Wiskunde. Verzamelingen, functies en relaties. College 6. Donderdag 7 Januari

Transcriptie

1 Wiskunde Verzamelingen, functies en relaties College 6 Donderdag 7 Januari 1 / 14

2 Kardinaliteit Def. A is de kardinaliteit van A. A = B : er is een bijectie van A naar B. A B : er is een injectie van A naar B. A < B : er is een injectie maar geen bijectie van A naar B.. 2 A = def {0, 1} A 2 / 14

3 Kardinaliteit Def. A is de kardinaliteit van A. A = B : er is een bijectie van A naar B. A B : er is een injectie van A naar B. A < B : er is een injectie maar geen bijectie van A naar B.. 2 A = def {0, 1} A Voor eindige verzamelingen is A het aantal elementen van A. 2 / 14

4 De stelling van Cantor-Schröder-Bernstein St. Als A B en B A, dan A = B. 3 / 14

5 Aftelbaar Def. Een verzameling A heet aftelbaar als er een surjectie is van N naar A. A heet overaftelbaar als A niet aftelbaar is. 4 / 14

6 Aftelbaar Def. Een verzameling A heet aftelbaar als er een surjectie is van N naar A. A heet overaftelbaar als A niet aftelbaar is. St. Eindige verzamelingen zijn aftelbaar. 4 / 14

7 Aftelbaar Def. Een verzameling A heet aftelbaar als er een surjectie is van N naar A. A heet overaftelbaar als A niet aftelbaar is. St. Eindige verzamelingen zijn aftelbaar. Z is aftelbaar. 4 / 14

8 Aftelbaar Def. Een verzameling A heet aftelbaar als er een surjectie is van N naar A. A heet overaftelbaar als A niet aftelbaar is. St. Eindige verzamelingen zijn aftelbaar. Z is aftelbaar. Elke deelverzameling van een aftelbare verzameling is aftelbaar. 4 / 14

9 Aftelbaar Def. Een verzameling A heet aftelbaar als er een surjectie is van N naar A. A heet overaftelbaar als A niet aftelbaar is. St. Eindige verzamelingen zijn aftelbaar. Z is aftelbaar. Elke deelverzameling van een aftelbare verzameling is aftelbaar. Als B aftelbaar is en A B, dan is A afelbaar. 4 / 14

10 Aftelbaar Def. Een verzameling A heet aftelbaar als er een surjectie is van N naar A. A heet overaftelbaar als A niet aftelbaar is. St. Eindige verzamelingen zijn aftelbaar. Z is aftelbaar. Elke deelverzameling van een aftelbare verzameling is aftelbaar. Als B aftelbaar is en A B, dan is A afelbaar. Als A en B aftelbaar zijn, dan is A B aftelbaar. 4 / 14

11 Aftelbaar Def. Een verzameling A heet aftelbaar als er een surjectie is van N naar A. A heet overaftelbaar als A niet aftelbaar is. St. Eindige verzamelingen zijn aftelbaar. Z is aftelbaar. Elke deelverzameling van een aftelbare verzameling is aftelbaar. Als B aftelbaar is en A B, dan is A afelbaar. Als A en B aftelbaar zijn, dan is A B aftelbaar. St. Als A aftelbaar oneindig is, dan is er een bijectie van N naar A. 4 / 14

12 St. Q is aftelbaar. Q 5 / 14

13 Q St. Q is aftelbaar. Bew. Q wordt gerepresenteerd door Z N >0 /Q, waarbij x, y Q a, b xb = ya x y = a b. We schrijven x y voor x, y. 5 / 14

14 Q St. Q is aftelbaar. Bew. Q wordt gerepresenteerd door Z N >0 /Q, waarbij x, y Q a, b xb = ya x y = a b. We schrijven x y voor x, y. Dus x y Q a b desda x y = a b. Dus [ x y ] = [ a b ] desda x y = a b. 5 / 14

15 Q St. Q is aftelbaar. Bew. Q wordt gerepresenteerd door Z N >0 /Q, waarbij x, y Q a, b xb = ya x y = a b. We schrijven x y voor x, y. Dus x y Q a b desda x y = a b. Dus [ x y ] = [ a b ] desda x y = a b. Elke equivalentieklasse [ a b ] in Q bevat precies één x y zodat [ x y ] = [ a b ] en ggd(x, y) = 1. 5 / 14

16 Q St. Q is aftelbaar. Bew. Q wordt gerepresenteerd door Z N >0 /Q, waarbij x, y Q a, b xb = ya x y = a b. We schrijven x y voor x, y. Dus x y Q a b desda x y = a b. Dus [ x y ] = [ a b ] desda x y = a b. Elke equivalentieklasse [ a b ] in Q bevat precies één x y zodat [ x y ] = [ a b ] en ggd(x, y) = 1. f : Q Z N >0 wordt gegeven door f ([ a b ]) = x, y, waarbij [ x y ] = [ a b ] en ggd(x, y) = 1. 5 / 14

17 Q St. Q is aftelbaar. Bew. Q wordt gerepresenteerd door Z N >0 /Q, waarbij x, y Q a, b xb = ya x y = a b. We schrijven x y voor x, y. Dus x y Q a b desda x y = a b. Dus [ x y ] = [ a b ] desda x y = a b. Elke equivalentieklasse [ a b ] in Q bevat precies één x y zodat [ x y ] = [ a b ] en ggd(x, y) = 1. f : Q Z N >0 wordt gegeven door f ([ a b ]) = x, y, waarbij [ x y ] = [ a b ] en ggd(x, y) = 1. f is een injectie en dus Q Z N >0. Z N >0 is aftelbaar, en dus Q ook. 5 / 14

18 Overaftelbaar St. R is overaftelbaar: N < R. 6 / 14

19 Overaftelbaar St. R is overaftelbaar: N < R. St. A < P(A) = 2 A. 6 / 14

20 Overaftelbaar St. R is overaftelbaar: N < R. St. A < P(A) = 2 A. A < P(A) < P(P(A)) < Er zijn oneindig veel verschillende oneindigheden/oneindige kardinaliteiten. 6 / 14

21 Overaftelbaar St. R is overaftelbaar: N < R. St. A < P(A) = 2 A. A < P(A) < P(P(A)) < Er zijn oneindig veel verschillende oneindigheden/oneindige kardinaliteiten. St. R = P(N) = 2 N. 6 / 14

22 Overaftelbaar St. R is overaftelbaar: N < R. St. A < P(A) = 2 A. A < P(A) < P(P(A)) < Er zijn oneindig veel verschillende oneindigheden/oneindige kardinaliteiten. St. R = P(N) = 2 N. Of er een oneindige verzameling A bestaat zodat N < A < R is (essentiëel) onbekend. 6 / 14

23 De Cantor verzameling Def. De Cantor verzameling C wordt gegeven door: C = C n, n=0 waarbij C 0 = [0, 1] en C n+1 onstaat door uit elk interval in C n het middelste derde deel weg te snijden. C 0 = [0, 1] C 1 = [0, 1 3 ] [2 3, 1] C 2 : [0, 1 9 ] [2 9, 3 9 ] [6 9, 7 9 ] [8 9, 1] 7 / 14

24 De Cantor verzameling Def. De Cantor verzameling C wordt gegeven door: C = C n, n=0 waarbij C 0 = [0, 1] en C n+1 onstaat door uit elk interval in C n het middelste derde deel weg te snijden. C 0 = [0, 1] C 1 = [0, 1 3 ] [2 3, 1] C 2 : [0, 1 9 ] [2 9, 3 9 ] [6 9, 7 9 ] [8 9, 1] St. R = C = P(N) = 2 N. 7 / 14

25 Finis 8 / 14