x x x.. i ( ) = = = x x x x x.. j ( ) = = =. a + = + = + =. b 80 0 = = =. c 8x 8x = x x = x x = x. d x + x = x + x = x + x = x. e x = x = x. f 7 x = x 7 = x 7. g x 8 x = x x = x x = x. h x + x = x + x = x + x = x + x = x.