Enige informatie over groepen ten bate van het college Topologie en Meetkunde (Jaap van Oosten, Juni 2003)

Transcriptie

1 Enige informatie over groepen ten bate van het college Topologie en Meetkunde (Jaap van Oosten, Juni 2003) Een groep is een verzameling G met daarop een operatie : G G G (die we schrijven als g, h g h), die aan de volgende vereisten voldoet: a) Er is een (noodzakelijkerwijs uniek) eenheidselement e G, waarvoor geldt, dat e g = g e = g, voor alle g G. b) De operatie is associatief, dat wil zeggen dat g (h k) = (g h) k, voor alle g, h, k G. c) Voor elke g G is er een element g 1 G, dat voldoet aan: g g 1 = g 1 g = e (hier is e het eenheidselement van G). Voorbeelden. De verzameling S(X) van alle bijectieve functies X X (waar X een willekeurige verzameling is), is een groep: het eenheidselement is de identieke functie, en de groepsoperatie is: compositie van functies. De groep van gehele getallen Z, met de optelling is een groep. De collectie van (2 2)-matrices over R met determinant 1, is een groep. De groep van gehele getallen modulo n is een groep. Een groep G heet abels, of commutatief, als g h = h g voor alle g, h G. Als G en H groepen zijn, is een groepshomomorfisme f : G H een afbeelding f die voldoet aan: f(e G ) = e H (hier zijn e G, e H het eenheidselement in G, respectievelijk H) en f(g h) = f(g) f(h). Er volgt dan automatisch, dat f(g 1 ) = (f(g)) 1. Een groepshomomorfisme f heet een isomorfisme als f een bijectieve afbeelding is en zijn inverse f 1 ook een groepshomomorfisme is. De groepen G en H heten dan isomorf; notatie G = H. Een ondergroep van een groep G is een deelverzameling H G waarvoor geldt: e H, H is gesloten onder de groepsoperatie (dat wil zeggen: als g, h H dan ook g h H), en als g H, dan ook g 1 H. Als f : G H een groepshomomorfisme is, is het beeld van f een ondergroep van H. Stel, dat A een deelverzameling is van een groep G. Er is dan een kleinste ondergroep van G, die A bevat: we schrijven A voor deze groep, en noemen haar de ondergroep voortgebracht door A. A bestaat uit alle eindige uitdrukkingen x 1 x n, waarbij x i A of x 1 i A. 1

2 Gegeven twee groepen G en H kunnen we hun product vormen: G H is het cartesische product van G en H als verzamelingen, en de operatie is die van G en H, coördinaatsgewijs toegepast. Dus: (g 1, h 1 ) (g 2, h 2 ) = (g 1 g 2, h 1 h 2 ). De projecties G H G en G H H zijn dan groepshomomorfismen. Er geldt: als K een groep is, dan is er voor elk tweetal groepshomomorfismen f : K G, g : K H precies één groepshomomorfisme f, g : K G H, waarvan de samenstelling met de projecties naar G en H juist f, respectievelijk g oplevert. Vrije groepen. Laat A een willekeurige verzameling zijn; met A duiden we de verzameling woorden op A aan: een woord op A is een eindig rijtje (a 1,..., a n ) van elementen van A. Herhalingen zijn toegestaan. Ook het lege rijtje ( ) is een woord. Er is een operatie op woorden: (a 1,..., a n ) (b 1,..., b m ) = (a 1,..., a n, b 1,..., b m ) Voor het lege woord ( ) definiëren we: ( ) v = v ( ) = v, voor elk woord v. Stel nu, dat voor ieder element a A een element a 1 A gegeven is, met dien verstande dat a 1 b 1 als a b. We schrijven A 1 voor de verzameling {a 1 a A}. Beschouw nu de woorden-verzameling (A A 1 ). Op deze verzameling definiëren we een equivalentierelatie: is de kleinste equivalentierelatie zodat voor elk element a A en elk tweetal woorden v, w geldt: v (a, a 1 ) w v w v (a 1, a) w Je gaat makkelijk na, dat als v v en w w, dan v w v w. Nu geldt: de verzameling van equivalentieklassen (A A 1 ) / is een groep, met als operatie: [v] [w] = [v w] We noteren deze groep als F (A) en noemen haar de vrije groep op A. Het woord vrij betekent, dat er in de groep F (A) geen andere betrekkingen gelden dan die, welke reeds door de groepseisen worden afgedwongen. F (A) heeft de volgende eigenschap: gegeven een willekeurige groep G en een functie f van A naar G, is er een uniek groepshomomorfisme φ : F (A) G zodat φ([(a)]) = f(a) voor alle a A. Voorbeeld. Stel A = {a}. Ga na, dat F (A) isomorf is met Z. 2

3 Voorbeeld. Als A = {a, b}, dan is F (A) ineens veel ingewikkelder: het is geen abelse groep. Groepen gegeven door voortbrengers en relaties. dat in de situatie als boven, R (A A 1 ) (A A 1 ) Veronderstel nu, een relatie is. We laten nu R de kleinste equivalentierelatie op (A A 1 ) zijn, zodat niet alleen geldt, maar ook v (a, a 1 ) w v w v (a 1, a) w v u w v u w voor alle u, u, v, w zodat (u, u ) R. Dan is ook (A A 1 ) / R een groep. We schrijven F (A; R) voor deze groep. Het paar (A, R) heet een presentatie van deze groep. Als A en R eindig zijn, heet de groep F (A; R) eindig gepresenteerd. Voorbeelden. Stel A = {a} en R = {((a, a, a), ( ))}. Dan is F (A; R) isomorf met Z/3Z. Als A = {a, b} en R = {((a, b), (b, a))}, dan is F (A; R) isomorf met Z Z. In dit voorbeeld hadden we voor R ook kunnen nemen: {(( ), (a, b, a 1, b 1 ))}. Iets ingewikkelder: A = {a, b} en R = {((a, a, a), ( )), ((b, b), ( )), ((b, a), (a, a, b))} F (A; R) is isomorf met S({1, 2, 3}) (ook wel S 3 geschreven). Vrij product van groepen. Laten G 1 en G 2 twee groepen zijn; voor het gemak veronderstellen we dat G 1 en G 2 disjuncte verzamelingen zijn. We construeren een groep G 1 G 2 als volgt. Laat de kleinste equivalentierelatie op (G 1 G 2 ) zijn zodat geldt: 1) v (e 1 ) w v w, voor alle v, w, als e 1 het eenheidselement is van G 1 ; 2) v (e 2 ) w v w, voor alle v, w, als e 2 het eenheidselement is van G 2 ; 3) v (g, h) w v (k) w als hetzij g, h G 1 en g h = k in G 1, hetzij g, h G 2 en g h = k in G 2. 3

4 G 1 G 2 is gedefinieerd als (G 1 G 2 ) /. Deze groep heet het vrije product van G 1 en G 2. Er zijn duidelijk groepshomomorfismen i 1 : G 1 G 1 G 2 en i 2 : G 2 G 1 G 2. Er geldt de volgende eigenschap: gegeven een willekeurige groep H en homomorfismen [ ] f i : G i H (1 = 1, 2), is er een f1 uniek groepshomomorfisme : G 1 G 2 H waarvan de samenstelling f 2 met i 1 resp. i 2 precies f 1, resp. f 2 oplevert. Voorbeeld. Als G 1 = F ({a}) en G 2 = F ({b}), dan is G 1 G 2 = F ({a, b}). Vrij product over een andere groep. Veronderstel G 1 en G 2 als boven, en neem nu aan dat er groepshomomorfismen j : H G 1 en k : H G 2 zijn. We maken een groep G 1 H G 2, het vrije product van G 1 en G 2 over H, dat de volgende twee eigenschappen heeft: i) Er is een commutatief diagram van groepshomomorfismen H j G 1 k i 1 G 2 i 2 G 1 H G 2 ii) Voor elk ander commutatief diagram H j G 1 k G 2 f 2 K f 1 is er een uniek groepshomomorfisme φ : G 1 H G 2 K zodat φ i 1 = f 1 en φ i 2 = f 2. Laat H de kleinste equivalentierelatie op (G 1 G 2 ) zijn, die aan 1),2) en 3) van boven (in de definitie van G 1 G 2 ) voldoet, alsmede aan: v (i(h)) w H v (j(h)) w voor alle woorden v, w, en alle h H. Dan is (G 1 G 2 ) / H de groep G 1 H G 2. Stelling van Seifert-Van Kampen. De stelling van Seifert-Van Kampen kan nu als volgt worden geformuleerd: 4

5 Stel X = U V, waarbij U en V open delen van X zijn en U, V en U V wegdsamenhangend zijn. Kies een punt x U V. Schrijf G voor de fundamentaalgroep π 1 (U V, x). Dan geldt: π 1 (X, x) = π 1 (U, x) G π 1 (V, x) Een gevolg is, dat als U V enkelvoudig samenhangend is (dus G = 1), dat π 1 (X, x) het vrije product is van π 1 (U, x) en π 1 (V, x). Uitdelen naar een ondergroep. Stel, dat G een groep is en A G een ondergroep. We maken een groep G/A die de volgende eigenschappen heeft: i) Er is een groepshomomorfisme π : G G/A dat alle elementen van A naar het eenheidselement van G/A stuurt; ii) Voor elk ander groepshomomorfisme f : G H dat alle elementen van A naar het eenheidselement van H stuurt, is er een uniek groepshomomorfisme φ : G/A H, zodat φ π = f. Laat A de kleinste equivalentierelatie op G zijn, zo dat voor alle v, w G en alle a A geldt: v a w A v w. Dan is G/A = G/ A. Stelling over het aanhechten van een 2-cel. Veronderstel dat X en A zijn als in Stelling 72.1 van Munkres, met h : B 2 X. Stel x = h(1) h(s 1 ), zij a het pad in S 1 van 1 naar 1 gegeven door de identieke functie, en zij α = h a het pad in A van x naar x dat ontstaat door a samen te stellen met h. Dan is π 1 (X, x) = π 1 (A, x)/ α. 5