TW2020 Optimalisering

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "TW2020 Optimalisering"

Transcriptie

1 TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 14 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

2 Modelleren van LP en ILP problemen Maak onderscheid tussen de input (wat je weet) en de beslissingsvariabelen (wat je wilt beslissen)! Stap 1: definieer de beslissingsvariabelen Wat willen we weten? Hoe kunnen we een oplossing met variabelen beschrijven? Stap 2: formuleer de doelfunctie Wat willen we maximaliseren of minimaliseren? Zorg dat de doelfunctie lineair is! Stap 3: formuleer de voorwaarden Waar moeten oplossingen aan voldoen? Gebruik weer alleen lineaire restricties! Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

3 Probleem Er zijn p ambulances beschikbaar en n locaties waar deze ambulances geplaatst kunnen worden. Er zijn m woningen en de reistijd van locatie i naar woning j is t ij. Een woning is gedekt indien er tenminste k ambulances binnen een reistijd van r minuten staan. Plaats de ambulances zodat zoveel mogelijk woningen gedekt zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

4 Probleem Er zijn p ambulances beschikbaar en n locaties waar deze ambulances geplaatst kunnen worden. Er zijn m woningen en de reistijd van locatie i naar woning j is t ij. Een woning is gedekt indien er tenminste k ambulances binnen een reistijd van r minuten staan. Plaats de ambulances zodat zoveel mogelijk woningen gedekt zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

5 Beslissingsvariabelen x i = het aantal ambulances dat op locatie i geplaatst wordt. y j = 1 als woning j gedekt is en anders is y j = 0. ILP formulering: max o.d.v. m j=1 y j i t ij r x i ky j 0 voor alle j {1,..., m} n x i p i=1 x i N voor alle i {1,..., n} y j {0, 1} voor alle i {j,..., m} Let op: k, r, p en t ij zijn deel van de input, dit zijn geen beslissingsvariabelen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

6 Lineair Programmeren (LP) Het eerste deel van het vak gaat over het oplossen van LP problemen, dus met reële variabelen. Voorbeeld (LP probleem) min x 1 +2x 2 +x 3 o.d.v. x 1 +2x 2 2 x 1 +x 2 +x 3 1 x 1 +x 2 +x 3 = 4 x 1, x 2 0, x 3 R Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

7 Een LP is in standaard vorm als: alle variabelen niet-negatief zijn; alle andere restricties gelijkheidsrestricties zijn en alle rechterzijdecoëfficienten niet-negatief zijn. Voorbeeld (LP in standaard vorm) min x 1 +4x 3 o.d.v. 5x 1 +2x 2 x 3 = 5 x 2 +x 3 = 6 x 1 +x 2 +x 3 = 4 x 1, x 2, x 3 0 Een LP in standaard vorm kan geschreven worden als: min c T x o.d.v. Ax = b x 0 met A een m n matrix, c R n en b R m. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

8 Een LP in standaard vorm schrijven Vraag (1) Stel een restrictie heeft een negatieve rechterzijdecoëfficient b i < 0, bijv. x 1 + x 2 = 5 Hoe schrijven we dit in standaard vorm? Vraag (2) Hoe kunnen we een -restrictie omschrijven in een gelijkheidsrestrictie? Bijv. x 1 + x 2 5 Vraag (3) Hoe kunnen we een -restrictie omschrijven in een gelijkheidsrestrictie? Bijv. x 1 + x 2 5 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

9 Een LP in standaard vorm schrijven Vraag (4) Hoe kunnen we een negatieve variabele vervangen door een niet-negatieve variabele? Bijv. 2x 1 + 3x 2 = 5 x 1 0, x 2 0 Vraag (5) Hoe kunnen we een vrije variabele vervangen door niet-negatieve variabelen? Bijv. 2x 1 + 3x 2 = 5 x 1 0, x 2 R Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

10 Stelling Elk LP kan in standaard vorm geschreven worden. Bewijs 1 Voor elke restrictie met negatieve rechterzijdecoëfficient b i < 0, vermenigvuldig de restrictie met 1. 2 Vervang elke restrictie n j=1 a ijx j b i door n j=1 a ijx j + s i = b i met s i 0 een nieuwe slackvariabele. 3 Vervang elke restrictie n j=1 a ijx j b i door n j=1 a ijx j s i = b i met s i 0 een nieuwe surplusvariabele. 4 Voor elke vrije variabele x j R (notatie boek: x j 0), substitueer x j = x + j x j met x + j, x j 0. 5 Voor elke variabele x j 0, substitueer x j = x j met x j 0. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

11 Voorbeeld (1) Schrijf het onderstaande LP probleem in standaard vorm. min x 1 +2x 2 +x 3 o.d.v. x 1 +2x 2 2 x 1 +x 2 +x 3 1 x 1 +x 2 +x 3 = 4 x 1, x 2 0, x 3 R Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

12 Basisoplossingen Beschouw een LP in standaard vorm: Met A een m n matrix. min c T x o.d.v. Ax = b x 0 Definitie Een basis van A is een verzameling B van lineair onafhankelijke kolommen van A. Deze kolommen vormen een inverteerbare m m matrix B. Definitie De basisoplossing behorende bij een basis B is de vector x R n met: x j = 0 voor alle A j / B en x j voor A j B uniek bepaald door het stelsel Ax = b. Dit zijn de basisvariabelen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

13 Laat voor het gemak A = [B N] met N de kolommen voor de niet-basisvariabelen. Dan is de basisoplossing behorende bij deze basis x = [ xb x N ] met en x B = B 1 b x N = 0. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

14 Voorbeeld (2) In standaard vorm: x 1 2 x 2 1 x 1 + x 2 3 x 1, x 2 0 x 1 2 x 2 s 1 = 1 x 1 + x 2 + s 2 = 3 x 1, x 2, s 1, s 2 0 Vind de basisoplossing met basisvariabelen s 1, s 2. Vind de basisoplossing met basisvariabelen x 1, s 2. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

15 Definitie Een toegelaten basisoplossing (basic feasible solution (bfs)) is een basisoplossing waarin alle variabelen niet-negatief zijn. Definitie Een toegelaten basisoplossing x is gedegenereerd als meer dan n m elementen van x waarde nul hebben. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

16 Voorbeeld (3) In standaard vorm: x 1 + x 2 4 x x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 x 1 + x 2 + s 1 = 4 x 1 + s 2 = 2 2 x 1 + x 2 + s 3 = 6 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3 0 Laat zien dat de bfs met basisvariabelen {x 1, x 2, s 3 } en die met basisvariabelen {x 1, x 2, s 1 } gedegenereerd zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

17 x Originele LP: x 1 + x 2 4 (1) x 1 2 (2) 2 x 1 + x 2 6 (3) x 1, x (2) (3) (1) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

18 Stelling (2.5) Als twee verschillende basissen dezelfde toegelaten basisoplossing (bfs) x hebben, dan is x gedegenereerd. Aanname 2.1: rang(a) = m Aanname 2.2: verzameling toegelaten oplossingen F. Stelling (2.1) Onder aannames 2.1 en 2.2 bestaat er tenminste één bfs. Stelling (2.6) Onder aannames 2.1 en 2.2 bestaat er tenminste één optimale bfs. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

19 Definitie Een polyeder is een verzameling van de vorm P = {x R n Ax b}. Een begrensd polyeder heet een polytoop. Begrensd polyeder (polytoop) Onbegrensd polyeder Dus een polyeder is de doorsnede van een eindig aantal halfruimtes {x R n a T x b}. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

20 Faces Definitie Laat P R n en c R n en d R. Het hypervlak H c,d = {x R n c T x = d} is een ondersteunend hypervlak van P als max{c T x x P} = d. Definitie Een face van een polyeder P R n is een doorsnede P H met H een ondersteunend hypervlak van P. Observatie Per definitie is het face P H c,d precies de verzameling optimale oplossingen van max{c T x x P}. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

21 Voorbeeld Ondersteunende hypervlakken H c,d en faces F. F=P \H c,d c H c,d c H c,d c F=P \H c,d H c,d Vraag. Wat zijn de faces van een kubus? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

22 Definitie De dimensie van een lineaire deelruimte S is het maximaal aantal lineair onafhankelijke vectoren in S. Een affine deelruimte S + b is een translatie van een lineaire deelruimte S. De dimensie van S + b is de dimensie van S. De dimensie van X R n, dim(x ), is gelijk aan de kleinste dimensie van een affine deelruimte die X bevat. 3-dimensionale kubus (vol-dimensionaal) 2-dimensionale simplex (niet vol-dimensionaal) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

23 Definitie Laat P R n een polyeder zijn. v is een hoekpunt (vertex) van P als {v} een face is van P. e is een ribbe (edge) van P als e een face is van P met dim(e) = 1. F is een facet van P als F is een face is van P met dim(f ) = dim(p) 1. Facet Hoekpunt / vertex Ribbe / edge Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

24 Convexe verzamelingen Definitie Een convexe combinatie van twee punten x, y R n is een punt met 0 λ 1. z = λx + (1 λ)y Definitie Een verzameling S R n is convex als voor elk tweetal punten x, y S alle convexe combinaties van x en y ook in S liggen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

25 Polytopen als convex omhulsels Definitie Punt y R n is een convexe combinatie van x 1,..., x m R n als er getallen λ 1,..., λ m 0 bestaan met λ λ m = 1 zodanig dat y = λ 1 x λ m x m. De verzameling van alle convexe combinaties van punten in X R n heet het convex omhulsel (convex hull) van X. Stelling (2.3) Elk polytoop is gelijk aan het convex omhulsel van zijn hoekpunten. Elk convex omhulsel van een eindige verzameling X is een polytoop. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

26 Voorbeeld (4) De n-dimensionale hyperkubus kan beschreven worden als Q n := conv.hull {0, 1} n. De n-dimensionale simplex kan beschreven worden als S n := conv.hull {e 1,..., e n+1 }. Beschrijf beiden als een polyeder {x R n Ax b}. (0,1,1) (0,0,1) (1,0,1) (0,0,1) (1,1,1) (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) 3-dimensionale kubus (0,1,0) (1,0,0) 2-dimensionale simplex Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

27 Polyeders en LP x (2,4) LP formulering: max z = 3 x x 2 o.d.v. x 1 + x 2 6 (1) 2 x 1 + x 2 8 (2) x 1, x (2) (1) x 1 z=14 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

28 Polyeders en LP Elk LP met een optimale oplossing heeft een optimale oplossing die zich in een hoepkunt van het polyeder bevindt. De hoekpunten van het polyeder komen overeen met de toegelaten basisoplossingen (bfs). In theorie kun je een optimale oplossing vinden door elke basis te proberen. Het Simplexalgoritme gaat van bfs naar bfs zodanig dat de doelfunctiewaarde niet slechter wordt. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

29 Polyeders en LP Het toegelaten gebied van een LP (in standaard vorm) F = {x R n Ax = b, x 0}, met A een m n matrix met rang(a) = m en b 0, heeft een bijbehorend polyeder in R n m. Elk polyeder P {ˆx R n m ˆx 0}, een doorsnede van n halfruimtes, kan beschreven worden als het toegelaten gebied van een LP in standaard vorm. Elk punt x F heeft een bijbehorend punt ˆx P, en vice versa. Stelling (2.4) ˆx is een hoekpunt van P x is een bfs van F. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

30 Vermoeden (Hirsch Conjecture (1957)) In elk d-dimensionaal polytoop met f facetten is er een pad tussen elk tweetal hoekpunten bestaande uit hoogstens f d edges. Zou een bovengrens geven op het aantal iteraties van de Simplex methode. Tegenvoorbeeld door Francisco Santos (2012): 43-dimensionaal polytoop met 86 facetten. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september / 30

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 september 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 september 2015 1 / 23 Huiswerk Huiswerk 1 is beschikbaar op

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 12 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober 2016 1 / 31 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug

Nadere informatie

1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3.

1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3. 1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3. Een LP probleem heeft n>2 variabelen en n+2 constraints.

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Tussentoets: 26 november, tijdens de instructies Tentamenstof: LP; Simplex; dualiteit (= colleges 1 4) Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare)

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk

Nadere informatie

Lineair Programmeren op het polytoop

Lineair Programmeren op het polytoop Lineair Programmeren op het polytoop Paulien Neppelenbroek 12 juli 2017 Bachelorproject wiskunde Supervisor: dr. Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,

Nadere informatie

Samenvatting college 1-12

Samenvatting college 1-12 Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 6 september, 2012

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 6 september, 2012 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 6 september, 2012 Algemene informatie College: donderdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft vragenuur Delft Vier verplichte huiswerkopgaven

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Departement Informatica

Universiteit Utrecht Departement Informatica Universiteit Utrecht Departement Informatica Uitwerking Tussentoets Optimalisering 20 december 206 Opgave. Beschouw het volgende lineair programmeringsprobleem: (P) Minimaliseer z = x 2x 2 + x 3 2x 4 o.v.

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V : Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

Modellen en Simulatie Lineare Programmering

Modellen en Simulatie Lineare Programmering Utrecht, 13 juni 2013 Modellen en Simulatie Lineare Programmering Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Optimaliseren Lineaire programmering Voorbeelden Polytopen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur.

Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur. Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, 9.00-12.00 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van

Nadere informatie

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Departement Informatica. Examen Optimalisering op dinsdag 29 januari 2019, uur.

Universiteit Utrecht Departement Informatica. Examen Optimalisering op dinsdag 29 januari 2019, uur. Universiteit Utrecht Departement Informatica Examen Optimalisering op dinsdag 29 januari 2019, 17.00-20.00 uur. ˆ Mobieltjes UIT en diep weggestopt in je tas. Wanneer je naar de WC wil, dan moet je je

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire programmering

Lineaire programmering Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix

Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Definitie (Herinnering) Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant. Notatie Een basis van

Nadere informatie

Tie breaking in de simplex methode

Tie breaking in de simplex methode Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.

Nadere informatie

Tentamen: Operationele Research 1D (4016)

Tentamen: Operationele Research 1D (4016) UITWERKINGEN Tentamen: Operationele Research 1D (4016) Tentamendatum: 12-1-2010 Duur van het tentamen: 3 uur (maximaal) Opgave 1 (15 punten) Beschouw het volgende lineaire programmeringsprobleem P: max

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen) Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren

Nadere informatie

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen

Nadere informatie

Tie breaking in de simplex methode

Tie breaking in de simplex methode Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.

Nadere informatie

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra 4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Unitaire en Hermitese transformaties

Unitaire en Hermitese transformaties Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 10 Begrensde variabelen Han Hoogeveen, Utrecht University Begrensde variabelen (1) In veel toepassingen hebben variabelen zowel een ondergrens als een bovengrens:

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:

Nadere informatie

Voorbeeld simplexmethode. Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0.

Voorbeeld simplexmethode. Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0. Voorbeeld simplexmethode Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0. Voer slackvariabelen (x 4, x 5 ) in: Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar

Nadere informatie

Geadjungeerde en normaliteit

Geadjungeerde en normaliteit Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk

Nadere informatie

Lineaire functies? x 3x. (x 1, x 2 ) 5x 1 7x 2. x 6x 17. x ax. (a, x) ax??? 3x log x 2. substitueer x 1 = y 1, x 2 = exp(y 2 ) levert

Lineaire functies? x 3x. (x 1, x 2 ) 5x 1 7x 2. x 6x 17. x ax. (a, x) ax??? 3x log x 2. substitueer x 1 = y 1, x 2 = exp(y 2 ) levert Lineaire functies? x 3x (x 1, x 2 ) 5x 1 7x 2 x 6x 17 x ax (a, x) ax??? 3x 1 2 + 5log x 2 substitueer x 1 = y 1, x 2 = exp(y 2 ) levert 3y 1 + 5y 2 na substitutie lineair. Niet-lineaire functies kunnen

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

Een selectie algoritmen voor lineair programmeren (A selection of algorithms for linear programming)

Een selectie algoritmen voor lineair programmeren (A selection of algorithms for linear programming) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Een selectie algoritmen voor lineair programmeren (A selection of algorithms for

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

De dimensie van een deelruimte

De dimensie van een deelruimte De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Voorbeelden van toetsopgaven, 011 en (1) (a) Bepaal de afstand van het punt Q = (1,, ) R 3 tot het vlak gegeven door x + y z = 1. (b) Bepaal de hoek tussen de vectoren

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 6 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 19 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 19 oktober 2016 1 / 20 Deze week Primal-Dual algoritmes voor:

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

K.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

K.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. K.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je

Nadere informatie

Platonische lichamen en andere reguliere polytopen

Platonische lichamen en andere reguliere polytopen Platonische lichamen en andere reguliere polytopen Bernd Souvignier Voorjaar 005 Inhoud De platonische lichamen. Reguliere veelhoeken.......................... Reguliere veelvlakken.........................

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op dinsdag 9 april 8, 9.. uur. Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Modellen en Simulatie Speltheorie

Modellen en Simulatie Speltheorie Utrecht, 20 juni 2012 Modellen en Simulatie Speltheorie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Program Optimaliseren Nul-som matrix spel Spel strategie Gemengde

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.

Nadere informatie

Bijlage A Simplex-methode

Bijlage A Simplex-methode Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste

Nadere informatie

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30) Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 11. Complementaire speling; duale Simplex methode. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 11. Complementaire speling; duale Simplex methode. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 11 Complementaire speling; duale Simplex methode Han Hoogeveen, Utrecht University Duale probleem (P) (D) min c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 max w 1 b 1 + w 2 b 2 +

Nadere informatie