2. Examenvraag (3,6p)

Transcriptie

1 RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO NG/NT KLAS 12 UITWERKING Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting of argumentatie. MAX: 51 punten Tijd: 70 min, Dyslecten: 90min. 1. (3,2,3,5,5p) Cirkels. In de figuur hieronder zie je twee rakende cirkels c1 en c2 met hun middelpunten M en N. M ligt op de y-as, en diens straal is r. Er geldt dat r > s. Vanzelfsprekend is de afstand MN ook r+s. Neem voor vragen a, b en c steeds r=9 en voor s=4 a) Bereken de oppervlakte van trapezium OMNP. b) Uitgaande van M(0,9), stel de formules van cirkel c1 en c2 op. c) Stel de formule op van de lijn die door M en N heen gaat en bereken de hoek die die lijn met de x-as maakt. d) Toon op algebraïsche wijze aan dat de oppervlakte van trapezium OMNP ook kan worden gevonden met de formule ( r s) rs e) Uitgaande van de in vraag d gegeven formule en dat r+s=25 en dat OP=15, bereken de waarde van r en s. 2. Examenvraag (3,6p)

2 3. Algemene functievragen (2,2,3,3,3p) a) Herleid log( A) 1,7 1,6log( B) tot A=pB n b) Herschrijf t = 3log(N)-14 tot N c) Op basis van deze tabel: b g t t N

3 veronderstelt men dat N evenredig is met een macht van t volgens: N=at b Bereken a en b. d) Voor een bepaald type mossel waarvan bekend is dat deze het water kunnen zuiveren door filtratie, is gegeven dat hun filtercapaciteit C is gegeven door: 52,7 C met C de filtercapaciteit in ml/uur en L de schelplengte van de mossel ,693 L in mm. Bij deze formule hoort een horizontale asymptoot. Welke is dat en wat is de betekenis hiervan? 2 0,5 e) Los exact op: log( x 1) log( x 1) 2 4. (4p) Parabolen Gegeven: f ( x) x 3,5x 4,5 en g( x) 0,5x 1,5 x 2 Een verticale lijn x=p met p tussen -1 en 5 snijdt beide parabolen in resp. A en B. Bereken algebraïsch voor welke p de lengte van het lijnstuk AB maximaal is. 5. (7p) Examenvraag

4

5 RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO NG/NT KLAS 12 UITW T212-HNGNT-H7911 HER Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting of argumentatie. MAX: 51 punten Tijd: 70 min, Dyslecten: 90min. 1. (3,2,3,5,5p) Cirkels. In de figuur hieronder zie je twee rakende cirkels c1 en c2 met hun middelpunten M en N. M ligt op de y-as, en diens straal is r. Er geldt dat r > s. Vanzelfsprekend is de afstand MN ook r+s. Neem voor vragen a, b en c steeds r=9 en voor s=4 a) Bereken de oppervlakte van trapezium OMNP. (1) Opp trap = 0,5(r+s)(OP) (2) OP = V(MN ) = =144 Dus OP=12 (3) 0,5(9+4)(12)=6*13=78. b) Uitgaande van M(0,9), stel de formules van cirkel c1 en c2 op. c1: x 2 +(y-9) 2 =81 c2: (x-12) 2 +(y-4) 2 =16 c) Stel de formule op van de lijn die door M en N heen gaat en bereken de hoek die die lijn met de x-as maakt. y=-5/12x+9 dus hoek =tan -1 (-5/12)=22,61 d) Toon op algebraïsche wijze aan dat de oppervlakte van trapezium OMNP ook kan worden gevonden met de formule ( r s) rs (1) opp trap = 0,5(r+s)(OP) (2) dus 0,5(r+s) MN ( r s) 0,5( r s) ( r s) ( r s) (3) 0,5( r s) 4 rs ( r s) rs e) Uitgaande van de in vraag d gegeven formule en dat r+s=25 en dat OP=15, bereken de waarde van r en s. (1) Opp=(r+s)V(rs) = 25V(rs) (2) OP=V((r+s) 2 -(r-s) 2 )=V(r 2 +2rs+s 2 -r 2 +2rs-s 2 )=V(4rs)=2V(rs) (3) OP=15=2V(rs) = V(rs)=7,5 dus rs=56.25 (4) Als dus rs=56,25 en r+s=25: r(25-r)= r-r 2 =56.25 (5) r=22,5 of 2,5 dus s=2,5 of 22,5 en r>s dus: r=22,5 en r=2,5 2. (9p) Examenvraag.

6 3. Algemene functievragen (2,2,3,3,3p) a) Herleid log( A) 1,7 1,6log( B) tot A=pB n (1) A=10 1,7 *B 1,6 dus p=50.11 en n=1.6 b) Herschrijf t = 3log(N)-14 tot (1) t+14=log(n 3 ) (2) N 3 =10 (t+14) (3) N=10 (1/3)(t+14) (4) N=10 (t/3) *10 (14/3) c) Op basis van deze tabel: veronderstelt men dat N N b g macht van t volgens: N=at b Bereken a en b. (1) 1,82=a2 b en 19,7=a5 b (2) a=1,82/2 b en a=19.7/5 b (3) GRM: intersect: b= Y=0,3003 dus: b=2,6 en a=0,3 t t N evenredig is met een d) Voor een bepaald type mossel waarvan bekend is dat deze het water kunnen zuiveren door filtratie, is gegeven dat hun filtercapaciteit C is gegeven door: 52,7 C met C de filtercapaciteit in ml/uur en L de schelplengte van de mossel ,693 L in mm. Bij deze formule hoort een horizontale asymptoot. Welke is dat en wat is de betekenis hiervan? (1) Als L=groot: breuk wordt 52,7/(1+179*0) dus 52,7 (2) Betekenis: Bij nóg grotere schelplengte blijft de filtercap beperkt tot 52,7

7 e) Los exact op: (1) log( x 1) log( x 1) 2 2 0,5 2 0,5 2 log( x 1) log( x 1) 2 log( x 1) log( x 1) 2 log( x 1)( x 1) 2 log( x 1) 2 x 2 5, x 5 4. (4p) Parabolen Gegeven: f ( x) x 3,5x 4,5 en g( x) 0,5x 1,5 x 2 Een verticale lijn x=p met p tussen -1 en 5 snijdt beide parabolen in resp. A en B. Bereken algebraïsch voor welke p de lengte van het lijnstuk AB maximaal is. (1) Lengte = f-g = v( x) x 3,5x 4,5 -(0,5x 1,5 x 2) v x x x 2 ( ) 0,5 2 2,5 dv dv x 2. 0 voor x 2. Lengte 4,5 dx dx

8 5. (7p) Examenvraag

9