Wiskunde. Verzamelingen, functies en relaties. College 2. Donderdag 3 November
|
|
|
- Rosalia van der Woude
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Wiskunde Verzamelingen, functies en relaties College 2 Donderdag 3 November 1 / 17
2 Equivalentierelaties Def. Een relatie R heet reflexief als x xrx. R heet transitief als x y z (xry yrz xrz). R heet symmetrisch als x y (xry yrx). R heeft antisymmetrisch als x y (xry yrx x = y). 2 / 17
3 Equivalentierelaties Def. Een relatie R heet reflexief als x xrx. R heet transitief als x y z (xry yrz xrz). R heet symmetrisch als x y (xry yrx). R heeft antisymmetrisch als x y (xry yrx x = y). Een relatie R heet een equivalentierelatie als R transitief, reflexief en symmetrisch is. 2 / 17
4 Equivalentierelaties Def. Een relatie R heet reflexief als x xrx. R heet transitief als x y z (xry yrz xrz). R heet symmetrisch als x y (xry yrx). R heeft antisymmetrisch als x y (xry yrx x = y). Een relatie R heet een equivalentierelatie als R transitief, reflexief en symmetrisch is. Gegeven een equivalentierelatie R op A en een element a A is de equivalentieklasse van a: [a] = {b A arb}. A/R = {[a] a A}. 2 / 17
5 St. b [a] : [a] = [b]. Equivalentieklassen 3 / 17
6 St. b [a] : [a] = [b]. St. b [a] : [a] [b] =. Equivalentieklassen 3 / 17
7 St. b [a] : [a] = [b]. St. b [a] : [a] [b] =. Equivalentieklassen St. De equivalentieklassen van een equivalentie relatie op A vormen een partitie van A. 3 / 17
8 St. b [a] : [a] = [b]. St. b [a] : [a] [b] =. Equivalentieklassen St. De equivalentieklassen van een equivalentie relatie op A vormen een partitie van A. Vb. A = {x 1,..., x 5 } en R is: R : x 1 x 5 [x 1 ] = [x 5 ] [x 2 ] = [x 3 ] = [x 4 ] x 2 x 4 x 3 A/R = {[x 1 ], [x 2 ]}. 3 / 17
9 Q Idee: x, y representeert x y. 4 / 17
10 Q Idee: x, y representeert x y. Def. Q is een equivalentierelatie op Z N >0 gedefiniëerd door: x, y Q a, b xb = ya. 4 / 17
11 Q Idee: x, y representeert x y. Def. Q is een equivalentierelatie op Z N >0 gedefiniëerd door: x, y Q a, b xb = ya. Vb. [ 2, 7 ] = [ 4, 14 ] [ 5, 8 ] [ 1, 1 ]. 4 / 17
12 Q Idee: x, y representeert x y. Def. Q is een equivalentierelatie op Z N >0 gedefiniëerd door: x, y Q a, b xb = ya. Vb. [ 2, 7 ] = [ 4, 14 ] [ 5, 8 ] [ 1, 1 ]. Q wordt gerepresenteerd door Z N >0 /Q. 4 / 17
13 Relaties van willekeurige ariteit Def. a 1, a 2, a 3 = a 1, a 2, a 3. In het algemeen: a 1,..., a n+1 = a 1, a 2,..., a n+1. 5 / 17
14 Relaties van willekeurige ariteit Def. a 1, a 2, a 3 = a 1, a 2, a 3. In het algemeen: a 1,..., a n+1 = a 1, a 2,..., a n+1. A 1 A 2 A n = { a 1,..., a n+1 i n(a i A i )}. A n = A A A (n maal). 5 / 17
15 Relaties van willekeurige ariteit Def. a 1, a 2, a 3 = a 1, a 2, a 3. In het algemeen: a 1,..., a n+1 = a 1, a 2,..., a n+1. A 1 A 2 A n = { a 1,..., a n+1 i n(a i A i )}. A n = A A A (n maal). Vb. { x, y, z Q Q Q z = x+y 2 }. { ϕ, ψ, χ P 3 ϕ ψ χ is een tautologie }. 5 / 17
16 Functies Een functie f : A B is een deelverzameling f A B zodat x A!y B ( x, y f ). (Voor elke x A er bestaat een unieke y B zodat f (x) = y.) x, y f wordt genoteerd als f (x) = y. 6 / 17
17 Functies Een functie f : A B is een deelverzameling f A B zodat x A!y B ( x, y f ). (Voor elke x A er bestaat een unieke y B zodat f (x) = y.) x, y f wordt genoteerd als f (x) = y. Vb. { x, y R R y = x 2 } is de functie f (x) = x 2. W bestaat uit de eindige woorden van 0 s and 1 s en w R is de omgekeerde van w. { w, v W 2 v = w R } is de functie f (w) = w R. 6 / 17
18 Domein en beeld Def. Het domein van f : A B is dmn(f ) = A en het codomein is B. Het beeld van f is rng(f ) = {y B x A f (x) = y}. 7 / 17
19 Domein en beeld Def. Het domein van f : A B is dmn(f ) = A en het codomein is B. Het beeld van f is Gegeven X A en Y B: rng(f ) = {y B x A f (x) = y}. f [X ] = {f (x) x X } f 1 [Y ] = {x A f (x) Y } f [X ] B f 1 [Y ] A. 7 / 17
20 Domein en beeld Def. Het domein van f : A B is dmn(f ) = A en het codomein is B. Het beeld van f is Gegeven X A en Y B: rng(f ) = {y B x A f (x) = y}. f [X ] = {f (x) x X } f 1 [Y ] = {x A f (x) Y } f [X ] B f 1 [Y ] A. De verzameling van alle functies van A naar B wordt aangegeven met B A. 7 / 17
21 Voorbeelden Vb. Voor f : N Z met f (n) = n, dmn(f ) = N en rng(f ) = Z 0. 8 / 17
22 Voorbeelden Vb. Voor f : N Z met f (n) = n, dmn(f ) = N en rng(f ) = Z 0. Voor f W W met f (w) = w(w R ), dmn(f ) = W en rng(f ) = 8 / 17
23 Voorbeelden Vb. Voor f : N Z met f (n) = n, dmn(f ) = N en rng(f ) = Z 0. Voor f W W met f (w) = w(w R ), dmn(f ) = W en rng(f ) = {v W v is een palindroom van even lengte}. 8 / 17
24 Voorbeelden Vb. Voor f : N Z met f (n) = n, dmn(f ) = N en rng(f ) = Z 0. Voor f W W met f (w) = w(w R ), dmn(f ) = W en rng(f ) = {v W v is een palindroom van even lengte}. Voor sgn : {0, 1} {0, 1} met sgn(0) = 1 en sgn(1) = 0, domein en beeld zijn {0, 1}. 8 / 17
25 Aantal functies St. Voor eindige verzamelingen X en Y : Y X = Y X. 9 / 17
26 Compositie Def. Gegeven f : A B and g : C D met rng(f ) C, de compositie van f met g is de functie g f : A D met (g f )(x) = g ( f (x) ). 10 / 17
27 Compositie Def. Gegeven f : A B and g : C D met rng(f ) C, de compositie van f met g is de functie g f : A D met (g f )(x) = g ( f (x) ). f n f 1 (x) = f n (f n 1 (... (f 2 (f 1 (x))... ). 10 / 17
28 Compositie Def. Gegeven f : A B and g : C D met rng(f ) C, de compositie van f met g is de functie g f : A D met (g f )(x) = g ( f (x) ). Vb. f n f 1 (x) = f n (f n 1 (... (f 2 (f 1 (x))... ). f, g : R 7 R en f (x) = x 7 en g(x) = x. (f g)(x) = x 7 en (g f )(x) = x / 17
29 Compositie Def. Gegeven f : A B and g : C D met rng(f ) C, de compositie van f met g is de functie g f : A D met (g f )(x) = g ( f (x) ). Vb. f n f 1 (x) = f n (f n 1 (... (f 2 (f 1 (x))... ). f, g : R 7 R en f (x) = x 7 en g(x) = x. (f g)(x) = x 7 en (g f )(x) = x 7. f, g W W en f (w) = 0w1 en g(w) = w R w. gf (w) = 1w00w1 en gf (w) = 0w R / 17
30 Compositie Def. Gegeven f : A B and g : C D met rng(f ) C, de compositie van f met g is de functie g f : A D met (g f )(x) = g ( f (x) ). Vb. f n f 1 (x) = f n (f n 1 (... (f 2 (f 1 (x))... ). f, g : R 7 R en f (x) = x 7 en g(x) = x. (f g)(x) = x 7 en (g f )(x) = x 7. f, g W W en f (w) = 0w1 en g(w) = w R w. gf (w) = 1w00w1 en gf (w) = 0w R 1. f, g, h : R 0 R en f (x) = x 2, g(x) = x en h(x) = x 2. hgf = ( x 2 ) 2, ofwel hgf = f. 10 / 17
31 Associativiteit van compositie St. Compositie is associatief: voor functies f, g, h met rng(f ) dmn(g) en rng(g) dmn(h) geldt: h (g f ) = (h g) f. 11 / 17
32 Associativiteit van compositie St. Compositie is associatief: voor functies f, g, h met rng(f ) dmn(g) en rng(g) dmn(h) geldt: Bew. h (g f ) = (h g) f. 11 / 17
33 Associativiteit van compositie St. Compositie is associatief: voor functies f, g, h met rng(f ) dmn(g) en rng(g) dmn(h) geldt: h (g f ) = (h g) f. Bew. (h (g f ))(x) = h ( (g f )(x) ) = h ( g ( f (x) )) = (h g) ( f (x) ) = ( (h g) f ) (x) 11 / 17
34 Injecties Een functie f : A B is injectief als x A y A (x y f (x) f (y)). 12 / 17
35 Injecties Een functie f : A B is injectief als Dit is equivalent met x A y A (x y f (x) f (y)). x A y A(f (x) = f (y) x = y). 12 / 17
36 Injecties Een functie f : A B is injectief als Dit is equivalent met x A y A (x y f (x) f (y)). x A y A(f (x) = f (y) x = y). Vb. De identiteit is injectief. 12 / 17
37 Injecties Een functie f : A B is injectief als Dit is equivalent met x A y A (x y f (x) f (y)). x A y A(f (x) = f (y) x = y). Vb. De identiteit is injectief. f : R R en f (x) = x 2. f is niet injectief: f ( 2) = 4 = f (2). Dezelfde operatie, maar nu van R 0 naar R is injectief. 12 / 17
38 Injecties Een functie f : A B is injectief als Dit is equivalent met x A y A (x y f (x) f (y)). x A y A(f (x) = f (y) x = y). Vb. De identiteit is injectief. f : R R en f (x) = x 2. f is niet injectief: f ( 2) = 4 = f (2). Dezelfde operatie, maar nu van R 0 naar R is injectief. R is de equivalentierelatie op formules en f : P P/R en f (ϕ) = [ϕ]. f is niet injectief. 12 / 17
39 Compositie van injectieve functies St. De compositie gf van twee injectieve functies f en g waarvoor rng(f ) dmn(g), is injectief. 13 / 17
40 Compositie van injectieve functies St. De compositie gf van twee injectieve functies f en g waarvoor rng(f ) dmn(g), is injectief. Bew. 13 / 17
41 Compositie van injectieve functies St. De compositie gf van twee injectieve functies f en g waarvoor rng(f ) dmn(g), is injectief. Bew. Stel gf (x) = gf (y). Te bewijzen: x = y. 13 / 17
42 Compositie van injectieve functies St. De compositie gf van twee injectieve functies f en g waarvoor rng(f ) dmn(g), is injectief. Bew. Stel gf (x) = gf (y). Te bewijzen: x = y. De definitie van compositie: gf (x) = g(f (x)) en gf (y) = g(f (y)). 13 / 17
43 Compositie van injectieve functies St. De compositie gf van twee injectieve functies f en g waarvoor rng(f ) dmn(g), is injectief. Bew. Stel gf (x) = gf (y). Te bewijzen: x = y. De definitie van compositie: gf (x) = g(f (x)) en gf (y) = g(f (y)). Omdat g injectief is volgt uit gf (x) = g(f (x)) = gf (y) = g(f (y)) dat f (x) = f (y). 13 / 17
44 Compositie van injectieve functies St. De compositie gf van twee injectieve functies f en g waarvoor rng(f ) dmn(g), is injectief. Bew. Stel gf (x) = gf (y). Te bewijzen: x = y. De definitie van compositie: gf (x) = g(f (x)) en gf (y) = g(f (y)). Omdat g injectief is volgt uit gf (x) = g(f (x)) = gf (y) = g(f (y)) dat f (x) = f (y). Omdat f injectief is volgt uit f (x) = f (y) dat x = y. 13 / 17
45 Surjecties Een functie f : A B is surjectief als y B x A (f (x) = y). Dit is equivalent met f [A] = B. 14 / 17
46 Surjecties Een functie f : A B is surjectief als y B x A (f (x) = y). Dit is equivalent met f [A] = B. Vb. De identiteit is surjectief. 14 / 17
47 Surjecties Een functie f : A B is surjectief als y B x A (f (x) = y). Dit is equivalent met f [A] = B. Vb. De identiteit is surjectief. f : Q >0 Q >0 en f ( x y ) = y x. f is surjectief, maar dezelfde operatie van Q >0 naar Q is niet surjectief. 14 / 17
48 Surjecties Een functie f : A B is surjectief als y B x A (f (x) = y). Dit is equivalent met f [A] = B. Vb. De identiteit is surjectief. f : Q >0 Q >0 en f ( x y ) = y x. f is surjectief, maar dezelfde operatie van Q >0 naar Q is niet surjectief. R is de equivalentierelatie op formules en f : P P/R en f (ϕ) = [ϕ]. f is surjectief. g : P P/R en g(ϕ) = [ ϕ] is surjectief. 14 / 17
49 Bijecties Def. Een functie f is bijectief als f injectief en surjectief is. 15 / 17
50 Bijecties Def. Een functie f is bijectief als f injectief en surjectief is. Vb. De identiteit is bijectief. 15 / 17
51 Bijecties Def. Een functie f is bijectief als f injectief en surjectief is. Vb. De identiteit is bijectief. f : R R met f (x) = x 1 is bijectief. 15 / 17
52 Bijecties Def. Een functie f is bijectief als f injectief en surjectief is. Vb. De identiteit is bijectief. f : R R met f (x) = x 1 is bijectief. R is de equivalentierelatie op formules en f : P P/R en f (ϕ) = [ϕ]. f is geen bijectie. f : Z N met is een bijectie. f (x) = { 2x als x 0 2x 1 als x < 0 15 / 17
Relaties en Functies
Logica voor Informatica Relaties en Functies Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Geordende paren, productverzameling, relatie (a, b) geordend paar (a, b) = (c, d) a =
College WisCKI. Albert Visser. 17 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 17 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wat is een equivalentierelatie? Een
Enkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
Wiskunde. Verzamelingen, functies en relaties. College 6. Donderdag 7 Januari
Wiskunde Verzamelingen, functies en relaties College 6 Donderdag 7 Januari 1 / 14 Kardinaliteit Def. A is de kardinaliteit van A. A = B : er is een bijectie van A naar B. A B : er is een injectie van A
KU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 28 oktober 2014 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 3 1.1 Basisbegrippen....................................... 3 1.2 De
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen 8 december 2015, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
equivalentie-relaties
vandaag equivalentie-relaties reflexief, symmetrisch, transitief 1 1. gelijkmachtigheid / aftelbaarheid 2. modulo rekenen 3. theorie Gelijkmachtigheid en aftelbaarheid 3.7 aleph 2 intuitie Amst Brux Roma
Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Oefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar?
Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Multicriteria Optimization and Decision Making. Michael Emmerich and André Deutz
2 Relaties 1 Multicriteria Optimization and Decision Making Michael Emmerich and André Deutz 2 motivatie We bestuderen relaties: de terminologie, representaties (de manieren om relaties weer te geven)
I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Relaties deel 2. Vierde college
2 Relaties deel 2 Vierde college 1 n-tupels & Cartesisch product A 1, A 2,, A n verzamelingen Een n-tupel is een geordend rijtje (ook wel: geordend n-tal) (a 1,a 2,...,a n ) met a 1 A 1, a 2 A 2,, a n
Equivalentierelaties. Partities. College WisCKI. Albert Visser. Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 3 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wat is een equivalentierelatie? 1 De notie equivalentierelatie
Examen G0U13B Bewijzen en Redeneren (6 sp.) Bachelor of Science Wiskunde. vrijdag 1 februari 2013, 8:30 12:30
Examen G0U13B Bewijzen en Redeneren (6 sp.) Bachelor of Science Wiskunde vrijdag 1 februari 2013, 8:30 12:30 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen. Begin
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Functies deel 1. Vijfde college
3 Functies deel 1 Vijfde college 1 Ch.3 Functions and Algorithms Hoofdstuk 3 uit Schaum gaat over functies en algoritmen. Het gedeelte over algoritmen ( 3.8 en 3.9) komt uitgebreid aan de orde bij toekomstige
College WisCKI. Albert Visser. 10 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 10 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wat is een equivalentierelatie? Een equivalentie
Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 februari 2009 RELATIES & GRAFEN Discrete Structuren Week 2: Relaties en Grafen
KU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove. met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 1 juni 2015 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 6 1.1
Dossier 1 SYMBOLENTAAL
Dossier 1 SYMBOLENTAAL basis voor wiskundige communicatie Dr. Luc Gheysens Wiskundigen hebben een eigen symbolentaal waarmee ze onderling communiceren, redeneringen en bewijzen neerschrijven, mathematische
RAF belangrijk te onthouden
RAF belangrijk te onthouden Auteur: Daan Pape Hoofdstuk 1 symbool omschrijving lees als negatie (ontkenning) p niet p het is niet zo dat p conjunctie p q p en q disjunctie p q p of q implicatie p q als
Oefening 2.3. Noteer de volgende verzamelingen d.m.v. (eenvoudig) voorschrift voor de eerste helft en d.m.v. opsomming voor de tweede helft.
Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.
Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:
Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a
Relaties deel 1. Derde college
2 Relaties deel 1 Derde college 1 Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss (30 april 1777 23 februari 1855) was een Duits wiskundige en natuurkundige, die een zeer belangrijke bijdrage heeft geleverd
Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dystra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 12 februari 2008 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen
Uitwerkingen Tentamen Wat is Wiskunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00
Uitweringen Tentamen Wat is Wisunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00 Docenten: Barbara van den Berg & Carel Faber & Arjen Baarsma & Ralph Klaasse & Vitor Blåsjö & Guido Terra-Bleeer Opgave
(Isomorfie en) RELATIES
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 maart 2009 (Isomorfie en) RELATIES. Paragrafen 10.5,11.1,11.2,11.4,11.5 Discrete
Deelgroepen en normaaldelers
Hoofdstuk 2 Deelgroepen en normaaldelers 2.1 Wat is een deelgroep? Definitie 2.1. Een deelverzameling H van een groep G, is een deelgroep van G als en slechts als H niet leeg is en H, zelf een groep is.
Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 februari 2009 INLEIDING
Discrete Structuren Piter Dystra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen Elementaire
Topologie I - WPO. Prof. Dr. E. Colebunders
Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Academiejaar 2015-2016 Inhoudsopgave 1 Topologische ruimten 2 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 7 3 Convergentie en continuïteit 8 4 Separatie-eigenschappen
Bewijzen en Redeneren voor Informatici
Bewijzen en Redeneren voor Informatici Reinoud Berkein 17 januari 2018 Samenvatting Een korte samenvatting van definities uit de cursus. Hoofdstuk 1 Doorsnede: De verzamerling die alle elementen bevat
LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE. G. Van Steen
LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE G. Van Steen 13 november 2001 Inhoudsopgave 1 Verzamelingenleer 3 1.1 Bewerkingen met verzamelingen................. 4 1.2 Relaties.............................. 7 1.3 Functies..............................
Getallensystemen, verzamelingen en relaties
Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,
Basiswiskunde. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam
Basiswiskunde P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam 22 augustus 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 2 Taal van de wiskunde 6 3 Afbeeldingen 11 4 Relaties 15 5 Inductie
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Supplement Verzamelingenleer. A.J.M. van Engelen en K. P. Hart
Supplement Verzamelingenleer A.J.M. van Engelen en K. P. Hart 1 Hoofdstuk 1 Het Keuzeaxioma Het fundament van de hedendaagse verzamelingenleer werd in de vorige eeuw gelegd door Georg Cantor. Cantor gebruikte
Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006
Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006 Inhoudsopgave 1 Topologische ruimten 2 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 7 3 Convergentie en continuïteit 8 4 Separatie-eigenschappen
Functies. Ch.3 Functions and Algorithms
3 Functies Ch.3 Functions and Algorithms Ch.3 Functions and Algorithms Inderdaad, algorithms heb ik doorgestreept. Het is een mooi onderwerp, maar komt hier bij de vakken Algoritmiek, Datastructuren, en
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde B met uitwerkingen
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde B met uitwerkingen 19 januari 2012, 13.30-16.30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Alle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave.
WAT IS WISKUNDE (English version on the other side) Maandag 5 november 2012, 13.30 1.30 uur Gebruik voor iedere opgave een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer op elk vel. Alle opgaven tellen even
Tentamen algebra 1. 8 juni 2005, , zaal A.404
Tentamen algebra 1 8 juni 2005, 13.30 16.30, zaal A.404 Schrijf je naam en collegekaartnummer of het werk dat je inlevert. Het tentamen bestaat uit 5 opgaven. Beargumenteer telkens je antwoord. Veel succes!
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
INLEIDING GROEPENTHEORIE
INLEIDING GROEPENTHEORIE 2013-2014 webstek: http://homepages.vub.ac.be/ efjesper HOC: woensdag 8-10 uur, sem 2 WPO: donderdag 13-15 uur, sem 2 E. Jespers Vakgroep Wiskunde Vrije Universiteit Brussel Faculteit
Vergelijkingen van cirkels en lijnen
Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen
Enige informatie over groepen ten bate van het college Topologie en Meetkunde (Jaap van Oosten, Juni 2003)
Enige informatie over groepen ten bate van het college Topologie en Meetkunde (Jaap van Oosten, Juni 2003) Een groep is een verzameling G met daarop een operatie : G G G (die we schrijven als g, h g h),
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
iii Tristan Kuijpers Claudine Lybaert december 2013
Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische
1-ste Bachelor Wiskunde en Fysica
ALGEBRA I 1-ste Bachelor Wiskunde en Fysica 2007-2008 webstek: http://homepages.vub.ac.be/ efjesper HOC: woensdag 14-16 uur, F.5.212 WPO: donderdag 16-18 uur, F.5.211 E. Jespers Departement Wiskunde Vrije
Functievergelijkingen
Functievergelijkingen Trainingsweek juni 2008 Basistechnieken Je mag alle getallen in het domein invullen in je functievergelijking. Wat er precies handig is, hangt af van het domein en van de functievergelijking.
Getallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Aanbevolen opgaven. Wat is oneindigheid? College 5
Vorig college College 5 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Opsommers vs. Herkenners Church-Turing These Codering van problemen 23 april 2009 1 2 Aanbevolen opgaven Wat is oneindigheid? Sipser p. 163
Wiskundige Structuren
wi1607 Wiskundige Structuren Cursus 2009/2010 Eva Coplakova en Bas Edixhoven i Inhoudsopgave I Verzamelingen en afbeeldingen..... 2 I.1 Notatie........3 I.2 Operaties op verzamelingen...7 I.3 Functies.......10
Inverse functies en limieten
Inverse functies en limieten Inverse functies We nemen aan dat A en B deelverzamelingen zijn van R. Een functie f : A B heet één-één duidig of injectief als f (x 1 ) f (x 2 ) voor alle x 1 x 2, x 1, x
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Automaten en Berekenbaarheid
Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven 2016-2017 Les 3: 36-54 Myhill-Nerode relaties; regulier pompen Myhill-Nerode equivalentieklassen in Σ I 2/10 belangrijk te verstaan: een equivalentie-relatie
Collegestof verzamelingenleer. Verzamelingenleer. Inhoud dit deel college. Verzamelingen. Universele en lege verzameling. Verzamelingen en elementen
Collegesto verzamelingenleer Verzamelingenleer Pro dr J-J Ch Meyer UU - ICS Gebaseerd op (aantal hoodstukken van) het boek: Set Theory and Related Topics by Seymour Lipschutz Schaum s Outlines, McGraw-Hill
Stefan Pouwelse. Epimorfismen. Bachelorscriptie, 10 september Scriptiebegeleider: prof.dr. H.W. Lenstra
Stefan Pouwelse Epimorfismen Bachelorscriptie, 10 september 2009 Scriptiebegeleider: prof.dr. H.W. Lenstra Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden 2 Inhoudsopgave 1. Diagrammen en colimieten 4 2. Geamalgameerde
Tellen. K. P. Hart. Delft, Faculty EEMCS TU Delft. K. P. Hart Tellen
Tellen Tá scéiĺın agam K. P. Hart Faculty EEMCS TU Delft Delft, 16-9-2015 Dingen om te tellen afbeeldingen injecties surjecties bijecties deelverzamelingen van diverse pluimage Wat notatie Afkorting: n
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A met uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A met uitwerking 9 december 2014, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve
1 Verzamelingen en afbeeldingen
Samenvatting Wiskundige Structuren, 2010 Aad Offerman, www.offerman.com 1 1 Verzamelingen en afbeeldingen Notaties: A = {1,2,3},, x A, y / A, A = B A B en B A, N = {0,1,2,...}, Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,...},
Fundamenten. Lerarenprogramma Mastermath, versie 2015/12/02. Theo van den Bogaart Bas Edixhoven
Fundamenten Lerarenprogramma Mastermath, versie 2015/12/02 Theo van den Bogaart Bas Edixhoven i Inhoudsopgave I Verzamelingen en afbeeldingen............................................... 3 I.1 Notatie.........................................................................
Keuze-Axioma en filosofische vragen over de Wiskunde
Keuze-Axioma en filosofische vragen over de Wiskunde Jaap van Oosten Department of Mathematics, Utrecht University Caleidsocoop 1, 3 april 2012 In de wiskunde bewijzen we stellingen (uitspraken). In het
1 Verzamelingen. en relaties. 1.1 De basisnotaties. Hoofdstuk
Inhoudsopgave Inhoudsopgave iii 1 Verzamelingen en relaties 1 1.1 De basisnotaties.......................... 1 1.2 Relaties.............................. 4 1.2.1 Basisdefinities.......................
EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C
EERSTE DEELTENTAMEN ANALYSE C 0 november 990 9.30.30 uur Zet uw naam op elk blad dat u inlevert en uw naam en adres op de enveloppe. De verschillende onderdelen van de vraagstukken zijn zoveel als mogelijk
Ter Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
De 15-stelling. Dennis Buijsman 23 augustus Begeleiding: S. R. Dahmen
De 15-stelling Dennis Buijsman 23 augustus 2015 Begeleiding: S. R. Dahmen Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 38 Outline 1 Rekenregels 2 K. P. Hart TW2040: Complexe
Algebra en Getaltheorie@Work: van cryptosysteem tot digitale handtekening
Algebra en Getaltheorie@Work: van cryptosysteem tot digitale handtekening Dr. Fabien Decruyenaere, St. Amandscollege, 8500 Kortrijk fabien.decruyenaere@skynet.be Prof. Dr. Paul Igodt, K.U.Leuven Campus
Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren
Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Goeroen Maaruf 20 augustus 202 Hoofdstuk 3: Relaties. Oefening 3..2 (a) Persoon p is grootouder van persoon q. (b) (p, q) O o O r P : [ (p, r) O (r, q) O ]
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde B met uitwerkingen
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde B met uitwerkingen 8 november 2012, 14:00 17:00 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
Calculus TI1 106M. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 1 september 2014
Calculus TI1 106M, 1 september 2014 Inleiding Studiemateriaal Onderwerpen Calculus 1 september 2014 1 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage :
Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312
Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Je mag de syllabus en aantekeningen gebruiken, maar geen rekenmachine. Je mag opgaven 2.46, 2.49 en 8.13
Bewijzen en Redeneren voor Informatici Samenvatting
Bewijzen en Redeneren voor Informatici Samenvatting Robin Kelchtermans 17 februari 2018 1 Voorwoord In deze samenvatting komen alle onderdelen van de cursus Bewijzen en Redeneren voor Informatici (academiejaar
Inverse limieten en de A-dèle ring. Pim van der Hoorn
Inverse limieten en de A-dèle ring Pim van der Hoorn 29 augustus 2008 Voorwoord Deze scriptie is gebaseerd op onderzoek gedaan in het eerste halfjaar van het jaar 2008 door Marcel de Reus en Pim van der
Syllabus Algebra I. Prof. Dr G. van der Geer
Algebra I -1 1 Syllabus Algebra I voorlopige versie Prof. Dr G. van der Geer Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam Science Park 94248 1090 GE Amsterdam Versie: 2013 Algebra I -2
Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische
Definitie 4.1. Als H en K normaaldelers zijn van een groep G en H K = {e} en HK = G dan noemt men G het direct product van
Hoofdstuk 4 Groepsconstructies 4.1 Direct product We gaan nu bestuderen hoe we van 2 groepen een nieuwe groep kunnen maken of hoe we een groep kunnen schrijven als een product van 2 groepen met kleinere
Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren,
Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, 2010-2011 bachelor in de Wisunde, bachelor in de Fysica, bachelor in de Economische Wetenschappen en bachelor in de Wijsbegeerte Vrijdag 4 februari 2011, 8u30 Naam:
Eindige topologische ruimten
R.A.C.H. Wols Eindige topologische ruimten Bachelorscriptie, 8 juni 2010 Scriptiebegeleider: dr. R.S. de Jong Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 2 Eindige ruimten
Hoofdstuk 4. In dit hoofdstuk wordt een aantal uiteenlopende eigenschappen van de propositielogica
Hoofdstuk 4 Stellingen over de Propositielogica In dit hoofdstuk wordt een aantal uiteenlopende eigenschappen van de propositielogica behandeld. In x4.1 wordt het begrip meta-stelling gentroduceerd en
IL-modellen en bisimulaties
IL-modellen en bisimulaties René de Jonge juli 2004 Samenvatting In dit artikel worden enkele bekende begrippen en stellingen uit de klassieke modale logica geformuleerd voor de uitgebreidere logica IL.
RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010
RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010 Handout 1 Jan Terlouw maandag 8 februari 2010 1 Algemene gegevens over deze cursus DS. Docenten. Jan Terlouw (hoorcollege) en Piter Dykstra
Lineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Logica voor AI. Verschillende modale systemen en correctheid. Antje Rumberg. 30 november 2012.
Logica voor AI en correctheid Antje Rumberg AntjeRumberg@philuunl 30 november 2012 1 De minimale normale modale logica K Axioma s alle tautologieën van de propositielogica ( ψ) ( ψ) (K-axioma) (Def ) Afleidingsregels
Eerstebachelorstudenten moeten heel wat nieuwe kennis verwerven. Het pleidooi voor een abstracte aanpak sluit niet uit dat we meestal met concrete
Voorwoord Deze cursusnota s horen bij het opleidingsonderdeel Relaties en structuren uit de eerste Bachelor wiskunde. Alles wat aan bod zal komen tijdens de theorielessen, is bevat in deze nota s. De student
Complexe functies 2019
Complexe functies 019 Extra opgaves Opgave A Laat zien dat R voorzien van de bewerkingen a + b := (a 1 +b 1,a +b ) a b := (a 1 b 1 a b,a 1 b +a b 1 ) isomorf is met C. Wat is i in deze representatie? Opgave
Inleiding tot groepentheorie
Hoofdstuk Inleiding tot groepentheorie 1 Basisdefinities Een algebraïsche structuur bestaat meestal uit een verzameling waarop één of meerdere bewerkingen gedefinieerd zijn. Definitie Een inwendige bewerking
HOOFDSTUK 0. = α g1 α g2
HOOFDSTUK 0 Acties van groepen 0.1 Groep-actie Uit de cursus Meetkunde en Lineaire Algebra van 1ste jaar Bachelor Wiskunde ([KI] in de referentielijst) weten we reeds wat een permutatiegroep G op een verzameling
Definitie 8.1. De groep van alle permutaties van een gegeven verzameling X is de symmetriegroep op n elementen, genoteerd als Sym(X).
Hoofdstuk 8 Werking van een groep 8.1 Permutatiegroepen Een permutatie van een verzameling X is een bijectie van die verzameling op zichzelf. Een verzameling X met n elementen heeft juist n! permutaties.
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Verzamelingen deel 3. Derde college
1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt
Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur
Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.
Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 22 maart 2009 ONEINDIGHEID
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 maart 2009 ONEINDIGHEID. Paragraaf 13.3. De paradox van de oneindigheid ligt slechts
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W