Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 22 maart 2009 ONEINDIGHEID

Transcriptie

1 Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 22 maart 2009 ONEINDIGHEID. Paragraaf De paradox van de oneindigheid ligt slechts bestorven in het feit dan onze gedachten eindig zijn. Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid

2 Onderwerpen Zelfreferentie en paradoxen Afsluitingen (H11) Aftelbare verzamelingen Oneindige verzamelingen en het Hilberthotel Overaftelbaar en verder Continuumhypothese Robinson getallen Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 1

3 Netwerken met zelfreferentie E = x E x E E = x E x E 1?? 0 1 De leugenaarparadox: Z = Z Z Z 0?? 1?? De paradox van Löb: M = G(M) B Voor een rationele gelover geldt: P = G(P) G(M) M 0?? 1 1 Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 2

4 Afsluitingen Definition 1. [Afsluiting]. Als R een relatie is dan is de kleinste relatie die R bevat en bovendien: 1. reflexief is, de reflexieve afsluiting van R : r(r) 2. symmetrisch is, de symmetrische afsluiting van R : s(r) 3. transitief is, de transitieve afsluiting van R : t(r) Proposition 1.. Als R een relatie is dan is: 1. R = r(r) desda R reflexief is. 2. R = s(r) desda R symmetrisch is. 3. R = t(r) desda R transitief is. Bovendien: r(r(r)) = r(r) s(s(r)) = s(r) t(t(r)) = t(r) Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 3

5 A = r(a) = Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 4

6 s(a) = t(a) = Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 5

7 Theorem 1. Als R een relatie is opsen E = {(x,x) : x S} dan: (r) r(r) = R E (s) s(r) = R R (t) t(r) = R k Lemma 1. k=1 1. Als R reflexief is dan ook s(r) en t(r). 2. Als R symmetrisch is dan ook r(r) en t(r). 3. Als R transitief is dan ook r(r) en s(r). Theorem 2. Voor elke relatie R op S is tsr(r) de kleinste equivalentierelatie die R bevat. Bewijs: 1. ( ): r(r) is reflexief. idem s(r) en t(r) ( ): Beschouw de equivalentiereatie R, zodat R R r(r) r(r ) = R Dus: sr(r) s(r ) = R En dus: tsr(r) t(r ) = R Dus tsr(r) is de kleinste equivalentierelatie die R bevat. Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 6

8 Aftelbaarheid & het Hilberthotel Definition 2. P is aftelbaar. Proposition 2. Twee verzamelingen A en B zijn even groot als er een bijectie bestaat van A naar B. Theorem 3. N is even groot als P, dus N is aftelbaar. f : P N gedefinieerd als f(n) = n 1 is een bijectie. Theorem 4. Z is aftelbaar. { 2n +1 indien n 0 f(n) = 2n indien n < 0 Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 7

9 Aftelbaarheid Theorem 5. Q is aftelbaar. P = N = Z = Q Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 8

10 Overaftelbare verzamelingen Theorem 6. FUN(P, {0,1}) is niet-aftelbaar. Bewijs met Cantor s diagonaalargument: Stel F = FUN(P, {0, 1}) is aftelbaar. Dan is F te schrijven als de verzameling: F = {f 1, f 2,...} (Welordenings principe) f n (x) \x f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) Beschouw nu de functie f op P: { f 0 indien f n (n) = 1 (n) = 1 indien f n (n) = 0 f kan niet in deze lijst voorkomen. Dus F is niet aftelbaar. Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 9

11 Theorem 7. Het interval [0,1) is niet-aftelbaar. x d 1 d 2 d 3 d 4 d , d 11 d 21 d 31 d 41 d , d 12 d 22 d 32 d 42 d , d 13.. d 23. d 33. d 43. d Beschouw het getal gevormd door de decimalen van de diagonaal: 0,d 11 d 22 d Definieer: d ki = { 0 indien d ki = 9 d ki +1 anders In deze opsomming komt het getal 0,d11 d 22 d niet voor. Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 10

12 Theorem 8. Het interval (0,2) is even groot als het interval (0,1). De functie f(x) = 2 x is een bijectie van (0, 1) naar (0, 2). Theorem 9. R is even groot als het interval (0,1). De functie f(x) = 2x (1+2 x ) is een bijectie van (0,1) naar R. Theorem 10. Het interval [0, 1) is even groot als het interval (0,1). Probleem is de afbeelding van 0. De truc is om een oneindige reeks uit (0,1) te isoleren, b.v.: 1 2, 1 3, 1 4,... en beeld die af op 0, 1 2, 1 3, 1 4,... Stel: { 1 } C = (0,1) \ n : n = 1,2,3,... Dan is f een bijectie van (0,1) naar [0,1). f(x) = 0 indien x = n 1 indien x = 1/n voor een n 3 x indien x C Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 11

13 Proposition 3. FUN(P, B) = P(P) = (0,1) = [0,1) = (0,2) = R Theorem Deelverzamelingen van aftelbare verzamelingen zijn aftelbaar. 2. De vereniging van aftelbaar veel aftelbare verzamelingen is aftelbaar. Bewijs: 1. m.b.v. het welordeningsprincipe. 2. m.b.v. het diagonaalsgewijze aftellen Voorbeeld 1. [Q is aftelbaar] Q is de verzameling van aftelbare verzamelingen A n met: A n = { m n : m Z } Q = is aftelbaar volgens stelling 11. n P A n Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 12

14 Voorbeeld 2. [De verzameling woorden van een taal] Als Σ een eindig alfabet van een taal is en Σ de verzameling van alle woorden van die taal, dan is Σ aftelbaar. Stel Σ k is de (eindige) verzameling van alle woorden met lengte k. Dan is: Σ = Σ k Voorbeeld 3. [Tekort aan computerprogramma s] Computerprogramma s zijn eindige strings van een eindig alfabet. Het aantal computerprogramma s is aftelbaar. Het aantal irrationale getallen, zoals 17 of π/3 is overaftelbaar. Niet alle irrationale getallen kunnen dus door een computerprogramma berekend worden. Voorbeeld 4. [Alle paden in een oneindige graaf] Als E de aftelbare verzameling ribben is van een oneindige graaf en P de verzameling van alle paden in de graaf, dan is P aftelbaar. k=0 Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 13

15 Transfiniete cardinaalgetallen Definition 3. [Alef-nul]. De cardinaliteit van P is ℵ 0, dus: P = ℵ 0 ℵ 0 +x = ℵ 0 ℵ 0 x = ℵ 0 ℵ x 0 = ℵ 0 2 ℵ 0 ℵ 0 Definition 4. [Alef-één]. De cardinaliteit van R is ℵ 1 ( R = P(N) = ℵ 1 ) Met: ℵ 1 = 2 ℵ 0 ℵ 1 +x = ℵ 1 ℵ 1 x = ℵ 1 ℵ x 1 = ℵ 1 2 ℵ 1 ℵ 1 Vraag1. Is er ook een verzameling ter grootte van 2 ℵ 1 = ℵ2? Hypothese 1. [Continuum hypothese]. Er liggen geen cardinaalgetallen tussen ℵ 0 en ℵ 1. Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 14

16 Robinson s niet-standaard getallen Vraag 2. Zijn er ook oneindige getallen? Z in perspectief Stel er is een transfiniet getal ω. Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 15

17 Maar je hebt ook: ω 1, ω, ω +1, ω +2,... Er is dus ook een copie van Z rondom ω. Maar dergelijke copieën zijn er ook rond 2 ω, 1 2 ω,... Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 16