Brown s Representeerbaarheidsstelling

Transcriptie

1 Brown s Representeerbaarheidsstelling Gesche Nord 11 september 2008 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Jochen Heinloth KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

2 Samenvatting In deze bachelorscriptie wordt de representeerbaarheidsstelling van Brown bewezen. De representeerbaarheidsstelling is een stelling uit de homotopietheorie. In dit verslag wordt daarom een korte introductie gegeven in enkele begrippen uit de homotopietheorie, die een belangrijk onderdeel uitmaakt van de algebraïsche topologie. We maken kennis met een klasse van topologische ruimtes, die men CW-complexen noemt en die, door hun bijzondere structuur, veel handige homotopie-eigenschappen hebben. Hiernaast worden enkele begrippen en ideën uit de categoriëntheorie voorgesteld, die nodig zijn om de representeerbaarheidsstelling van Brown te begrijpen en te bewijzen. Gegevens Titel: Brown s Representeerbaarheidsstelling Auteur: Gesche Nord, gesche.n@gmx.de, Begeleider: dr. Jochen Heinloth Tweede beoordelaar: prof. dr. Gerard B.M. van der Geer Einddatum: 11 september 2008 Korteweg de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Plantage Muidergracht 24, 1018 TV Amsterdam

3 Inhoudsopgave Inleiding 5 1 Homotopie en CW-complexen Homotopie CW-complexen Categoriëntheorie 28 3 Brown s Representeerbaarheidsstelling 36 Populaire samenvatting 48

4

5 Inleiding Brown s representeerbaarheidsstelling is een krachtig resultaat uit de homotopietheorie. De stelling is benoemd naar de Amerikaanse wiskundige Edgar H. Brown (1926), die deze stelling in 1962 voor het eerst publiceerde. Homotopietheorie is een onderdeel van de algebraïsche topologie. In de algebraïsche topologie probeert men algebraïsche structuren te relateren aan topologische ruimtes en met algebraïsche middelen, iets over deze ruimtes en over topologische structuren in het algemeen te weten te komen. Brown s stelling is een stelling voor en bepaalde soort topologische ruimtes, die men CW-complexen noemt. Dit zijn ruimtes met een cel-structuur. In hoofdstuk 1 worden CW-complexen wiskundig gedefinieerd, maar in principe lijkt de structuur van een 2-dimensionaal CW-complex op een berg zeepbellen. Hierbij is een 2-dimensionale cel het oppervlakte van een enkele zeepbel tot de lijn waar ze de andere zeepbellen ontmoet. Een 1-dimensionale cel is een plak-lijn tussen twee of meer bellen. De 0-dimensionale cellen zijn de snijpunten tussen drie of meer plak-lijnen: In de algebraïsche topologie bestaan verschillende concepten om bijvoorbeeld groepen aan topologische ruimtes te relateren. Dit gebeurd met hulp van vertaalmachines, die functoren heten. De representeerbaarheidsstelling van Brown geeft aan wanneer een willekeurige functor, die CW-complexen naar verzamelingen vertaald gelijk is aan de zogenoemde homfunctor, die gedefinieerd wordt in hoofdstuk 2. De stelling levert onder andere verbanden tussen verschillende concepten uit de algebraïsche topologie. In deze scriptie wordt een bewijs voor Brown s stelling gegeven en vooraf alle nodige begrippen en ideën uitgelegd. Hoofdstuk 1 geeft een kleine inleiding in de homotopietheorie. Naast en precieze definitie van CW-complexen worden de begrippen homotopie en homotopie-equivalentie uitgelegd en worden homotopiegroepen ingevoerd. In het tweede hoofdstuk wordt een uitstapje gemaakt naar de categoriëntheorie. In de categoriëntheorie bevat men zich op een algemene 5

6 manier met wiskundige structuren. Vergelijkbare concepten uit verschillende wiskundige disciplines worden hier algemeen geformuleerd en het vertalen tussen deze disciplines wordt wiskundig beschreven. In hoofdstuk 3 wordt Brown s representeerbaarheidsstelling dan bewezen. 6

7 7

8 Hoofdstuk 1 Homotopie en CW-complexen In dit hoofdstuk zullen we een paar grondideën uit de algebraïsche topologie bespreken, met name zullen we CW-complexen invoeren, en het begrip homotopie uitleggen. CW-complexen zijn topologische ruimtes, die inductief gemaakt zijn van cellen, waarbij een n-cel gedefinieerd is als een topologische ruimte, die homeomorf is met een open n- schijf D n \S n 1. CW staat voor closure-finite en weak topology. Het eerste geeft een restrictie op de manier hoe een CW-complex opgebouwd mag zijn, we zullen dit later nog uitleggen, het tweede is de topologie, die een CW-complex heeft. Een CW-complex X heeft de zwakke topologie ten opzicht van de verzameling van alle cellen waaruit X bestaat. Dat wil zeggen dat een deelverzameling van X dan en slechts dan open is als zijn doorsnede met elke cel in X open is. Een CW-complex heeft dus op zijn cellen een euclidische structuur. Voordat we dit allemaal netjes definiëren zullen we nu echter eerst het concept homotopie bespreken. 1.1 Homotopie Om van een verzameling een topologische ruimte te maken, is niet veel meer nodig dan een collectie van deelverzamelingen, die aan een handvol axioma s voldoet. Het doel van topologie is voornamelijk de structuur, die deze deelverzamelingen op een verzameling kunnen geven, te begrijpen, te onderscheiden en te classificeren. Men probeert daarom (topologische) eigenschappen te vinden, die invariant zijn onder een continue afbeelding, bij voorbeeld het aantal samenhangs/wegsamenhangs-componenten of de eigenschap dat een ruimte hausdorffs is. Een andere manier om ruimtes te onderscheiden is homotopie. Als twee ruimtes homotopie-equivalent zijn betekend dit in feite, dat ze continu in elkaar te vervormen zijn. Het bekendste voorbeeld is het koffiekopje en de donut. Homotopietheorie is een belangrijk onderdeel van de algebraïsche topologie, want zoals we straks zullen zien zijn ruimtes, die homeomorf zijn ook homotopie-equivalent. Bovendien geeft homotopie de mogelijkheid groepen te relateren aan een topologische ruimte en zo problemen te verplaatsen naar de algebra. 8

9 Om homotopie-equivalentie te definiëren moeten we eerst weten wat homotope afbeeldingen zijn. Definitie 1.1. Als f, g : X Y twee continue afbeeldingen zijn tussen topologische ruimtes X, Y en I := [0, 1] is het eenheidsinterval in R, dan noemen we een continue afbeelding H : X I Y, waarvoor geldt dat: H 0 (x) = f(x) H 1 (x) = g(x), x X, een homotopie tussen f en g. Als zo een afbeelding H bestaat, dan heten f en g homotoop en we schrijven f g. Als A X een deelruimte is en er bestaat een homotopie H : X I Y, waarvoor geldt dat H t A = f A, dan noemen we f en g homotoop relatief A en schrijven f rela g. De homotopie H noemen we dan een homotopie relatief A. In de definitie nemen we natuurlijk voor I de euclidische topologie en voor X I de product-topologie. Voorbeeld 1.2. Laat f, g : X R n twee continue afbeeldingen zijn, X een topologische ruimte, dan is H t (x) := ((1 t) f(x) + t g(x)) een continue afbeelding van X I naar R n, met H 0 (x) = f(x) en H 1 (x) = g(x), en dus is f g. Lemma 1.3. Homotopie is een equivalentierelatie. Bewijs. i) Voor elke continue afbeelding f : X Y is H t (x) := f(x) een continue afbeelding van X I naar Y en dus is f f. ii) Als f, g : X Y twee continue afbeeldingen zijn, met f g, dan is er een homotopie H, met H 0 = f en H 1 = g. Laat G t := H 1 t, dan is G een continue afbeelding, met G 0 = H 1 = g en G 1 = H 0 = f en dus is g f. iii) Als f, g, h : X Y continu, met f g en g h, dan zijn er homotopiën H tussen f en g en H tussen g en h, met H 0 = f, H 1 = g, H 0 = g en H 1 = h. Laat { H2t (x), voor 0 t 1/2 G t (x) := H 2t 1(x), voor 1/2 t 1, 9

10 dan is G een continue afbeelding, met G 0 = H 0 = f en G 1 = H 1 = h en dus is f h. In de homotopietheorie is men vaak alleen geïnteresseert in homotopie-klassen van continue afbeeldingen en men schrijft [f] voor de homotopie-klasse van een afbeelding f. Het is niet moeilijk in te zien, dat ook rela, met A een vaste deelruimte, een equivalentierelatie is, soms schrijven we daarom ook [f] A, voor de relatieve homotopie-klasse. We kunnen nu het begrip homotopie-equivalentie formeel definiëren: Definitie 1.4. Zij f : X Y een continue afbeelding tussen twee topologische ruimtes X en Y. Als er een continue afbeelding g : Y X bestaat, zodat: f g id Y, g f id X, dan noemen we f een homotopie-equivalentie. Als er een homotopie-equvalentie bestaat tussen twee ruimtes X en Y, dan noemen we deze homotopie-equivalent en schrijven X Y. Met deze definitie zien we dat twee ruimtes X en Y, die homeomorf zijn ook zeker homotopie-equivalent zijn. Het is ook duidelijk, dat dit andersom niet zo hoeft te zijn, bij voorbeeld is een gesloten n-bal D n homotopie-equivalent met een punt maar zeker niet homeomorf met een punt, voor n > 0. Het is makkelijk in te zien dat ook homotopie-equivalentie een equivalentierelatie is: Lemma 1.5. Homotopie-equivalentie is een equivalentierelatie. Bewijs. Het enige wat we echt na moeten gaan is dat voor X Y en Y Z ook geldt dat X Z: Als f : X Y, g : Y X, h : Y Z en k : Z Y afbeeldingen zijn, zodat f g id Y, g f id X, h k id Z en k h id Y, dan zijn g k : Z Y X en h f : X Y Z afbeeldingen, met (g k) (h f) id X en (h f) (g k) id Z. Definitie 1.6. Zij A X een deelruimte van X en i A : A X de inclusieafbeelding. Als r : X A een afbeelding is, waarvoor geldt dat r i A = id A, dan noemen we r een retractie. A heet een retract van X. Voorbeeld 1.7. Zij X 1 X 0... X := n X n een rij van topologische ruimtes, dan noemen we de ruimte X := n 1 X n [n 1, n] het telescoop. 10

11 Voor elke k is nu X k := X \( k n 1 X n [n 1, n)) een retract van X, door de retractie { (x, s), voor (x, s) X r k (x, s) := k (x, k), anders. Op deze manier vinden we, dat ook X een retract is van X. Voorbeeld 1.8. Elk punt x 0 X is een retract van X. Voorbeeld 1.9. De ruimte S n is géén retract van D n+1. Definitie Zij A X. Een deformatie-retractie van X naar A is een homotopie H tussen id X en i A r, met r : X A een retractie van X naar A. Als zo een deformatieretractie bestaat, dan noemen we A een deformatie-retract van X. Als er bovendien geldt, dat H de deelruimte A vast laat, dus dat H t A = id A, dan noemt men H een strikte deformatie-retractie en A een strikt deformatie-retract. Uit deze definitie blijkt, dat als A X een deformatie-retract is van X, dat dan A X en dat de inclusie i A en de retractie r homotopie-equivalenties zijn. In het voorbeeld 1.7 is elke retractie r k een homotopie-equivalentie van X naar X k, immers als i k : X k X de inclusie is, dan is H t := (1 t) i X k r k + t id X een homotopie tussen i k r k en id X en dus een (strikte) deformatie-retractie. Het volgende lemma zegt ons nu, dat X X 0 X 1... X: Lemma Twee topologische ruimtes X, Y zijn homotopie-equivalent, dan en slechts dan als er een ruimte Z bestaat, zodat X, Y Z deformatie-retracten zijn van Z. Bewijs. Stel er bestaat een ruimte Z, met X, Y Z deformatie-retracten van Z, dan zijn is X Z en Z Y. Omdat homotopie-equivalentie een equivalentierelatie is volgt hieruit, dat X Y. Als X Y, dan bestaat er een homotopie-equivalentie f : X Y. Laat nu Z := Y f (X I), de disjuncte vereniging van Y en X I zijn onder de identificatie f(x) (x, 1). 11

12 Laat verder r Y : Z Y de retractie, gegeven door r Y X I (x, s) := f(x) en r Y Y := id Y, en i X en i Y de inclusieafbeeldingen van X en Y. Dit geeft het volgende diagram: f X Y i X r Y Z We beweren dat X en Y deformatie-retracten zijn van Z. Het bewijs voor Y is vrij makkelijk. Bekijk hiervoor de homotopie H, met H t X I = H t (x, s) := (x, (1 t) + t s) en H t Y := id Y. Nu is H 0 X I (x, s) = (x, 1) = f(x) en H 1 X I (x, s) = (x, s) = id X I en dus is H 0 = i Y r Y en H 1 = id Z. Het bewijs, dat X een deformatie-retract van Z is is wat ingewikkelder en gebruikt het feit, dat Y een deformatie-retract van Z is en dat hiermee i Y een homotopie-equivalentie is: Omdat f en i Y homotopie-equivalenties zijn is ook i X i Y f een homotopie-equivalentie en er bestaat dus een continue afbeelding g : Z X, met i X g id Z en g i X id X. We willen nu een afbeelding r X vinden, r X g, waarvoor geldt, dat r X i X = id X. Laat hiervoor G : X I X de homotopie zijn, met G 0 = g i X en G 1 = id X. We definiëren de continue afbeelding G : ((X I) {0}) ((X {0}) I) X, door G 0 X I = g X I en G t X {0} = G t. i Y We bekijken nu de retractie r : I I ({0} I) (I {0}), door I I op te vatten als deelruimte van R 2 en lineair te projecteren vanuit het punt (2, 1): Als p 1 en p 2 de projecties zijn van I I I respectievelijk op de eerste en tweede coördinate, laat H : Z I X de continue afbeelding zijn gedefinieerd, door H t Y = g Y en 12

13 H t X I = H((x, s), t) = G ((x, p 2 r(t, s)), p 1 r(t, s)) { G = ((x, 0), p 1 r(t, s)), voor 0 s 1/2t G ((x, p 2 r(t, s)), 0), voor 1/2t s 1 { Gp1 = r(t,s)(x), voor 0 s 1/2t g(x, p 2 r(t, s)), voor 1/2t s 1. De afbeelding H is overal goed gedefinieerd en continu. We hebben nu een continue afbeelding r X := H 1 gevonden, die homotoop is met g = H 0. Bovendien vinden we, dat H t i X = H t X {0} = G p1 r(t,0) = G t, en dus dat r X i X = G 1 = id X. Hieruit volgt dat H een deformatie-retractie is en dus is ook X Z een deformatie-retract van Z. De ruimte Z noemt men ook de afbeeldingscilinder van de afbeelding f en schrijft deze als M f. Met een soortgelijke constructie, de afbeeldingskegel, zullen we nog vaker te maken krijgen in dit werkstuk: Definitie Voor een X een topologische ruimte, dan definiëren we de kegel van X door CX := (X I)/(X {0}). Zij f : X Y een continue afbeelding tussen twee topologische ruimtes. De afbeeldingskegel van f is de ruimte C f := Y f CX, de disjuncte vereniging van Y met CX onder de identificatie (x, 1) f(x). 13

14 Vaak is men geïnteresseerd erin of men een homotopie op een deelruimte A X uit kan breiden tot een homotopie op geheel X. Bij voorbeeld, wilden we in het vorige bewijs de homotopie G : X I X tussen de afbeeldingen g i X en id X uitbreiden tot een homotopie H : Z I X tussen g en een nieuwe afbeelding r X, waarbij r X de identiteit op X continue op Z voort moest zetten. Als we het bewijs nog even terugkijken, dan zien we dat de manier waarop H geconstrueerd is voor elke continue afbeelding g : Z W, met topologische ruimte W, en elke homotopie G : X I W, op dezelfde manier mogelijk geweest was. Blijkbaar is het bestaan van de uitbreiding H hier alléén maar afhankelijk van de manier waarop een deelruimte ingebed is. Dit leidt tot de volgende definitie: Definitie Een inclusieafbeelding i : A X heeft de homotopie-uitbreidingseigenschap respectievelijk een ruimte Y als er voor elke afbeelding f : X Y en elke homotopie G : A I Y van f A een homotopie H : X I Y van f bestaat, met H t i = G. Als i de homotopie-uitbreidings-eigenschap heeft respectievelijk elke ruimte Y dan noemen we i een covezeling. Met andere woorden, als i een covezeling is, dan bestaat er een afbeelding f f waarvoor geldt, dat f A = G 1 (voor G 0 = f A ). Met een paar veranderingen in het bewijs van lemma 1.11 zien we nu ook, dat de inclusie i X van X naar Z (de afbeeldingscilinder van de afbeelding f) een covezeling is en dat dit zelfs voor elke andere afbeelding f geldt. Het zelfde geldt voor de inclusie i Y in het bewijs van lemma We zullen dit hier niet bewijzen, maar het bewijs van het volgende lemma voor de afbeeldingskegel werkt in feite precies op dezelfde manier: Lemma Voor elke continue afbeelding f : X Y tussen twee topologische ruimtes is de inclusie i : Y C f een covezeling. Bewijs. Laat g : C f Z een willekeurige continue afbeelding zijn naar een topologische ruimte Z en G : Y I Z een homotopie van g Y, met G 0 = g Y. We willen nu laten zien dat er een homotopie H : C f I Z van g bestaat, zodat H t i = G t. We definiëren hiervoor de continue afbeelding G : (CX {0}) ((X {1}) I) Z, door G 0 CX = g CX en G t X {1} = G t f. Definieer verder de retractie r : I I (I {1}) ({0} I) door I I op te vatten als deelruimte van van R 2 en lineair te projecteren vanuit het punt (2, 0). 14

15 Laat nu H : C f I Z, met H t Y = G t en H t CX = H((x, s), t) = G ((x, p 2 r(t, s)), p 1 r(t, s)) { G = ((x, p 2 r(t, s)), 0), voor 0 s 1/2t + 1 G ((x, 1), p 1 r(t, s)), voor 1/2t + 1 s 1 { g(x, p2 r(t, s)), voor 0 s 1/2t + 1 = G p1 r(t,s) f(x), voor 1/2t + 1 s 1. Hierbij zijn p 1 en p 2 weer de projecties van I I I respectievelijk op de eerste en tweede coördinate. H is overal goed gedefinieerd en continu en bovendien is H t i = G t en H 0 = g. Het volgt dat de inclusieafbeelding i een covezeling is. Gepunteerde ruimtes en homotopiegroepen In de topologie spelen de elementen in de verzamelingen die we bekijken geen grote rol. Men is geïnteresseert in de structuur van een ruimte en die wordt bepaald door de deelverzamelingen die we open noemen en niet door de elementen in deze ruimte en hun eigenschappen. 15

16 Topologische ruimtes hebben over het algemeen dan ook geen oorsprong of eenheidselement of een nul zoals we dat uit vele andere bereiken van de wiskunde gewent zijn. Omdat dit juist in de algebraïsche topologie vaak nuttig blijkt te zijn kiest men soms ervoor met gepunteerde topologische ruimtes te werken. Het enige wat men daarbij doet is in elke ruimte een vast punt te kiezen, die men het basispunt noemt. Meestal schrijft men het basispunt van een ruimte X als x 0, een gepunteerde ruimte geeft men dan aan met (X, x 0 ). Als men in de klasse van gepunteerde topologische ruimtes werkt wil men bovendien, dat alle afbeeldingen een basispunt afbeelden op een basispunt en dat een homotopie het basispunt vast laat. Dit wil zeggen, als (X, x 0 ) en (Y, y 0 ) twee gepunteerde ruimtes zijn dan zijn we alleen geïnteresseert in alle continue afbeeldingen f : X Y, waarvoor geldt, dat f(x 0 ) = y 0. Deze afbeeldingen heten basispuntbehoudend. Als verder f, g : (X, x 0 ) (Y, y 0 ), dan noemen we deze homotoop, als f {x0 } g, dus als er een homotopie H : X I Y bestaat, waarvoor geldt dat H t (x 0 ) = y 0. Een belangrijk voorbeeld voor het nut van het kiezen van een basispunt zijn homotopiegroepen. We kunnen naamlijk aan een gepunteerde ruimte groepen relateren, die ons in staat stellen ruimtes van elkaar te onderscheiden, dit doen we op de volgende manier: Definitie Zij (X, x 0 ) een gepunteerde topologische ruimte. Voor n 1 definiëren we de n-de homotopiegroep π n ((X, x 0 )) van (X, x 0 ) als volgt: π n ((X, x 0 )) := {[γ] {1,0} γ : I n (X, x 0 ) continu, met γ( I n ) = x 0 }, waarbij we met I n de topologische rand van I n R n bedoelen en met [γ] {1,0} de relatieve homotopie-klasse van de n-dimensionale loop γ. De eerste homotopiegroep π 1 noemt men de fundamentaalgroep. Dit definieert inderdaad een groep, met als groepsbewerking een compositie van loops, dus voor [γ 1 ] en [γ 2 ] π n ((X, x 0 )) is [γ 1 ] [γ 2 ] := [γ 1 γ 2 ], met { γ1 (2t (γ 1 γ 2 )(t 1, t 2,..., t n ) = 1, t 2,..., t n ), voor 0 t 1 1/2 γ 2 (2t 1 1, t 2,..., t n ), voor 1/2 t 1 1. Het eenheidselement is de constante loop [e](t 1, t 2,.., t n ) := x o, voor alle (t 1, t 2,.., t n ) I n en voor elk element [γ] π n ((X, x 0 )) is [γ] 1 (t 1, t 2,..., t n ) := [γ](1 t 1, t 2,..., t n ) het inverse element. We zullen dit hier niet bewijzen. Opmerking. Als x 0, x 1 X, en er bestaat een pad σ : I X in X tussen x 0 en x 1, dan is π n (X, x 0 ) = π n (X, x 1 ), door een loop [γ] π n (X, x 0 ) af te beelden op de loop [σ γ σ 1 ], waarbij σ gegeven wordt, door σ (t 1, t 2,.., t n ) := σ(t 1 ). Als we in de n-sfeer S n een basispunt s 0 kiezen, bij voorbeeld het punt (1, 0, 0..., 0), kunnen we π n ((X, x 0 )) ook definiëren als de verzameling, van alle homotopie-klassen van basispuntbehoudende afbeeldingen van S n naar X: π n ((X, x 0 )) := {[γ] γ : (S n, s 0 ) (X, x 0 )}. 16

17 Met deze definitie kunnen we ook een nulde homotopiegroep π 0 definiëren, dit is echter geen groep, maar komt gewoon overeen met het aantal wegsamenhangscomponenten van een topologischeruimte X. In princiepe kan men zeggen dat de fundamentaalgroep gaten telt en π 2 afgesloten luchtbubbles, homotopiegroepen zijn echter veel ingewikkelder dan dit en het is één van de belangrijkste doelen in de homotopie-theorie om alle homotopiegroepen π i (S n ), met i > n, te kunnen berekenen. Voorbeeld De loop [γ] : S 1 S 1, door γ(x) = x is de enige voortbrenger van de groep π 1 (S 1 ), bovendien is duidelijk, dat er geen n > 0 bestaat, zodat [γ] n = s 0. De fundamentaalgroep van S 1 is dus isomorf met Z. Voorbeeld De fundamentaalgroep van de torus S 1 S 1 is isomorf met Z Z. De loops [γ 1 ], [γ 2 ] : S 1 S 1 S 1, gegeven door, γ 1 (x) := (x, s 0 ) en γ 2 (x) = (s 0, x) zijn de twee voortbrengers van π 1 (S 1 S 1 ). [γ 1 ] en [γ 2 ] commuteren, want als we de torus bekijken als het rechthoek I I, onder de identificatie (t, 0) (t, 1) en (0, t) (1, t) (met als basispunt het punt (0, 0)) en vervolgens in een richting op de rand rond het rechthoek lopen is dit een loop, naamlijk de loop [γ 1 ] [γ 2 ] [γ 1 ] 1 [γ 2 ] 1. Dit is de commutator van de twee voortbrengers en we zien bovendien nu ook, dat deze loop homotoop is met de constante loop en [γ 1 ] en [γ 2 ] commuteren. Twee wegsamenhangende ruimtes, die verschillende homotopiegroepen hebben zijn niet homotoop, en dus ook niet homeomorf. Andersom geldt voor twee homotopie-equivalente ruimtes X en Y met f : X Y een homotopie-equivalentie dat π n (X, x 0 ) = π n (Y, f(x 0 )). We geven nu nog een paar conventies voor gepunteerde ruimtes en wat standaard constructies, die in sommige bewijzen voor zullen komen. Ten eerste geven we twee handige operaties op topologische ruimtes, de wig-som en het wig-product, die we vaak zullen gebruiken: wig-som: Voor x X, y Y willekeurig is de wig-som van X en Y gedefinieerd als de ruimte X Y := X Y/{x, y}. De wig-som is dus de disjuncte vereniging van X met Y onder de identificatie x y. wig-product: Voor x X, y Y willekeurig is de wig-product van X en Y gedefinieerd als de ruimte X Y := (X Y )/(X Y ) = (X Y )/(X Y/{x, y}). 17

18 Als X en Y gepunteerde topologische ruimtes zijn en het niet anders is aangegeven, dan nemen we voor x X en y Y in de definitie van de wig-som altijd de basispunten van X en Y. Soms zien we de constructie X + := X {pt.}, de disjuncte vereniging van een topologische ruimte X met één extra punt. In dit geval delen we in het wig-product met een andere ruimte Y altijd uit naar het extra punt van X, dus X + Y := (X Y )/(X y). Zoals al eerder opgemerkt noemen we twee basispuntbehoudende afbeeldingen f, g : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) homotoop, als er een homotopie H tussen f en g bestaat, die het basispunt vast laat, dit betekend, H is een continue afbeelding van (X, x 0 ) I + naar (Y, y 0 ), met H 0 = f en H 1 = g. Het basispunt van een pruductruimte (X, x 0 ) (Y, y 0 ) wordt gegeven door (x 0, y 0 ) en voor het eenheidsinterval I nemen we in de meeste gevallen het punt 0 als het basispunt. In gepunteerde ruimtes zijn de afbeeldingskegel en afbeeldingscilinder daarom iets anders gedefinieerd: afbeeldingskegel: Zij f : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) een basispuntbehoudende afbeelding tussen twee gepunteerde topologische ruimtes, dan definiëren we de afbeeldingskegel van f als de ruimte C f := Y f CX/({x 0 } [0, 1]), met basispunt f(x 0 ) = y 0. afbeeldingscilinder: Zij f : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) een basispuntbehoudende afbeelding tussen twee gepunteerde topologische ruimtes, dan definiëren we de afbeeldingscilinder van f als de ruimte M f := Y f (X I)/({x 0 } [0, 1]), met basispunt f(x 0 ) = y 0. telescoop: Zij {x 0 } =: X 1 X 0... X := n X n, een rij van gepunteerde topologische ruimtes, dan defini ren we het telescoop van X als de gepunteerde ruimte X := n 1 X n [n 1, n] + = n 1 (X n [n 1, n]/{x 0 }), met basispunt x 0. 18

19 Lemma 1.14 geldt ook voor gepunteerde topologische ruimtes en de net gegeven definitie van C f, we moeten dan echter wat aanpassingen maken in het bewijs, omdat nu (x 0, t) y 0 : Lemma Voor elke continue, basispuntbehoudende afbeelding f : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) tussen twee gepunteerde topologische ruimtes is de inclusie i : Y C f een covezeling. Bewijs. De afbeelding G blijft hetzelfde als in het bewijs van lemma 1.14, naamlijk G : (CX {0}) ((X {1}) I) Z, met G 0 CX = g CX en G t X {1} = G t f, waarbij g : C f (Z, z 0 ) nu een basispuntbehoudende afbeelding is en de homotopie G een afbeelding van (Y, y 0 ) I + naar (Z, z 0 ). We moeten nu de volgende dingen aanpassen in het bewijs: We definiëren nu de retractie r iets anders: r : I I (I {1}) ({0} I) (I {0}), door I I weer op te vatten als deelruimte van R 2 en nu te projecteren vanuit het punt (2, 1/2). De homotopie H wordt nu: H : (C f, y 0 ) I + (Z, z 0 ), met H t Y = G t en 19

20 H t CX = H((x, s), t) = G ((x, p 2 r(t, s)), p 1 r(t, s)) = = G ((x, 0), p 1 r(t, s)), voor 0 s 1/4t G ((x, p 2 r(t, s)), 0), voor 1/4t s 1/4t + 1 G ((x, 1), p 1 r(t, s)), voor 1/4t + 1 s 1 G p1 r(t,s) f(x), voor 0 s 1/4t g(x, p 2 r(t, s)), voor 1/4t s 1/4t + 1 G p1 r(t,s) f(x), voor 1/4t + 1 s CW-complexen We komen nu tot een klasse van topologische ruimtes, die men CW-complexen noemt. We hebben al in de inleiding van dit hoofdstuk uitgelegd, dat C voor closure-finite en W voor weak topology staat en dat CW-complexen inductief gemaakt zijn van cellen. We zullen hier proberen dit wat preciezer te maken. Hiervoor geven we eerst een soort bouwplan voor CW-complexen om er een gevoel voor te krijgen en vervolgens een formele definitie. Om te beginnen hebben we echter nog de precieze definitie van een cel en de zwakke topologie nodig: Definitie Voor n 0 noemen we een topologische ruimte, die homeomorf is met een open n-schijf (D n ) := D n \S n 1 = {x R n x < 1} R n een (open) n-cel en schrijven deze als e n. Definitie Zij X een verzameling en {A j } j J van X, zodat: i) X := j A j, een collectie van deelverzamelingen ii) voor elke j J is A j een topologische ruimte, iii) voor i, j J induceren A i en A j dezelfde topologie op A i A j en A i A j is gesloten in A i en A j, 20

21 dan definiëren we de zwakke topologie, als volgt: Een deelverzameling A X is open/gesloten dan en slechts dan als voor elke j J geldt dat A A j open/gesloten is in A j. Op deze manier wordt de verzameling X een topologische ruimte. Nu zijn we klaar om op een intuïtieve manier uit te leggen wat een CW-complex is: 1. We beginnen met een discrete verzameling van 0-cellen. Deze verzameling noemen we het 0-skelet van X en schrijven X Het n-skelet van X maken we vervolgens inductief door n-cellen e n α = Dα\S n α n 1 aan te plakken aan het (n-1)-skelet van X. Dit doen we doormiddel van continue afbeeldingen ψ α : Sα n 1 X n 1. X n is dus de quoitiëntruimte van de disjuncte vereniging X n 1 α Dn α onder de identificatie ψ α (x) x. 3. De CW-complex X is nu de vereniging van al deze n-skeletten, dus X := n Xn, samen met de zwakke topologie ten opzicht van de collectie {e n α ψ α (Sα n 1 )} α A van alle gesloten cellen in X. Het enige wat in deze constructie ontbreekt is het woord closure-finite. Zoals al eerder opgemerkt geeft dit een restrictie op de manier waarop een CW-complex opgebouwd mag zijn: Om een ruimte X, zoals we hem net geconstrueerd hebben, een CW-complex te noemen moet gelden, dat elke e n α ψ α (S n 1 α van cellen in X. Deze eigenschap noemt men dan closure-finite. Hier zijn een paar voorbeelden van CW-complexen: ) maar bevat mag zijn in een eindige vereniging Voorbeeld Elke n-schijf S n R n+1, met de (geinduceerde) euclidische topologie is een CW-complex met één 0-cel en één n-cel, immers S n \D 0 = (D n ). Voorbeeld Een torus, met de euclidische topologie is een CW-complex, met één 0- cel, twee 1-cellen en één 2-cel. We hebben nu enig gevoel ervoor hoe een CW-complex opgebouwd is en willen nu een formele definitie van deze topologische ruimtes construeren. We beginnen met een wat algemenere definitie van het begrip n-skelet. Definitie Zij X een toplogische ruimte en laat C := {e k α k Z 0, α A} een collectie cellen in X zijn (A een indexverzameling), zodat X te schrijven is als de disjuncte vereniging van de cellen in C. We noemen de deelruimte X n := α A,k n ek α het n-skelet van X (ten opzicht van C). Als X kunnen we X altijd schrijven als de disjuncte vereniging van een collectie cellen, immers elke één-punts-verzameling {x} X is homeomorf met (D 0 ) = D 0. Het is ook duidelijk dat het n-skelet van een ruimte X zeker niet uniek is maar afhankelijk van de collectie C. 21

22 Definitie Zij X een topologische ruimte, die te schrijven is als de disjuncte vereniging van een collectie C van cellen en zij e n α C een n-cel uit deze collectie. Als Ψ α : D n X een continue afbeelding is, waarvoor geldt dat Ψ α (S n 1 ) X n 1 en D n \S n 1 = e n α via Ψ α, dan noemen we Ψ α een karakteristieke afbeelding van e n α. De afbeeldingen ψ α, die we eerder, in het bouwplan gebruikt hebben om n-cellen aan te plakken aan het (n-1)-skelet, zijn in feite beperkingen van karakteristieke afbeeldingen Ψ α : D n α X n 1 α Dn α X n X. Als X een Hausdorffruimte is vinden we onder andere dat het beeld van een karakteristieke afbeelding gelijk is aan de afsluiting van de corresponderende cel: Stelling Zij X een Hausdorffruimte, die te schrijven is als de disjuncte vereniging van een collectie C van cellen. Als Ψ α : D n X een karakteristieke afbeelding is van een n-cel e n α C, dan is Ψ α (D n ) = e n α en Ψ α (S n 1 ) = e n α\e n α. Bewijs. Omdat Ψ α een continue afbeelding is volgt dat Ψ α (D n ) e n α. Verder is D n compact en dus is ook Ψ α (D n ) compact. Omdat X een Hausdorffruimte is volgt dat Ψ α (D n ) gesloten is in X en omdat e n α Ψ α (D n ) is e n α Ψ α (D n ) en is dus Ψ α (D n ) = e n α. Verder vinden we, omdat Ψ α (S n 1 ) X n 1 en e n α X n 1 = dat ook e n α Ψ α (S n 1 ) = en dus volgt uit dat Ψ α (S n 1 ) = e n α\e n α. Ψ α (S n 1 ) e n α = Ψ α (S n 1 ) Ψ α ((D n ) ) = Ψ α (D n ) = e n α, Men noemt e n α\e n α ook de rand van de cel e n α, maar deze is over het algemeen niet gelijk aan de topologische rand van e n α, immers een cel hoeft niet open te zijn in X. Een n-cel e n is echter wel open in het n-skelet X n van X. We kunnen nu een formele definitie geven voor CW-complexen: Definitie Een topologische Hausdorffruimte X heet een CW-complex, als er een collectie C := {e k α k Z 0, α A} van cellen in X bestaat, zodat geldt: i) X is de disjuncte vereniging van alle cellen in C, ii) voor elke cel e α C bestaat er een karakteristieke afbeelding Ψ α, iii) de afsluiting e α van elke cel e α C is bevat in een eindige vereniging van cellen ( cosure-finite ), iv) X heeft de zwakke topologie ten opzicht van de collectie { e α } α A van alle afsluitingen van cellen e α C ( weak topology ). De zwakke topologie betekend hier dus, dat een deelverzameling A X open/gesloten is in X d.e.s.d.a. voor elke e α C geldt dat A e α open/gesloten is in e α d.e.s.d.a. voor elke e α C en karakteristieke afbeelding Ψ α geldt dat Ψ 1 α (A e α ) open/gesloten is in Ψ 1 α ( e α ) = D n. 22

23 Definitie Zij X een CW-complex en A X een gesloten deelverzameling. Als A een vereniging van cellen in X is, dan noemen we A een deelcomplex van X en (X, A) een CW-paar. Het product X Y van twee CW-complexen X, Y is weer een CW-complex. De topologie van X Y als CW-complex is in veel gevallen gelijk aan de producttopologie, maar kan fijner zijn als X Y overaftelbaar veel cellen heeft. Als (X, A) een CW-paar is, dan is X/A ook een CW-complex. Hiermee zijn X Y := X Y/{x, y} en X Y := (X Y )/(X Y/{x, y}) CWcomplexen als x en y 0-cellen zijn in de CW-complexen X respectievelijk Y. Het telescoop, zoals we het gedefinieerd hebben in voorbeeld 1.7 en in het gedeelte over gepunteerde ruimtes, is een CW-complex, als (X n 1, X n ) een CW-paar is, voor elke n 0. Lastiger is het met de afbeeldingscilinder en de afbeeldingskegel, het is echter duidelijk, dat niet voor elke afbeelding f : X Y tussen CW-complexen geldt, dat f(x) Y weer een deelcomplex is. Dit is wel het geval als f een cellulaire afbeelding is: Definitie Een continue afbeelding f : X Y tussen twee CW-complexen, waarvoor geldt dat f(x n ) Y n voor elke n 0 heet een cellulaire afbeelding. De afbeeldingscilinder M f en de afbeeldingskegel C f zijn dus CW-complexen, als f een cellulaire afbeelding is. Volgens de cellulaire benaderingsstelling kunnen we voor elke afbeelding tussen CW-complexen een homotope afbeelding vinden, die cellulair is: Stelling 1.29 (cellulaire benadering). Zij f : X Y een afbeelding tussen twee CWcomplexen X en Y, dan bestaat er een homotopie H : X I Y, met H 0 = f en H 1 een cellulaire afbeelding. Als A X een deelcomplex is, zodat f A cellulair is, dan kunnen we bovendien de homotopie H zo kiezen, dat H t A = f A voor alle t I. We zullen deze stelling niet bewijzen, maar we hebben hem wel nodig in het bewijs van de stelling van Brown, in hoofdstuk 3. Omdat we dan alleen nog met gepunteerde CWcomplexen werken zij nog opgemerkt, dat we, volgens het tweede deel van stelling 1.29, ook voor elke basispuntbehoudende afbeelding een homotope cellulaire afbeelding kunnen vinden. De volgende handige stelling kunnen we met behulp van de cellulaire benaderingsstelling bewijzen. Stelling Als X een CW-complex is en X k het k-skelet van X, dan is π n (X) = π n (X k ) voor alle n < k. Bewijs. De afbeelding i : π n (X k ) π n (X), gedefinieerd door i ([α]) := [i α], met i de inclusie, is een groepshomomorfisme, we zullen dit hier niet aantonen. We beweren, dat i bijectief is voor n < k. Voor de injectieviteit laat [α] π n (X k ), met i ([α]) := [i α] = [0]. We mogen aannemen, dat de representant α : S n X k cellulair is. Omdat i α homotoop is met de constante afbeelding, bestaat er een afbeelding β : D n 1 X, met β S n = i α cellulair. Volgens stelling 1.29 bestaat er verder een cellulaire afbeelding β : D n+1 X, met β rels n β. Nu is β (D n+1 ) = β ((D n+1 ) k ) X k en dus is β : D n+1 X k, met β S = α. Het volgt n 23

24 dat [α] = [0] π n (X k ). Om te laten zien, dat i surjectief is, laat [β] π n (X). We mogen aannemen, dat de representant β : S n X cellulair is. Dit betekent, dat β(s n ) = β((s n ) k ) X k en dus is β een afbeelding van S n naar X k en is [β] π n (X k ). Als X een CW-complex is, dan is X n homeomorf met X n 1 α CSn 1 α = X n 1 α Dn α onder de identificatie Ψ α S n 1(x) = ψ α (x) (x, 1). Dit betekend dat elke X n homeo- α Sn 1 morf is met X n 1 ϕn ( α Dn α), waarbij de afbeelding ϕ n : α X n 1 gegeven wordt door ϕ n S n 1 := ψ α α. Nu is het niet moeilijk in te zien, dat de inclusieafbeelding i : X n 1 X n 1 ϕn ( α CSn 1 α ) een covezeling is. Immers uit lemma 1.14 volgt dat i α : X n 1 X n 1 ψα CSα n 1 = C ψα een covezeling is, voor elke α, en dus bestaat er voor elke homotopie G : X n 1 I Z, naar een ruimte Z een homotopie H α, die G uitbreidt tot C ψα. Het is duidelijk, dat men G uit kan breiden tot een homotopie H : (X n 1 ϕn ( α CSn 1 α )) I Z, gegeven door H X n 1 := G en H CS n 1 α := H α. Als nu (X, A) een CW-paar is vinden we op een soortgelijke manier, dat i : A X een covezeling is: Propositie Als (X, A) een CW-paar is dan is de inclusieafbeelding i : A X een covezeling. Bewijs. Schrijf A := (X, A) 1 (X, A) 0 (X, A) 1... X, waarbij elke (X, A) n verkregen wordt door aan (X, A) n 1 n-cellen toe te voegen en X = n 1 (X, A)n. Dit betekend, dat (X, A) n = (X, A) n 1 ϕn ( α CSn 1 α ), met ϕ n S n 1 := ψ α α. Zij nu f : X Z een continue afbeelding van X naar een topologische ruimte Z en G : A I Z een homotopie van f A. Zoals hier voor uitgelegd volgt uit lemma 1.14, dat elke inclusie i n 1 : (X, A) n 1 (X, A) n een covezeling is. Voor H 1 := G kunnen we dus inductief homotopiën H n : ((X, A) n 1 ϕn ( α CSn 1 α )) I = (X, A) n I Z vinden, zodat H n t (X,A) = H n 1 n 1 t en H0 n = f (X,A) n, voor alle n 0. We definieren nu de afbeelding H : X I Y, door H t (X,A) n := Ht n. H is continu en overal goed gedefinieerd. Verder is H 0 = f en H t i = G t en dus is i een covezeling. Deze propositie geeft ons dat we als (X, A) een CW-paar is altijd een homotopie H kunnen vinden zodat het volgende diagram commuteert: id A 0 i A X f Y G H i id I A I X I id X 0 CW-complexen hebben door hun celstructuur vele handige homotopie-eigenschappen. Een andere is bij voorbeeld, dat we, als we een commutatief diagram 24

25 A g Y i f X h Y hebben, met (A, X) een CW-paar en als de afbeelding f aan een paar eisen voldoet, we de afbeelding g altijd kunnen uitbreiden tot een afbeelding h : X Y, zodat h A = g en f h h. Voordat we dit kunnen aantonen maken we eerst een tussenstap met X = D n en A = S n 1. Lemma Zij f : (Y, y 0 ) (Y, y 0) een afbeelding, zodat f : π n (Y, y 0 ) π n (Y, y 0), voor elke [α] π n (Y, y 0 ) gedefinieerd door f ([α]) := [f α] π n (Y, y 0), een bijectie is voor alle n 0. Voor elk tweetal afbeeldingen g : S k 1 Y en h : D k Y, met h S k 1 = f g bestaat er een afbeelding h : D k Y, met h S k 1 = g en f h rela h. Bewijs. We hebben f g = h i, met i : S k 1 D k de inclusie. h i is homotoop met de constante afbeelding, en dus is f ([g]) := [f g] = [0] π k 1 (Y ). De afbeelding f is een bijectie en dus is [g] = [0] π k 1 (Y ) en g is homotoop met de constante afbeelding. Dit betekend, dat er een afbeelding h : D k Y bestaat, met h = g. We willen nu S k 1 laten zien, dat f h h. Definieer hiervoor de afbeelding G : S k = D k (0) D(1) k Y, met D(0) k en Dk (1) twee copiën van Dk, door G D k (0) := h en G D k (1) := f h. G is overal goed gedefinieerd, want h S k 1 = f g = f h. S k 1 Stel nu G is homotoop met de constante afbeelding, dan bestaat er een continue afbeelding H : D k+1 Y, met H S k 1 = G. Nu is D k+1 D(0) k (Dk I) D(1) k = Dk I en dus is H 0 = H D k (0) = G D k (0) = h en H 1 = H D k (1) = f h. Bovendien is duidelijk, dat H t S k 1 = f g en dus is f h rels k 1 h. Als G niet homotoop is met de constante afbeelding, dan bestaat er een continue afbeelding G Y : S k Y, met f ([G Y ]) := [f G Y ] = [G] 1. We definiëren een nieuwe afbeelding h : D k D k S k Y, door h := h en h := G D k S k Y. Als nu G : S k = D k (0) D(1) k Y de afbeelding is, met G := h en G := f h, dan D(0) k D(1) k is [G ] = [G] [G Y ] = [G] [G] 1 = [0]. Het volgt, dat G homotoop is met de constante afbeelding, en we zoals eerder een homotopie H tussen h en f h kunnen vinden. Zoals we al hebben gezien is, voor een CW-complex X, elk n-skelet X n homeomorf met X n 1 ϕn ( α Dn α). Het is nu makkelijk in te zien, dat we in het vorige lemma S n 1 mogen vervangen door X n 1 en D n door X n = X n 1 ϕn ( α Dn α). Immers, voor elk tweetal afbeeldingen g : X n 1 Y en h α : X n 1 ψα D n α Y bestaat er een afbeelding h α : X n 1 ψα D n α Y en dus is h : X n 1 ϕn ( α Dn α) Y, gedefinieerd door h D n α := h α, de gezochte afbeelding. Stelling Zij f : (Y, y 0 ) (Y, y 0) een afbeelding, zodat f : π n (Y, y 0 ) π n (Y, y 0), voor elke [α] π n (Y, y 0 ) gedefinieerd door f ([α]) := [f α] π n (Y, y 0), een bijectie is 25

26 voor alle n 0. Zij verder (X, A) een CW-paar. Voor elk tweetal afbeeldingen g : A Y en h : X Y, met h A = f g bestaat er een afbeelding h : X Y, met h A = g en f h rela h. Bewijs. We schrijven weer A := (X, A) 1 (X, A) 0 (X, A) 1... X, zoals in het bewijs van propositie 1.31: elke (X, A) n wordt verkregen door aan (X, A) n 1 n-cellen toe te voegen en X = n 1 (X, A)n, zodat (X, A) n = (X, A) n 1 ϕn ( α Dn α). We schrijven verder h n := h (X,A) n. Met de voorafgaande opmerkingen en met behulp van lemma 1.32 kunnen we voor h 1 := g inductief afbeeldingen h n : (X, A) n 1 ϕn ( α Dn α) = (X, A) n Y vinden, zodat h n (X,A) = h n 1 n 1 en waarvoor bovendien geldt, dat h n A = g en f h n h n, voor alle n 0. Dit is mogelijk, omdat de inclusie i n 1 : (X, A) n 1 (X, A) n een covezeling is, voor elke n 0 (propositie 1.31). Laat Ht 1 := f g = f h 1 = h A, dan kunnen we voor elke h n 1 : (X, A) n 1 Y, met f h n 1 h n 1 = h n (X,A) n 1 een homotopie H n : (X, A) n I Y vinden, zodat H0 n = h n en H n t (X,A) = H n 1 n 1 t. Nu is dus H n 1 (X,A) = f h n 1 n 1 en het volgende diagram commuteert voor elke n 0: (X, A) n 1 i n 1 (X, A) n h n 1 h n H n 1 hn Y f Y We kunnen dus voor elke n 0 inductief een nieuwe h n vinden, met de nodige eigenschappen. Omdat... = Ht A n =... = H0 t A = H 1 t := f g is bovendien f h n rela h n, voor elke n 1. We definiëren nu de afbeelding h : X Y door h (X,A) := h n. h is overal n goed gedefinieerd en h A = h 1 := g en f h rela h. In hoofdstuk 3 zullen we alleen maar met gepunteerde CW-complexen werken, daarom willen we nog wat opmerkingen maken over de vorige stellingen: Stelling 1.33 geldt ook als we met gepunteerde CW-complexen werken, mits het basispunt van X ook bevat is in A. Immers als (X, A, x 0 ) een CW-paar is en g en h gepunteerde afbeeldingen, dan bestaat er volgens de stelling een afbeelding h, met h A = g en dus is h (x 0 ) = g(x 0 ) = y 0. Verder is de homotopie tussen f h en h relatief A en dus ook relatief x 0 A. Dit geeft ons: Gevolg Zij f : (Y, y 0 ) (Y, y 0) een afbeelding, zodat f : π n (Y, y 0 ) π n (Y, y 0), voor elke [α] π n (Y, y 0 ) gedefinieerd door f ([α]) := [f α] π n (Y, y 0), een bijectie is voor alle n 0. Zij verder (X, A, x 0 ) een CW-paar. Voor elk tweetal basispuntbehoudende afbeeldingen g : (A, x 0 ) (Y, y 0 ) en h : (X, x 0 ) (Y, y 0), met h A = f g bestaat er een afbeelding h : X Y, met h A = g en f h rela h. 26

27 Analoog hieraan vinden we ook, dat propositie 1.31 voor gepunteerde CW-complexen geldt, als het basispunt x 0 van X bevat is in het deelcomplex A. Hiervoor merken we op, dat als (X, x 0 ) wegsamenhangend is we voor elke karakteristieke afbeelding Ψ α : D n X een basispuntbehoudende afbeelding Ψ α : (D n, ) (X, x 0 ) kunnen vinden, die homotoop is met Ψ. Elk n-skelet X n van X is dus homotopie-equivalent met X n 1 (C α Sn 1 α ) onder de identificatie Ψ α S (x) = ψ α(x) (x, 1). Dit betekend, dat elke X n homotopie- n 1 equivalent is met X n 1 ϕ n de afbeelding gegeven door ϕ n Sα n 1 sie i : X n 1 X n 1 ϕ n (C α Sn 1 (C α Sn 1 α ) := C ϕ n, met ϕ n : ( α Sn 1 α, ) (X n 1, x 0 ) := ψ α. Uit lemma 1.18 volgt nu dat, de inclu- α ) := C ϕ n een covezeling is. Propositie Als (X, x 0 ) een gepunteerd CW-complex is, met (X, A, x 0 ) een CW-paar, dan is i : A X een covezeling. Bewijs. Het is voldoende om dit lemma te bewijzen voor X wegsamenhangend, immers als X niet wegsamenhangend is, dan kunnen we op alle wegsamenhangscomponenten van X, die niet het basispunt bevatten gewoon propositie 1.31 toepassen. We schrijven (A, x 0 ) := (X, A, x 0 ) 1 (X, A, x 0 ) 0... k (X, A, x 0) k =: (X, x 0 ) zoals in het bewijs van Nu is (X, A, x 0 ) n (X, A, x 0 ) n 1 ϕ n (C α Sn 1 α ) := C ϕ n, voor elke n 1, met ϕ n zoals boven uitgelegd. Als nu f : (X, x 0 ) (Z, z 0 ) een basispuntbehoudende afbeelding is en G : (A, x 0 ) I + (Z, z 0 ) een homotopie van f A, dan kunnen we met lemma 1.18 op dezelfde manier als in het bewijs van propositie 1.31 inductief homotopiën H n : C ϕ n I + (X, A, x 0 ) n I + (Z, z 0 ) vinden en vervolgens net zo een homotopie H : (X, x 0 ) n I + (Z, z 0 ) definiëren, door H t (X,A,x0 ) n := Hn t. In het volgende hoofdstuk zullen we klein uitstapje maken naar de categoriëntheorie. 27

28 Hoofdstuk 2 Categoriëntheorie In dit hoofdstuk zullen we een korte invoering geven in enkele concepten en begrippen uit de categoriëntheorie. Dit zal nodig zijn om Brown s stelling te begrijpen. Een categorie is een klasse van objecten - zoals bij voorbeeld groepen of topologische ruimtes - samen met verzamelingen van afbeeldingen tussen deze objecten. In werden categoriën voor het eerst ingevoerd door Samuel Eilenberg en Saunders Mac Lane. Dit gebeurde in verband met hun werk in de algebraische topologie. In de algebraische topologie probeert men topologische problemen te vertalen naar de algebra en op deze manier tot oplossingen te komen. Bij deze vertaling wil men zo weinig als mogelijk informatie kwijt raken en het is daarom belangrijk de oorspronkelijke structuren, in die men geinteresseerd is, op een slimme manier aan structuren in de algebra te relateren. In het vorige hoofdstuk hebben we in feite al zo een vertaling uitgevoerd, naamlijk door homotopiegroepen te relateren aan topologische ruimtes. Categoriëntheorie bevat zich op een algemene en abstracte manier met wiskundige structuren en met het vertalen van concepten tussen verschillende disciplines. Bij voorbeeld is het voor de hand liggend een isomorfisme tussen groepen te vergelijken met een homeomorfisme tussen topologische ruimtes. De categoriëntheorie geeft ons hiervoor de nodige gereedschap en taal. We zullen nu een formele definitie van een categorie geven: Definitie 2.1. Een categorie C bestaat uit i) een klasse van objecten Ob(C), ii) voor elk tweetal objecten X, Y Ob(C) een verzameling van morfismen mor C (X, Y ), iii) een (associatieve) samenstelling van morfismen: : mor C (X, Y ) mor C (Y, Z) mor C (X, Z) (f, g) g f, 28

29 iv) voor elk object X Ob(C) een identiteitsmorfisme id X eigenschap dat: mor C (X, X), met de id X f = f, f mor C (Y, X) f id X = f, f mor C (X, Y ). Voorbeelden voor categoriën zijn zoals eerder obgemerkt de categorie van alle groepen, die we schrijven als Gr en de categorie van alle topologische ruimtes Top. De objecten van deze categoriën liggen voor de hand. De morfismen in Gr zijn groepshomomorfismen en in Top continue afbeeldingen tussen topologische ruimtes. Hier zijn wat meer voorbeelden: Voorbeeld 2.2. In de categorie Set zijn de objecten verzamelingen en de morfismen afbeeldingen tussen verzamelingen. Voorbeeld 2.3. HoTop is de categorie van topologische ruimtes, waarbij de morfismen hier gegeven worden door homotopie-klassen van continue functie. We schrijven dan ook vaak [X, Y ] voor de morfismen van X HoTop naar Y HoTop. Opmerking. Ter eenvoudigheid zullen we, vooral later, vaak X C schrijven in plaats van X Ob(C). Als dit verder niet tot verwarring leidt schrijven we net zo soms f C in plaats van f mor C (X, Y ). Voorbeeld 2.4. De categorie Top heeft als objecten gepunteerde topologische ruimtes, zoals we ze in hoofdstuk 1 besproken hebben. Een object in Top is dus van de vorm (X, x 0 ), waarbij X Ob(Top) en x 0 X het basispunt is. De morfismen zijn dan alle basispuntbehoudende continue afbeeldingen tussen deze ruimtes. We kunnen het idee van een basispunt ook op andere categoriën uitbreiden: Voorbeeld 2.5. De categorie Set heeft als objecten gepunteerde verzamelingen. Net zo als bij Top zijn de objecten in Set van de vorm (X, x 0 ), waarbij X Ob(Set) en x 0 X een vast gekozen punt is, een basispunt. De morfismen zijn dan basispuntbehoudende afbeeldingen tussen deze verzamelingen. Net zo als in Top bedoelen we hiermee afbeeldingen f mor Set (X, Y ), zodat geldt f(x 0 ) = y 0, voor x 0 het basispunt van X en y 0 het basispunt van Y. In hoofdstuk 3 zullen we met de volgende categorie werken: Voorbeeld 2.6. HoCW is de categorie van gepunteerde CW-complexen. De morfismen in HoCW zijn homotopie-klassen van continue basispuntbehoudende functies. Zoals we al eerder hebben opgemerkt in het gedeelte over gepunteerde topologische ruimtes, nemen we aan dat een homotopie tussen basispuntbehoudende afbeeldingen het basispunt vast laat. 29

30 Het kiezen van een vast basispunt kan onder andere dan handig zijn als men een vertaling door wil voeren naar of van een categorie, waar een basispunt vereist is. Bij voorbeeld hebben alle objecten in de categorie Gr een basispunt, naamlijk het eenheidselement en de morfismen in Gr zijn basispuntbehoudend. Voordat we straks zien hoe we precies tussen categoriën kunnen vertalen, geven we nog een algemene, categoriëntheoretische, definitie van het concept isomorfisme, dat we (onder andere) uit de groepentheorie, kennen. Definitie 2.7. Zij C een categorie. Een morfisme f mor C (X, Y ) heet een isomorfisme, als er een g mor C (Y, X) bestaan, zodat: f g = id Y g f = id X Als er een isomorfisme f tussen twee objecten X, Y Ob(C) bestaat noemen we X en Y equivalent of isomorf en schrijven X = Y. Het is duidelijk dat dit overeenkomt met de definities, die we uit de (lineaire) algebra, topologie, verzamelingenleer en vele andere wiskundige gebieden kennen, we zullen daarom niet te lang stil staan bij deze definitie. We willen echter wel opmerken, dat er een duidelijk verschil is tussen de isomorfismen in Top en in HoTop. In de catergorie Top zijn de isomorfismen natuurlijk homeomorfismen, maar in de categorie HoTop zin twee objecten X en Y equivalent als ze homotopie-equivalent zijn. In hoofdstuk 3 werken we voornamelijk in de categorie HoCW, maar we zullen ook in het vervolg aan de eerder gegeven notatie voor homotopie-equivalente ruimtes vast houden en = alleen gebruiken voor homeomorfe ruimtes. We hebben nu enig idee hoe in de categoriëntheorie over wiskundige structuren nagedacht wordt, maar we willen ook in staat zijn deze structuren aan elkaar te relateren. Een functor is een voorschrift die ons formeel in staat zet tussen twee categoriën te vertalen: Definitie 2.8. Laat C 1 en C 2 twee categoriën zijn. Een voorschrift F, die aan iedere X Ob(C 1 ) een object F(X) Ob(C 2 ) toevoegt en aan ieder morfisme f mor C1 (X, Y ) een morfisme f := F(f) mor C2 (F(X), F(Y )), zodat geldt: i) F(id X ) = id F(X), ii) voor f mor C1 (X, Y ), g mor C1 (Y, Z) is (g f) = g f, noemt men een (covariante) functor van de categorie C 1 naar de categorie C 2. Een contravariante functor F is een functor, die aan ieder morfisme f mor C1 (X, Y ) een morfisme f := F (f) mor C2 (F(Y ), F(X)) toevoegt. Voor f mor C1 (X, Y ), g mor C1 (Y, Z) geldt dan (g f) = f g. 30

31 We zien nu dat de operator π n, uit hoofdstuk 1, die aan een topologische ruimte zijn n-de homotopiegroep relateerd in de categoriëntheorie gewoon een functor is, naamlijk: voor elke gepunteerde topologische ruimte (X, x 0 ) is π n (X, x 0 ) Gr. Als nu f : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) een afbeelding is in mor Top ((X, x 0 ), (Y, y 0 )), dan definieerd f een afbeelding van π n (X, x 0 ) naar π n (Y, y 0 ), door f ([γ]) := [f γ], immers f is een continue afbeelding, met f(x 0 ) = y 0 en dus is f γ een continue afbeelding van I n naar Y, met f γ(0) = f γ(1). Het is verder niet moeilijk om na te gaan dat f ook een groepshomomorfisme is en dus wordt π n hiermee een functor van de categorie Top naar de categorie Gr. Verdere voorbeelden voor functoren zijn: Voorbeeld 2.9. Een vrij makkelijk voorbeeld voor een functor van Gr naar Set is de vergeetachtige functor (forgetful functor). Deze functor voegt aan een groep uit Ob(Gr) zijn onderliggende verzameling in Set toe en aan een morfisme uit Gr zijn onderliggende functie. We kunnen deze functor natuurlijk ook definieren van Top naar Set, of bij voorbeeld van de categorie van ringen Ring naar de categorie van abelse groepen Ab, door aan een ring zijn onderliggende (additieve) abelse groep toe te voegen. Ringhomomorfismen worden zo op natuurlijke wijze groepshomomorfismen in Ab. Voorbeeld Als we een groep G opvatten als een categorie BG, met maar één object (naamelijk G zelf), dan zijn de morfismen in mor BG (G, G) gelijk aan de elementen van de groep G. Naamlijk: we kunnen een element g G opvatten als een morfisme van G naar zichzelf, gedefinieerd door g(x) = g x (of g(x) = x g), voor alle x G, waarbij de groepsbewerking definieert. We definiëren nu een functor F van BG naar Set, door aan G een verzameling V toe te voegen, waarop G kan werken (bij voorbeeld de onderliggende verzameling van G). Voor een morfisme g mor G (G, G) = G is dan g een afbeelding van V naar V, gedefinieerd door g (x) := g x (of g (x) := x g), voor x V. In de categoriëntheorie vat men de objecten van een categorie ook op als punten en de morfismen als pijlen tussen deze punten. In de categorie BG schrijft men daarom vaak voor het object G, dus Ob(BG) = en de morfismen worden mor BL (, ). We krijgen zo het volgende diagram: x y Voorbeeld De machtsverzamelingen-functor (power set functor) P : Set Set beeld een verzameling af op zijn machtsverzameling. Voor een afbeelding f : X Y is dan f := P(f) de afbeelding, die aan een deelverzameling U X de deelverzameling f(u) Y toevoegt, dus f (U) = f(u). De contravariante machtsverzamelingenfunctor P voegt aan een afbeelding f : X Y de afbeelding f := P (f) toe, met f (U) := f 1 (U), voor U Y. 31

32 Lemma Zij F een functor van C 1 naar C 2. Als X, Y C 1 isomorf zijn, dan zijn ook F(X), F(Y ) C 2 isomorf. Bewijs. Als X en Y isomorf zijn, dan bestaan er f mor C1 (X, Y ) en f mor C1 (Y, X), met f g = id Y en g f = id X. Als F covariant is, is nu, g f = F(g f) = F(id X ) = id F(X), f g = F(f g) = F(id Y ) = id F(Y ), en dus is F(X) = F(Y ). Voor een contravariante functor F is f g = id F (X) en g f = id F (Y ) en we komen dus tot de zelfde conclusie. We zullen nu een functor definiëren, die een grote rol speelt bij het begrip representeerbaarheid van functoren en daarom in het volgende hoofdstuk vaak voor zal komen. De zogenaamde hom-functor is een functor, die de objecten in een categorie C relateert aan de verzamelingen van morfismen ertussen: Definitie Laat C een willekeurige categorie zijn. Voor elk object A Ob(C) definiëren we de (covariante) hom-functor h A : C Set als volgt: i) h A voegt aan een object X Ob(C) het object mor C (A, X) Ob(Set) toe, ii) voor f mor C (X, Y ) is h A (f) een afbeelding van mor C (A, X) naar mor C (A, Y ), door g mor C (A, X) te sturen naar f g mor C (A, Y ). Net zo definiëren we de contravariante hom-functor h A voor elke A Ob(C), door: i) voor X Ob(C) is h A (X) = mor C(X, A), ii) voor f mor C (X, Y ) is h A(f) : mor C (Y, A) mor C (X, A) g g f. We geven eerst een voorbeeld om de hom-functor beter te begrijpen. Voorbeeld Bekijk de categorie Gr. Voor elke A Gr is h A de functor, die aan een groep X Gr de verzameling van groepshomomorfismen mor Gr (A, X) toevoegt en aan elk groepshomomorfisme f van X naar Y Gr het groepshomomorfisme f, gedefinieerd door f (g) = f g h A (Y ), voor elke g h A (X). In het contravariante geval voegt h A aan een groep X Gr de verzameling van groepshomomorfismen mor Gr (X, A) toe en aan een groepshomomorfisme f van X naar Y Gr het groepshomomorfisme f, gedefinieerd door f (g) = g f h A (X), voor elke g h A (Y ). 32

33 Dit werkt natuurlijk op vergelijkbare manier voor elke andere categorie. Een interessant voorbeeld is het volgende: Voorbeeld Voor de categorie HoTop, en (S 1, s 0 ) HoTop is h (S 1,s 0 ) de functor, die aan een ruimte (X, x 0 ) HoTop de verzameling van homotopie-klassen van continue, basispuntbehoudende afbeeldingen van S 1 naar X toevoegt. Dit zijn alle homotopie-klassen van lussen in X. Als nu F de vergeetachtige functor is van Gr naar Set, dan is h (S n,s 0 )(X, x 0 ) = [(S n, s 0 ), (X, x 0 )] = F(π n (X, x 0 )) de onderliggende verzameling van de n-de homotopiegroep van X. Net zo is natuurlijk h (X,x 0 ) (Sn, s 0 ) = F(π n (X, x 0 )), voor alle X HoTop en alle n. We hebben al opgemerkt, dat de hom-functor van belang is voor de representeerbaarheidsstelling van Brown, die we in hoofdstuk 3 zullen behandelen. Voordat we echter ingaan op het begrip representeerbaarheid, zullen we nog uitleggen wat een natuurlijke transformatie is: Definitie Laat C, D twee categorieën zijn en F, G : C D twee functoren van C naar D. Een voorschrift, die i) aan elke X Ob(C) een morfisme Φ X mor D (F(X), G(X)) toevoegt, en ii) voor elke f mor C (X, Y ) voldoet aan: Φ Y F(f) = G(f) Φ X, noemt men een natuurlijke transformatie Φ van F naar G. Als F en G twee contravariante functoren zijn dan moet Φ,voor f mor C (X, Y ), voldoen aan Φ X F (f) = G (f) Φ Y. Als Φ X een isomorfisme is voor elke X Ob(C), dan noemen we Φ een natuurlijk isomorfisme. De verzameling van alle natuurlijke transformaties van F naar G noteren we met Nat(F, G). Een natuurlijke transformatie geeft ons dus een manier om functoren met elkaar te vergelijken en in het bijzondere hebben we nu een antwoord op de vraag wanneer twee functoren isomorf zijn. Voorbeeld We definiëren een natuurlijke transformatie Φ van h A, A Gr, naar de vergeetachtige functor F : Gr Set uit voorbeeld 2.9. Hiervoor voegen we aan elke X Gr het morfisme Φ X mor Set (h A (X), F(X)) toe, die gegeven wordt door het voorschrift Φ X (f) := F(f)(a), voor een vaste a F(A) en f h A (X). Dit geeft inderdaad een afbeelding van h A (X) naar F(X) en we vinden bovendien voor een morfisme f mor Gr (X, Y ) dat: Φ Y h A (f)(g) = Φ Y (f g) = (f g)(a) = F(f) g(a) = F(f) Φ X (g), voor alle g h A (X). 33

34 We komen nu tot het begrip representeerbaarheid: Definitie Een functor F : C Set, van een categorie C naar Set heet representeerbaar als er een object A Ob(C) bestaat, samen met een natuurlijk isomorfisme Φ : h A F. Voor een contravariante functor F nemen we in deze definitie natuurlijk ook de homfunctor contravariant. Voorbeeld De vergeetachtige functor F van Gr naar Set uit voorbeeld 2.9 is representeerbaar, naamlijk: h Z (X) = F(X), voor elke X Gr via Φ X (f) := F(f)(1) = f(1). We hebben net al gezien dat Φ op deze manier gedefiniëerd inderdaad een natuurlijke transformatie is (voorbeeld 2.16), het is nu niet moeilijk in te zien dat Φ ook een natuurlijk isomorfisme is. De elementen van h Z (X) zijn groepshomomorfismen van Z naar X, en dus is Φ X zeker injectief, want als f(1) = f (1), voor f, f h Z (X) dan is f(n) = f(1) f(1)... f(1) = f (n) voor alle n, en dus volgt dat f = f. Net zo kunnen we voor elk element x F(X) een afbeelding f h Z (X) definiëren, met f(1) = x, wat f volledig vastlegt. De voorschrift Φ X (f) := f(1) definieert dus een isomorfisme voor elke X Gr. Voorbeeld Voor P de contravariante machtverzamelingen functor definiëren we de natuurlijke transformatie Φ Nat(h {0,1}, P ), door aan elke X Set de afbeelding Φ X (f) := (P f)(1) = f 1 (1) toe te voegen. Het is makkelijk na te gaan dat dit inderdaad een natuurlijke transformatie definieert, bovendien is Φ een natuurlijk isomorfisme: voor elke X Set is h {0,1}(X) de verzameling van afbeeldingen van X naar {0, 1}, dit zijn in feite alle mogelijke indicatorfuncties van X, gegeven door: { 1, voor x U 1l U (x) = 0, voor x U, waarbij U een deelverzameling is van X. We zien, dat elke deelverzameling van X precies een indicatorfunctie definieert en dat voor f h {0,1} (X) f 1 (1) met precies een deelverzameling van X correspondeert. In het voorbeeld 2.17 hebben we de natuurlijke transformatie Φ heel eenvoudig kunnen definiëren, door elke f h A (X), af te beelden op een element F(f)(a). Het valt op dat ook de transformaties in voorbeeld 2.19 en 2.20 op een vergelijkbare manier gedefinieerd zijn. Dit is geen toeval, het blijkt naamlijk, dat elke natuurlijke transformatie Φ Nat(h A, F), met h A, F : C Set van deze vorm is. Sterker nog, het volgende lemma zegt dat de natuurlijke transformaties van h A naar F voor elke A Ob(C) in een één-op-één correspondens zijn met de elementen van F(A). Lemma 2.21 (Yoneda s Lemma). Laat F een functor zijn van een categorie C naar Set. Voor elke A Ob(C) is Nat(h A, F) = F(A), door Φ Φ A (id A ). 34

35 Yoneda s Lemma geldt ook voor contravariante functoren. In dit geval is ook de homfunctor contravariant. We zullen het lemma alleen voor covariante functoren bewijzen, maar het bewijs in het contravariante geval is vergelijkbaar. Bewijs. Voor de surjectieviteit zij u F(A). Bekijk de afbeelding Φ u, die voor elke X Ob(C) gedefinieerd is door Φ u,x : h A (X) F(X) : f f (u) := F(f)(u). Dit is een natuurlijke transformatie van h A naar F, immers voor X, Y Ob(C) willekeurig en voor elke f mor C (X, Y ) is Φ u,y h A (f)(g) = Φ u,y (f g) = (f g) (u) = f g (u) = F(f) Φ u,x (g), voor alle g h A. Nu is Φ u,a (id A ) = id F(A) (u) = u en dus is de afbeelding surjectief. Laat nu Φ, Ψ Nat(h A, F), met u := Φ A (id A ) = Ψ A (id A ), dan geldt er voor elke X Ob(C) en elke f h A = mor C (A, X) dat Φ X (f) = Φ X (f id A ) = Φ X h A (f)(id A ) = F(f) Φ A (id A ) = F(f) Ψ A (id A ) = Ψ X (f), en dus dat Φ = Ψ. Het volgt dat Nat(h A, F) = F(A), voor elke A Ob(C). Uit dit lemma volgt, dat elk element u F(A) een (unieke) natuurlijke transformatie van h A naar F definieerd, door Φ X (f) = F(f)(u), voor f h A (X). We zullen deze daarom vaak noteren als Φ u. We zien nu dat een functor representeerbaar is als er een object A samen met een element u F(A) bestaat zodat Φ u een natuurlijk isomorfisme is. Dit geeft aanleiding tot de volgende definitie: Definitie Zij F een functor van een categorie C naar Set, en A Ob(C). Een element u F(A) heet universeel als Φ u,x : h A (X) F(X) een isomorfisme is voor alle X Ob(C) en dus als Φ u een natuurlijk isomorfisme is. In voorbeeld 2.19 is 1 F(Z) een universeel element net zo 1 P ({0, 1}) in voorbeeld We geven nu nog een definitie voor contravariante functoren van de categorie HoCW naar Set, die bij het bewijs van de stelling van Brown van nut zal zijn. Definitie Laat F een contravariante functor zijn van de categorie van gepunteerde CW-complexen HoCW naar de categorie Set en laat A Ob(HoCW ). Een element u F (A) heet n-universeel, als Φ u : h (Y,y) (Sq, s) F (S q, s) een isomorfisme is voor alle q < n en surjectief voor q = n. Als u F (A) een n-universeel element is voor alle n dan is u soms ook een universeel element. We zullen in het volgende hoofdstuk zien dat de stelling van Brown ons in feite zegt voor welke functoren dit geldt. Preciezer zegt ons deze stelling wanneer een functor van de categorie HoCW naar de categorie Set representeerbaar is. 35

36 Hoofdstuk 3 Brown s Representeerbaarheidsstelling In dit hoofdstuk zullen we de stelling van Brown geven en bewijzen. We hebben in het vorige hoofdstuk al opgemerkt, dat deze stelling zegt wanneer een functor van de categorie HoCW naar de categorie Set representeerbaar is. In feite is volgens Brown s stelling elke functor van HoCW naar Set representeerbaar, mits hij aan twee eigenschappen voldoet. Voordat we de stelling kunnen geven hebben we daarom eerst nog twee axiomas nodig: Definitie 3.1 (Wig-axioma). Laat α X α HoCW een willekeurige wig-som zijn, met de inclusie i β : X β α X α. Een contravariante functor F : HoCW Set voldoet aan het wig-axioma, als het geïnduceerde morfisme {i α} : F ( α X α) α F (X α ) bijectief is. Definitie 3.2 (Mayer-Vietoris-axioma). Zij (X, x 0 ) HoCW, met X = A 1 A 2 en A 1, A 2 twee deelcomplexen van X, die allebei het basispunt x 0 bevatten. Een contravariante functor F : HoCW Set voldoet aan het Mayer-Vietoris-axioma, als er voor elke x 1 F (A 1 ) en x 2 F (A 2 ), met i A 1 A 2 (x 1 ) = i A 1 A 2 (x 2 ) F (A 1 A 2 ) een y F (X) bestaat, met i A 1 (y) = x 1 en i A 2 (y) = x 2. Brown s Representeerbaarheidsstelling. Zij F : HoCW Set een contravariante functor, die aan het wig-axioma en het Mayer-Vietoris-axioma voldoet, dan is F representeerbaar. Uit hoofdstuk 2 weten we, dat dit betekend dat er een ruimte Y HoCW en een universeel element u F (Y ) bestaat, zodat Φ u,x : h Y (X) F (X) een isomorfisme is, voor alle X HoCW. Het bewijs hiervan is opgesplitst in een aantal lemmas en proposities, waarvan de hoofdstappen in lemma 3.14 en gevolg 3.15 gemaakt worden. In 3.14 en 3.15 construeren we inductief de ruimte Y en een element u F (Y ), dat n-universeel 36

37 is voor alle n N en dat ons een isomorfisme geeft tussen h Y (Sn ) en F (S n ) voor alle n. Uiteindelijk zullen we zien, dat deze u inderdaad het gezochte universeel element is. Voordat we Y en u kunnen construeren hebben we echter nog wat tussenresultaten nodig. We beginnen ermee te bewijzen, dat de functor h (Y,y 0 ) voor elke (Y, y 0) HoCW aan de twee axiomas voldoet. We hebben de functor h ( ) eerder gedefinieerd als een functor van een willekeurige categorie naar de categorie Set, het is echter niet moeilijk te zien, dat h (Y,y 0 ) voor (Y, y 0) HoCW in feite een functor naar de categorie van gepunteerde verzamelingen definieerd. Hierbij is voor elke (X, x 0 ) HoCW de constante afbeelding c : (X, x 0 ) (Y, y 0 ), met c(x) = y 0 het basispunt van h (Y,y 0 ) (X, x 0). Propositie 3.3. Voor elke (Y, y) HoCW voldoet de contravariante hom-functor h (Y,y) aan het wig-axioma en het Mayer-Vietoris-axioma. Bewijs. Wig-axioma: Voor ( α X α, x) HoCW willen we laten zien, dat de afbeelding {i α} : h (Y,y) ( α X α, x) α h (Y,y) (X α, x α ) bijectief is. We beginnen met de surjectieviteit. Een element in α h (Y,y) (X α, x α ) is een collectie van homotopieklassen van afbeeldingen f α : (X α, x α ) (Y, y). We noteren zo een element als {[f α ]}. De f α -tjes definiëren een afbeelding f : ( α X α, x) (Y, y), door f (Xα,xα) = f α. De afbeelding f is continu en basispuntbehoudend, immers elke f α is continu en f (Xα,xα)(x) := f α (x α ) = y voor alle α. Nu is dus [f] h (Y,y) ( α X α, x) en {i α}([f]) := {[f i α ]} = {[f α ]} en het volgt dat {i α} surjectief is. Voor de injectieviteit van {i α} bekijken we twee elementen [f], [h] h (Y,y) ( α X α, x), met {i α}([f]) = {i α}([h]). Voor elke α geldt dan dat f i α h i α en bestaat er dus een homotopie H α : (X α, x α ) I + (Y, y), met H0 α = f i α en H1 α = h i α. Verder is f(x) = h(x) = y. De afbeelding H : ( α X α, x) I + (Y, y), met H t i α = Ht α definieert nu een homotopie tussen f en h. Het volgt dat [f] = [h] en dus is {i α} injectief en voldoet h (Y,y) voor elke (Y, y) HoCW aan het wig-axioma. Mayer-Vietoris-axioma: Laat (X, x) = (A 1, x) (A 2, x), met A 1, A 2 deelcomplexen van X. Laat verder [f 1 ] h (Y,y) (A 1, x) en [f 2 ] h (Y,y) (A 2, x), met i A 1 A 2 ([f 1 ]) = i A 1 A 2 ([f 2 ]), dus [f 1 ] A1 A 2 = [f 2 ] A1 A 2. Dit betekend dat er een homotopie G : (A 1 A 2 ) I + Y bestaat, met G 0 = f 1 A1 A 2 en G 1 = f 2 A1 A 2. Omdat A 1 en A 2 deelcomplexen zijn is A 1 A 2 een deelcomplex van A 1 en het volgt uit propositie 1.35 dat de inclusieafbeelding i A1 A 2 : A 1 A 2 A 1 een covezeling is. We kunnen G dus uitbreiden tot een homotopie H : (A 1, x) I + Y, met H t i A1 A 2 = G t en H 0 = f 1. Nu is f 1 := H 1 een representant van [f 1 ], met f 1 A 1 A 2 = f 2 A1 A 2. Dit definieert een afbeelding g mor HoCW ((X, x), (Y, y)), door g A1 = f 1 en g A2 = f 2 en dus is er een element [g] h (Y,y) (X, x), met [g] A 1 = [f 1 ] en [g] A2 = [f 2 ]. Lemma 3.4. Als F : HoCW Set aan het wig-axioma voldoet, dan bevat F ({x 0 }) maar één element voor elke één-punt-ruimte {x 0 }. 37

38 Bewijs. Het wig-axioma geeft, dat F ({x 0 }) = F ({x 0 } {x 0 }) = F ({x 0 }) F ({x 0 }), met {i α}(a) = (a, a) voor a F ({x 0 }) en dus volgt dat F ({x 0 }) maar één element bevat. Definitie 3.5. Laat A een geordende verzameling zijn en laat {X α } α A een collectie objecten zijn in een categorie C. Als er een collectie morfismen f αβ : X β X α, voor alle α β bestaat, met de volgende eigenschappen: i) f αα = id Xα, ii) f αγ = f αβ f βγ, voor alle α β γ, dan heet de verzameling van alle paren (X α, f αβ ) een invers systeem. Voorbeeld 3.6. Zij X 1 X 2... X, met X := n X n een rij van CW-complexen en, voor n m N, zij verder j nm : X n X m de inclusieafbeelding. Voor elke contravariante functor F : CW C, met C een willekeurige categorie, is de verzameling van paren {(F (X n ), j nm)} n m N een invers systeem. Definitie 3.7. Zij {(X α, f αβ )} α β A een invers systeem in de categorie Set. Het object lim X α := {{x α } α A α A X α x α = f αβ (x β ), voor alle α β} Ob(Set), samen met een collectie morfismen p β : lim X α X β, die voldoen aan p β = f βγ p γ heet een inverse limiet. Voorbeeld 3.8. Laat in voorbeeld 3.6 F : CW Set, dan is {(F (X n ), j nm)} n m N een invers systeem in de categorie Set. Nu is de verzameling lim F (X n ) := {{x n } n N F (X n ) x n = jnm(x m ), voor alle n m}, n N samen met een collectie morfismen {p n } n N, met p m : lim F (X n ) F (X m ), voor elke m N gegeven door p m ({x n } n N ) := x m, een inverse limiet. Lemma 3.9. Zij (X, x) HoCW en {x} =: X 1 X 0... X een rij van deelcomplexen, met X := n X n, en F : HoCW Set voldoet aan het Mayer-Vietorisaxioma en het wig-axioma, dan is {i n} : F (X) lim F (X n ) een surjectie. 38

39 Bewijs. Bekijk het telescoop X := n 1 X n [n 1, n] +, zoals we het in hoofdstuk 1 voor gepunteerde ruimtes hebben gedefinieerd. We nemen in X de deelcomplexen A 1 := X k [k 1, k] +, voor k oneven, k 1 A 2 := k 0 X k [k 1, k] +, voor k even, met X = A 1 A 2 en x A 1 A 2 = k X k. Verder vinden we, dat A 1 k,oneven X k en A 2 k,even X k. Zij nu {x n } lim F (X n ). We passen het wig-axioma apart toe op A 1 k,oneven X k en op A 2 k,even X k en vinden zo een y 1 F (A 1 ), met i k (y 1) = x k, voor k oneven en een y 2 F (A 2 ), met i k (y 2) = x k, voor k even. Bekijk vervolgens de afbeelding i A 1 A 2 : F (A 1 ) F (A 1 A 2 ) = F ( k X k). Voor k oneven is i A 1 A 2 X k (y 1 ) = i k (y 1) = x k en voor k even vinden we: i A 1 A 2 X k (y 1 ) = i k(y 1 ) = j k,k+1(i k+1(y 1 )) = j k,k+1(x k+1 ) = x k, waarbij j k,k+1 : X k X k+1 de inclusie is uit voorbeeld 3.8. Net zo is i A 1 A 2 X k (y 2 ) = x k, voor alle k 1 en dus is i A 1 A 2 (y 1 ) = i A 1 A 2 (y 2 ) F (A 1 A 2 ). Uit het Mayer-Vietoris-axioma volgt nu, dat er een y F (X ) bestaat, met i A 1 (y ) = y 1 en i A 2 (y ) = y 2. Dan is i n(y ) = x n, voor alle n 1. Omdat X X is F (X ) = F (X) en is er dus een y F (X), met i n(y) = x n, voor alle n 1 en dus is {i n}(y) = {x n }. 39

40 Definitie Laat (A, a 0 ), (B, b 0 ), (C, c 0 ) Set, en verder laat g : (A, a 0 ) (B, b 0 ) en f : (B, b 0 ) (C, c 0 ) twee basispuntbehoudende afbeeldingen zijn. We noemen een rij A g B f C exact, als Im(g) = f 1 (c 0 ). Propositie Laat F : HoCW Set een functor zijn, die aan het Mayer- Vietoris-axioma voldoet. Voor elke afbeelding f : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) in HoCW is de rij F f (X) F j (Y ) F (C f ) een exacte rij. Bewijs. De afbeelding (j f) is homotoop is met de constante afbeelding en dus ook homotoop met de samenstelling (i {x0 } c) : X {x 0 } C f. Uit lemma 3.4 weten we dat F ({x 0 }) maar één element bevat, en dus is f j = (j f) = c i {x 0 } = 0, waarbij we hier 0 schrijven voor het basispunt in F (X). Het volgt, dat Im(j ) (f ) 1 (0). Stel nu y F (Y ) is een element, met f (y) = 0. We nemen in C f de twee deelcomplexen A 1 := X [0, 1/2], A 2 := Y f (X [1/2, 1] + ). Nu is A 1 A 2 = C f en is het basispunt bevat in A 1 A 2. Verder is A 1 A 2 = X {1/2} + = X {1/2} = X en A 2 Y. Laat y 1 := 0 F (A 1 ), y 2 := y F (A 2 ) = F (Y ). Omdat de afbeelding f homotoop is met de inclusie i A1 A 2 : A 1 A 2 A 2 volgt, dat i A 1 A 2 (y 1 ) = i A 1 A 2 (0) = 0 = f (y) = i A 1 A 2 (y 2 ). Omdat F aan het Mayer-Vietoris-axioma voldoet bestaat er dus een z F (C f ), zodat i A 2 (z) = j (z) = y en is Im(j ) = (f ) 1 (0). 40

41 Lemma Zij F : HoCW Set een functor, die aan het wig-axioma en het Mayer-Vietoris-axioma voldoet, dan bestaat er een associatieve bewerking, een eenheidselement en een invers element voor elk element in F (S n ), zodat F (S n ) een groepsstructuur heeft voor alle n N. Bewijs. (schets) S n is homotoop met S n 1 I onder de identificatie (z, 0) (z, 0) en (z, 1) (z, 1), voor alle z S n 1 en we kunnen drie afbeeldingen m, e en inv definiëren, met: m : S n S n /(S n 1 {1/2}) S(1) n S(2), n { (z, 2t)(1), voor t 1/2 (z, t) (z, 2t 1) (2), voor t 1/2 e : S n {pt.}, (z, t) pt. inv : S n S n, (z, t) (z, 1 t). In HoCW commuteren nu de volgende drie diagrammen: i) S n S n S n id [m] S n S n [m] id S n S n [m] S n [m] ii) S n [e] id S n S n id [e] S n [m] id id S n iii) S n id [inv] S n S n [m] {pt.} [e] S n 41

42 Als we op deze diagrammen F toepassen, dan draaien alle pijlen om en we vinden de drie afbeeldingen [m] : F (S n ) F (S n ) = F (S n S n ) F (S n ), [e] : {0} = F (pt.) F (S n ), [inv] : F (S n ) F (S n ) De afbeelding [m] definieert, volgens diagram i, een associatieve bewerking op F (S n ), de afbeelding [e], volgens diagram ii, een eenheidselement en de derde afbeelding, [inv], geeft, volgens diagram iii, voor elk element in F (S n ) een invers element. Hiermee hebben we een groepsstructuur op F (S n ) gevonden. Hiermee zien we vrij snel, dat dan ook elke natuurlijke transformatie tussen h Y en F een isomorfisme geeft tussen h Y (Sn ) en F (S n ), voor elke n N: Gevolg Zij Y Ob(HoCW ). Als F : HoCW Set aan het wig-axioma en het Mayer-Vietoris-axioma voldoet en Φ u Nat(h Y, F ) is een natuurlijke transformatie, dan is Φ u,s n : h Y (Sn ) F (S n ) een groepshomomorfisme, voor alle n N. Bewijs. Voor n N laat [f 1 ], [f 2 ] h Y (Sn ) en zij [f] : S(1) n Sn (2) Y de afbeelding, met [f] S n (1) = [f 1 ] en [f] S n (2) = [f 2 ]. Voor {[i α ] } α {1,2} : F (S(1) n Sn (2) ) F (S(1) n ) F (S(2) n ) is dan [i 1 ] [f] (u) = [f 1 ] (u) en [i 2 ] [f] (u) = [f 2 ] (u) en dus is {[i α ] }([f] (u)) = ([f 1 ] (u), [f 2 ] (u)). Zij [m] mor HoCW (S n, S n S n ) nu de afbeelding, zoals in het bewijs, van lemma 3.12, dan volgt: Φ u,s n(h Y([m])([f 1 ], [f 2 ])) = Φ u,s n(h Y([m])([f])) = F ([m])(φ u,s n S n([f])) = F ([m])([f] (u)) = F ([m])([f 1 ] (u), [f 2 ] (u)) = F ([m])(φ u,s n([f 1 ]), Φ u,s n([f 2 ])). Nu zijn we klaar om met behulp van de eerdere resultaten te laten zien, dat we altijd een ruimte (Y, y 0 ) Ob(HoCW ) en een element u F (Y ) kunnen construeren, zodat u n-universeel is voor alle n N, als F aan de twee axiomas voldoet. Sterker nog zullen we bewijzen, dat er gegeven een ruimte (Y, y 0 ) Ob(HoCW ) en een willekeurig element v F (Y ), een CW-complex Y Ob(HoCW ) bestaat, die Y als deelcomplex bevat en met u F (Y ) een n-universeel element, voor alle n, zodat i Y (u) = v. Dit doen we inductief in het volgende lemma en in gevolg

43 Lemma Zij F : HoCW Set een contravariante functor, die aan het wigaxioma en het Mayer-Vietoris-axioma voldoet. Voor elke (Y, y 0 ) Ob(HoCW ) en elk n- universeel element u n F (Y ) bestaat er een CW-complex (Y, y 0 ), verkregen uit (Y, y 0 ), door (n+1)-cellen toe te voegen, en een (n+1)-universeel element u n+1 F (Y ), zodat i Y (u n+1) = u n. Bewijs. We maken Y, door op twee manieren (n+1)-cellen toe te voegen aan Y. Ten eerste nemen we voor elke λ F (S n+1 ) een kopie S n+1 λ van S n+1 en maken hiermee de ruimte (Y ( λ Sn+1 λ ), y 0 ) Ob(HoCW ). Volgens stelling 1.29 kunnen we vervolgens voor elke [α] h Y (Sn ), met Φ un ([α]) := [α] (u n ) = 0 een representant ψ α : (S n, s 0 ) (Y, y 0 ) vinden, met de eigenschap, dat ψ α (S n ) Y n. Met elke gevonden afbeelding ψ α plakken we één (n+1)-cel aan Y ( λ Sn+1 λ ). Op deze manier krijgen we het CW-complex (Y, y 0 ). Zij nu f : α Sn α Y ( λ Sn+1 λ ) de afbeelding, gedefinieerd door f S n α = j Y ψ α, met j Y de inclusie van Y naar Y ( λ Sn+1 λ ). Uit propositie 3.11 volgt dan dat de rij f F ( α Sn α) F (Y ( λ Sn+1 λ )) F (C f ) exact is. Hierbij is j : (Y ( λ Sn+1 λ )) C f = (Y ( λ Sn+1 λ ) f C( α Sn α)) Y. Omdat F aan het wig-axioma voldoet is {jβ } : F (Y ( λ Sn+1 λ ) λ F (S n+1 λ ) F (Y ) een bijectie en er bestaat een v F (Y ( λ Sn+1 λ )), met jy (v) = u n en j (v) = λ. S n+1 λ Nu is i S f (v) = (f α n S n α ) (v) = (j Y ψ α ) (v) = ψα jy (v) = ψ α(u n ) = 0, voor elke α en, omdat F ( α Sn α) = α F (Sα) volgt dat f (v) = 0. De exactheid van de rij geeft dat v (f ) 1 (0) = Im(j ) en er bestaat dus een u n+1 F (Y ), met j (u n+1 ) = v. In het bijzonder vinden we i Y (u n+1) = (j j Y ) (u n+1 ) = jy j (u n+1 ) = jy (v) = u n en (j j S n+1) (u n+1 ) = j j (u λ S n+1 n+1 ) = j (v) = λ. λ S n+1 λ We willen nu laten zien dat dat u n+1 een (n+1)-universeel element is. Hiervoor bekijken we het volgende diagram: h Y (Sq i ) Y h Y (Sq ) Φ un Φ un+1 F (S q ) De afbeelding i Y is geïnduceerd door de inclusieafbeelding i Y : Y Y en wordt gegeven door i Y ([α]) = [i Y α], voor [α] h Y (Sq ). In feite is i Y gewoon de geïnduceerde afbeelding π q (i Y ) : π q (Y )(= h Y (Sq )) π q (Y )(= h Y (Sq )). Zoals we in hoofdstuk 2 zagen definieert u n F (Y ) een unieke natuurlijke transformatie van h Y naar F. Voor elke [β] h Y (Sq ) vinden we: Φ un,s q([β]) = F [β](u n ) = F [β](i Y (u n+1 )) = [i Y β] (u n+1 ) = Φ un+1,s q([i Y β]), en dus is Φ un,s q = Φ u n+1,s q i Y en commuteert het diagram. Nu is Φ un,s q = Φ u n+1,s q i Y surjectief voor alle q n en dus geldt dit ook voor Φ un+1,s q. 43 j

44 Verder is Y, voor n 1, gemaakt door aan Y (n+1)-cellen toe te voegen, en uit stelling 1.30 volgt dat h Y (Sq ) = π q (Y ) = π q (Y ) = h Y (Sq ), voor alle q < n, door de afbeelding i Y. Nu is dus Φ un+1,s q = Φ u n,s q (i Y ) 1 een isomorfisme voor alle q < n en u n+1 is n-universeel. Stel nu dat Φ un+1 ([β]) = 0, voor een [β] h Y (Sn ). Omdat i Y surjectief is voor q = n bestaat er een [α] h Y (Sn ), met i Y ([α]) = [β]. Dan is dus Φ un ([α]) = Φ un+1 i Y ([α]) = Φ un+1 ([β]) = 0. Dit betekend, dat er een (n+1)-cel eα n+1 in Y bestaat en daarom is i Y α homotoop met de constante afbeelding. Het volgt dat [β] = i Y ([α]) = [i Y α] = 0 en dat (Φ un+1 ) 1 (0) = {0}. Hiermee is Φ un+1,sq ook injectief voor q = n en dus een bijectie voor q = n. Voor elke λ F (S n+1 ) is de afbeelding j j S n+1 : S n+1 λ λ (Y ( λ Sn+1 λ )) Y bevat in h Y (Sn+1 ) en is Φ un+1 ([j j S n+1]) = (j j λ S n+1) (u n+1 ) = λ, zoals we al eerder hebben λ gezien. Φ un+1,s q is hiermee surjectief voor q = n + 1 en dus is u n+1 een (n+1)-universeel element. Gevolg Zij F : HoCW Set een functor, die aan het wig-axioma en het Mayer-Vietoris-axioma voldoet. Voor elke (Y, y 0 ) Ob(HoCW ) en elke v F (Y ) bestaat er een CW-complex (Y, y 0 ), die Y als een deelcomplex bevat. Verder bestaat er een element u F (Y ), n-universeel voor alle n, zodat i Y (u) = v. Bewijs. We noemen elk element u F (Y ) (-1)-universeel. Laat Y 1 = Y en u 1 = v, dan kunnen we lemma 3.14 inductief toepassen om een een rij Y := Y 1 Y 0... Y n... van CW-complexen vinden, waarbij elke Y k verkregen wordt door aan Y k 1 k-cellen toe te voegen, zoals we dit gedaan hebben in het bewijs van lemma Volgens het lemma bestaat er bovendien voor elke k een k-universeel element u k F (Y k ), zodat i Y k 1 (u k ) = u k 1. We definieren nu Y = n 1 Y n. De afbeelding is {i Y n } : F (Y ) lim F (X n ) is volgens lemma 3.9 een surjectie en er bestaat dus een element u F (Y ), zodat {i Y n }(u) = {u n }, dat is i Y n (u) = u n, voor elke n 1. Net zoals in het bewijs van lemma 3.14 vinden we voor elke [α] h Y n (S q ): Φ un,s q([α]) = F [α](u n ) = F [α](i Y n (u)) = [i Yn α] (u) = Φ u,s q([i Yn α]), en dus is Φ un,s q = Φ u,s q i Y n, waarbij i Yn : h Y n (S q ) h Y (Sq ) weer de afbeelding is, gedefinieerd door i Yn ([α]) := [i Yn α], zoals in lemma Het volgende diagram commuteert: h Y n (S q i Yn ) h Y (Sq ) Φ un Φ u F (S q ) 44

45 Voor elke n 1 is Φ un,s q = Φ u,s q i Y n surjectief voor alle q n en dus geldt dit ook voor Φ u,s q. Verder is Y, voor elke n 1, gemaakt door aan Y n cellen van hogere dimensie dan n toe te voegen, en uit stelling 1.30 volgt dat h Y n (S q ) = π q (Y n ) = π q (Y ) = h Y (Sq ), voor alle q < n, door de afbeelding i Yn. Nu is dus Φ u,s q = Φ un,s q (i Y n ) 1 een isomorfisme voor alle q < n en omdat dit voor elke n 1 geldt is u een n-universeel element voor alle n 1, met i Y (u) = v. We hebben nu bewezen, dat er een ruimte Y HoCW en een element u F (Y ) bestaat, zodat u n-universeel is voor alle n N. Immers, neem in gevolg 3.15 bij voorbeeld de ruimte {x 0 } voor Y en v := F ({x 0 }). Om Brown s stelling te bewijzen moeten we nu alleen nog aantonen dat de natuurlijke transformatie Φ u Nath Y, F een natuurlijk isomorfisme is en u dus een universeel element. Het enige, dat nog ontbreekt om dit te kunnen doen is het volgende lemma: Lemma Zij F : HoCW Set een functor, die aan het Mayer-Vietoris-axioma en het wig-axioma voldoet. Laat Y een CW-complex zijn, met u F (Y ) een n-universeel element voor alle n 1. Laat verder (X, A, x 0 ) een CW-paar zijn, g : (A, x 0 ) (Y, y 0 ) een cellulaire afbeelding en v F (X) een element, met i A (v) = g (u). Dan bestaat er een afbeelding h : (X, x 0 ) (Y, y 0 ), met h A = g en v = h (u). Bewijs. Zij T de ruimte, die ontstaat, als we in M g X := (Y g (A I + )) X, voor elke a A X de punten (a, 0) en a identificeren: Omdat g een cellulaire afbeelding is is T een CW-complex. Laat A 1, A 2 T de deelcomplexen zijn, gegeven door: A 1 := (A [0, 1/2] + ) X, A 2 := Y g (A [1/2, 1]). 45

46 We hebben nu A 1 A 2 = T en A 1 A 2 = A {1/2} = A. De ruimte X is een deformatieretract van A 1 en er bestaat dus een retractie r : A 1 X, met i X r id A1 en r i X = id X. We hebben dus een y 1 := r (v) F (A 1 ) = F (X), met i X (y 1) = (r i X ) (v) = id X (v) = v. Net zo is Y een deformatie-retract van A 2 en bestaat er een y 2 F (A 2 ) = F (Y ), met i Y (y 2) = u. We vinden: i A 1 A 2 (y 1 ) = (i X i A ) (y 1 ) = i A(v) = g (u) = g i Y (y 2 ) = i A 1 A 2 (y 2 ), want i Y g i A1 A 2 : A = A 1 A 2 A 2. Omdat F aan het Mayer-Vietorisaxioma voldoet bestaat er een w F (T ), met i X (w) = v en i Y (w) = u. Volgens gevolg 3.15 bestaat er bovendien een CW-complex Y, die T als deelcomplex bevat en een element u F (Y ), n-universeel voor alle n 1, met i T (u ) = w. Laat j : Y Y de inclusieafbeelding zijn, dan is j (u ) = i Y i T (u ) = i Y (w) = u en voor elke [α] h Y (Sq ) is Φ u,s q([α]) = Φ u,s q j ([α]), met j ([α]) := [j α]. Voor alle q 0 zijn Φ u,s q en Φ u,s q bijecties en commuteert het volgende diagram: h Y (Sq ) Φ u j h Y (Sq ) Φ u F (S q ) We vinden dus, dat π q (Y ) = h Y (Sq ) = h Y (Sq ) = π q (Y ) voor alle q 0 via j. Laat nu j X : X Y de inclusieafbeelding zijn van X naar Y, dan is j X i A j g. Omdat (X, A, x o ) een CW-paar is, is de inclusie een covezeling (propositie 1.35) en we kunnen j g uitbreiden tot een afbeelding j X : X Y, met j X A = j g en j X j X. Het volgende diagram commuteert: A Y g i A j X j X Y Uit 1.34 volgt, dat er een afbeelding h : X Y bestaat, met h A = g en j h j X j X en dus hebben we h (u) = h j (u ) = j X(u ) = (i T i X ) (u ) = i X(w) = v. 46

47 Hiermee kunnen we de representeerbaarheidsstelling bewijzen: Brown s Representeerbaarheidsstelling. Zij F : HoCW Set een contravariante functor, die aan het wig-axioma en het Mayer-Vietoris-axioma voldoet, dan is F representeerbaar. Bewijs. Volgens gevolg 3.15 kunnen we een ruimte (Y, y 0 ) HoCW vinden, en een element u F (Y ), met u n-universeel voor alle n 1. We willen nu laten zien, dat u een universeel element is, zoals we het in hoofdstuk 2 gedefinieerd hebben en dus dat Φ u,x : h Y (X) F (X) een isomorfisme is voor elke X HoCW, met Φ u de unieke natuurlijke transformatie voortgebracht door u. Voor de surjectieviteit laat v F (X), voor een willekeurige ruimte (X, x o ) HoCW. In lemma 3.16 nemen we A := {x 0 } en voor g, de unieke afbeelding van (A, x 0 ) naar (Y, y 0 ). Uit lemma 3.4 volgt dat F (A) maar één element bevat en dus is i A (v) = g (u) en bestaat er een afbeelding h : (X, x 0 ) (Y, y 0 ), met v = h (u), dat is Φ u ([h]) = v. Om in te zien dat Φ u,x injectief is voor elke (X, x 0 ) HoCW, laat [g 0 ], [g 1 ] h Y (X) twee elementen zijn, met Φ u ([g 0 ]) = Φ u ([g 1 ]). We mogen aannemen dat de representanten g 0, g 1 : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) cellulaire afbeeldingen zijn (stelling 1.29) en we willen nu laten zien dat er een homotopie H : X I + Y bestaat tussen g 0 en g 1. Laat hiervoor X := X I + en A := X {0, 1} +. We definiëren de afbeelding g : (A, x 0 ) (Y, y 0 ), door g(x, 0) := g 0 en g(x, 1) := g 1, voor x X en de afbeelding p : X X, door p(x, t) := x, voor (x, t) X. Laat v := p g0(u) F (X ), dan is i X {0} +(v) = i X {0} + p g 0(u) = g 0(u) = g X {0} +(u), i X {1} +(v) = g 0(u) = Φ u ([g 0 ]) = Φ u ([g 1 ]) = g 1(u) = g X {1} +(u). Nu is g (u) = i A (v) en uit lemma 3.16 volgt dat er een afbeelding H : X := X I + Y bestaat, met H A = g, dat is H 0 = g 0 en H 1 = g 1 en dus is [g 0 ] = [g 1 ]. Hiermee is Φ u een natuurlijk isomorfisme van h Y naar F en is F een representeerbare functor. 47

48 Populaire samenvatting Wat is topologie? In de topologie bestudeert men een bepaalde soort ruimtes, die men topologische ruimtes noemd. Een topologische ruimte is een verzameling X (bij voorbeeld een verzameling punten of getallen of ook letters) samen met een collectie C van deelverzamelingen (dus verzamelingen die zelf helemaal bevat zijn in X), waarbij C aan een handvol eigenschappen moet voldoen. Deze eigenschappen zijn: 1. De verzameling X moet zelf deel uitmaken van de collectie C. Net zo is de verzameling die géén elementen bevat, de zogenoemde lege verzameling altijd bevat in C. 2. Elke vereniging van (mogelijk oneindig veel) deelverzamelingen van X, die bevat zijn in C moet deel uitmaken van C. 3. Elke doorsnede van eindig veel deelverzamelingen van X, die bevat zijn in C moet deel uitmaken van C. De collectie C geeft hiermee een structuur aan X, die men een topologische structuur noemt. C heet daarom ook een topologie op de verzameling X. Het is het doel in de topologie deze structuur, die aan een verzameling wordt gegeven door een collectie C, te begrijpen en te bestuderen en vooral ook verschillende structuren met elkaar te vergelijken en ze van elkaar te onderscheiden. Voorbeeld 1. Een voorbeeld voor een topologische ruimte is de verzameling X := {1, 2, 3}, samen met de collectie C 1 := {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, X, }, van alle mogelijke deelverzamelingen van X ( is de lege verzameling). C 1 voldoet hiermee aan alle eigenschappen voor een topologie op X. Een andere makkelijke topologie op X is de collectie C 2 := {X, }. De verzameling X wordt een topologische ruimte met de collectie C 1 maar ook met de collectie C 2. Deze twee structuren zijn echter wel verschillend van elkaar en (X, C 1 ) vormt een andere topologische ruimte dan (X, C 2 ). Voorbeeld 2. Voor elk element x in R, dus voor elk punt op de reële rechte, definiëren we een verzameling B x, die bestaat uit alle punten in R, met een afstand kleiner dan 1/2 tot x. De collectie C, die bestaat uit al deze verzamelingen B x en bovendien uit alle verenigingen, alle eindige doorsneden van deze verzamelingen en de lege verzameling, is een topologie op R. 48

49 Men is in de topologie voornamelijk op zoek naar topologische eigenschappen. Dit zijn eigenschappen van topologische ruimtes, die behouden blijven onder een bepaalde soort afbeeldingen en helpen kunnen ruimtes te onderscheiden. Bijvoorbeeld, als er in de collectie C, die een topologie definieert op een ruimte X, elk tweetal deelverzamelingen, die samen geheel X vormen, een niet-lege doorsnede hebben, dan noemt men de ruimte X samenhangend. Dit is een topologische eigenschap en een ruimte die uit één samenhangend deel bestaat kan niet gelijk zijn aan een ruimte die uit twee of meer samenhangende delen bestaat. In voorbeeld 1 is de ruimte (X, C 1 ) niet samenhangend, maar de ruimte (X, C 2 ) is dat wel. Er zijn ook minder zichtbare eigenschappen, die kunnen helpen topologische ruimtes te onderscheiden en te classificeren, maar het gaat, grof gezegd, inderdaad om de aard van een ruimte; uit hoeveel delen bestaat deze, hoeveel gaten of luchtbubbles zitten erin. Het idee achter topologie is, dat vele meetkundige problemen niet afhankelijk zijn van de daadwerkelijke vorm van objecten of ruimtes, maar van hun aard, van de manier waarop ze in elkaar zitten. Topologie heeft daarom voornamelijk toepassingen in de meetkunde, analyse en andere wiskundige gebieden, maar er zijn ook directe toepassingen in andere natuurwetenschappen, met name in de natuurkunde. Topologische ruimtes zijn dus niet afhankelijk van hun daadwerkelijke vorm, maar van de manier waarop ze in elkaar zitten. Men kan zich dit zo voorstellen, dat een topologische ruimte vormbaar is, alsof hij uit klei bestaat. Er zijn echter een paar beperkingen op de manier waarop de klei vervormd mag worden: 1. Er mogen geen stukjes afgescheurd worden. 2. Gaten en luchtbubbles en dergelijk mogen niet afgesloten of opgevuld worden, wel mogen ze door vervorming verplaatst worden. Er mogen ook geen nieuwe gaten of luchtbubbles (of dergelijk) ontstaan. 3. De klei mag nergens helemaal plat geduwd worden of inkrimpen tot een punt. Een gedeelte, dat helemaal plat is mag niet opgevuld worden, door er van andere delen wat klei bij te schuiven. 49

50 Het koffiekopje en de doughnut Een deelgebied van de topologie is de algebraïsche topologie, hierbij worden algebraïsche structuren gerelateerd aan topologische ruimtes. Het idee hierbij is om topologische ruimtes en een deel van hun eigenschappen te vertalen naar de algebra, wat vaak verdere kennis oplevert over een ruimte. Algebraïsche structuren zijn over het algemeen eenvoudiger van elkaar te onderscheiden dan topologische, maar het nadeel is, dat men altijd een deel van de topologische structuur kwijtraakt bij het vertaalproces. Daarom worden verschillende methodes gebruikt om de topologische structuren zo goed als mogelijk te vertalen naar algebraïsche. Een belangrijk onderdeel van de algebraïsche topologie is de homotopietheorie. Als men zich, zoals eerder, een topologische ruimte als een stuk klei voorstelt, dan is het in de homotopietheorie nu wel toegestaan samenhangende kleistukjes in te krimpen of ook platte delen op te blazen. Het meest bekende voorbeeld van topologische ruimtes, die in de homotopietheorie als gelijk aangezien worden is de koffiekop en de doughnut. In de plaatjes hieronder ziet men hoe een kopje opgevuld en vervolgens vervormd wordt tot een doughnut: Zeepbellen Voor de homotopietheorie bijzonders interessante topologische ruimtes zijn CW-complexen. Dit zijn ruimtes, die door hun topologie een soort cel-structuur hebben. 2-dimensionale CW-complexen lijken in principe op een berg zeepbellen, die aan elkaar plakken, zoals op de plaatjes hieronder: Dit zijn 2-dimensionale CW-complexen omdat zo een berg zeepbellen uit 0-, 1- en 2-50