Optimaliseren in Netwerken

Transcriptie

1 Optimaliseren in Netwerken Kees Roos URL: roos Kaleidoscoop college Zaal D, Mekelweg 4, TU Delft 11 October, A.D Optimization Group 1

2 Onderwerpen 1. Kortste paden 2. Toewijzingsproblemen 3. Maximale stroom probleem 4. Portret van Máxima Optimization Group 2

3 Definitie van het kortste-pad-probleem s t Een netwerk, of (gerichte) graaf, bestaat uit een (eindige) verzameling V van knopen, en een verzameling A van (gerichte) takken. Een tak is een geordend paar van knopen. Als e = (v, w) A dan heet v de beginknoop en w de eindknoop van tak a. Optimization Group 3

4 Toepassingen Vinden van een kortste reisroute van A naar B (reisplanners, navigatiesystemen). In communicatienetwerken (bijv. internet). Spraakherkenning: het automatisch omzetten van gesproken in geschreven tekst: voed De man voedt het schaap voet In veel toepassingen moeten grote aantallen kortste paden worden uitgerekend waardoor het beschikken over een efficiënt algoritme heel belangrijk is. Het algoritme van Dijkstra is het meest bekende en meest gebruikte. Optimization Group 4

5 Definities Zij gegeven een netwerk G = (V, A). Een pad P in het netwerk is een rij van de vorm v 1, e 1, v 2, e 2,... v k, e k, v k+1 waarbij e i = (v i, v i+1 ) A voor i = 1, 2..., k en k 1. Omdat een tak eenduidig bepaald is door zijn begin- en zijn eindknoop stellen we een pad ook wel kortweg voor als een geordend rijtje van knopen: P = ( v 1, v 2,... v k, v k+1 ). De lengte van tak (v, w) noteren we als c vw. We nemen aan dat c vw 0 voor elke tak. De lengte van het pad P is per definitie de som van de lengten van de takken op P: l(p) = (v,w) P c vw. Optimization Group 5

6 Algoritme van Dijkstra Initialisatie: Q := {s}; π s := 0; π v :=, v V \ {s}; while Q is niet leeg: Kies u Q zodanig dat π u π v voor alle v Q; Verken(u) endwhile Algoritme van Dijkstra begin doe voor alle a = (u, v) het volgende: als π v > π u + c uv dan begin π v := π u + c uv ; voeg v toe aan Q end; verwijder u uit Q end De procedure Verken(u). Optimization Group 6

7 Toepassing van het algoritme van Dijkstra iteraties knoop s Ø t Optimization Group 7

8 Dijkstra met negatieve lengten t s De knopen 1,2,3,4 en t worden elk 6 maal verkend! Het aantal iteraties is niet meer O(n). Ook voor het geval dat er negatieve taklengten zijn is er een O(n) algoritme (van Belmann-Ford). Optimization Group 8

9 Het maximale stroom probleem 5 a 1 b 3 c 4 5 s t 4 6 d e 4 2 f 4 We beschouwen opnieuw een netwerk G = (V, A). Voor elke tak (v, w) is een positief getal c vw gegeven: dit getal stelt nu de capaciteit van tak (v, w) voor. Gegeven zijn verder weer twee speciale knopen, s en t, en gevraagd wordt om een maximale stroom van s naar t te bepalen. Optimization Group 9

10 Definitie van een stroom op het netwerk s 5 4 a 1 b 3 c d 6 e 4 2 f 5 4 t Een stroom x is een verzameling van niet-negatieve getallen x vw zodanig dat in elke knoop ongelijk aan s en t behoud van stroom geldt, en op elke tak de stroomwaarde niet groter is dan de capaciteit. Met andere woorden, x moet voldoen aan de balansvergelijkingen (u,v) A en aan de capaciteitsbeperkingen x uv = (v,w) A x vw, v V \ {s, t} 0 x vw c vw, (v, w) A. De waarde van de stroom x is per definitie gelijk aan waarde(x) = (s,v) A x sv x vs. (v,s) A Optimization Group 10

11 Het vinden van een stroom s 5 4 a 1 b 3 c d e 4 2 f We beginnen met de zogenaamde nulstroom: x vw = 0, (v, w) A. De waarde is 0. Stromen met een grotere waarde zijn eenvoudig te vinden: neem een willekeurig pad van s naar t in het netwerk, en stuur daarover zoveel mogelijk stroom. Bijvoorbeeld, over het pad (s, a, f, t) kan een stroom ter waarde van 4 worden verzonden. Vervolgens kan over het pad (s, d, e, c, t) een extra stroom ter waarde van 3 worden verzonden. Samen leveren deze stromen een stroom ter waarde van 7 op: 5 4 t s a 0 1 b 3 3 c d 3 4 e 0 2 f t Optimization Group 11

12 Het algoritme van Ford-Fulkerson (1956) Ford en Fulkerson vonden een systematische manier om een zogenaamd doorbraakpad te vinden waarover eventueel extra stroom kan worden gestuurd. We gebruiken daarvoor het zogenaamde hulpnetwerk G x van G behorend bij een gegeven stroom x. G x heeft dezelfde knopen als G. In G x nemen we alleen die takken (v, w) A op waarover extra stroom kan worden gestuurd en de inverse takken van de stroomvoerende takken in G; de capaciteit van deze takken in G x is gelijk aan de restcapaciteit in G. Met andere woorden, als we de verzameling van de takken in G x A x noemen, dan geldt A x = {(v, w) A : x vw < c vw } {(w, v) : (v, w) A, x vw > 0}. Als x vw < c vw dan is de restcapaciteit van deze tak in A x gelijk aan c vw x vw, en als x vw > 0 dan is restcapaciteit van tak (w, v) in A x gelijk aan x vw. Hieronder zijn de laatst gevonden stroom en het bijbehorende hulpnetwerk afgebeeld. ¼ ¼ ¼ Ø Ø ¼ ¼ ¼ Optimization Group 12

13 Het algoritme van Ford-Fulkerson (1956) ¼ ¼ Ø Ø ¼ ¼ In het hulpnetwerk blijkt via het dik getekende pad een doorbraak mogelijk van s naar t. Bovendien zien we dat over dit pad een extra stroom ter waarde van 1 kan worden gestuurd. Voegen we deze stroom toe aan de oude stroom dan verkrijgen we de stroom in de rechter figuur, met waarde = 8. ¼ Om na te gaan of verder verbetering van de stroomwaarde mogelijk is construeren we het hulpnetwerk voor de nieuwe stroom. Ø Optimization Group 13

14 Het algoritme van Ford-Fulkerson (1956) Ø Op het eerste gezicht is er nu geen doorbraak mogelijk. Om dit systematisch vast te stellen labelen we alle knopen, te beginnen met s, die vanuit s bereikbaar zijn met een. We kunnen dit doen met een aangepaste (vereenvoudigde) versie van het Dijkstra algoritme: In het hulpnetwerk zijn alle vanuit s bereikbare knopen gelabeld, terwijl de ongelabelde knopen niet bereikbaar zijn vanuit s. Het is duidelijk dat er geen doorbraak meer mogelijk is. We zullen nu bewijzen dat hieruit volgt dat de gevonden stroom maximaal is. Optimization Group 14

15 Ø s-t sneden Ë Æ Ëµ Î Ò Ë We definiëren de knoopverzameling S: S = {v V : v is gelabeld}. Omdat geen doorbraak mogelijk is geldt s S, t / S. De verzameling van de takken die hun beginknoop in S hebben en hun eindknoop buiten S, noteren we als δ + (S). Dus δ + (S) := {(v, w) A : v S, w / S}. Als we de takken in δ + (S) uit A verwijderen dan is er geen pad meer van s naar t. We noemen δ + (S) daarom een s-t snede, en we definiëren de capaciteit c(δ + (S)) van deze snede als volgt: c(δ + (S)) := (v,w) δ + (S) c vw = {c vw : v S, w / S}. Optimization Group 15

16 Max-flow min-cut stelling ¼ Ø ¼ Ø ¼ ¼ ¼ In het onderhavige geval bestaat δ + (S) uit de takken (b, c), (e, c) en (f, t), en er geldt c(δ + (S)) = = 8. Dit is precies de waarde van de gevonden stroom x: waarde(x) = c(δ + (S)). Theorem 1 De waarde van een maximale stroom is gelijk aan min { c(δ + (U)) : U V, s U, t / U }. We concluderen dat de gevonden stroom x maximaal is; de snede gevormd door de takken (b, c), (e, c) en (f, t) vormt hiervan het bewijs! Optimization Group 16

17 Toewijzingsproblemen We behandelen ten slotte zogenaamde toewijzingsprobleem. Een speciaal geval is het zogenaamde huwelijksprobleem; een voorbeeld is weergegeven in het netwerk-model links hieronder. Ñ Ñ Ñ In dit netwerk stellen de knopen links jongens en de knopen rechts meisjes voor. Een tak (j, m), met j J en m M, geeft aan dat jongen j en meisje m met elkaar bevriend zijn. De vraag waar het in het huwelijksprobleem (eng. matching problem) om gaat is de volgende: wat is het maximale aantal jongens dat met een vriendin kan trouwen? Ñ Er zijn veel andere toepassingen. Bijvoorbeeld als een aantal verschillende taken moet worden uitgevoerd op een aantal verschillende machines, terwijl niet elke machine elke taak kan uitvoeren. Een mogelijke vraag is dan hoeveel taken tegelijkertijd kunnen worden uitgevoerd. Door J te vervangen door de taken en M door de machines, en door middel van takken aan te geven of een machine geschikt is voor een taak kunnen we dit probleem modelleren als een toewijzingsprobleem. Â Å Optimization Group 17

18 Ñ Ñ Ñ Herleiding tot maximale-stroom-probleem Elk toewijzingsprobleem is eenvoudig te herleiden tot een maximale-stroom-probleem. We illustreren dit aan de hand van bovenstaand huwelijksprobleem. Daartoe voegen we twee knopen s en t toe aan het netwerk en voor elke jongen j J een tak (s, j), en voor elk meisje m M een tak (m, t). Geef deze takken capaciteit 1, en alle takken in het oorspronkelijke netwerk ook capaciteit 1. Dan is het duidelijk dat het maximale aantal huwelijken gelijk is aan de maximale waarde van een stroom van s naar t in het nieuwe netwerk. Ñ Ø Optimization Group 18

19 ¼ Oplossing van het huwelijksprobleem Het is eenvoudig om een stroom met waarde 3 te vinden. De stroomwaarden zijn 1 op de blauwe takken en 0 op de overige takken. ¼ ¼ ¼ Ñ Ñ Ø ¼ ¼ Ñ ¼ ¼ Ñ Om na te gaan of deze stroom optimaal is vormen we het bijbehorende hulpnetwerk. Optimization Group 19

20 ¼ Ñ ¼ Ñ Oplossing van het huwelijksprobleem ¼ Ø ¼ ¼ ¼ ¼ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ø Ñ ¼ Omdat alle capaciteiten 1 zijn en alle stroomwaarden 0 of 1, hebben de restcapaciteiten op de takken allemaal de waarde 1. Deze zijn daarom niet ingetekend in deze figuur. Door op de standaard manier te labelen vanuit s blijkt dat er geen doorbraak naar t mogelijk is. De gevonden stroom is dus optimaal. Bijgevolg is het maximale aantal huwelijken gelijk aan 3. Optimization Group 20

21 Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Dualiteitsstelling Ø Â Å Let op de nu gelabelde knopen. Dit zijn s, j 1, j 3, j 5 en m 3. Elke tak in het oorspronkelijke netwerk is incident met een niet gelabelde jongen of met een gelabeld meisje. Definition 1 Een verzameling knopen C van knopen in een netwerk heet een knoopoverdekking als elke tak in het netwerk incident is met een knoop uit C. We hebben de volgende dualiteitsstelling voor het huwelijksprobleem. Theorem 2 (Stelling van Kőnig-Egerváry (1931)) Het maximale aantal huwelijken in een huwelijksprobleem is gelijk aan het minimale aantal knopen in een knoopoverdekking. Optimization Group 21

22 Een portret van (prinses) Ma xima Thanks to Robert Bosch Mathematical Department Oberlin College, USA. Optimization Group 22