5 Inleiding tot de groepentheorie

Transcriptie

1 5 Inleiding tot de groepentheorie Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze groep de viergroep van Klein bezit als deelgroep van index 2. Oplossing 5.1 De symmetrieën van een vierkant in het Euclidisch vlak, zijn de vier rotaties r 1, r 2, r 3 en r 4 = e om respectievelijk n 90, n = 1, 2, 3, 4, en de spiegelingen d 1, d 2, b 1 en b 2 om respectievelijk de diagonalen en de middelloodlijnen. Er zijn er dus acht. Indien we de hoekpunten in tegenwijzerzin nummeren dan kunnen deze symmetrieën ook als volgt worden voorgesteld in cykelnotatie: e = (1)(2)(3)(4); r 1 = (1234); r 2 = (13)(24); r 3 = (1432); d 1 = (1)(3)(24); d 2 = (2)(4)(13); b 1 = (12)(34); b 2 = (14)(23). De volgende uitkomsten zijn snel te controleren. r 1 r 2 = r 3 = r 2 r 1, r 1 r 3 = r 2 r 2 = e, r 1 d 1 = b 1, r 2 d 1 = d 2, r 3 d 1 = b 2, r 1 d 2 = b 2, r 2 d 2 = d 1, r 3 d 2 = b 1, r 1 b 1 = d 2, r 2 b 1 = b 2, r 3 b 1 = d 1, r 1 b 2 = d 1, r 2 b 2 = b 1, r 3 b 2 = d 2, Ook al alle andere samenstellingen kunnen snel uitgewerkt worden. Schrijven we deze gegevens uit in een bewerkingstabel, dan komt er: e r 1 r 2 r 3 d 1 d 2 b 1 b 2 e e r 1 r 2 r 3 d 1 d 2 b 1 b 2 r 1 r 1 r 2 r 3 e b 1 b 2 d 2 d 1 r 2 r 2 r 3 e r 1 d 2 d 1 b 2 b 1 r 3 r 3 e r 1 r 2 b 2 b 1 d 1 d 2 d 1 d 1 b 2 d 2 b 1 e r 2 r 3 r 1 d 2 d 2 b 1 d 1 b 2 r 2 e r 1 r 3 b 1 b 1 d 1 b 2 d 2 r 1 r 3 e r 2 b 2 b 2 d 2 b 1 d 1 r 3 r 1 r 2 e De groep van de symmetrieën van een regelmatige n-hoek heeft overigens altijd 2n elementen en bestaat altijd uit de n rotaties en de n spiegelingen om de symmetrieassen, en wordt de diëdergroep (dihedral group) D n genoemd. De automorfismegroep van het vierkant is dus de niet-abelse groep D 4 en bezit orde 8. Merk op dat de groep van de gelijkzijdige driehoek, dus D 3, isomorf is met S 3 en eveneens niet-abels is. De automorfismegroep van de rechthoek zit inderdaad als deelgroep van index 2 in de groep D 4. Deze is isomorf met de viergroep van Klein: in de bovenstaande notaties is het de groep K 4 = {e, r 2, d 1, d 2 },. Oefening 5.2. Stel de Cayleytabellen op voor de groepen C 2 C 4 en C 2 C 2 C 2. Is één van beide isomorf met de automorfismegroep van het vierkant? Kun je dat bewijzen zonder gebruik te maken van de Cayleytabel? Opgeloste oefeningen Relaties en Structuren, hoofdstuk 5 46

2 Oplossing 5.2 Stel C 2 = a = {a, a 2 = e} en C 4 = b = {b, b 2, b 3, b 4 = e}. Dan is de groep C 2 C 4 de groep met de volgende elementen (e, e), (e, b), (e, b 2 ), (e, b 3 ), (a, e), (a, b), (a, b 2 ), (a, b 3 ). De Cayleytabel ziet er als volgt uit. (e, e) (e, b) (e, b 2 ) (e, b 3 ) (a, e) (a, b) (a, b 2 ) (a, b 3 ) (e, e) (e, e) (e, b) (e, b 2 ) (e, b 3 ) (a, e) (a, b) (a, b 2 ) (a, b 3 ) (e, b) (e, b) (e, b 2 ) (e, b 3 ) (e, e) (a, b) (a, b 2 ) (a, b 3 ) (a, e) (e, b 2 ) (e, b 2 ) (e, b 3 ) (e, e) (e, b) (a, b 2 ) (a, b 3 ) (a, e) (a, b) (e, b 3 ) (e, b 3 ) (e, e) (e, b) (e, b 2 ) (a, b 3 ) (a, e) (a, b) (a, b 2 ) (a, e) (a, e) (a, b) (a, b 2 ) (a, b 3 ) (e, e) (e, b) (e, b 2 ) (e, b 3 ) (a, b) (a, b) (a, b 2 ) (a, b 3 ) (a, e) (e, b) (e, b 2 ) (e, b 3 ) (e, e) (a, b 2 ) (a, b 2 ) (a, b 3 ) (a, e) (a, b) (e, b 2 ) (e, b 3 ) (e, e) (e, b) (a, b 3 ) (a, b 3 ) (a, e) (a, b) (a, b 2 ) (e, b 3 ) (e, e) (e, b) (e, b 2 ) De groep C 2 C 2 C 2 is een elementair abelse groep van de orde 8 en is niet isomorf met C 8 noch met C 4 C 2. De elementen van C 2 C 2 C 2 kunnen als vectoren van lengte 3 over Z 2 worden voorgesteld waarbij de samenstelling van elementen dan niets anders is dan optelling van vectoren over Z 2. De elementen zijn dus 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111 waarbij de bewerking gegeven wordt door Al deze groepen, die cartesische producten van cyclische groepen zijn abels en kunnen dus niet isomorf zijn met de symmetriegroep D 4 van het vierkant (zie oplossingen bij oefeningen 5.1). Oefening 5.3. Stel de Cayleytabel op voor de deelgroep {1, 1, i, i}, van de complexe getallen ( is de gewone vermenigvuldiging van complexe getallen). Doe hetzelfde voor Q 8 = {1, 1, i, i, j, j, k, k},. Oplossing 5.3 Het is onmiddellijk duidelijk dat de groep niets anders is dan de cyclische groep van de orde 4 voortgebracht door het element i. Het is het 4 4-blok linksboven in onderstaande tabel. Opgeloste oefeningen Relaties en Structuren, hoofdstuk 5 47

3 Voor Q 8 bekomen we de volgende bewerkingstabel 1 1 i i j j k k i i j j k k i i j j k k i i i 1 1 k k j j i i i 1 1 k k j j j j j k k 1 1 i i j j j k k 1 1 i i k k k j j i i 1 1 k k k j j i i 1 1 Deze groep, die de quaternionengroep van de orde 8 wordt genoemd, is een niet-abelse groep en is niet isomorf met de diëdergroep D 4. Samen met de groepen die we hebben gezien in de oplossingen van de oefeningen 5.1 en 5.2, vinden we dus 5 niet-isomorfe groepen van de orde 8, met name de drie abelse groepen C 8, C 2 C 4 en C 2 C 2 C 2 en de twee niet-abelse groepen D 4 en Q 8. Men kan bewijzen dat er geen andere groepen van de orde 8 bestaan. Oefening 5.4. Tel en beschrijf alle deelgroepen van C 15 en C 25. Oplossing 5.4 Beide groepen zijn cyclisch bij definitie. Wegens stelling 6.9 bestaat er voor elke deler d juist 1 deelgroep met orde d, die bovendien cyclisch is. Hieruit volgt dat C 15 slechts 2 eigenlijke deelgroepen heeft, namelijk met ordes 3 en 5. C 25 bevat maar 1 eigenlijke deelgroep van de orde 5. Stel ρ een voortbrenger van C 15, dan is de deelgroep van orde 3 gegeven door ρ 5 en de deelgroep van orde 5 gegeven door ρ 3. Als C 25 = σ, dan is de unieke deelgroep van C 25 de deelgroep σ 5. Oefening 5.5. Hoeveel elementen van C 60 brengen de ganse groep voort? Oplossing 5.5 We zoeken het aantal elementen van C 60 met orde 60. Wegens Stelling 6.8 bevat C 60 juist Φ(60) = Φ(4)Φ(3)Φ(5) = = 16 elementen van orde 60. Oefening 5.6. Welke van de volgende permutaties zijn even en welke oneven? α = (1357)(2468); β = (127)(356)(48); γ = (135)(678)(2)(4). Oplossing 5.6 α We kunnen (1357) schrijven als (13)(15)(17); analoog geldt (2468) = (24)(26)(28), waardoor α even is. β Analoog is (127) = (12)(17) en (356) = (35)(36), waardoor β oneven is. γ Voor γ schrijven we (135) als (13)(15) en (678) = (67)(68), waardoor γ even is. Oefening 5.7. Veronderstel dat u en v twee elementen zijn van een abelse groep met respectieve ordes r en s. Bewijs dat, in de veronderstelling dat ggd(r, s) = 1, de orde van uv gelijk is aan rs. Opgeloste oefeningen Relaties en Structuren, hoofdstuk 5 48

4 Oplossing 5.7 Stel de orde van uv voor door t, dan is (uv) t = e. Aangezien de groep abels is, vinden we bovendien dat u t v t = (uv) t = e. Hieruit volgt u t = (v 1 ) t. Het linkerlid heeft een orde die een deler is van r en het rechterlid een orde die deler is van s. De orde van dit element moet dus een deler zijn van ggd(r, s) = 1, waaruit volgt dat u t = v t = e. Hieruit volgt dat t een veelvoud moet zijn van zowel de orde r van u als van de orde s van v en dus moet t het kleinste gemeen veelvoud zijn van r en s, en aangezien ggd(r, s) = 1 is dus t = rs. Oefening 5.8. Beschouw de groep GL(2, Z 2 ), van de niet-singuliere 2 2 matrices met elementen in Z 2 (bewerking is matrixvermenigvuldiging). Bewijs dat deze groep isomorf is met S 3. Oplossing 5.8 We tonen aan dat deze groep isomorf is met de groep van de symmetrieën van een driehoek, omdat de symmetriegroep van een driehoek isomorf is met S 3. Een willekeurige matrix A van GL(2, Z 2 ), kunnen we opvatten als de matrix van een lineaire afbeelding { ( ) ( ) ( ) ( ) in (Z 2 ) } =,,,, door een vector van (Z 2 ) 2 links te vermenigvuldigen met A. ( ) ( ) ( ) Aangezien A =, wordt gefixeerd door elke A uit GL(2, Z 2 ). Anderzijds permuteert { ( ) ( ) ( ) } GL(2, Z 2 ) de elementen van,,, aangezien we geen singuliere matrices beschou wen. Merk ook op dat enkel de eenheidsmatrix alle elementen uit (Z 2 ) 2 fixeert. Er zijn dus juist 6 elementen in GL(2, Z 2 ). { ( ) ( ) ( ) } We kunnen nu de elementen van,, interpreteren als coördinaten van een driehoek. We hebben nu dus een groep van 6 elementen die de hoekpunten van de driehoek permuteert, waaruit volgt dat de groep inderdaad isomorf is aan S 3. We kunnen ook oefening 5.9 gebruiken en vaststellen dat er geen element van orde 6 in GL(2, Z 2 ) zit. Oefening 5.9. Hoeveel groepen van de orde 6 bestaan er op een isomorfisme na? Oplossing 5.9 Wegens de stelling van Lagrange heeft elk element verschillend van het neutraal element van een groep van de orde 6 als orde 2, 3 of 6. Veronderstel eerst dat de groep abels is. Dan kan de groep niet elementair abels zijn, want 6 is niet te schrijven als macht van 2 of van 3. Er moet dus een element a zijn van de orde 2 en een element b van de orde 3 en het kan dan niet anders dan dat de abelse groep isomorf is met a b en dus met C 6. Veronderstel dus dat de groep niet abels is. Aangezien de groep dan ook niet cyclisch kan zijn, bestaat er geen element van de orde 6 en bijgevolg heeft elk element, verschillend van het neutraal element, de orde 2 of 3. Veronderstel nu dat de groep een niet-abelse groep is waarbij alle elementen orde 2 bezitten. Er bestaan dus in de groep G twee elementen a en b waarvoor geldt dat a 2 = b 2 = e en ab ba. Maar aangezien alle elementen orde 2 hebben moet (ab) 2 = (ba) 2 = e. Hieruit volgt echter dat ba = bae = ba(ab) 2 = ba(abab) = b(aa)bab = bebab = (bb)ab = ab, wat in strijd is met de onderstelde niet-commutativiteit van a en b. Opgeloste oefeningen Relaties en Structuren, hoofdstuk 5 49

5 Veronderstel nu dat de groep een niet-abelse groep is van de orde 6 waarbij alle elementen de orde 3 bezitten. Dan bevat dus de groep alvast de vijf verschillende elementen e, a, b, a 2, b 2, met b 3 = a 3 = e. Maar de groep bevat ook het element ab evenals het element ba. Aangezien de orde van de groep echter gelijk is aan 6, moet dan ba = ab. Omdat de voortbrengers a en b al commuteren, zou heel de groep abels zijn, tegen de veronderstelling. We mogen dus besluiten dat een niet-abelse groep van de orde 6 een element a van de orde 2 en een element b van de orde 3 bezit met de eigenschap dat ab ba. De groep bevat dus de zes elementen e, b, b 2, a, ab en ba. Als minstens n van de twee elementen ab of ba orde 3 zou hebben, dan moet zijn inverse precies de andere zijn (de inverse kan immers niet e, a, b, b 2 of zichzelf zijn). Maar dat betekent (ba)(ab) = e, of dus b 2 = e, een strijdigheid. De elementen ab en ba hebben dus orde 2. We weten intussen genoeg om te besluiten dat deze niet-abelse groep van de orde 6 de groep S 3 moet zijn. Met wat puzzelwerk kan men immers de bewerkingstabel op een unieke manier invullen. Er zijn dus twee groepen van de orde 6 op een isomorfisme na, met name C 6 (abels) en S 3 (niet-abels). Oefening Beschouw de groep G = a, b met a n = e met (n 2), b 2 = e en met bab 1 = a 1. Bewijs dat G nooit cyclisch is. Oplossing 5.10 Indien de groep cyclisch, en dus ook abels is, dan volgt uit de geldige identiteit dat a 1 = a of nog dat n = 2 en dan is de groep G = a, b isomorf met de viergroep van Klein, dewelke eveneens niet cyclisch is. Oefening Veronderstel dat u en v twee elementen zijn van een abelse groep G met respectieve ordes r en s. Onderstel dat de cyclische groep voortgebracht door u en de cyclische groep voortgebracht door v enkel het neutraal element gemeen hebben. Stel ook dat ggd(r, s) = d. Wat is de orde van het element u v? Oplossing 5.11 Stel de orde van uv voor door t (en zie ook oefening 5.7). Aangezien de groep abels is, vinden we dat u t v t = (uv) t = e. Hieruit volgt u t = (v 1 ) t. Het linkerlid zit in u en het rechterlid in v, waarbij het gegeven zegt dat deze twee enkel snijden in het eenheidselement. Bijgevolg is u t = v t = e. Hieruit volgt dat t een veelvoud moet zijn van zowel de orde r van u als van de orde s van v en dus moet t het kleinste gemeen veelvoud zijn van r en s, zijnde kgv(r, s) = rs/d. Oefening Zij C n = g de cyclische groep voortgebracht door g. Bewijs dat de deelgroep H C n, voortgebracht door g k (k N\{0}) de orde n ggd(n,k) heeft. Oplossing 5.12 De orde van H is het kleinste positief getal m waarvoor (g k ) m = e. Daar e = g n, is m dus het kleinste positief getal waarvoor km 0 (mod n), dus km = kgv(n, k). Bovendien volgt uit kgv(n, k) ggd(n, k) = n k dat km ggd(n, k) = nk of dus dat m = n ggd(n,k). Oefening Bewijs dat elke abelse groep van de orde 15 cyclisch is. Oplossing 5.13 Schets Veronderstel dat de abelse groep niet cyclisch is. De orde van elk element is dan gelijk aan 3 of 5. Toon aan dat er een element a van orde 3 is en een element b van orde 5. Bepaal de orde van ab en vind een strijdigheid. Hieruit volgt dat de groep inderdaad cyclisch is. Opgeloste oefeningen Relaties en Structuren, hoofdstuk 5 50

6 Oefening Stel dat een eindige groep G en een priemgetal p gegeven zijn. Stel dat G precies m deelgroepen heeft van orde p. Bewijs dat G precies m(p 1) elementen van de orde p bezit. Oplossing 5.14 Schets Toon aan dat elke deelgroep van orde p juist p 1 elementen van orde p bezit. Kunnen twee verschillende deelgroepen van orde p meer dan 1 element gemeenschappelijk hebben? Waarom? Oefening Gegeven is de cyclische groep C 8 = a. Bewijs dat de volgende afbeeldingen α en β morfismen van C 8 zijn. Bepaal telkens de kern. a. α : a a 4. b. β : a a 5. Oplossing 5.15 Ker(α) = a 2 = C 4, Ker(β) = {e} Oefening Hoeveel symmetrieën heeft de symmetriegroep van de starre kubus? Tel dus alle realiseerbare acties (geen spiegelingen) die de kubus op zichzelf afbeelden. Welke essentieel verschillende symmetrieën onderscheid je? Beschrijf de structuur van hun cykelvoorstelling (als permutatiegroep op de hoekpunten). Hoeveel zijn er van elke soort? Oplossing 5.15 a. Het eenheidselement fixeert alles, dus van de vorm ( )( )( )( )( )( )( )( ). Zo is er één van. b. Steek een rotatieas door het midden van twee tegenoverliggende zijvlakken. We kunnen nu een kwartslag draaien in elk van de richtingen: dit houdt de twee tegenoverliggende zijvlakken vast en permuteert de vier hoekpunten ervan cyclisch. We krijgen dus een cykelvoorstelling als ( )( ). Voor elk van de drie paren tegenoverliggende zijvlakken kunnen we telkens een zin kiezen (90 met of tegen wijzerzin). We vinden dus 6 dergelijke symmetrieën. c. Diezelfde rotatie kan je ook over 180 uitvoeren. In elk gefixeerd zijvlak verwisselen dan de paren overstaande hoekpunten en we krijgen dus een ( )( )( )( ). Zo zijn er 3. d. Steek een rotatieas door het midden van twee totaal overstaande ribben en roteer over 180. Dan worden de twee hoekpunten aan beide ribben waarvan sprake verwisseld daarop werken we dus als ( )( ) en op de andere vier hoekpunten werkt deze symmetrie als ( )( ). Dit groepselement ziet er dus weer uit als ( )( )( )( ), maar is fundamenteel verschillend van de vorige: de -hoekpunten die in één cykel voorkomen zijn nu door een ribbe verbonden, in tegenstelling tot alle -hoekpunten in de vorige soort. Van dit soort zijn er evenveel als paren totaal overstaande ribben, nl. 12/2 = 6. e. Spies een rotatieas door twee diametraal opposiete hoekpunten. We kunnen nu de drie ribben die uit een doorspiest hoekpunt komen, draaien (±120 ). Deze groepselementen moeten er zo uitzien: ( )( )( )( ). Voor elk paar diametraal opposiete hoekpunten (zo zijn er 4) kunnen we twee rotatierichtingen kiezen, dus we vinden 8 zo n elementen. In totaal vinden we = 24 elementen in de symmetriegroep van de starre kubus. Je kon dit ook als volgt vinden. Fixeer een hoekpunt en kleur een ribbe eruit. Je kunt dit hoekpunt op 8 mogelijke hoekpunten afbeelden. Eénmaal dat gedaan is, heb je nog 3 keuzes om je gekleurde ribbe te leggen, maar zodra dit gebeurd is, ligt de realiseerbare symmetrie volledig vast. Er zijn dus 8 3 = 24 groepselementen. Opgeloste oefeningen Relaties en Structuren, hoofdstuk 5 51