Equivalentierelaties. Partities. College WisCKI. Albert Visser. Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University.

Transcriptie

1 College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 3 oktober,

2 Overview 2

3 Overview 2

4 Overview 3

5 Wat is een equivalentierelatie? 1 De notie equivalentierelatie is een wiskundige explicatie van het idee van hetzelfde. We gebruiken equivalentierelaties om te abstraheren. Voorbeelden Op dezelfde dag jarig zijn (domein: de in deze zaal aanwezige mensen) Even lang zijn (domein: de in deze zaal aanwezige mensen) dezelfde favoriete muziek hebben (domein: de in deze zaal aanwezige mensen) Evenwijdig zijn (domein: lijnen in het platte vlak) De zelfde rest hebben na deling door 17 (hetzelfde zijn modulo 17) (domein: de natuurlijke getallen) 4

6 Wat is een equivalentierelatie? 2 Een equivalentie relatie E op een domein X is een relatie die: reflexief is op X: x E x, voor alle x in X. symmetrisch is (op X): als x E y, dan y E x, voor alle x en y in X. transitief is (op X): als x E y en y E z, dan x E z, voor alle x, y en z in X. 5

7 Sorites Paradox Is ononderscheidbaarheid een equivalentierelatie? Figure: Vage overgang 6

8 Breuken en Rationale Getallen 1 Een breuk is een paar natuurlijke getallen m n, waar n 0. Hier is m n een voor deze toepassing grafisch aantrekkelijke manier om m, n te schrijven. We definiëren m n k l desda m l = k n. We verifiëren dat een equivalentierelatie is. 7

9 Overview 8

10 Verschillende manieren van zien In de wetenschap probeer je het aantal manieren om hetzelfde te zien te maximalizeren. Elke manier draagt nieuwe verbanden bij en is daarom ook van heuristisch belang. Voorbeeld: Een deelverzameling X van een gegeven domain D kan worden weergegeven door de characteristieke functie χ X : D {0, 1}. Hier hebben we: χx (d) = 1 als d X en χ X (d) = 0 anders. d Xχ desda χ(d) = 1. Merk op dat de characteristieke functie weer meer lijkt op de valuatiefunctie van de propositielogica. Claim: χ Xχ = X en X χx = X. 9

11 Wat is een Partitie? Een partitie is een andere verschijningsvorm van een equivalentierelatie. Zij gegeven een verzameling D. Een partitie X van D is een verzameling deelverzamelingen van D (m.a.w. X D) met de volgende eigenschappen. Stel X en Y zijn verschillende elementen van X, dan X Y =. Voor elke d D is er een X X met d X, m.a.w. X = D. 10

12 Heen en Weer Zij X een partitie van D. d E X e desda er is een X X zodanig dat d X en e X. Claim: E X is een equivalentierelatie. For d D definiëren we [d] E := {e D e E d}. [d] E is de (E-)equivalentieklasse van d. X E := {[d] E d D}. Claim: X E is een partitie. Claim: X EX = X en E XE = E. 11

13 Voorbeelden Stel p, q, r, s zjjn ruimtelijke punten. Zij (p, q)e(r, s) als de afstand van p tot q hetzelfde is als de afstand van r to s. Dan is een equivalentieklasse van E een afstand. Methodologische les: afstand is niet conventioneel; alleen het getal wat we er aan toekennen. Zij E de relatie van evenwijdigheid in het Euclidische platte vlak. Dan is een equivalentieklasse een richting. Zij de equivalentierelatie tussen breuken die we geïntroduceerd hebben. Dan zijn de equivalentieklassen van rationale getallen. Het uitdelen van een equivalentierelatie zodat je een partitie krijgt kan gezien worden als een proces van abstractie. Je hebt een notie van hetzelfde en na uitdelen krijg je de aspecten waarin de dingen hetzelfde zijn: richtingen, lengtes, etc. 12