Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:

Transcriptie

1 Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a b c 3. n G : a G : a n = n a = a 4. a G a G : a a = a a = n We noemen n het neutraal element van de groep en a het symmetrische element van a. Als de bewerking bovendien commutatief is, spreken we van een commutatieve of abelse groep. Voor het bewerkingsteken bestaat er een additieve en een multiplicatieve notatie. Voor de additieve notatie nemen we het plusteken +. Het neutraal element noteren we met 0 en symmetrisch element van a door a. Bij de multiplicatieve notatie gebruiken we het vermenigvuldigingsteken.. Het neutraal element noteren we met 1 of e en het symmetrisch element van a door a 1. Meestal zullen we. weglaten. 3

2 1.2 Basiseigenschappen De associativiteit en de eventuele commutativiteit kunnen, via inductie, uitgebreid worden tot n elementen. Stelling 1.2. Het neutraal element van een groep is uniek. Bewijs. Stel dat e 1 en e 2 allebei neutraal element zijn, dan is: Dus is het neutraal element enig. e 1 = e 1.e 2 = e 2 Stelling 1.3. Het symmetrisch element is uniek. Bewijs. Stel dat x als symmetrisch element y 1 en y 2 heeft, dan is y 1 = e.y 1 = (y 2.x).y 1 = y 2.(x.y 1 ) = y 2.e = y 2 Bijgevolg is het symmetrisch element van x uniek. Stelling 1.4. De vereenvoudigingswet : a.x = b x = a 1.b Bewijs. a.x = b a 1.(a.x) = a 1.b (a 1.a).x = a 1.b x = a 1.b Gevolg 1.5. Analoog geldt: x.a = b x = b.a 1 Stelling 1.6. a, b G : (a 1 ) 1 = a en (a.b) 1 = b 1.a 1 Bewijs. Het eerste resultaat volgt rechtstreeks uit de definitie. Omdat (a.b).(b 1.a 1 ) = a.e.a 1 = e en (b 1.a 1 ).(a.b) = b 1.e.b = e is (b 1.a 1 ) het symmetrische element van a.b. 4

3 Stelling 1.7. De afbeeldingen f a (x) = a.x en g a (x) = x.a zijn bijecties. Bewijs. f a is injectief want: f a (x) = f a (y) a.x = a.y x = a 1.a.y x = y f a is ook surjectief want voor elke y in G is er een x te vinden zodat f a (x) = y. Neem x = a 1.y G, dan is f a (x) = a.x = a.(a 1.y) = e.y = y. Het bewijs voor g a verloopt analoog. Stelling 1.8. De afbeelding f(x) = x 1 is een bijectie. Bewijs. f is injectief, want f(x) = f(y) x 1 = y 1 x = y. f is ook surjectief want voor elke y in G is er een x te vinden zodat f(x) = y. Neem x = y 1 G, dan is f(x) = (y 1 ) 1 = y. We noteren x.x.x..x = x n. Uit de veralgemeende associativiteit volgt dan dat x n.x m = x n+m en dat (x n ) m = x nm. Bovendien geldt dat (x n ) 1 = (x 1 ) n. 1.3 Orde van een groep en van een groepselement Definitie 1.9. De orde van een groep G, genoteerd als G, is het aantal elementen van de groep. Als de orde eindig is, spreken we van een eindige groep. Elke eindige groep kan beschreven worden door een bewerkingstabel (Cayleytabel). Deze tabel is altijd een Latijns vierkant van orde G : elk element komt juist één keer voor in elke rij en kolom. Definitie De orde van een element x van G, genoteerd als o(x), is het kleinste natuurlijk getal r waarvoor geldt dat x r = e. 5

4 Als er geen r bestaat waarvoor x r = e, dan zeggen we dat x oneindige orde heeft. G heet torsievrij als elk element, verschillend van e, oneindige orde heeft, en G noemt periodisch als elk element eindige orde heeft. De exponent van een periodische groep is het kleinste gemene veelvoud (als dat bestaat) van de ordes van alle elementen van G. Als in een periodische groep, de orde van elk element een macht is van een priemgetal p, dan noemen we de groep een p-groep. We bestuderen een paar basiseigenschappen in verband met de orde van een groepselement: Stelling Als o(x) = r en x n = e dan is r een deler van n. Bewijs. Volgens de stelling van de Euclidische deling bestaat er een q en een s waarvoor geldt dat n = rq + s met 0 s < r. Dan is e = x n = x rq+s = (x r ) q.x s = x s s moet dus 0 zijn, anders zouden we een getal vinden, kleiner dan r, waarvoor x s = e en dit is onmogelijk. Bijgevolg is n = r.q en is r een deler van n. Stelling Alle elementen van een eindige groep hebben eindige orde. Bewijs. Neem a G en bereken a 2, a 3,. Omdat G eindig is, i j : a i = a j. Neem i > j. Dan is a i j = e, dus bestaat er een natuurlijk getal n waarvoor a n = e. Maar dan is er ook een kleinste r waarvoor a r = e en dus is de orde van a eindig. Gevolg Alle eindige groepen zijn periodisch. Stelling Een element en zijn symmetrisch element hebben dezelfde orde. Bewijs. Stel o(g) = n, dan is (g 1 ) n = (g n ) 1 = e. Veronderstel dat er een m < n bestaat waarvoor (g 1 ) m = e. Dan is (g m ) 1 = e e = g m. Dit is onmogelijk omdat de orde van g gelijk is aan n. Bijgevolg is de orde van g 1 gelijk aan n. 6

5 Gevolg Er zijn steeds een even aantal elementen van orde 3, 4, 5, Stelling De elementen xy en yx hebben steeds dezelfde orde. Bewijs. Stel o(xy) = n, dan is e = (xy) n = x(yx) n 1 y. Hieruit volgt dat x 1 y 1 = (yx) n 1. Bijgevolg is (yx) n = 1. Stelling Als o(a) = n dan is o(a r ) = n ggd(n, r). Bewijs. Stel ggd(n, r) = d, dan is n = sd en r = ld met s en l onderling ondeelbaar. Veronderstel o(a r ) = m. Nu is (a r ) s = a lsd = (a sd ) l = e l = e. Bijgevolg is m een deler van s. Anderzijds is (a r ) m = a ldm = e. Omdat o(a) = n is n = sd een deler van ldm. Dan is s een deler van lm en omdat s en l onderling ondeelbaar zijn, moet s een deler zijn van m. Bijgevolg is s = m, wat moest bewezen worden. Gevolg De orde van een macht van een element kan nooit groter zijn dan de orde van het element zelf. Stel a en b zijn twee elementen van een groep G waarvan we de orde kennen. In het algemeen is het niet mogelijk om uit deze informatie de orde van het element ab te bepalen. We kunnen aanzienlijk meer zeggen als we aannemen dat a en b commuteren. Stelling Als o(a) = n, o(b) = m en ab = ba dan is o(a.b) een deler van kgv(a,b). Bewijs. Stel kgv(a,b)=k, dan is (ab) k = a k.b k = e.e = e en dus is de orde van ab een deler van k. Stelling Als o(a) = n, o(b) = m, ggd(n, m) = 1 en ab = ba dan is o(a.b) = mn = kgv(a,b). 7

6 Bewijs. (a.b) mn = a mn.b mn = (a n ) m.(b m ) n = e, dus is de orde van a.b een deler van mn. Stel nu dat o(a.b) = m 1 n 1 met m 1 m en n 1 n. Dan is m = tm 1 en n = sn 1. Nu is e = ((a.b) m 1n 1 ) t = (a.b) mn 1 = a mn 1.b mn 1 = a mn 1. Maar dan is n een deler van mn 1 en omdat n en m onderling ondeelbaar zijn is n een deler van n 1. Maar n 1 is een deler van n, dus is n = n 1. Analoog kan men bewijzen dat m = m 1. Bijgevolg is o(a.b) = mn. Stelling Als o(a) = n, o(b) = m en ab = ba dan bestaat er een element g waarvan de orde gelijk is aan kgv(m, n). Bewijs. Gebruikmakend van de ontbinding in priemfactoren van n en m is kgv(m, n) = i pk i i. Dan is pk i een deler van m of van n. Maar dan heeft n p k i i i ofwel het element a ofwel het element b orde p k i i. Noem dat element c i en construeer g = i c i. De elementen c i en c j voldoen aan de voorwaarden van vorige stelling en dus geldt: m p k i i o(g) = i o(c i ) = i p k i i = kgv(m, n) Het element g is dus het gezochte element. We geven nu een soort omgekeerd resultaat van de vorige stellingen. Deze stelling laat ons toe een element te schrijven als het product van elementen van lagere orde. Stelling Als o(c) = m.n en ggd(m, n) = 1, dan bestaat er juist 1 element a en juist 1 element b die onderling commuteren en met o(a) = m, o(b) = n en c = a.b. Bewijs. Stel k = c n en l = c m. De elementen k en l commuteren en o(k) = m en o(l) = n. Verder bestaan er getallen r en s zodat rm + sn = 1, dus c = c rm+sn = (c m ) r.(c n ) s = k s l r. Nu is s onderling ondeelbaar met m en omdat de orde van een macht van een element nooit groter kan zijn dan de orde van het element zelf is o(k s ) = m. Analoog is o(l r ) = n. Definieer nu a = k s en b = l r. Dit zijn de gezochte elementen. Rest ons te bewijzen dat deze elementen uniek zijn. Veronderstel dus dat c = a.b = a 1.b 1, dan volgt uit (ab) sn = (a 1 b 1 ) sn dat a sn b sn = a sn 1 b sn 1 a sn = 8

7 a sn 1 a 1 rm = a 1 rm 1 a = a 1. Analoog zal b = b 1 en bijgevolg is de ontbinding c = a.b uniek. We besluiten met stelling die iets zegt over een groep waar elk element orde 2 heeft. Stelling Als elk niet triviaal element van een groep G orde 2 heeft, dan is G abels. Bewijs. (ab) 2 = 1 abab = 1 a 2 bab 2 = ab ba = ab. 1.4 Toegevoegde elementen Definitie Twee elementen a en b van G heten toegevoegd als er een g G bestaat waarvoor b = g 1 ag. We noemen b het toegevoegde element van a en noteren b = a g. Soms gebruikt men ook als definitie: a g = gag 1. We geven eerst een paar basiseigenschappen: Stelling De afbeelding f a (x) = x a is een bijectie. Bewijs. f a is injectief want:f a (x) = f a (y) a 1 xa = a 1 yx x = y. f a is ook surjectief want voor elke y in G is er een x te vinden zodat f a (x) = y. Neem x = aya 1 G, dan is f a (x) = a 1 aya 1 a = y Stelling De relatie:...is toegevoegd aan... in G is een equivalentierelatie. Bewijs. Omdat a = a e is elk element toegevoegd aan zichzelf. Als b toegevoegd is aan a, dan is b = a g. Dan is a = b (g 1) en is a toegevoegd aan b. De relatie is dus ook symmetrisch. Als b = a g en c = b h, dan is c = h 1 bh = h 1 g 1 agh = a gh. De relatie is transitief en bijgevolg hebben we een equivalentierelatie. 9

8 De groep G wordt door de equivalentierelatie... is toegevoegd aan... verdeeld in equivalentieklassen, die een partitie vormen van G. Met andere woorden elk groepselement behoort tot juist 1 klasse en twee klassen (bijvoorbeeld die van a en b) zijn gelijk als a en b toegevoegd zijn. De equivalentieklasse waartoe a behoort noemen we de toevoegingsklasse van a en noteren we door C(a): C(a) = {g 1 ag : g G} Het aantal toevoegingsklassen van G noemt men het klassegetal van G. We geven een aantal eigenschappen van de toevoegingsklassen: Stelling C(e) = {e}. Bewijs. C(e) = {g 1 eg : g G} = {e}. Stelling In een abelse groep geldt: a G : C(a) = {a}. Bewijs. C(a) = {g 1 ag : g G} = {g 1 ga : g G} = {a}. Gevolg In een abelse groep is het klassegetal gelijk aan de orde van de groep. Stelling Alle elementen in een bepaalde toevoegingsklasse hebben dezelfde orde. Bewijs. Stel o(a) = n en b = a g. Veronderstel dat o(b) = m. Maar b n = g 1 a n g = e, dus is m een deler van n. Evengoed is a m = g 1 b m g = e, dus is n een deler van m. Beide resultaten samen geven dat m = n, wat moest bewezen worden. Stelling Als a en b toegevoegd zijn, dan zijn a k en b k ook toegevoegd. Bewijs. Stel b = a g, dan is b k = g 1 a k g. Bijgevolg zijn a k en b k toegevoegd. 10

9 Stelling (C(a)) 1 = C(a 1 ). Bewijs. Met (C(a)) 1 bedoelt men de verzameling van alle inverse elementen van de elementen van C(a). Als y (C(a)) 1 y = (g 1 ag) 1 = g 1 a 1 g. Dus is y C(a 1 ) en bijgevolg is (C(a)) 1 C(a 1 ). Omgekeerd als y C(a 1 ) y = g 1 a 1 g y 1 = g 1 ag C(a). Bijgevolg is y (C(a)) 1 en is C(a 1 ) (C(a)) 1. Dus is (C(a)) 1 = C(a 1 ). De inverse neming permuteert dus de toevoegingsklassen. Het inverse van een toevoegingsklasse is een toevoegingsklasse. Sommige toevoegingsklassen zijn hun eigen inverse, zoals bijvoorbeeld C(e). 11