PROEFTOETS 11HB WISKUNDE

Transcriptie

1 PROEFTOETS 11HB WISKUNDE HAVO NG/NT Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting of argumentatie. 1. (15p) Los de volgende vergelijkingen zonder GRM op: (Check wel je antwoorden steeds).. a) 10 b) 4 4 c ( 3) ( 4) 3 ) log() 3 d e ) log( ) log(3) log( 1) 4 ) log(31). (4,4,4,4p) Parabool Gegeven de parabool y 0,5 3 op het domein [0,6]. Het punt P op de parabool met p=p zal zich tussen 0 en 6 begeven. Men maakt een driehoek van de oorsprong, naar P en naar Q (p,0). a) Maak de formule die de oppervlakte beschrijft van deze grijze driehoek als functie van. b) Bereken voor welke waarde van p de oppervlakte van OPQ maimaal is. c) Zo'n zelfde situatie geldt voor de parabool: y 0,5 4 De lijn =p markeert de vertikale lijn lopend van R naar S. 3 Toon aan dat de oppervlakte hier wordt beschreven door A 0, 5p 1,5 p 8 d) Toon aan dat de oppervlakte van de driehoek A (RSQ) niet optimaal is als S op T valt. e) Gebruik deze laatste parabool op de raaklijn op te stellen in het punt met = (4,4,4p) Afgeleide bepalen Gegeven de functie: 3 f( ). a) Differentieer de functie en toon aan dat de afgeleide is f '( ) 5 3 b) Bereken algebraisch het minimum van f. c) De lijn l met rico 16,5 raakt de grafiek van f in het punt B. Bereken de cordinaten van B.

2

3 RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO NG/NT T11-HNGNT-H56 HER UITW Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting of argumentatie. MAX: 53 punten 1. (15p) Los de volgende vergelijkingen zonder GRM op: (Check wel je antwoorden steeds).. a ) dus 10 0 abc... D=44. 1, b) 4 4 dus +3=-+4 en dus =1.. = c d e ( 3) ( 4) 1 3 ) log() 3 betekent: +=7 => = ) log( ) log(3) log( log( ) log(3( 1)) dus = =3, =-3 1) 4 ) log(31) 3-1=16..3=17 dus =17/ want: loga +logb=log(a B). (4,4,4,4p) Parabool Gegeven de parabool y 0,5 3 op het domein [0,6]. Het punt P op de parabool met p=p zal zich tussen 0 en 6 begeven. Men maakt een driehoek van de oorsprong, naar P en naar Q (p,0). a) Maak de formule die de oppervlakte beschrijft van deze grijze driehoek als functie van. Opp driehoek: bh/ = (p) f(p)/ 3 dus: A ( 0,5 3 ) 0,5 0,5 1,5 b) Bereken voor welke waarde van p de oppervlakte van OPQ maimaal is. 3 A ( 0,5 3 ) 0,5 0, 5 1,5 A' 0, 75 3 A' 0, dus: (-0,75+3)=0 als =0 of =4 c) Zo'n zelfde situatie geldt voor de parabool: y 0,5 4 De lijn =p markeert de vertikale lijn lopend van R naar S. Toon aan dat de oppervlakte hier wordt beschreven door A p p 3 0, 5 1,5 8

4 A p p 3 0, 5 1,5 8 Nulpunten zijn =- en =4 (ga na!) Dus OR = dus RQ= 4- Opp A=(4-)(-0,5 4) / 3 8 0, 5 0,5 3 0,5 1,5 8 of vervang alle door p. d) Toon aan dat de oppervlakte van de driehoek A (RSQ) niet optimaal is als S op T valt. (1) Top zit symmetrisch tussen nulpunten - en 4: dus bij =1. () A' = 0,75-3 = 0 dus: (0,75-3)=0 geeft =0 of =4 dus afstand vanaf Q is 4. Dus de maimale oppervlakte zit bij =0. Basis = 4cm Daar zat punt T niet. e) Gebruik deze laatste parabool op de raaklijn op te stellen in het punt met = - 1 y 0,5 4 dus y'=-+1. y'(-1)=. y() 0,5 1 4,5 raaklijn: y=+b... b=4,5 3. (4,,p) Afgeleide bepalen f( ) f '( ) (3 ) ( ) 3 1,5 1,5 0,5,5 1,5 3 0,5 0,5 Gegeven de functie:,5 1,5,5 1,5 deel alles door,5 1,5 1 en dan a) Differentieer de functie en toon aan dat de afgeleide is f '( ) 5 3 b) Bereken algebraisch het minimum van f. f'()=0 dus 5-3- = 0.. geeft =1 of =-/5 (niet geldig) plot ff: dus bij =1 y=-. c) De lijn l met rico 16,5 raakt de grafiek van f in het punt B. Bereken de coordinaten van B. (1) Waar is afgeleide dus 16,5: () 5 3 f '( ) 16,5 GRM!!!! bij =4. f(4)=0 B(4,0).

5