College WisCKI. Albert Visser. 17 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties.

Transcriptie

1 College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 17 oktober,

2 Overview 2

3 Overview 2

4 Overview 2

5 Overview 2

6 Overview 3

7 Wat is een equivalentierelatie? Een equivalentie relatie E op een domein X is een relatie die: reflexief is op X: x E x, voor alle x in X. symmetrisch is (op X): als x E y, dan y E x, voor alle x en y in X. transitief is (op X): als x E y en y E z, dan x E z, voor alle x, y en z in X. 4

8 Breuken en Rationale Getallen 1 Een breuk is een paar natuurlijke getallen m n, waar n 0. Hier is m n een voor deze toepassing grafisch aantrekkelijke manier om m, n te schrijven. We definiëren m n k l desda m l = k n. 5

9 Overview 6

10 Wat is een Partitie? Een partitie is een andere verschijningsvorm van een equivalentierelatie. Zij gegeven een verzameling D. Een partitie X van D is een verzameling deelverzamelingen van D (m.a.w. X D) met de volgende eigenschappen. X. Stel X en Y zijn verschillende elementen van X, dan X Y =. Voor elke d D is er een X X met d X, m.a.w. X = D. 7

11 Heen en Weer Zij X een partitie van D. d E X e desda er is een X X zodanig dat d X en e X. Claim: E X is een equivalentierelatie. For d D definiëren we [d] E := {e D e E d}. [d] E is de (E-)equivalentieklasse van d. X E := {[d] E d D}. Claim: X E is een partitie. We bewijzen het lemma: voor alle d hebben we d [D] e. Hieruit volgt zowel dat de equivalentieklassen van X E niet leeg zijn en dat ze samen het domein overlappen. 8

12 Overview 9

13 Optellen van Rationale Getallen 1 We definiëren eerst het optellen van breuken. m n + k l := m l + k n. n l Dit is wat jullie op de lagere school geleerd hebben: eerst gelijknamig maken en dan optellen. Eerste poging om optellen van rationale getallen te definiëren. We schrijven [ m n ] voor [ m n ]. We starten met equivalentieklassen α en β. Daaruit kiezen we representanten. Bijvoorbeeld m n uit α en k l uit β. We berekenen de some van de breuken volgens bovenstaande formule. Zeg dit is p q. Dan nemen we γ := [ p q ]. 10

14 Optellen van Rationale Getallen 2 Bijvoorbeeld [ 1 2 ] + [ 3 5 ] = [ ] maar ook [ 1 2 ] + [ 3 5 ] = [ 2 4 ] + [ 3 5 ] = [ ]. Merk op dat deze procedure niet deterministisch is. Het is duidelijk dat [ ] = [ ], maar waarom is dit goed gegaan. Gaat dat wel altijd goed? Bezie bijvoorbeeld de functie op de breuken die de teller uitleest. Zeg τ( m n ) := m 1. Anders gezegd: verander de noemer in 1. Merk op dat dit een prima operatie is op breuken. We spreken voortdurend over de teller en de noemer van een breuk. Definiëer nu de functie τ: gegeven een rationaal getal α; neem daar een breuk uit, zeg m n ; neem daar de noemer τ(m n ) = m 1 van; tenslotte vormen we de equivalentieklasse [ m 1 ]. 11

15 Optellen van Rationale Getallen 3 Dus: τ([ m n ]) = [τ(m n ]. Er volgt nu omdat [ 1 2 ] = [ 2 4 ]: [ 1 1 ] = τ([1 2 ]) = τ([2 4 ]) = [2 1 ]. Maar [ 1 1 ] [ 2 1 ] omdat omdat 1 1 = 1 2 =

16 Optellen van Rationale Getallen 4 τ is dus wel een goede operatie op breuken maar hij is niet geschikt om te liften naar een operatie op rationale getallen. Bezie de equivalentie relatie op de breuken gegeven door m n k l iff m = k. We schrijven ( m n ) := [ m n ]. Definiëer: We hebben: ( m n ) + (k l l + k n ) := (m ). n l Maar ( 2 1 ) ( 5 6 ) omdat 2 6. ( 2 1 ) = (1 1 ) + (1 1 ) = (1 2 ) + (1 3 ) = (5 6 ). 13

17 Optellen van Rationale Getallen 5 We willen α + β definiëren waar α en β rationale getallen zijn. Het idee is als volgt. Eerst kiezen we willekeurige representanten m n in α en k l in β. Dan rekenen we m n + k l uit. Stel dat is p q. Daarna nemen we de equivalentieklasse [ p q ]. Wat me moeten inzien is dat de resulterende equivalentie klasse onafhankelijk is van de specifieke keuze van de representanten. Wat hiervoor nodig is, is dat de equivalentierelatie een congruentie is voor de gegeven operatie. m n + k m l+k n l = n l m n + k l = m l +k n n l M.a.w. als m n m n en k l k l, dan is m l+k n n l m l +k n n l. 14

18 Definitie van Congruentie Zij E een equivalentierelatie of X. De relatie E is een congruentierelatie voor de functie f : X X desda: als xey, dan f (x) E f (y). Analoog voor meerplaatsige functies. De relatie E is een congruentierelatie voor het een predicaat P op X / de deelverzameling P van X desda: als xey, dan P(x) desda P(y). Analoog voor meerplaatsige predicaten / relaties. 15

19 Overview 16

20 Preambule 1 Eén intuitie voor wat een functie is, is een rekenregel. Bijvoorbeeld x R x 2 R. Veel functies zijn niet in eerste instantie als rekenregel gegeven. Bijvoorbeeld de cosinus. Het is nuttig om functies zo abstract mogelijk te definiëren: op deze manier vallen er zoveel mogelijk voorbeelden onder de definitie. 17

21 Preambule 2 Figure: Weierstrass Functie (1872) 18

22 Wat is een functie? Een functie f : X Y is een relatie van X naar Y die zowel totaal (serieel) als functioneel (deterministisch). Dit betekent: voor alle x in X, is er een y in Y zodat x, y f. voor alle x, X en y, y in Y, als x, y f en x, y f. dan y = y. We zullen schrijven f (x) = y in plaats van x, y f. X heet het domein van de functie en Y het codomein. We schrijven dom(f ) = X en cod(f ) = Y. 19

23 Voorbeelden De cosinus De parabool De hyperbool... De eenheidscircel... f (x, y) = x 2 + y 2 De Cantorfunctie: f (m, n) = 1 2 (x + 1)(x + y + 1) + y. Canonieke Projectie. 20

24 Hoeveel... Hoeveel functies van X naar Y zijn er als: als X en Y eindig zijn en niet leeg? als X leeg is en Y niet? als X niet leeg is en Y leeg? als X en Y beide leeg zijn? Y X is de verzameling van alle functies van X naar Y. 21

25 Enige Definities Stel f : X Y en A X. Dan f (A) := {f (a) a A}. De verzameling f (A) heet het beeld van A. f (dom(f )) is het bereik van f. Stel f : X Y en B Y. Dan f 1 (B) := {x X f (x) B}. De verzameling f 1 (B) is het volledig origineel van B. Stel f : X Y en g : Y Z. Dan is g f de functie h : X Z met h(x) = g(f (x)). f : X Y is surjectief als f (X) = Y, m.a.w. f is surjectief als het codomein van f gelijk is aan de range van f. We zeggen ook: f is een surjectie. f : X Y is injectief als, voor alle x, x in X, als f (x) = f (x ), dan x = x. We zeggen ook: f is een injectie. f : X Y is bijectief als f zowel injectief als surjectief is. We zeggen ook: f is een bijectie. 22