Opdracht 1 bladzijde 8

Transcriptie

1

2 Opdrachten Opdracht bladzijde 8 Uit een stuk karton met lengte 45 cm en breedte 8 cm knip je in de vier hoeken vierkantjes af met zijde cm. Zo verkrijg je een open doos. 8 cm 45 cm Hoe groot is het volume van de doos als je vierkantjes met zijde 5 cm wegsnijdt? V = (45? 5)(8? 5)? 5 fi V = 50 cm =,5 dm Bepaal het volume V (in cm ) van de doos in functie van. V = (45 )(8 )? Welke waarden van zijn zinvol? De zijde moet positief zijn en kleiner dan de helft van de breedte 8 cm. Dus 0 < < 4. Anders genoteerd: Œ ]0,4[. Opdracht bladzijde 0 Zonder water kan een mens niet overleven. Wereldwijd worden er dan ook al vele jaren inspanningen geleverd om het tekort aan drinkwater aan te pakken. Een oplossing daarvoor zou het gebruik van Zuidpoolijs kunnen zijn. Een ijsberg bevat immers miljoenen tonnen zoet water, potentieel drinkwater dus. De Franse ingenieur Georges Mougin ijvert al sinds 975 om het verslepen van ijsbergen mogelijk te maken, maar stuitte op tal van problemen (financiële, technische ). Het is pas sinds 00 dat men, dankzij o.a. simulatietechnieken, een beter zicht heeft op het verslepen van een ijsberg. Hoeveel ijs er tijdens een dergelijke tocht smelt, is onder andere afhankelijk van de tijd die het kost om de ijsberg naar de eindbestemming te slepen. Stel dat men als model een bolvormige ijsberg neemt met straal 50 m en dat er per dag een laag ijs van m dikte smelt. 8

3 Veeltermfuncties Bepaal het voorschrift van het volume V van de ijsberg (in m ) als functie van de vaartijd t (in dagen). Je mag aannemen dat het transport van de ijsberg begint op t = 0. V = 4 bol pr V = 4 (50 t) p Wat is het volume van de ijsberg na 0 dagen varen? V = 4 (50 0) = ,76 p Het volume is ongeveer m. Na hoeveel dagen zou de ijsberg volledig gesmolten zijn? V = 0 50 t = 0 t = 75 Na 75 dagen varen is het ijs gesmolten. Opdracht (vervolg) bladzijde 4 Maak gebruik van de grafiek van V om na te gaan na hoeveel tijd het volume van de ijsberg gehalveerd is. Grafisch: Bereken dit tijdstip ook algebraïsch. Algebraïsch: 4 4 p( 50 - t) = p t = t = = 5,4746 Na ongeveer 6 dagen is het volume gehalveerd. 8.a

4 Opdrachten Opdracht bladzijde Beschouw de functie met voorschrift f() = Welke nulpunten kun je aflezen uit de tabel van f? Uit de tabel van f lezen we nulpunten af:, en. Ontbind het voorschrift van f in factoren. Dit kan bijvoorbeeld door de termen twee aan twee samen te nemen = ( ) 9( ) = ( ) ( 9) = ( ) ( ) ( + ) Hoe kun je uit die ontbinding de nulpunten van f algebraïsch bepalen? ( ) ( ) ( + ) = 0 = 0 of = 0 of + = 0 = of = of = Opdracht 4 bladzijde Beschouw de functie met voorschrift f() = In een tabel kun je enkel het geheel nulpunt - aflezen. Bepaal m.b.v. de grafiek de overige nulpunten op 0,00 nauwkeurig. Op de grafiek lezen we de nulpunten,6 en,6 af

5 Veeltermfuncties Als - een nulpunt is van f, dan is + een deler van f() en geldt f() = ( + )? q(). Bepaal het quotiënt q() en bereken de nulpunten van f eact. M.b.v. de Hornerschema vinden we: Het quotiënt is q() = 4. Dit betekent dat f() = ( + ) ( 4) en dus: ( + ) ( 4) = 0 + = 0 of 4 = 0 D = = 0 = of = ± 5 = ± 5 nulpunten :, 5, + 5 Opdracht 5 bladzijde Plot de grafiek van de functie met voorschrift f() = Op basis van het standaardvenster vermoeden we twee nulpunten

6 Opdrachten Bereken de nulpunten van f door de bikwadratische vergelijking = 0 op te lossen = = 0 D = = 50, = 5 ± 50 4 = 9 of = 56 = 6 = ± of = ± 6 nulpunten = : ±, of, = 6, ± 6 6 nulpunten :,, 6, 6 Opdracht 6 bladzijde 4 Bepaal eact de nulpunten van de veeltermfuncties. f() = - = 0 ( ) = 0 = 0 of = 0 = 0 of = of = nulpunten: 0,,

7 Veeltermfuncties f() = = 0 Via een tabel vinden we als nulpunten 5, en. Er kunnen niet meer nulpunten zijn. Nulpunten: 5,, f() = = 0 ( ) + ( ) = 0 ( ) ( + ) = 0 = 0 of + = 0 = geen oplossing Nulpunt: 4 f() = = 0 In de tabel lezen we het nulpunt af. Regel van Horner: Er geldt: f() = ( + ) (4 4 + ) zodat: f() = 0 ( + ) (4 4 + ) = 0 ( + ) ( ) = 0 + = 0 of = 0 = of = Opmerkingen: ) is een dubbel nulpunt. ) Kies je voor de tabel stapgrootte, dan vind je ook als nulpunt via de tabel.

8 Opdrachten 5 f() = = 0 bikwadratische vergelijking: t 5t + 6 = 0 stel = t S = 5 P = 6 en t = of t = = of = = ± of = ± Nulpunten: nulpunten :,,, 6 f() = = 0 ( ) ( + ) = 0 = 0 of + = 0 geen oplossing = ± Nulpunten: nulpunten :, 7 f() = = 0 In de tabel lezen we het nulpunt af ( + ) ( ) = 0 + = 0 of = 0 D = = of = ± = ± Nulpunten: nulpunten :,, + 4

9 Veeltermfuncties 8 f() = = 0 In de tabel lezen we de nulpunten en af ( + ) ( ) ( ) = 0 + = 0 of = 0 of = 0 = of = of = ± 5 Nulpunten: nulpunten :,, 5, + 5 D = 5 9 f() = In de tabel lezen we het nulpunt 5 af ( + 5) (9 6 + ) = = 0 of ( ) = 0 = 5 of = nulpunten Nulpunten: : 5, 5

10 Opdrachten 0 f() = = 0 4 (4 9) (4 9) = 0 (4 9) ( 4 ) = 0 ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) = 0 = 0 of + = 0 of = 0 of + = 0 of + = 0 geen oplossing = of = of = of = Nulpunten: nulpunten :,,, Opdracht 7 bladzijde 5 Een veeltermfunctie van de derde graad heeft een (enkelvoudig) nulpunt en een dubbel nulpunt -. De grafiek van deze functie gaat door het punt P(-, ). Het voorschrift is bijgevolg van de vorm f() = a? ( - ) m? ( + ) n, met a π 0. Bepaal m en n. f() = a( ) m ( + ) n is een enkelvoudig nulpunt: m =, is een dubbel nulpunt: n =, 4 Omdat de veeltermfunctie van de derde graad is, is m = en n =. Bereken a. Het punt P (, ) ligt op de grafiek van f: a ( ) ( + ) = 6a = a = 6

11 Veeltermfuncties Opdracht 8 bladzijde 5 Bepaal het voorschrift van de vierdegraadsfunctie f met - en als dubbele nulpunten en waarvan de grafiek door het punt P(, ) gaat. f() = a ( + ) ( ) De grafiek gaat door het punt P (,): a ( + ) ( ) = 9a = a = Voorschrift : f() = ( + ) ( ) Opdracht 9 bladzijde 5 Geef een voorbeeld van een vierdegraadsfunctie met geen nulpunten f() = 4 +, g() = 4 + één nulpunt f() = ( ) 4, g() = ( ) ( + ) twee nulpunten f() = 4, g() = ( ) ( + ) 4 drie nulpunten f() = ( ) ( + ) ( ), g() = ( ) ( 4) 5 vier nulpunten f() = ( ) ( + ) ( ), g() = ( ) ( 4) 7

12 Opdrachten Opdracht 0 bladzijde 6 Het voorschrift f() = kan ontbonden worden als f() = ( + )( - ). In de tabel vind je de functiewaarden bij een aantal originelen. Leid uit deze gegevens af voor welke intervallen van de grafiek van f boven, respectievelijk onder de -as ligt. Doe dit zonder een grafiek te maken. De grafiek van f ligt boven de as voor < < 0 en voor >,5 want daar zijn de functiewaarden positief. De grafiek van f ligt onder de as voor < en voor 0 < <,5 want daar zijn de functiewaarden negatief. Omdat de functie van de derde graad is kunnen er maimum nulpunten zijn. Een andere mogelijkheid voor de grafiek is er niet. f() , ,5 4,5-5 -0, ,5 -,5 -,5 0 8,5,5 45 Voor = - en = zijn de functiewaarden negatief: f(-) = -7 en f() = -. Bepaal voor = - het teken van elk van de factoren in de ontbinding van f. Doe dit ook voor =. = : < 0 + < 0 ( ) < 0 = : > 0 + > 0 < 0 negatieve factoren ( + ) ( ( ) ) < 0 positieve en negatieve factor ( + ) ( ) < 0 Voor = - en = zijn de functiewaarden positief. Wat kun je voorspellen over het aantal positieve factoren voor deze twee -waarden? Controleer je bewering. = : even aantal negatieve factoren < 0 negatieve factoren + > 0 ( + ) ( ( ) ) > 0 ( ) < 0 = : > 0 + > 0 > 0 positieve factoren ( + ) ( ) > 0 8

13 Veeltermfuncties Opdracht bladzijde 8 Los de volgende ongelijkheden op met behulp van een tekentabel > 0 * nulpunten: = 0 Tabel: 0 ( ) ( + + ) = 0 = 0 of + + = 0 = D = < 0 * tekentabel: f() 0 + * > 0 als > * nulpunten: 4 + = 0 ( + ) = 0 = 0 () of + = 0 D = 5 = ± 5, 6 * tekentabel: f() * als of = 0 of 9

14 Opdrachten Opdracht bladzijde 8 Los grafisch op: f() > g(). = g() = f() 0 0 = g() = f() f() > g() als < < 0 of > Opdracht bladzijde 8 Voor welke waarden van ligt de grafiek van f: onder de grafiek van g: - - +? De voorwaarde vertaalt zich in: + 4 < < < 0 * nulpunten:,, (tabel) < 0 ( + ) ( + ) ( ) < 0 * tekentabel: f() g() * De grafiek van f ligt onder de grafiek van g als < of < < 0

15 Veeltermfuncties Opdracht 4 bladzijde 8 Los op f() g() ( 4) 0 * nulpunten: 0,, * tekentabel: f() g() * als of = 0 of

16 Opdrachten - - < - < f() g() + < 0 + < 0 * nulpunten:,, (tabel) + = ( ) ( ) = 0 ( + ) ( ) ( ) = 0 * tekentabel: f() g() * als of < < < <

17 Veeltermfuncties Opdracht 5 bladzijde 9 De functies f in deze opdracht hebben als voorschrift f()= of f()= of f()= of f()=. Op de grafiek van zo n functie f wordt een transformatie (spiegeling, uitrekking, verschuiving) uitgevoerd. Zo ontstaat de grafiek van een functie g. Bepaal telkens het voorschrift van f en g. f() g() - / / ,44 7,07,7 8, ,6,8 8 4 = g() = f() f ( ) = g ( ) = 5 f() g() - -0, 0, - -0,5 0, / / - 0,5-0,5 0, -0, = f() 0 = g() f ( ) = g ( ) =

18 Opdrachten f() g() - -0, 0, , / / - 0,5-0, -0, = f() = g() f ( ) = g ( ) = Opdracht 5(vervolg) bladzijde 0 4 f() g() -4 -,587 -,87 - -,6 -, ,6, ,5874,599 6,87,5874 8,87 = f() = g() f ( ) = g ( ) = 5 f() g() = g() = f() 0 f() = g() = ( + ) 4

19 Veeltermfuncties Opdracht 6 bladzijde Op de grafiek van de functie met voorschrift f() = 4 past men, in de gegeven volgorde, de volgende transformaties toe: een verticale uitrekking met factor een spiegeling om de -as een verschuiving volgens de vector v (-,) Je krijgt de grafiek van een functie g. Bepaal het voorschrift van deze functie. = 4 verticale uitrekking met factor = 4 spiegeling om de as = 4 verschuiving volgens v Æ (, ) 4 = ( + ) + 4 g() = ( + ) + Je verandert nu de volgorde van de transformaties als volgt: eerst een verschuiving volgens de vector v (-,) daarna een spiegeling om de -as tenslotte een verticale uitrekking met factor Je krijgt de grafiek van een functie h. Bepaal het voorschrift van deze functie. = 4 verschuiving volgens v Æ (, ) = ( + ) 4 + spiegeling om de as = ( + ) 4 verticale uitrekking met factor 4 = ( + ) 4 h ( ) = ( + ) 5

20 Opdrachten Opdracht 7 bladzijde Teken de grafiek van de functie met voorschrift f() =. Welke transformaties zijn er nodig om deze grafiek om te vormen tot de nevenstaande grafiek? : - + spiegeling om de as Æ = verschuiving volgens v Æ (0,) Æ = + Geef het voorschrift dat hoort bij die grafiek. = + 6

21 Veeltermfuncties Opdracht 8 bladzijde Gegeven zijn een aantal functiegrafieken. Bepaal de eventuele smmetrieassen en smmetriemiddelpunten van de grafieken. 4 = f() smmetriemiddelpunt: (0,0) 6 4 = f() geen smmetrie = f() 0 smmetriemiddelpunt (, ) 7

22 Opdrachten 4 6 = f() 4 p 0 p oneindig veel smmetrieassen [0, p] verdelen in delen p p 4p = 0, =, =, = p, =,... p p =, =, = f() smmetrieas: = 0 8

23 Veeltermfuncties 6 = f() 4 p p 0 p p 4 p 7p p oneindig veel smmetrieassen: =,,, Opdracht 9 bladzijde 6 Onderzoek algebraïsch of de functies met gegeven voorschrift even, oneven of geen van beide zijn. Controleer daarna d.m.v. een grafiek. f() = f( ) = ( ) = = f() f is even f() = f( ) = ( ) 5 ( ) + = π f() π f() f is even, noch oneven f() = f( ) = ( ) + 5( ) = 5 = ( + 5) = f() f is oneven 9

24 Opdrachten Opdracht 0 bladzijde 0 Hieronder zie je een aantal grafieken met voorschrift f() = a n. Maak een classificatie van de vorm van de grafiek van deze functies op basis van de waarde van a en n. f() = a n n even n oneven a > 0 f 5 () f () f 9 () f () f 7 () f () a < 0 f () f 4 () f 6 () f 0 () f 8 () f () Opdracht bladzijde In welke kwadranten liggen de grafieken van de volgende functies, voor zeer grote absolute waarden van? f() = a > 0 n even eerste en tweede kwadrant f() = a < 0 n oneven tweede en vierde kwadrant f() = -0,8 6 -, a < 0 n even derde en vierde kwadrant 4 f() = 0, a > 0 n oneven eerste en derde kwadrant 0

25 Veeltermfuncties Opdracht bladzijde Bij een rechthoekige metalen plaat van 0 cm bij 0 cm worden in de hoeken kleine vierkanten weggesneden. Daarna wordt van de plaat een bakje gebogen. De hoogte van de rand is (in cm). 0 cm 0 cm De inhoud I van dit bakje kunnen we uitdrukken in functie van : I() = (0 - )(0 - ) Welke inhoud heeft het bakje als =? En als =? = : I() = (0 6) (0 6) = 008 fi 008 cm = : I() = (0 ) (0 ), geen oplossing want < 0 de inhoud kan niet negatief zijn. Welke zijn de zinvolle waarden voor? De zijde van het vierkantje moet positief zijn en moet kleiner zijn dan de helft van de kortste zijde van de rechthoek (0 cm), dus 0 < < 0 Stel een tabel op van I, waarbij zinvolle gehele waarden aanneemt. Voor welke waarde van, bij benadering, is de inhoud maimaal? I() ª 4 cm

26 Opdrachten 4 Kies vensterinstellingen op basis van de tweede en de derde vraag en plot de grafiek van I. Ga op deze grafiek na voor welke -waarde de inhoud maimaal is. Geef het resultaat in mm. ª,97 cm ª 9 mm Opdracht bladzijde 6 Bepaal grafisch de relatieve etrema van de veeltermfunctie met voorschrift f() = 4-0,7-0,6 +. Via een tabel bepalen we de geschikte vensterinstelling - - De functie bereikt een minimum voor = 0,45 met waarde 0,97 en voor = 0,870 met waarde 0,658. De functie bereikt een maimum voor = 0 met waarde.

27 Veeltermfuncties Opdracht 4 bladzijde 6 Uit een rechthoek van 40 cm lang en 0 cm breed snijden we zes gelijke vierkanten weg zoals aangegeven op de figuur. Met het overblijvende deel maken we een taartdoosje. Hoe groot moet de zijde van de vierkantjes zijn opdat de doos een maimale inhoud zou hebben? De inhoud van de doos = I() = 40 ( 0 ) De zijde van het vierkantje moet ongeveer,77 cm zijn opdat de inhoud van de doos maimaal is (± 67,84 cm ) Opdracht 5 bladzijde 9 Welke van de onderstaande grafieken zijn functiegrafieken? Bepaal in dit geval het domein en het bereik van de functie. geen functie 0