=

Transcriptie

1 1. Als je vervangt door 3 in de uitdrukking = + + +, dan verkrijg je: = Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. 2. Bekijk de onderstaande figuur waarop alle eventuele symmetrieassen aangeduid zijn: Door de figuur te spiegelen rond de verticale of horizontale lijn, overlappen de kangoeroes elkaar. Dit is niet het geval voor de twee diagonalen. Deze figuur heeft dus 2 symmetrieassen. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 2. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. 3. We stellen de lengte van één kubusvormig doosje gelijk aan 1. Het volume van zo n doosje is dus gelijk aan = 1. Aangezien er 8 speelgoedkangoeroes worden verzonden is het volume van de grote kubusvormige doos gelijk aan 8 1 = 8. We berekenen nu de ribbe r van deze grote kubus. Het volume van de kubus is steeds gelijk aan r 3. Aangezien het volume gelijk is aan 8, is r 3 = 8 en dus r = 2. Op de bodem van de grote doos staan er dus 2 2 = 4 doosjes. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 3. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. 4. De onderste zijde van de figuur heeft lengte a + a + a = 3a en de lengte van de linkse zijde is gelijk aan b + 2b + b = 4b. De totale omtrek van de figuur is dus gelijk aan a + b + a + 2b + a + b + 3a + 4b = 6a + 8b. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 4. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.

2 5. Het is onmogelijk om een vierkant te tekenen. De vier andere figuren kan Zara wel tekenen. Trapezium: Scherphoekige driehoek: Rechthoekige driehoek: Stomphoekige driehoek: Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 5. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.

3 6. We stellen n gelijk aan het kleinste natuurlijk getal dat Randi gekozen heeft. We weten dat de som van de drie kleinste getallen gelijk is aan 33. Dit wil dus zeggen: n + (n + 1) + (n + 2) = 33. Als we dat een beetje herschrijven dan vinden we 3n + 3 = 33. Uit deze vergelijking haal je dan n: 3n = 30 of dus n = 10. De zeven getallen die Randi gekozen heeft, zijn dus , zodat de som van de drie grootste gelijk is aan = 45. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 6. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. 7. Geen uitgewerkte oplossing beschikbaar Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 7. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. 8. Nummer drie blokken zoals in onderstaande figuur. Door die drie blokken te verschuiven, wordt er plaats gemaakt voor nog zo n blok. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 8. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.

4 9. We lijsten alle mogelijkheden hieronder op: Nina kleurt óf arceert alle kleine vierkantjes. Dit geeft bijgevolg twee verschillende patronen. Nina kleurt óf arceert 1 vierkantje. Dit levert opnieuw twee patronen hebben. Nina kleurt twee vierkantjes (en arceert bijgevolg de twee andere). Dit kan op twee manieren: Nina kleurt twee vierkantjes die naast elkaar gelegen zijn of twee vierkantjes die tegenover elkaar liggen. Opnieuw zijn er hier dus 2 mogelijkheden. In totaal vinden we zo dus 6 verschillende patronen. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 9. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. 10. De som van de kleinste honderd even natuurlijke getallen is gelijk aan , terwijl de som van de kleinste honderd oneven natuurlijke getallen gelijk is aan Het verschil is dus gelijk aan ( ) ( ). Dit kunnen we echter als volgt herschrijven: (2 1)+(4 3)+(6 5)+(8 7)+...+( )+( )+( )+( ). Aangezien iedere term tussen de haakjes gelijk is aan 1 en er zo 100 termen zijn, verkrijgen we dat bovenstaande uitdrukking gelijk is aan 100. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 10. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w We moeten het kleinste gemeen veelvoud bepalen van 3, 5 en 6. Dit is gelijk aan 30. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 11. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.

5 Aangezien Lucas 18 minuten nodig heeft om drie korte kettingen te verbinden, heeft hij 9 minuten nodig om twee korte kettingen te verbinden met elkaar. Aangezien hij zes korte kettingen moet verbinden met elkaar, wil dit zeggen dat hij in totaal 5 keer kettingen met elkaar moet verbinden. De tijd die hij hiervoor nodig heeft is dus 5 9 = 45 minuten. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 12. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. 13. Als Frank één keer zaagt, heeft hij twee stukken. Zaagt hij twee keer, dan heeft hij er drie. Dit kun je blijven herhalen. Als hij maar 1 boom had omgehakt, dan zou Frank dus 18 stukken hebben. Heeft hij er twee omgehakt, dan eindigt hij met 19 stukken. Om op het einde exact 22 stukken over te houden, moet hij dus 5 bomen omgehakt hebben. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 13. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. 14. De oppervlakte van rechthoek ABCD is gelijk aan 6 10 = 60 cm 2, zodat de gekleurde oppervlakte gelijk is aan 30 cm 2. Aangezien SR = 6 cm, zal XS = 5 cm. We weten verder dat P QRS een vierkant is, zodat alle zijden dezelfde lengte hebben, namelijk 6 cm. Bijgevolg is PX = 6 5 = 1 cm. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 14. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. 15. Met twee lijnstukken kun je een cirkel in hoogstens 4 stukken verdelen. Met 3 lijnstukken lukt het wel: Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 15. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.

6 16. We bekijken de vier gelijkheden wat van naderbij: a 1 = e 5 zodat a = e 4. Bijgevolg is e > a. b + 2 = e 5 zodat b = e 7. Bijgevolg is e > b. c 3 = e 5 zodat c = e 2. Bijgevolg is e > c. d + 4 = e 5 zodat d = e 9. Bijgevolg is e > d. Het getal e is dus het grootst. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 16. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. 17. Om een kalkoen te kunnen ruilen, moet boer Teun er eerst voor zorgen dat hij 5 eenden heeft. Dit kan enkel maar door twee maal drie eenden te ruilen. Als je drie eenden wil hebben, moet je hiervoor 1 gans en 2 kippen hebben. Dit is echter hetzelfde als 6 kippen. Om een kalkoen te krijgen, moet boer Teun dus tweemaal 6 kippen ruilen. In ruil voor deze 12 kippen krijgt hij dus 1 kalkoen en heeft hij nog 1 eend over. Om tenslotte nog een gans te krijgen, ruilt hij nog vier kippen. In totaal heeft boer Teun dus 12+4=16 kippen meegebracht. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 17. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. 18. Vouw je het papier één keer, dan moet de linkse helft van het zijaanzicht perfect passen op de rechterhelft nadat die linkse helft 180 gedraaid is. Dit principe moet nu nog worden herhaald als je een tweede en derde keer vouwt. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 18. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w Hoe Nele telkens twee getallen vervangt, speelt geen rol wegens de commutativiteit van de optelling in N. Aangezien er tien getallen zijn, wil dit zeggen dat ze in totaal 9 keer twee getallen zal moeten vervangen door hun som verminderd met 1. Het getal dat overblijft is dus de som van 1 t.e.m. 10 verminderd met 9 1 = 9. Dit is gelijk aan 46. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 19. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. Het grootste natuurlijk getal dat wel geschreven kan worden als de som van drie verschillende getallen van één cijfer is gelijk aan = 24. Bijgevolg is 25 het kleinste natuurlijk getal dat niet geschreven kan worden als de som van drie verschillende getallen van één cijfer. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 20. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.

7 Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:21 CET USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school. 21. De oppervlakte van het ganse gebied is gelijk aan de helft van de oppervlakte van een cirkel met straal 8 cm; dit is dus 32π cm 2. Dit is duidelijk door het grijze gebied wat aan te passen zoals in onderstaande figuur: Op deze figuur is ook onmiddellijk duidelijk dat de oppervlakte van het grijze gebied gelijk is aan de helft van de oppervlakte van een cirkel met straal 4, m.a.w. 8π cm 2. Het grijze gebied is dus 8 32 = 1 van de hele figuur. 4 Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 21. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 22. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.

8 23. Bekijk de onderstaande figuur: Het witte gebied dat we uit het grijze gebied wegnemen, heeft dezelfde oppervlakte als het rode gebied. Doen we nu hetzelfde door te kijken naar de lijnstukken [AB] en [BC], dan vinden we de volgende figuur: De oppervlakte van driehoek ABC is bijgevolg gelijk aan 11 cm 2. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 23. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. 24. Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:21 CET USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 24. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.