Bijzondere kettingbreuken

Transcriptie

1 Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar 2 als wijzergetal zien. Dergelijke herhalingen treden ook op bij andere getallen van de vorm N. Laten we daarom eens naar de kettingbreuk van 3 kijken. We volgen het kettingbreuk algoritme waarbij we de resten niet in afgeronde vorm opschrijven, maar exact. We maken gebruik van het feit dat ( 3 1)( 3 + 1) = 2 en dus 1/( 3 1) = ( 3 + 1)/2. Het algoritme gaat als volgt, 3 = = = = = We kunnen hier stoppen. Immers bij de laatste stap hebben we als rest 3 1 gekregen en dat is dezelfde rest als bij de eerste stap. Zouden we verder gaan, dan zien we alleen een herhaling van zetten waarbij we de resten ( 3 1)/2 en 3 1 afwisselend zien verschijnen. Dus, 3 = 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2,... We zien dat 2 en 3 een zogenaamde periodieke kettingbreukontwikkeling hebben. Dergelijke ontwikkelingen schrijven we verkort op door het periodieke deel met een streep erboven aan te geven, dus 2 = 1, 2 en 3 = 1, 1,

2 15.1. KWADRATISCHE GETALLEN 137 Hier zijn nog een paar voorbeelden, 5 = 2, 4 13 = 3, 1, 1, 1, 1, 6 43 = 6, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 3, 1, 1, 12 We hoeven ons niet tot voorbeelden van de vorm N te beperken, (16 + 5)/6 = 3, 25, 2, 2, 2, 26 (8 + 19)/3 = 4, 8, 2, 1, 3, 1, 2 (14 47)/4 = 1, 1, 3, 1, 2, 13, 2, 1, 4, 3, 4 Het blijkt dat periodieke kettingbreukontwikkelingen precies optreden bij irrationale getallen α die voldoen aan een kwadratische vergelijking met gehele coefficienten. We noemen zo n getal een kwadratisch getal. Om dit te begrijpen verdiepen we ons in de rest van deze paragraaf in het begrip kwadratisch getal. Elk kwadratisch getal α is nulpunt van een kwadratische vergelijking Ax 2 + Bx + C = 0 waarbij A, B, C gehele getallen zijn met A > 0 en ggd(a, B, C) = 1. Als B oneven is, definiëren we D = B 2 4AC en als B even is, definiëren we D = (B/2) 2 AC. We D de discriminant van α. Berekenen we α met behulp van de abc-formule voor de oplossing van kwadratische vergelijkingen dan vinden we α = P + D Q waarin P = B, Q = ±2A als B oneven is en P = B/2, Q = ±A als B even is. Het teken in P = B hangt af van de keuze het nulpunt van Ax 2 +Bx+C. Deze manier om α te schrijven noemen de standaardgedaante van α. Verder geldt dat Q een deler is van D P 2. Het is een bekend feit dat de discriminant van een kwadratisch getal niet verandert als we er een geheel getal bij optellen of als we 1 gedeeld door dat getal nemen. Dit komt ons zeer goed van pas als we de kettingbreuk van α gaan bepalen. Onthoudt ze dus goed. Bij de afleiding van de kettingbreuk van 3 boven zagen we al kwadratische getallen in hun standaardgedaante in actie. Bij elk kwadratisch getal α = (P + D)/Q hoort het getal (P D)/Q dat aan dezelfde kwadratische vergelijking voldoet. We noemen dit getal de geconjugeerde van α en geven deze ook wel aan met α. We noemen een kwadratisch getal gereduceerd als α > 1 en 1/α > 1. De laatste ongelijkheid kan ook geschreven worden als 1 < α < 0.

3 138 HOOFDSTUK 15. BIJZONDERE KETTINGBREUKEN De volgende stelling laat zien hoe je gereduceerdheidkunt herkennen aan de waarden van P, Q uit de standaardvorm. Stelling Stel α = P + D Q met P, Q Z en Q D P 2. Dan is α een gereduceerd kwadratisch getal precies dan als, 0 < P < D, D P < Q < D + P. Het is een eenvoudige oefening om te laten zien dat als aan de ongelijkheden voor P, Q voldaan is, het getal α gereduceerd is. Immers, uit P < D en D P < Q volgt dat Q > 0 en de ongelijkheden volgen door uitschrijven. Nu tonen we aan dat uit de gereduceerdheid van α de ongelijkheden voor P, Q volgen. Allereerst, α + α > 1 1 = 0. Omdat α + α = 2P/Q volgt hieruit dat P/Q > 0. Tevens, α α > 1 0 = 1. Omdat α α = 2 D/Q volgt hieruit dat Q > 0. Omdat P/Q > 0 moet dus P ook positief zijn. Uit α < 0 volgt dat P < D. De overige ongelijkheden D P < Q < D + P volgen nu direct uit α > 0 en α > 1. Uit 0 < P < D zien we dat, gegeven D, er slechts eindig veel waarden van P mogelijk zijn. Uit 0 < Q < P + D < 2 D zien we dat Q ook hooguit eindig veel waarden kan aannemen, gegeven D. We concluderen, Gevolg Zij D N gegeven, D geen kwadraat. Dan zijn er hooguit eindig veel gereduceerde kwadratische getallen met discriminant D. Deze bewering vormt de kern van ons bewijs van de periodiciteit van kettingbreuken van kwadratische getallen. Neem aan dat α een kwadratisch getal is en beschouw het kettingbreukalgoritme (14.1). We schrijven de getallen α n in de standaardgedaante α n = P n + D Q n waarbij we α 0 = α nemen. Elke stap in het kettingbreukalgoritme kan nu samengevat worden met a n = [ P n + ] D, α n+1 = P n+1 + ( D P n + ) 1 D = a n (15.1) Q n Q n+1 Q n In het bijzonder geldt dat P n+1 = a n Q n P n en Q n+1 = (D P 2 n+1)/q n.

4 15.1. KWADRATISCHE GETALLEN 139 Hier is een concreet voorbeeld. Neem α = (40+ 23)/19. De kettingbreuk wordt, = = = 2 + ( ) = = = = = = = = 8 + ( ) We zien dat de rest voor de tweede maal optreedt. Voor ons algoritme betekent dit dat de rij resten vanaf zich oneindig vaak zal herhalen. We krijgen dus een periodieke kettingbreuk, in het bijzonder ( )/19 = 2, 2, 1, 3, 1, 8. Merk op dat deze berekeningen in principe met de hand te doen zijn en zonder dat we de decimale ontwikkeling van onze α hoeven te kennen. De eerste α n die in bovenstaand voorbeeld een gereduceerd kwadratisch getal is, is α 2 = (4 + 23)/7. Alle volgende α n zijn ook gereduceerd en de bijbehorende entierwaarden vormen precies het periodieke deel 1, 3, 1, 8 van onze kettingbreuk. Dit patroon zien we altijd, hoewel we dat pas in de volgende paragraaf zullen bewijzen. Na een aantal stappen treedt er een N op zó dat α N gereduceerd is. Voor alle n N blijkt α n ook gereduceerd te zijn en geven de bijbehorende waarden [α n ] precies de wijzergetallen in het periodieke deel van de kettingbreuk. Omdat er maar eindig veel gereduceerde getallen met discriminant (bijvoorbeeld 23) bestaan, moeten er m > n N zijn zó dat α n = α m. Daarmee wordt de rij van α n periodiek, hetgeen we inderdaad zien gebeuren in ons voorbeeld. In de rest van deze paragraaf leiden we nog een technisch resultaat af dat we nodig hebben voor verdere bewijzen. Neem twee opeenviolgende α n, α n+1 met n 0 in de kettingbreukontwikkeling van α. Dan geldt dat α n+1 = 1 α n k, k = [α n]. Lemma Als α n gereduceerd is, dan is α n+1 dat ook en bovendien, k = [ 1 α n+1, α n = k + 1 α n+1. Met andere woorden, als α n gereduceerd is, volgt α n op unieke manier uit α n+1.

5 140 HOOFDSTUK 15. BIJZONDERE KETTINGBREUKEN Neem aan dat α n gereduceerd is. Uit α n+1 = 1/(α n k) volgt na conjugatie dat α n+1 = 1/(α n k). Omdat α n is gereduceerd is, weten we dat 1 < α n < 0 en k = [α n ] 1. Deze ongelijkheden impliceren dat 1 < α n+1 < 0. Dus is α n+1 gereduceerd. Merk ook op dat k = α n 1/α n+1. Omdat 1 < α n < 0 concluderen we hieruit dat k = [ 1/α n+1 ] Kettingbreuken van kwadratische getallen Het is niet moeilijk in te zien dat periodieke kettingbreuken aanleiding geven tot kwadratische getallen. Stel eerst dat ons getal een zuiver periodieke ontwikkeling heeft, dat wil zeggen een kettingbreuk van de vorm a 0, a 1,..., a n. Er is dan geen niet-periodiek beginstuk. Uit volgt dat α = a 0, a 1,..., a n α = a 0, a 1,..., a n, α Formule (14.8) leert ons dat hieruit volgt α = αp n + p n 1 αq n + q n 1 Na uitvermenigvuldigen met de noemer levert dit ons q n α 2 +(q n 1 p n )α p n 1 = 0. Dus α voldoet aan een kwadratische vergelijking met gehele coëfficienten, en aangezien α niet rationaal is (anders zou de kettingbreuk eindig zijn), moet α een kwadratisch getal zijn. Het algemene geval is nu niet moeilijk meer. Stel α = a 0, a 1,..., a n, b 1, b 2,..., b m Dus α = a 0, a 1,..., a n, β waarin β een zuiver periodieke kettingbreuk heeft, namelijk b 1, b 2,..., b m. Dus is β een kwadratisch getal en hetzelfde geldt automatisch voor α. We hebben het eerste deel van de volgende stelling bewezen. Stelling Stel dat α R een periodieke kettingbreuk heeft. 1. Dan is α een kwadratisch getal. 2. Als de kettingbreuk zuiver periodiek is dan is α gereduceerd. Het bewijs van het tweede deel gaat als volgt. Als de kettingbreuk van α zuiver periodiek is, dan hebben we gezien dat q n α 2 + (q n 1 p n )α p n 1 = 0. Omdat het eerste wijzergetal 1 is, moet gelden dat α > 1. Omdat α ook aan de

6 15.2. KETTINGBREUKEN VAN KWADRATISCHE GETALLEN 141 kwadratische vergelijking voldoet moet gelden dat α+α = (p n q n 1 )/q n. Hieruit volgt, met gebruikmaking van Stelling dat α = α + p n q n q n 1 q n = ( 1) n 1 α n+1 q n + q n 1 q n 1 q n. Omdat de eerste term helemaal rechts een absolute waarde kleiner dan 1/q n heeft, en q n 1 /q n (q n 1)/q n, leiden we af dat 1 < α < 0. Dus is α gereduceerd. De omkering van deze stelling is lastiger te bewijzen. Stelling (Lagrange) Zij α een kwadratisch getal. 1. Dan heeft α een periodieke kettingbreuk. 2. Als α gereduceerd is dan is de kettingbreuk van α zuiver periodiek. We bewijzen het eerste deel van de stelling en gebruiken de notatie α n bij de kettingbreukontwikkeling van α die we in de voorgaande paragrafen ook gebruikt hebben. We tonen eerst aan dat er een n bestaat zó dat α n gereduceerd is. Uit formule (??) weten we dat α n+1 = p n 1 αq n 1 p n αq n. Deze gelijkheid blijft geldig indien we aan beide zijden de geconjugeerde nemen, α n+1 = p n 1 αq n 1 = q ( ) n 1 pn 1 /q n 1 α. p n αq n q n p n /q n α Als n dan gaan p n /q n en p n 1 /q n 1 naar α en de uitdrukking tussen haakjes naar 1. Omdat de benaderingen p n /q n afwisselend groter en kleiner dan α zijn, kunnen we n = N zo kiezen dat de uitdrukking tussen haakjes positief en kleiner dan 1 is. Samen met het feit dat q N 1 < q N geeft dit dat 1 < α N+1 < 0. Dus α N+1 is gereduceerd. Uit Lemma volgt nu dat α n gereduceerd is voor alle n N + 1. Bovendien hebben alle α n dezelfde discriminant als α. Er zijn slechts eindig veel van deze getallen en dus zijn er m > n N + 1 zó dat α m = α n. Dit impliceert dat α m+1 = α n+1, α m+2 = α n+2, etc. We concluderen dat rij α 0, α 1,..., α n,... periodiek is. Hiermee is het eerste deel van onze stelling bewezen. Om deel twee van deze stelling te bewijzen merken we op dat volgens Lemma gereduceerdheid van α de gereduceerdheid van alle α n impliceert voor alle n 0. Stel dat de periodiciteit van kettingbreukontwikkeling optreedt vanaf index N. We willen laten zien dat N = 0. Stel daarentegen dat N > 0 en kies l zó dat α N+l = α N. Volgens Lemma zijn de voorgangers van α N+l en α N uniek bepaald. Dit impliceert dat α N1 +l = α N 1. Met andere woorden, de

7 142 HOOFDSTUK 15. BIJZONDERE KETTINGBREUKEN periodiciteit begint bij index N 1 in plaats van N. Hiermee hebben we een tegenspraak verkregen en concluderen dat N = 0. In verband met toepassing in de vergelijking van Pell hebben we hier het volgende belangrijke gevolg. Gevolg Zij N N en N geen kwadraat. Dan heeft de kettingbreuk van N de gedaante N = [ N], a 1, a 2,..., a n, 2[ N]. Merk allereerst op dat N +[ N] een gereduceerd kwadratisch getal is. Immers, 1 < [ N] N < 0. Dus heeft N +[ N] een zuiver periodieke kettingbreuk. Het eerste wijzergetal is 2[ N]. Dus, N + [ N] = 2[ N], a 1,..., a n = [ N] + [ N], a 1,..., a n, 2[ N]. Ons resultaat volgt door aan beide zijden [ N] af te trekken Symmetrieën In deze paragraaf bespreken we een aantal eigenschappen van kettingbreuken die niet van belang zijn voor andere hoofdstukken uit dit boek. Ondanks dat vind ik ze zo leuk dat ik ze hier toch wil vermelden. Kijken we nog eens naar kettingbreuken van getallen van de vorm N, 57 = 7, 1, 1, 4, 1, 1, = 7, 1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, = 12, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 24 Dat de algemene gedaante N = [ N], a 1,..., a n, 2[ N] is, hadden we al in Gevolg gezien. Maar bovendien schijnt nog te gelden dat (a 1, a 2,..., a n ) = (a n,..., a 2, a 1 ). De rij getallen a 1,..., a n vormt een palindroom! Om zoiets aan te tonen moeten we een mechanisme hebben waarmee we de volgorde van wijzergetallen kunnen omdraaien. Inderdaad bestaat zoiets. Lemma Stel α = a 0, a 1,..., a n, β. dan geldt, 1 β = a n, a n 1,..., a 1, a 0, 1 α

8 15.3. SYMMETRIEËN 143 Let op, de rij getallen a n, a n 1,... geven niet de echte kettingbreuk van 1/β omdat het laatste stukje a 0, 1/α = a 0 α altijd negatief is. De gelijkheid in dit Lemma moeten we dus zien als formele identiteiten. De formele uitdrukking x = a 0, a 1,..., a n, ξ komt pas overeen met de echte kettingbreukontwikkeling van x als ξ > 1, a 0 Z en a 1, a 2,..., a n N. Om het lemma aan te tonen maken we herhaald gebruik van de eigenschappen b 0, b 1,..., b n = b 0 + 0, b 1,..., b n en 1/ b 0,..., b n = 0, b 0,..., b n. Merk op, 0 = α + a 0, a 1,..., a n, β = a 0 α + 0, a 1,..., a n, β = a 0, 1/α + 0, a 1,..., a n, β Neem van beide termen de inverse en schuif a 1 van de ene term naar de andere, 0 = 0, a 0, 1/α + a 1, a 2,..., a n, β = a 1, a 0, 1/α + 0, a 2,..., a n, β Herhaal het proces van inverteren en verschuiven net zolang tot we uitkomen op 0 = a n,..., a 1, a 0, 1/α + 0, β Ons Lemma volgt door 0, β = 1/β naar de linkerkant te brengen. De eerste toepassing is de volgende. Gevolg Zij α een gereduceerd kwadratisch getal en a 0, a 1,..., a n zijn (zuiver periodieke) kettingbreukontwikkeling. Dan geldt 1/α = a n, a n 1,..., a 0. Uit de kettingbreuk weten we immers dat Pas nu Lemma toe, en we vinden α = a 0, a 1,..., a n, α 1/α = a n, a n 1,..., a 0, 1/α Neem nu aan beide zijden de geconjugeerde, 1/α = a n, a n 1,..., a 0, 1/α Omdat 1/α > 1 hebben we weer te maken met een echte kettingbreukontwikkeling en is ons gevolg bewezen. Een nog iets specialer gevolg is,

9 144 HOOFDSTUK 15. BIJZONDERE KETTINGBREUKEN Gevolg Stel N N en stel dat N geen kwadraat is. Dan geldt N = a0, a 1, a 2,..., a n, 2a 0 waarin a 0 = [ N]. Bovendien geldt (a 1, a 2,..., a n ) = (a n,..., a 2, a 1 ). We passen hiertoe Gevolg toe op α = N + [ N]. Uit Stelling weten we dat N + [ N] = 2a0, a 1,..., a n (15.2) Gevolg impliceert, 1 = a n,..., a 2, a 1, 2a 0 N [ N] Na inversie aan beide zijden en optelling van 2[ N] = 2a 0, N + [ N] = 2a0, a n,..., a 2, a 1, 2a 0 = 2a 0, a n,..., a 2, a 1 Vergelijken we dit resultaat met (15.2) dan moeten we concluderen dat (a 1, a 2,..., a n ) = (a n,..., a 2, a 1 ). Hier volgt nog een symmetrische eigenschap voor eindige kettingbreuken. Stelling Stel p, q N en p > q. Beschouw de kettingbreukontwikkeling p q = a 0, a 1,..., a n, a i N Kies het gehele getal q zó dat 0 < q < p en qq ( 1) n (mod p) Dan geldt p q = a n,..., a 1, a 0 Geef de breuk a 0, a 1,..., a k aan met p k /q k (k-de convergent). Dan geldt p/q = p n /q n. Verder geldt, p n = a np n 1 + p n 2 = a n + 1 = a n + p n 1 p n 1 p n 1 p n 2 1 a n p n 2 p n 3 = We concluderen dat p n p n 1 = a n, a n 1,..., a 1, a 0.

10 15.3. SYMMETRIEËN 145 We moeten nu alleen nog nagaan dat p n 1 = q. Omdat p n 1 < p n en ( 1) n 1 = p n 1 q n p n q n 1 p n 1 q n (mod p n ) volgt hieruit p n 1 q ( 1) n (mod p). Dus p n 1 is inderdaad ons getal q. Bovenstaande stelling heeft een merkwaardig gevolg. Beschouw een eindige symmetrische kettingbreuk van even lengte. Deze heeft altijd de gedaante b 0, b 1,..., b n, b n,..., b 1, b 0 Stel dat de waarde gelijk is aan p/q. Nadat we de wijzergetallen van volgorde verwisseld hebben komt er volgens bovenstaande stelling p/q uit, waarin qq 1 (mod p). Maar wegens de symmetrie van de kettingbreuk geldt q = q en dus q 2 1 (mod p). Laten we even een voorbeeld bekijken, Berekening geeft het antwoord , 2, 3, 4, 4, 7, 7, 4, 4, 3, 2, 1 en inderdaad, (mod ). De omkering moet ook gelden. Dat wil zeggen, stel dat p, q twee getallen zijn zó dat p > q en q 2 1 (mod p). Stel ook dat de lengte van de kettingbreuk van p/q even is. Dit hoeft geen bezwaar te zijn, we hadden namelijk nog niet opgemerkt dat de kettingbreuk van een rationaal getal niet uniek bepaald is. We kunnen een eindige kettingbreuk met een bedrag 1 van lengte veranderen door de observaties dat als a n > 1 en a 0, a 1,..., a n = a 0, a 1,..., a n 1, 1 a 0, a 1,..., a n 1, a n = a 0, a 1,..., a n als a n = 1. Ga na dat dit klopt. Door deze truc kunnen we ervoor zorgen dat de kettingbreuk van p/q even lengte krijgt. Volgens onze stelling en het feit dat q 2 1 (mod p) volgt dat de kettingbreuk symmetrisch is. Dus er zijn b 0, b 1,..., b n zó dat p q = b 0, b 1,..., b n, b n,..., b 1, b 0. We hebben hier het eerste deel van de volgende stelling aangetoond. Stelling Stel p/q met kettingbreuk van even lengte. Dan vormen de wijzergetallen van deze kettingbreuk een palindroom precies dan als q 2 1 (mod p). Stel p/q = b 0, b 1,..., b n, b n,..., b 1, b 0. Stel r/s = b n, n n 1,..., b 1, b 0 met ggd(r, s) = 1. Dan geldt p = r 2 + s 2.

11 146 HOOFDSTUK 15. BIJZONDERE KETTINGBREUKEN Wat deze stelling zegt is dat als we, gegeven p, een oplossing q van q 2 1 (mod p) hebben, we p kunnen schrijven als som van twee kwadraten. Deze kwadraten krijgen we door de kettingbreuk van p/q met even lengte op te schrijven, en vervolgens b n,..., b 1, b 0 berekenen. Om het tweede deel van de stelling in te zien introduceren we p n /q n = b 0, b 1,..., b n en p n 1 /q n 1 = b 0, b 1,..., b n 1. Uit Stelling met x = r/s volgt dat p q = p nr + p n 1 s q n r + q n 1 s Hieruit volgt weer dat p = p n r+p n 1 s. Uit Stelling weten we dat r = p n en uit het bewijs van deze stelling leren we tevens dat s = p n 1. Dus we concluderen, p = r 2 + s 2, met andere woorden p is een som van twee kwadraten. Op dit bewijs voortbordurend, omdat r/s = b n,..., b 0 zijn r, s opeenvolgende resten die optreden bij uitvoering van het Euclidisch algoritme op p en q (zie slotopmerking van de eerste paragraaf). Dit geeft aanleiding tot de volgende Stelling. Stelling (Cornacchia) Zij p N en stel dat er een getal q bestaat zó dat 0 < q < p en q 2 1 (mod p). Dan is p som van twee kwadraten. Bovendien geldt p = r 2 + s 2 waarin r, s de eerste twee resten < p zijn in het euclidisch algoritme voor p, q. We hebben boven niet laten zien dat r, s de eerste twee resten < p zijn en zullen dit verder ook achterwege laten. Het is in ieder geval duidelijk dat ze niet groter dan p kunnen zijn, en anderzijds niet veel kleiner omdat de som van hun kwadraten p moet opleveren. Laten we even naar voorbeeld p = , q = kijken, waarvan een tabel hieronder staat. Hoewel het niet nodig is, tabelleren we naast de resten in het Euclidisch algoritme ook nog eens de wijzergetallen en convergenten van de bijbehorende kettingbreuk. Let trouwens op de interessante symmetrie tussen de kolommen met r n en p n. De lezer kan hierover eens nadenken in het licht van symmetrische kettingbreuken. Hoe dan ook, de eerste resten kleiner dan zijn 1317 en 182. Inderdaad blijkt dat =

12 15.3. SYMMETRIEËN 147 n r n a n p n q n Hier volgt een wat spectaculairder voorbeeld. We weten dat een priemgetal p van de vorm p 1 (mod 4) altijd als som van twee kwadraten geschreven kan worden. Bijvoorbeeld p = is zo n priemgetal en dus som van twee kwadraten. De enige vraag is, hoe kom je aan die kwadraten? Oplossingen van p = r 2 + s 2 vinden door proberen is ondoenlijk, zelfs met een computer. Nu komt Cornacchia s algoritme van pas. In Hoofdstuk 11 hebben we gezien hoe je op snelle wijze een oplossing van x 2 1 (mod p) kunt vinden. Even herhalen, we kiezen een niet-kwadraatrest ν modulo p en we bepalen ν p 1 4 (mod p). Dit is een oplossing, want ) (ν p 1 2 p 1 4 ν 2 ( ) ν 1 (mod p). p In ons voorbeeld vinden we ν = 7 als kleinste niet-rest modulop en als oplossing x = De kettingbreuk van p/x luidt in ons voorbeeld 2, 3, 1, 5, 5, 167, 3, 14, 69, 33, 2, 2, 33, 69, 14, 3, 167, 5, 5, 1, 3, 2 en is dus inderdaad symmetrisch. Maar we hoeven deze kettingbreuk niet eens te kennen, na elf (!) stappen in het euclidisch algoritme van p, x vinden we de eerste twee resten < p met als resultaat , En dus p = We besluiten met de opmerking dat Cornacchia s algoritme nog veel algemener opgaat. Het bewijs geven we er niet bij. Stelling (Cornacchia, bis) Zij d N en p N. Stel dat p = a 2 + db 2 oplosbaar is in a, b N. Zij q een getal zó dat 0 < q < p en q 2 d (mod p). Dan kunnen we voor a de grootste rest < p nemen in het euclidisch algoritme voor p, q.