Digitaal Proefstuderen Econometrie en Operationele Research Universiteit van Tilburg

Transcriptie

1 Digitaal Proefstuderen Econometrie en Operationele Research Universiteit van Tilburg 1

2 Voorwoord Welkom bij de cursus Digitaal Proefstuderen van de opleiding Econometrie en Operationele Research aan de Universiteit van Tilburg. Onderwerp van deze cursus is de optimalisatietechniek Lineair Programmeren. Het lesmateriaal kun je in je eigen tempo bestuderen. Algemene instructies bij de opdrachten In het dictaat vind je vijf opdrachten. Opdracht I t/m IV horen bij de vier onderdelen van de theorie. De uitwerkingen van deze opdrachten kun je insturen per (naar eor@uvt.nl) maar het mag natuurlijk ook gewoon per post. Dan stuur je jouw uitwerkingen naar Anja Manders Universiteit van Tilburg Faculteit Economie en Bedrijfswetenschappen Departement Econometrie en Operations Research Postbus LE Tilburg Als je tijdens het maken van de opdrachten vragen hebt, kun je altijd een e- mail sturen naar eor@uvt.nl. Je krijgt dan snel een antwoord per . Voor de eerste vier opdrachten krijg je geen cijfer, maar een voldoende/onvoldoende. Nadat je voor deze vier opdrachten een voldoende hebt gescoord, kun je de eindopdracht (opdracht V) inleveren. Deze opdracht vind je aan het eind van dit dictaat. Deze opdracht bepaalt jouw eindbeoordeling. Veel succes en plezier met het proefstuderen! 2

3 1 Het herkennen en formuleren van een LPmodel Lineair programmeren (LP) is een optimalisatietechniek die veel wordt toegepast in de praktijk. Als voorbeelden in de economie kunnen we noemen: investeringsbeslissingen, productieprocessen, voorraadbeheer, het maken van werkplanningen, enz. In deze paragraaf zien we hoe we in vier stappen een praktisch beslissingsprobleem vertalen naar een LP-probleem. Als voorbeeld nemen wij een productieprobleem voor een fietsenfabrikant. Stap 1: het beslissingsprobleem van een fietsenfabrikant Top-Cycles produceert twee typen fietsframes, een ATB-frame en een race-frame. Voor de productie van een ATB-frame is 4 kg aluminium en 6 kg staal nodig. Voor de productie van een race-frame is 5 kg aluminium en 2 kg staal nodig. Top-Cycles verkoopt een ATB-frame voor 1960 euro en een race-frame voor 1240 euro. De dagelijkse voorraad aluminium is 70 kg, voor staal bedraagt de voorraad dagelijks 72 kg. Top-Cycles wil zijn dagelijkse opbrengst maximaliseren. Dus Top-Cycles heeft het volgende beslissingsprobleem: Hoeveel ATB-frames en hoeveel race-frames moet Top-Cycles elke dag maken om zijn opbrengst te maximaliseren? Uiteraard moet Top-Cycles hierbij rekening houden met de beperkte dagelijkse voorraden van aluminium en staal. De volgende tabel vat alle kenmerken samen van het productieproces bij Top-Cycles. ATB-frame race-frame voorraad aluminium staal prijs Stap 2: formulering als een LP-model We introduceren de volgende beslissingsvariabelen: x 1 = het aantal ATB-frames dat dagelijks wordt geproduceerd x 2 = het aantal race-frames dat dagelijks wordt geproduceerd. Als x 1 ATB-frames en x 2 race-frames worden geproduceerd, dan is de totale opbrengst gelijk aan 1960x x 2 euro. Deze uitdrukking wordt ook wel de doelfunctie van Top-Cycles genoemd. Het doel van Top-Cycles is het maximaliseren van de doelfunctie, dus maximaliseer z = 1960x x 2. (1) Zoals eerder vermeld, zijn de mogelijkheden van Top-Cycles beperkt. Als x 1 ATB-frames worden geproduceerd en x 2 race-frames, dan wordt er 4x 1 + 5x 2 kg 3

4 aluminium en 6x 1 + 2x 2 kg staal verbruikt. Omdat er 70 kg aluminium en 72 kg staal dagelijks beschikbaar is, heeft Top-Cycles te maken met de volgende restricties: 4x 1 + 5x 2 70, (2) 6x 1 + 2x (3) Tenslotte is het natuurlijk onzin om een negatief aantal frames te produceren. Top-Cycles houdt dus ook rekening met de volgende tekenrestricties: x 1 0, x 2 0. (4) De relaties (1)-(4) vertalen het probleem van Top-Cycles in een wiskundig model. Een dergelijk wiskundig model wordt een Lineair Programmeringsprobleem genoemd. Stap 3: de algemene wiskundige formulering van een LP-model Kortweg kunnen we zeggen dat in een lineair programmeringsprobleem een lineaire doelfunctie moet worden gemaximaliseerd die rekening moet houden met een aantal lineaire restricties. De algemene formulering van een willekeurig maximaliserings-lp-probleem kunnen we dan als volgt weergeven. onder de voorwaarden maximaliseer z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x 1 0, x 2 0,..., x n 0. Voor het gemak spreken we af dat we de waarde van de doelfunctie in een maximaliserings LP-probleem z noemen. Het toegelaten gebied van een LP-probleem is de verzameling van alle punten die voldoen aan de restricties en de tekenrestricties. Een punt in het toegelaten gebied dat de maximale waarde van de doelfunctie voortbrengt, noemen we een optimale oplossing van het LP-probleem. Het is mogelijk dat een probleem meerdere optimale oplossingen heeft. De optimale waarde is de waarde van de doelfunctie in een optimale oplossing. Stap 4: het toegelaten gebied Het LP-probleem van Top-Cycles ziet er als volgt uit: maximaliseer z = 1960x x 2 4

5 onder de voorwaarden 4x 1 + 5x x 1 + 2x 2 72 x 1 0, x 2 0. Omdat dit LP-probleem slechts twee beslissingsvariabelen heeft, x 1 en x 2, kan het toegelaten gebied op de volgende wijze getekend worden in een (x 1, x 2 )- assenstelsel. Eerst tekenen we de lijnen 4x 1 + 5x 2 = 70 en 6x 1 + 2x 2 = 72. Vervolgens bekijken we alle punten die onder de beide lijnen liggen, maar nog steeds boven de x 1 -as en rechts van de x 2 -as. Het snijpunt van de twee lijnen, C = (10, 6), is makkelijk te vinden. In onderstaande figuur wordt het toegelaten gebied weergegeven. x 2 B = (0, 14) 6x 1 + 2x 2 = 72 C = (10, 6) A = (0, 0) D = (12, 0) 4x 1 + 5x 2 = 70 x 1 Om te controleren of je de ideeën achter het formuleren van een LP-probleem en het bepalen van het toegelaten gebied begrepen hebt, kun je nu de volgende opdracht maken. Opdracht I Een bierbrouwer produceert blond bier (b) en donker bier (d). De belangrijkste grondstoffen, die noodzakelijk zijn voor de productie van deze bieren, zijn tarwe en hop. Het productieschema kan als volgt worden samengevat. blond bier donker bier voorraad tarwe hop prijs 5 7 a) Bepaal het LP-probleem van deze bierbrouwer. b) Teken het toegelaten gebied van dit LP-probleem. 2 De grafische oplossingsmethode In deze paragraaf laten we zien hoe een optimale oplossing van een LP-probleem met twee beslissingsvariabelen gevonden kan worden door gebruik te maken van 5

6 een grafische methode. We illustreren deze methode met het probleem van Top- Cycles: maximaliseer z = 1960x x 2 onder de voorwaarden 4x 1 + 5x x 1 + 2x 2 72 x 1 0, x 2 0. In het plaatje hieronder is het toegelaten gebied van het LP-probleem getekend. De hoekpunten van het toegelaten gebied zijn de punten A = (0, 0), B = (0, 14), C = (10, 6) en D = (12, 0). De coördinaten van deze punten kunnen we natuurlijk vinden door de snijpunten te bepalen van de lijnen die het toegelaten gebied afbakenen. In de eerste paragraaf hebben we op die manier de coördinaten van punt C bepaald. x 2 B = (0, 14) X C = (10, 6) A = (0, 0) D = (12, 0) x 1 Het punt X = (5, 10) is gemarkeerd in bovenstaande figuur. Dit punt correspondeert met de dagelijkse productie van 5 ATB-frames en 10 race-frames. De opbrengst van dit productieplan is z(5, 10) = = euro. Alle toegelaten productieplannen die dezelfde opbrengst voortbrengen als de productie die hoort bij X = (10, 5), voldoen aan de vergelijking 1960x x 2 = Dit zijn dus de punten (x 1, x 2 ) in het toegelaten gebied die liggen op de gestippelde lijn door X in de figuur hieronder. Deze gestippelde lijn noemen we een iso-opbrengstlijn ( iso betekent gelijk ) met waarde

7 x 2 B = (0, 14) X z = C = (10, 6) A = (0, 0) D = (12, 0) x 1 In het algemeen heeft de vergelijking van de iso-opbrengstlijn met waarde c de vorm 1960x x 2 = c. Als we deze uitdrukking herschrijven, krijgen we x 2 = x c. Elke iso-opbrengstlijn heeft dus dezelfde richtingscoëfficiënt, namelijk Daarom zijn iso-opbrengstlijnen evenwijdige lijnen. Enkele iso-opbrengstlijnen voor de fietsenfabrikant zijn getekend in het plaatje hieronder. x 2 B = (0, 14) X z = C = (10, 6) z = A = (0, 0) D = (12, 0) x 1 We zien dat het verschuiven van de iso-opbrengstlijn naar rechtsboven overeenkomt met een toename van de opbrengst. Om de bij een iso-opbrengstlijn behorende opbrengst te bereiken, kan Top-Cycles een punt op de lijn kiezen, dat in het toegelaten gebied ligt. Hij produceert vervolgens de aantallen frames die door dit punt worden voorgeschreven. Uit het plaatje is het meteen duidelijk dat de iso-opbrengstlijn met de grootste waarde, die nog een punt gemeenschappelijk heeft met het toegelaten gebied, de iso-opbrengstlijn is door het punt C = (10, 6). De bijbehorende opbrengst c is hier c = = Om de maximale opbrengst van euro te realiseren, moet Top-Cycles dus 10 ATBframes en 6 race-frames produceren. Die productie is de optimale oplossing van het beslissingsprobleem. Om te controleren of je de grafische oplossingsmethode begrepen hebt, kun je 7

8 nu de volgende opdracht maken. Opdracht II Los het LP-probleem van de bierbrouwer uit Opdracht I op met behulp van de grafische oplossingsmethode. 3 De hoekpuntenmethode We gaan in deze paragraaf een alternatieve manier bekijken om een LP-probleem op te lossen, de zogenaamde hoekpuntenmethode. Bij de grafische methode bleek dat de optimale oplossing gevonden werd in een hoekpunt van het toegelaten gebied. Dit blijkt algemener te gelden. Deze eigenschap formuleren we hieronder. Als een LP-probleem een begrensd toegelaten gebied heeft, dan is minstens één hoekpunt van het toegelaten gebied een optimale oplossing van het LP-probleem. Begrensd betekent dat het toegelaten gebied niet tot in het oneindige door kan lopen. Zulke toegelaten gebieden zijn bijvoorbeeld gebieden in het platte vlak die omsloten worden door een aantal rechte lijnen, zoals in het voorbeeld van Top Cycles. Uit de eigenschap hier boven volgt meteen dat het voldoende is om in zulke situaties de hoekpunten van het toegelaten gebied te bepalen om zo een optimale oplossing van het LP-probleem te vinden. Deze observatie leidt tot het volgende stappenplan om een LP-maximaliseringsprobleem op te lossen. Dit stappenplan heet ook wel de hoekpuntenmethode. Stap 1: Teken het toegelaten gebied. Stap 2: Bepaal de hoekpunten van het toegelaten gebied. Stap 3: Bereken de waarde van de doelfunctie in elk hoekpunt. Stap 4: Bepaal het maximum van de waarden in Stap 3. We zullen de hoekpuntenmethode illustreren aan de hand van het voorbeeld van de fietsenfabrikant. Beschouw nogmaals het LP-probleem van Top-Cycles: onder de voorwaarden Stap 1: Teken het toegelaten gebied: maximaliseer z = 1960x x 2 4x 1 + 5x x 1 + 2x 2 72 x 1 0, x

9 x 2 B = (0, 14) C = (10, 6) A = (0, 0) D = (12, 0) x 1 Stap 2: Bepaal de hoekpunten van het toegelaten gebied: Die hadden we al bepaald. Uit het plaatje bij stap 1 kunnen we aflezen dat de hoekpunten van het toegelaten gebied (0,0), (0,14), (10,6) en (12,0) zijn. Merk nogmaals op dat deze punten gevonden kunnen worden door de snijpunten uit te rekenen van de lijnen die het toegelaten gebied beschrijven. Stap 3: Bereken de waarde van de doelfunctie in elk hoekpunt. z(0, 0) = 0 z(0, 14) = z(10, 6) = z(12, 0) = Stap 4: Bepaal het maximum van de waarden in stap 3: Het maximum is z(10, 6) = Het hoekpunt C = (10, 6) geeft dus, zoals we al eerder gezien hadden, de optimale productie aan. Voor Top-Cycles betekent dit dat ze 10 ATB-frames en 6 race-frames moeten produceren. Om te controleren of je de hoekpuntenmethode begrepen hebt, kun je nu de volgende opdracht maken. Opgave III Los het LP-probleem van de bierbrouwer uit Opdracht I op met behulp van de hoekpuntenmethode. 4 Grotere LP-problemen In deze paragraaf bekijken we een LP-probleem, waarvan het aantal variabelen en restricties zo groot is dat we het niet meer met de grafische methode of de hoekpuntenmethode kunnen oplossen. Het LP-probleem van de fietsenfabrikant had slechts twee beslissingsvariabelen en twee restricties. Doordat het zo n klein probleem is, kunnen we het oplossen met 9

10 de grafische methode of de hoekpuntenmethode. Wanneer het aantal variabelen en/of restricties groter wordt, dan kunnen we geen beroep meer doen op deze methodes. In de praktijk doet men in deze gevallen een beroep op de computer. De computer voert een programma uit dat gebaseerd is op de simplex-methode. De simplex-methode kan gezien worden als een slimme variant op de hoekpuntenmethode. We zullen ons hier niet verdiepen in de simplex-methode, maar gaan wel aan de slag met de computer. Voorbeeld: het transportprobleem van een frisdrankenproducent Een producent van frisdranken heeft twee fabrieken, F 1 en F 2, die aan twee steden, S 1 en S 2, frisdrank moet leveren. Elke fabriek heeft een bepaalde productie van pallets frisdrank (per dag) en de steden hebben een bepaalde (dagelijkse) vraag naar frisdrank. Bovendien maakt de producent natuurlijk winst op het leveren van (een pallet) frisdrank aan een stad. Deze winst hangt af van de kosten van het transport van de fabriek naar de stad. Het aanbod, de vraag en de winsten zijn weergegeven in de volgende tabel. S 1 S 2 aanbod F F vraag 5 7 Bijvoorbeeld: het aanbod van fabriek F 1 is 8 en de vraag van stad S 2 is 7. De winst die hoort bij het transporteren van frisdrank van F 2 naar S 2 is 3 per pallet. We gaan het transportprobleem van de frisdrankenproducent formuleren als een LP-probleem. We introduceren de beslissingsvariabele x ij. Deze stelt het aantal pallets frisdrank voor dat zal worden getransporteerd van fabriek F i naar stad S j. Dus x 12 is het aantal pallets frisdrank dat zal worden getransporteerd van fabriek F 1 naar stad S 2. Het doel van de producent is een zo hoog mogelijke winst te maken door de beide steden frisdrank te leveren. Dus de doelfunctie is als volgt. maximaliseer z = 2x 11 + x 12 + x x 22. Het bedrijf moet rekening houden met de volgende restricties. Fabriek F 1 kan ten hoogste 8 pallets leveren. Omdat het aantal pallets dat fabriek F 1 transporteert naar stad S 1 gelijk is aan x 11 en het aantal pallets naar stad S 2 gelijk is aan x 12, krijgen we de volgende restrictie: x 11 + x Op dezelfde manier krijgen we een restrictie voor fabriek F 2 : x 21 + x Door de vraag van de steden heeft de producent ook nog te maken met de volgende restrictie. Stad S 1 zal x 11 pallets frisdrank ontvangen van fabriek F 1 en x 21 pallets 10

11 frisdrank van fabriek F 2. Omdat stad S 1 een vraag heeft van 5 pallets, krijgen we de volgende restrictie: x 11 + x Op dezelfde manier kunnen we een restrictie formuleren voor stad S 2 : x 12 + x We concluderen, rekening houdend met de tekenrestricties, dat we het transportprobleem kunnen modelleren als het volgende LP-probleem: onder de voorwaarden maximaliseer z = 2x 11 + x 12 + x x 22 x 11 + x 12 8 x 21 + x 22 4 x 11 + x 21 5 x 12 + x 22 7 x 11 0, x 12 0, x 21 0, x We hebben hierboven het transportprobleem dus herschreven naar een LP-maximaliseringsprobleem met vier variabelen en vier restricties (en vier tekenrestricties). We gaan dit LP-probleem nu oplossen met behulp van de computer. Daarvoor kun je het meegestuurde bestand UvT EOR LP.exe en het bijbehorende tekstbestandje UvT EOR LP.txt gebruiken. Door het programmabestand te openen (bijvoorbeeld via de Verkenner in Windows), start je de LP-software op. Het invoeren en oplossen van het probleem gaat vervolgens als volgt. Stap 1: Voer de afmetingen van het op te lossen LP-probleem in, d.w.z. het aantal variabelen en het aantal restricties (de tekenrestricties tellen hierbij niet mee). 11

12 Stap 2: Specificeer het model verder door de coëfficiënten van de doelfunctie en alle restricties in te voeren. Negatieve getallen zijn toegestaan en als decimaalteken gebruiken we een punt. Nullen mogen worden weggelaten. Merk op dat het programma de vier variabelen automatisch de namen x 1, x 2, x 3 en x 4 geeft. Aangezien onze variabelen x 11, x 12, x 21 en x 22 waren, moeten we zelf goed de administratie bijhouden: x 1 lezen we als x 11, x 2 als x 12, x 3 als x 21 en x 4 als x 22. Geef bovendien voor iedere restrictie het type (, of =) aan. Voor ons voorbeeld is de specificatie weergegeven in het plaatje hieronder. Het programma leest niet gespecificeerde coëfficiënten als nullen. Stap 3: Druk op Los LP-model op. Nu verschijnt onder de specificatie van het model de oplossing. Voor de frisdrankenproducent ziet die er als volgt uit: 12

13 We zien dat de optimale oplossing (x 11 = 5, x 12 = 3, x 21 = 0 en x 22 = 4) een winst oplevert van z = 25. Om zijn maximale winst van 25 te bereiken, moet onze producent moet dus 5 pallets frisdrank van fabriek F 1 naar stad S 1 sturen, 3 pallets van fabriek F 1 naar stad S 2 en 4 pallets van fabriek F 2 naar stad S 2. Om te controleren of je de werking van het computerprogramma helemaal begrepen hebt, kun je nu de volgende opdracht maken. Opgave IV Een producent van frisdranken heeft drie fabrieken, F 1, F 2 en F 3. Vanuit deze drie fabrieken moeten aan twee steden, S 1 en S 2, frisdrank worden geleverd. De fabrieken hebben een bepaalde productie van pallets frisdrank (per dag) en de steden hebben een zekere (dagelijkse) vraag naar frisdrank. Bovendien maakt de producent natuurlijk winst op het leveren van (een pallet) frisdrank aan een stad. Deze winst hangt af van de kosten van het transport van de fabriek naar de stad. Het aanbod, de vraag en de winsten zijn weergegeven in het volgende overzichtje. S 1 S 2 aanbod F F F vraag 10 9 Bepaal het LP-probleem van dit bedrijf en los het op met behulp van het computerprogramma UvT EOR LP. Eindopdracht Opdracht V Deze opdracht bestaat uit een optimaliseringsprobleem voor een aantal investeerders. Zij moeten allemaal een optimale investeringsbeslissing nemen. Bovendien gaan we onderzoeken of samenwerking tussen verschillende investeerders extra winst kan opleveren. Voor het optimaliseringsprobleem van de investeerders en hun eventuele samenwerking moeten we een aantal LP-problemen oplossen. Hiervoor maken we natuurlijk gebruik van het computerprogramma UvT EOR LP, dat we ook in de theorie besproken hebben. 13

14 Vier banken (financiële investeerders), Ban-Roma, Nig, Orba en SSN, moeten beslissen hoe ze in de komende periode gaan beleggen. Ze hebben de keuze uit de volgende zes fondsen: First1 (Amerikaanse oliemaatschappij), 2Good (Aziatische oliemaatschappij), W3 (Amerikaanse IT), 4U (Aziatische IT), Party5 (Amerikaanse detailhandel) en 6Sense (Aziatische detailhandel). De netto winst (in duizenden euro s per investering van één miljoen euro) van de fondsen is weergegeven in de volgende tabel. fonds winst First1 12 2Good 24 W3 21 4U 14 Party5 17 6Sense 22 Vanwege juridische en beleidsregels hebben de banken te maken met restricties op de bedragen die ze kunnen investeren in een fonds. We nemen aan dat negatieve investeringen niet mogelijk zijn. Daarnaast gelden nog de volgende restricties. 1) Ban-Roma s totale investering in oliefondsen mag ten hoogste 500 miljoen euro zijn, terwijl voor elke andere bank het totale bedrag dat zij investeert in deze fondsen niet hoger mag zijn dan 50 miljoen euro. 2) De totale investering in IT mag voor de Ban-Roma bank ten hoogste 50 miljoen euro zijn. Voor de Nig bank is dit bedrag 400 miljoen, voor Orba 200 miljoen en voor SSN 50 miljoen euro. 3) De totale investering in detailhandel is ten hoogste 50 miljoen voor de Ban- Roma bank en de Nig bank. Voor de Orba bank en de SSN bank is dit maximaal 200 miljoen euro. 4) De totale investering in Amerikaanse fondsen is ten hoogste 300 miljoen euro voor de Ban-Roma bank, 200 miljoen voor de Nig bank, 500 miljoen voor de Orba bank en 200 miljoen voor de SSN bank. 5) De totale investering in Aziatische fondsen is ten hoogste 400 miljoen voor de Ban-Roma bank, 200 miljoen voor de Nig bank en de Orba bank, en 400 miljoen voor de SSN bank. a) Modelleer het investeringsprobleem voor elke bank afzonderlijk als een LPprobleem. Je krijgt hier dus vier verschillende LP-problemen. b) Los de LP-problemen uit onderdeel (a) op door gebruik te maken van het computerprogramma. c) Nu zijn de banken Ban-Roma en Nig geïnteresseerd in de mogelijke voordelen 14

15 van samenwerking. De samenwerking is als volgt gemodelleerd. Als de banken samenwerken, kunnen ze bepalen hoeveel ze in de verschillende fondsen mogen investeren door hun restricties bij elkaar op te tellen. Zo mag de Ban-Roma bank bijvoorbeeld ten hoogste 400 miljoen euro investeren in Aziatische fondsen en voor de Nig bank mag dit bedrag maximaal 200 miljoen euro zijn. Als de beide banken samenwerken, kunnen zij = 600 miljoen euro investeren in Aziatische fondsen. Dezelfde procedure wordt gevolgd bij andere combinaties van fondsen. Modelleer dit nieuwe investeringsprobleem als een LP-probleem en los het weer op met behulp van het computerprogramma. d) Modelleer alle mogelijke samenwerkingsverbanden van de banken als LPproblemen en los ze op. Het gaat om alle combinaties waarin twee banken samenwerken, maar ook de combinaties waarin drie en vier banken samen werken. (In dit onderdeel moet je dus 10 nieuwe LP-problemen maken. Samen met de LPproblemen uit de onderdelen (b) en (c) heb je 15 LP-problemen geformuleerd en opgelost.) e) In de onderdelen (a)-(d) heb je de mogelijke winst bij verschillende samenwerkingsverbanden berekend. Vat deze resultaten samen in een tabel. f) Schrijf een kort betoog (maximaal 1 A4-tje) dat een advies geeft welke banken zouden moeten samenwerken. Geef in je betoog ook twee mogelijke verdelingen van de winst bij samenwerking en geef aan waarom je juist die verdelingen redelijk vindt. 15