Hoofdstuk 12A - Grafieken en vergelijkingen

Transcriptie

1 Moderne Wiskunde Hoofdstuk Uitwerkingen 1A - Grafieken bij 3B havo en vergelijkingen Hoofdstuk 5 Voorkennis V-1a De formule is van de vorm y = ax + b. De grafiek is een rechte lijn. b y = 0, dus y = 6,5 c 0,5x + 3 = 15 0,5x = 1 x = 4 d 0,5x + 3 = 4 0,5x = 1 x = Het snijpunt is (, 4). V-a De hellingsgetallen van de lijnen zijn verschillend. b y = 3 3 dus y = 11 y = dus y = 14 c y = 3 dus y = 4 y = + 8 dus y = 4 d Bij x = is de uitkomst bij beide formules y = 4, dus het snijpunt is (, 4). V-3a Ze ziet aan de hellingsgetallen dat de twee lijnen niet evenwijdig zijn en elkaar dus moeten snijden. b x = 3 in beide formules invullen: y = 0,5 3 0,5 geeft y = 1 y = 0, 3 + 1,6 geeft y = 1, klopt Siera heeft het snijpunt goed gevonden. c De x-coördinaat van het snijpunt is de oplossing van de vergelijking. d x = 3 V-4a Het bordje moet op de 1a komen. b Sanne krijgt dan 1a = 4 en ze kan nog een keer een bordje plaatsen, namelijk op de a. c De oplossing is a =. V-5a Aan beide kanten van het = teken staat een x in de vergelijking. b 4x + 3 = 8 4x = 11 x =,75 V-6a 5w 17 = 9w + 4 d + 6p = 3 p 17 = 4w p = 3 1 = 4w 8p = 30 w = 5,5 p = 3,75 b 1 1 x = x + 7 e v 1 = 8 + 8v 1 = x = v 5 = 1 x 0 = 10v x = v = c 5r + 15 = 0 f 5t + 5 = 7t + 7 5r = 5 t + 5 = 7 r = 1 t = t = 1 113

2 V-7a Grafiek A is een dalparabool, die hoort dus bij de formule y = x 4. b y = ( 0,5) 4 = 0,5 4 dus y = 3,5 c De y-as is de symmetrieas van de parabool. Bij x = 0,5 is dus de y-coördinaat ook 3,5. d x 4 = x = 6 x = 3 x = 3 of x = 3 e 0,5x + = 3 0,5x = 5 x = 10 x = 10 of x = 10 ofwel x 3,16 of x = 3,16, wat klopt met de grafiek. V-8a x = 16 d 0,5x = 5 x = 4 of x = 4 x = 10 b x = 54 x = 10 of x = 10 x = 7 x 3,16 of x = 3,16 x = 7 of x = 7 e 1,5x = 60 x 5, of x 5, x = 40 c 6 3x = 6 geen oplossing 3x = 1 f 100 = 0,5x x = 4 x = 400 x = of x = x = 0 of x = 0 1A-1 Snijdende grafieken 1a Van lijn 1 is het startgetal 8 en het hellingsgetal 4, dus de formule is y = 4x 8. b Van lijn is het startgetal 7 en het hellingsgetal, dus de formule klopt. c 4x 8 = 7 x 6x 8 = 7 6x = 15 dus x =,5 d y = 4,5 8 dus y = e y = 7,5 dus y =, klopt a x = x 3 c 1 x + 7 = x 3 3x = 3 7 = 1 x 3 x = 1 10 = 1 x y = 1 x = 4 y = 1 3 dus y = 1 y = dus y = 5 Het snijpunt is (1, 1). y = 4 3 dus y = 5 b 3x + 3 = x 3 Het snijpunt is (4, 5). x + 3 = 3 d 3x 1 = x + 7 x = 6 4x 1 = 7 y = dus y = 15 4x = 8 y = 6 3 dus y = 15 x = Het snijpunt is ( 6, 15). y = 3 1 dus y = 5 y = + 7 dus y = 5 Het snijpunt is (, 5). 114

3 3a TO / TK TK = 13b + 10 TO = 5b b Het snijpunt ligt voorbij b = 17 en vóór b = 18. Lisanne moet minstens 18 bekers verkopen om winst te maken. c 13b + 10 = 5b 10 = 1b b = 17,5 Lisanne moet minstens 18 bekers verkopen om winst te maken. 4a x + 4 =,5 x = 1,5 x = 1,5 x = 1, 5 of x = 1, 5 x 1, of x 1, De x-coördinaat van het linker snijpunt is x 1,. b x + 4 = 3 x + 4 = 3 x = 1 x = 7 x = 1 x = 7 x = 1 of x = 1 x = 7 of x = 7 x,65 of x,65 c De parabool snijdt de lijn y = 8 niet. De top ligt op y = 4. 5a x 5 = x 5 b x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 of x = 0 x = 0 of x = c x = 0 geeft y = 0 5 dus y = 5 x = geeft y = 5 dus y = 1 De snijpunten zijn (0, 5) en (, 1). d x = 0 geeft y = 0 5 dus y = 5, klopt. x = geeft y = 5 dus y = 1, klopt. 6a x = 4x x 4x = 0 x(x ) = 0 x = 0 of x = 0 x = 0 of x = x = 0 geeft y = 0 = 0 en y = 4 0 = 0 x = geeft y = = 8 en y = 4 = 8 De snijpunten zijn (0, 0) en (, 8). b 115

4 b 0,5x + 7 = 9 0,5x = x = 4 x = of x = x = geeft y = 0,5 ( ) + 7 dus y = 9 x = geeft y = 0,5 + 7 dus y = 9 De snijpunten zijn (, 9) en (, 9). c 5x 6 = 0 5x = 6 x = 1, De vergelijking heeft geen oplossingen, dus er zijn geen snijpunten. d 3x + 4 = 0,5x + 4 3x + 0,5x = 0 x(3x + 0,5) = 0 x = 0 of 3x + 0,5 = 0 x = 0 of 3x = 0,5 x = 0 of x = 1 6 x = 0 geeft y = = 4 en y = 0, = 4 x = 1 geeft y = 3 ( ) + 4 = 4 1 en y = 0, = De snijpunten zijn (0, 4) en ( 1, a x + x 1 = x 1 b x + 3x = 0 c x(x + 3) = 0 x = 0 of x + 3 = 0 x = 0 of x = 3 d x = 0 geeft y = = 1 en y = 0 1 = 1 x = 3 geeft y = ( 3) + ( 3) 1 = en y = ( 3) 1 = De snijpunten zijn (0, 1) en ( 3, ). 1 ). 8a x + 4x = 1 x + 4x 1 = 0 (x + 6)(x ) = 0 x + 6 = 0 of x = 0 x = 6 of x = x = 6 geeft y = ( 6) = 1 x = geeft y = + 4 = 1 De snijpunten zijn ( 6, 1) en (, 1). b x 16 = x x c x = 16 x = 4 of x = 4 x = 4 geeft y = 4 16 = 4 en y = 4 ( 4) = 4 x = 4 geeft y = 4 16 = 8 en y = 4 4 = 8 De snijpunten zijn ( 4, 4) en (4, 8). x + 40 = 8 14x 16x + 40 = 8 16x = 3 x = x = geeft y = + 40 = 36 en y = 8 14 = 36 Het snijpunt is (, 36). 116

5 d x = 6x + 9 x = 6x 9 x 6x + 9 = 0 (x 3)(x 3) = 0 x 3 = 0 dus x = 3 x = 3 geeft y = 3 = 9 en y = = 9 Het snijpunt is (3, 9). 1A- Vergelijkingen met machten oplossen 9a Voor a = 5 is I = 5 3 = 15 en dat klopt in de grafiek. b Oplossen van a 3 = 64 geeft a = 4, want 4 3 = 64. c Invullen van a = 4,5 geeft I = 91,15, a = 4,6 geeft I = 97,336 a = 4,7 geeft I = 103,83 De beste benadering is a = 4,6. d In drie decimalen is de oplossing a 4,64. 10a x = 5 e w 5,848 b a,68 f d,430 c t,308 g r 65,416 d p 1,44 h u = 1 11a Na drie seconden is de hoogte van de raket = 108 meter. b Na tien seconden is de hoogte = 4000 meter = 4 km. c t 3 = 500 d t 13,6 seconden 1a 3x 3 = 81 d 5s 7 = 33 x 3 = 7 s 7 = 6,6 x = 3 s 1,31 b 6h 3 = 54 e 11q 5 = 65 h 3 = 9 q 5 0,0579 h,08 q 0,57 c 3p 5 = 30 f w 9 = 65 p 5 = 10 w 9 = 3,5 p 1,58 w 1,47 13a Ja, want voor a = 10 heeft een pak de afmetingen 0 cm bij 10 cm bij 30 cm. b Nee, want voor a = 8 heeft een pak de afmetingen 16 cm bij 8 cm bij 4 cm en de hoogte is dan geen 8 cm. c Formule C is de goede formule voor de inhoud, want a a 3a = 6a 3. d 6a 3 = 1000 e a 3 166,67 a 5,5 cm f 1a 3 = 1000 a 3 83,33 a 4,4 cm 117

6 14a w = 7 geeft p = 3,7 7 3 = 169,1 watt. b 3,7w 3 = 000 3,7w 3 = 6000 w 3 540,54 w 3 161,6 w 8,15 w 11,75 Bij windsnelheden tussen 8,15 meter per seconde en 11,75 meter per seconde is dat het geval. 15a Bij grafiek A hoort de formule y = x 4. Bij grafiek B hoort de formule y = x 3. b Grafiek A heeft snijpunten met de lijn y = 81. c x = 3 geeft y = ( 3) 4 = 81 x = 3 geeft y = 3 4 = 81 d x 3 = 40 x 4 = 40 x 3,4 x,51 of x,51 klopt met grafiek B klopt met grafiek A e Grafiek A komt niet onder de x-as en snijdt de lijn y = 0 dus niet. f Grafiek B snijdt de lijn y = 0 precies één keer. x 3 = 0 x,71 1A-3 Inklemmen 16a Neem bijvoorbeeld x =. De formule y = x 3 heeft dan als uitkomst y = 3 = 16. Dat klopt met grafiek B. b x 3 = 100 x 3 = 50 x 3,68 c De bordjesmethode lukt niet omdat de variabele op meerdere plaatsen in de vergelijking staat. De balansmethode lukt niet omdat je x 5 en 6x niet kunt samennemen. Ontbinden in factoren lukt niet omdat je geen variabele buiten haken kunt halen en omdat het geen kwadratische vergelijking betreft. d Grafiek A snijdt de lijn y = 100 tussen x = en x = 3 dus de oplossing van de vergelijking x 5 + 6x = 100 ligt tussen x = en x = 3. e x =,4 invullen geeft, ,4 94,0 x =,5 invullen geeft, ,5 11,7 94,0 ligt dichter bij 100 dan 11,7 dus de meest nauwkeurige oplossing is x,4. 17a x y b Jim vindt als oplossing een getal tussen 4 en 5. c x 4 4,1 4, 4,3 4,4 4,5 y ,01 364,09 397,35 43,89 470,81 d Jim vindt nu als oplossing x 4,3. 18a x y b 0,5 liter = 0,5 dm 3 = 500 cm 3 De uitkomst van de formule is 500 voor x tussen 6 en

7 c De oplossing ligt dichter bij x = 7 dan bij x = 6 (zie de tabel bij opdracht a). x 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 y 443,6 461,7 480,3 499,4 518,9 Voor x 6,8 is de inhoud ongeveer 0,5 liter. 19a t a y = 0,05t 5 + t 0 1,05 3,6 15,15 55, t,5,6,7,8,9 y = 0,05t 5 + t 7,38 8,54 9,87 11,41 13,16 In één decimaal is de oplossing t,7. b p y = 3p 3 + p p 4,0 4,1 4, y = 3p 3 + p 4 40,4 57,5 In één decimaal is de oplossing p 4,. c x y = 0,0x 7 + x 4 0 1,0 18,56 14,74 x,0,1,,3,4,5 y = 0,0x 7 + x 4 18,56 3,05 8,41 34,79 4,35 51,7 In één decimaal is de oplossing x,5. d a y = a a + 0,5a ,5 4 80,5 136 a 7,0 7,1 7, 7,3 7,4 y = a a + 0,5a 3 80,5 85,4 90,14 95,3 100,49 In één decimaal is de oplossing a 7,4. In 5 minuten legt het schip nog = 1050 meter af. b t in minuten s in meters t in minuten 3,5 3,6 3,7 3,8 s in meters 984,38 99, , ,76 Het schip doet er ongeveer 3,7 minuten over. 1a , , = 6835, klopt b a W c De winst is maximaal bij een productie van ongeveer 1100 spijkerbroeken. d a W ,7 Een productie van 1110 spijkerbroeken levert meer winst op dan een productie van 1100 spijkerbroeken. e a W 8713,3 8716,3 8718,8 870, ,8 873,1 87,8 De winst is het hoogst bij een productie van 1145 spijkerbroeken. 119

8 a 1A-4 Formules vergelijken Dat opruimen kost = dollar. b p in % c B in dollars p in % B in dollars Zie de grafiek hiernaast. Voor vier miljoen dollar kan ongeveer 43% van de olie opgeruimd worden. Zie de stippellijn in de tekening bij opdracht b. 3a Zie de grafiek bij opdracht b. b De regering betaalt dan = dollar en het bedrijf = dollar, dus het bedrijf zou dollar winst maken. c p in % B = 50p B = p Het opruimen van ongeveer 49% van de olie kost het bedrijf evenveel als de bijdrage die de regering aan het bedrijf geeft. 4a b 1 3 H = 0,5b 3 0,5 4 13,5 H = 0 6b 14 8 b De formules hebben dezelfde uitkomst voor b tussen en 3. c b,0,1,,3,4,5 H = 0,5b 3 4 4,63 5,3 6,08 6,91 7,81 H = 0 6b 8 7,4 6,8 6, 5,6 5 In één decimaal is de oplossing b,3. 5a x y = x y = 0,1x 3 0 0,1 0,8,7 6,4 1,5 1,6 b x 5,0 5,1 5, 5,3 5,4 5,5 y = x , 15,4 15,6 15,8 16 y = 0,1x 3 1,5 13,7 14,06 14,89 15,75 16,64 In één decimaal is de oplossing x 5,4. c x 1,1 1, 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 y = x 5 3, 4,98 7,43 10,76 15,19 0,97 8,40 37,79 y = 10x 1,1 14,4 16,9 19,6,5 5,6 8,9 3,4 x 1,70 1,71 1,7 y = x 5 8,40 9,4 30,11 y = 10x 8,9 9,41 9,58 Op twee decimalen is de oplossing x 1, B in miljoenen dollars B = 50p 3 B = p p in %

9 6a De inhoud van het pak is r 3 dm 3 oftewel r 3 liter. Het bronwater kost 11 cent per liter, dus 11 r 3 cent voor een pak met een inhoud van r 3 liter. b De formule is K v =,1 6r oftewel K v = 1,6r. c r 1 1,1 1, 1,3 d e 7a K w 11 14,641 19,008 4,167 K v 1,6 15,46 18,144 1,94 Het water en de verpakking zijn even duur als de ribben van het pak ongeveer 1,1 dm lang zijn. Er zit dan 1,1 3 1,3 liter water in het pak. In de grafiek kun je zien dat als r groter dan 1,1 dm wordt, de verpakking minder duur is dan het water. 1A-5 Gemengde opdrachten O y Aberdeen Stonehaven Montrose Arbroath St. Andrews y = 1 x y = x 60 Dunbar Berwick x b Het schip bevindt zich in het snijpunt van de twee lijnen. c 0, 5x = x =, 5x 60, 5x = 160 dus x = 64 Invullen geeft y = 0, = 68 en y = = 68. De coördinaten van het snijpunt zijn (64, 68). d Vanuit Montrose zullen reddingsboten te hulp schieten, want deze plaats ligt het dichtst bij het schip. 8a De inhoud is 4 π cm 3. b 1 m 3 = 1000 dm 3 = cm 3 4 π 3 r3 = geeft r ,4 r 6,04 De straal van de bol is ongeveer 6 cm. c I = 4 π De inhoud van de aarde is ongeveer km 3, dus inderdaad meer dan km 3. 11

10 9a 31,4x = 1000 x 31,83 x 5,6 cm b De diameter is dan 11, cm en dat is te breed om de fles goed vast te kunnen pakken. c x in cm d I in cm 3 311,13 569,9 916, ,9 x in cm 5 5,1 5, 5,3 I in cm 3 916,75 956,5 997,4 1038,91 In één decimaal is de oplossing x 5,. Een diameter van 10,6 cm is nog steeds erg groot, dus waarschijnlijk niet. 30a De rechte lijn hoort bij de formule y = x + 1. De parabool hoort bij de formule y = x + x + 3. De overgebleven grafiek hoort bij de formule y = 0,5x 3 +. b x + x + 3 = x + 1 x + x + = 0 x x = 0 (x )(x + 1) = 0 x = 0 of x + 1 = 0 x = of x = 1 c De snijpunten B en D horen bij deze vergelijking. x = geeft y = + 1 = 3 en y = = 3 x = 1 geeft y = = 0 en y = ( 1) = 0 De snijpunten zijn (, 3) en ( 1, 0). d Daar hoort snijpunt A bij. x 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 y = 0,5x 3 +,5,36,6,17,11,06,03,01 y = x + x ,39 0,76 1,11 1,44 1,75,04,31 In één decimaal is de oplossing x = 0,4. e Nog over is snijpunt C. fi x 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 y = 0,5x 3 + 1,94 1,89 1,83 1,74 1,64 y = x + 1 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 In één decimaal is de x-coördinaat van het snijpunt 0,8. ICT Inklemmen I-1a Neem bijvoorbeeld x =. De formule y = x 3 heeft dan als uitkomst y = 3 = 16. Dat klopt met grafiek B. b x 3 = 100 x 3 = 50 x 3,68 c De bordjesmethode lukt niet omdat de variabele op meerdere plaatsen in de vergelijking staat. De balansmethode lukt niet omdat je de x 5 en 6x niet kunt samennemen. Ontbinden in factoren lukt niet omdat je geen variabele buiten haken kunt halen en omdat het geen kwadratische vergelijking betreft. d De oplossing van de vergelijking x 5 + 6x = 100 ligt tussen x = en x = 3. e De oplossing van de vergelijking x 5 + 6x = 100 ligt tussen x =,4 en x =,5. f In twee decimalen is x,43 de beste benadering. 1

11 I-a In de tabel gaan de uitkomsten van de formule twee keer van onder de 100 naar boven de 100. De eerste oplossing ligt tussen x = 5 en x = 4. De tweede oplossing ligt tussen x = 4 en x = 5. b Bij getallen die links en rechts en even ver van 0 liggen is de uitkomst van de formule gelijk. c In drie decimalen zijn de oplossingen x 4,308 en x 4,308. I-3a x y b 0,5 liter = 0,5 dm 3 = 500 cm 3 c De uitkomst van de formule is 500 voor x tussen 6 en 7. De oplossing ligt dichter bij x = 7 dan bij x = 6 (zie de tabel bij opdracht a). x 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 y 443,6 461,7 480,3 499,4 518,9 Voor x 6,8 is de inhoud ongeveer 0,5 liter. I-4a t I-5a y = 0,05t 5 + t 0 1,05 3,6 15,15 55, t,5,6,7,8,9 y = 0,05t 5 + t 7,38 8,54 9,87 11,41 13,16 In één decimaal is de oplossing t,7. b p y = 3p 3 + p p 4,0 4,1 4, y = 3p 3 + p 4 40,4 57,5 In één decimaal is de oplossing p 4,. c x y = 0,0x 7 + x 4 0 1,0 18,56 14,74 x,0,1,,3,4,5 y = 0,0x 7 + x 4 18,56 3,05 8,41 34,79 4,35 51,7 In één decimaal is de oplossing x,5. d a b c d y = a a + 0,5a ,5 4 80,5 136 a 7,0 7,1 7, 7,3 7,4 y = a a + 0,5a 3 80,5 85,4 90,14 95,3 100,49 In één decimaal is de oplossing a 7,4. Na t = 5 loopt de grafiek horizontaal. In de tabel lees je af dat het schip in 5 minuten nog 1050 meter aflegt. In de tabel lees je af dat bij t = 1,13 geldt s = 496,84 en dat bij t = 1,14 geldt s = 500,34. Dus geldt dat s = 500 voor een waarde van t tussen 1,13 en 1,14. De beste benadering is t 1,14. Het schip doet er volgens de formule 3,691 minuten over om nog 1 km af te leggen. 13

12 I-6a b c d Je kunt er de lijn W = 50 bij tekenen. Hij moet in ieder geval 49 ton kunstmest produceren. Hij kan maximaal 648 ton kunstmest produceren. Bij een productie van 404 ton kunstmest is de winst maximaal. De maximale winst is euro. Test jezelf 1 1 T-1a x 4 = x + 8 3x 4 = 8 3x = 1 x = 4 x = 4 geeft y = = 6 en y = = 6 Het snijpunt is (4, 6). b x + 3 = 4x + 3 x 4x = 0 x(x ) = 0 x = 0 of x = 0 x = 0 of x = x = 0 geeft y = = 3 en y = = 3 x = geeft y = + 3 = 11 en y = = 11 De snijpunten zijn (0, 3) en (, 11). c 3x + 18 = 5x 14 8x + 18 = 14 8x = 3 x = 4 x = 4 geeft y = = 6 en y = = 6 Het snijpunt is ( 4, 6). d 8 x = x + 0 = x + x 6 (x + 3)(x ) = 0 x + 3 = 0 of x = 0 x = 3 of x = x = 3 geeft y = 8 ( 3) = 11 en y = ( 3) + = 11 x = geeft y = 8 = 6 en y = + = 6 De snijpunten zijn ( 3, 11) en (, 6). T-a x = 8 e p 5 = b t 4,160 p 70,455 c n 5,98 f k 7 = 34,19 d c 7 = 0,3 k 1,656 c 0,850 14

13 T-3a I = ,8 19 = 916,08 cm 3. Dat is 9,1608 dm 3 en dat is ruim 9 liter. b x I = x 3 + 6,8x 650,7 913,9 137, c x 8,1 8, 8,3 8,4 I = x 3 + 6,8x 943,47 973, ,4 1035,8 Voor x 8,3 cm past er 1 liter in de verpakking. T-4a q b TK TO Bij ongeveer 10 geproduceerde artikelen zijn de totale kosten en de totale opbrengst ongeveer gelijk. c q d TK TO Bij 11 geproduceerde artikelen zijn de totale kosten ongeveer gelijk aan de totale opbrengst. Er wordt winst gemaakt als de totale kosten lager zijn dan de totale opbrengst. Dat is het geval bij 11 artikelen of meer. T-5a 100 3h = 95, 3h = 4,8 h = 1,6 Op 1,6 km hoogte is het kookpunt 95, C. b Op de top van de Mount Everest ligt het kookpunt bij ,84 = 73,48 C. c Zie de grafiek hiernaast. d Per km stijgen daalt het kookpunt met 3 C. 100 Hillary moet dus 1000 : 3 = meter stijgen e 100 3h = 0 3h = h = Volgens de formule zou dat op km hoogte 3 40 het geval zijn, maar zulke hoge bergen zijn er niet. En verder zou water dan tegelijk bevriezen en koken. 30 f 100 3h = h h = h = 5,5 Op een hoogte van 5,5 km is het kookpunt van deze vloeistof gelijk aan het kookpunt van water. g Het kookpunt ligt dan bij ,5 = 84,5 C. k in C h in km 15

14 T-6a Clemens zal 0,8 1,83 3 4,9 liter bloed hebben. b Dat klopt, want bijvoorbeeld bij een lengte van,00 meter geeft de formule 0,8 3 = 6,4 liter bloed. c 0, 8l 3 = 4 1 l 3 = 5,65 l 1,78 Gunvald is ongeveer 1,78 meter lang. T-7a Bij 6000 bezorgingen hoort n = 6. 1 n = 6 geeft t = ,59 De computer doet er ongeveer 7,6 seconden over. b 5 minuten is 5 60 = 300 seconden. 1 5 n = 300 geeft n 5 = = n 1,517 dus bij of meer bezorgingen doet de computer er meer dan 5 minuten over. c 1 uur is = 3600 seconden 1 5 n = 3600 geeft n 5 = = n 0,574 dus bij of meer bezorgingen doet de computer er meer dan 1 uur over. 16